7.5正态分布助学稿（教案学案）解析版.docx
正态分布一、引入1.回顾本章知识结构翻开书89页2.连续型Bfi机变量1取值充满某个区间甚至整个买糖.2取一点的的概率为色二、新课1 .正态曲线的定义.xR其中GR.“>0为参数.我们称如)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线.简称上态曲线.2 .正态分布的定义(1)若随机变量X的概率密度函数为KX)=志£_三，则称随机变景XBl从正中分布,记为.V-.>.¾Jf（八）=jc。(为=J.(2)当，=0.“=1时.称随机变址X股从标肘正态分布.记为>一'(0.Il3 .正态曲线的特点(1)曲战位于X轴上方，与X轴不相交，当无限增大时，曲线无限接近在；(2)曲线与X轴之间的面积为1：(3)曲戏是单峰的，对称轴为.、,=“，峰伯为忐:(4加决定正态曲雄的位1，当“一定时，曲线随荒的变化而沿在平移，参数“反映了正态分布的集中位置.(2)“决定正态曲线的杉状.当”一定时,。越小，曲线越“败高”,表示总体的分布越军史;“越大.曲线越“矮腓二表示总体的分布越会也“反映了l机变Hl的分布相对于均依“的离fi程度.*XN(,)，面枳表示：P(xa)P(bxc)4. 3“原则正态分布在三个特殊区间内取t的概率：P（<-X<÷）0.682-7P（2cSXS+2t=s0.9545.Pi-3X2+3ff=（）.9973.通常认为服从于正态分布NQ.的随机变ItAr只取以3.山0中的值,并简称为3c原则.-3b幺-2。-+2«+3。i<-68.27%,*95.45%><一«««（9973'->«一a四.JB耋总结题型一正态曲线及其特点例题1.多选某次我市高三教学质状检测中.甲.乙、丙三利考试成人数/人甲绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的且方图可视为正态分布）,则由如图曲我可得下列说法中正确的一项是（）石"K二A.甲利总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙,丙的总体的平均数相同解析）（l）AD由题中图琴可知三科总体的平均收（均依）相号.由正态密度曲娱的li质.可知。越大，正在曲拽赵舄平；（TM小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标渣美从小到大依次为甲、乙、丙.解析）（2）从给出的正态曲蛭可知.由线关于克纸x三>20讨称，鬣大值所以“=20由忘=会，解幅e=lf是锐华密质加数的vO510152025303540«例题2如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式.求出总体Kl机变沆的期里和方空.v（-*>,+8）.总体的机变量的期里是“=20,方差是/=（应F=2.练习1,设两个正态分布MW戒6浏和MQ后乂Gx）的密度函数图象如图所示.则下列结论正确的是（）B.<fi2.>t11D.>t,ff>ojA.<,"SC.”>“2,OlV“2解析：-½Jt,曲促的形状由“瓒定.“超大.曲我越“娘肝”.表示总体越分也：。越小.曲暖越''搜高表示茁体的分有越集中,利用这个植质可立接判断.由正态由蛭性财知/“<“?，<<rj.练习2.设XY%这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y>3)P(Y>,)B.P(Xio2)P(Xol)C对任意正数，,P(XDiP(Yit)D.对任意正数/.X)>2/)【答案】C【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得（<4,O<0,<%可判断AB.由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD.【详翊A选项：X-N（ZM；）、八仪必.0；）的密度曲线分另快于1=hX.:对称.因此结合所给图像可得,<%.所以P=%）v'="J故A错误；B选项又X、他）的密度曲线较><的.。力的密度曲线瘦高所以0<q<%.所以rw%）>代XW0）故B错误,CD选项由密度曲线与横祐所囹成的图形的面积的意义可知：对任意正数人lS。之/Vs，)PU2。S.故C正确.D错误.故选：C.Jg型二利用正态分布求概率例题3.设XN(1,22),求内-1<XS3) P(3X5) P(X5)解析：VX*N(1.22).-,.=1.0=2 P(T<X3)=P(I-2<X<l+2)0.6827 P(3<X5)=P(-3X5)-P(-lX3)=*0.9545-0.6827)=0.1359户(XS)=jl-P(-3X<5)(1-0.9545)=0.0228练习3.(I)设XN(IJ).求 R<X2) P(2<XM3) NX3)解析：XN(1,1),.=1,(T=IP(O<X2)=P(l-1<X1+1)=«0.6827 P(2<X<3)=P(-1<X<3)-P(0<X2)1(0.9545-0.6827)=0.1359 P(X3)=1-P(-l<X3)|(1-0.9545)=0.0228(2)已知随机变fiUN(2.<r),且代产4尸0.8.WlP(X<2)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2解析(I)CY随机变量工依从正态分布M2,12),=2,就称”是x=2.,A<4)=0.8,P(4)=P<0)=0.2.二P(X)=O.6,.M03)=03.例魄4设随机变计'M2.9),拧尸/c+l)=P(X<c-l),求，的值：解析由AM2.9)可知，密度晶数关于直线*=2时称(如图所示).vp(Ax+)=mc-),<2-(<-l)=(c+l)-2.<=2.习4.设防机变量X=MlJ+若X0)=XX>a-2),则实数a的值为【解析)4题型三利用正态分布求假率例题5.某次数学考试中，考生的成绩X股从一个正态分布，即XN(90.100).(I)试求考试成绩X位于区间(70110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2OM名考生，试估计考试成绩在80,100间的考生大约有多少人？阍90.100),.=90,=l=l.(I)由于X在区间以一25十2。内取值的慨芈是0.9545,而该正态分布中.-2“=90-2×10=70.4÷2=9n+2×IO=llO,于是考武成绩X位于区间(70,110)上的机率就是0.9545.(2)由=90,=IO.p-=80.y+=100.由于变量*在区间山一。.乂+句内取值的概率是0.6827.所以考试成绩X位于区间网),100】内的机隼是0.6827,一共有2000名考生.所以考送感.?*在80,10t刈的考生大为有2000X0.68271365(人).练习5.某年级的一次数学测5金成绩近似服从正态分布N(70.1伊),如果规定低于60分为不及格，求：(I)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80-90的学生占多少？解：没学生的得分情况为隹机变量X,X.V(7O,IO2),期=70,=IO.分所咬结在6080的学生的比为P(70-l0<A,70+!0)=0.6827.所以成绩不及格的学生的比为$1-0.6827)三*O.I587,即成纬不及格的学生占15.87%.(2)成靖在8090的学生比为IP(70-2X10<X70+210)-P(7Q-10X570+10)=(0.9545-0.6827)=0.1359,即成绩在8090的学生占13.59%.五.课后作业ITl设随机变量XN(0,l).则X的密度函数为.RXMO)=.,(XD=.P(XSI)=.P(X>D=.(精确到0.0001.)【答案】1/(x)=-71.<20.530.682640.841350.1587【解析】【分析】根川正态分布曲线的对称性和bISi1!J,即可求解.详制!i1.'.'A'V11).l>.V,'./C)''一'iK)i-X+)=0.6826.根坏正态分布向我的用称性,可符P(X0)=0.5.,(X1)=,(-1X1)=0.6S26.P(XSl)=P(XVo)+P(0XD=0.5+"竺=0M3,P(X>1)=0.5-1-0.68262=0.1587T2.设l¾机变属X-N(O.22),随机变革Y-r(0.32),画出分布密度曲雄隼图，并指出尸(X-2)与P(XM2)的关系,以及P(Xl)P(y<1)之间的大小关系.【答案】图见阱折；P(X-2)+P(X2)=l;P(Xl)>P(yl)【解析】【分析I界据正态分布的运算的几何想义结合图形求解即可.【详解】Xf(0.2,)Xlf>,1XtP(X2)=P(X2)=-P(X2)P(X-2)+P(X2)=P(IXiSD=R-ISXSl)P(ri)=P(-yi)./越大.钟型越启平.P(xi)>P(ri)2.若随机变flUM<M),已知WT.购=0025,则P(Ifl<l.96)=()A.0.025B.0.050C.0.950D,0.975解析：选CX0,l),得“=0.I其图案关于)，轴时生，P(<.96)=I-2t*<-1.96)=I-2×0.025=0.950.3.(多选题)设随机变XN(OJ),/()-P(XSx).M>0.下列说法正确的是()A变量V的方差为1均值为0B.*(Xs.r)-l2(x)C.函数/")在(0.M，)上是单调地函数D.(x)I/(x)【答案】ACD【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及/(x)=P(Xsx)可判断B根据正态曲线的性质可判断C,根据正态曲线的对称性可判断D.【详解】l机变量l,“0.则A正确；P(IMt*)P(TsXs)l-2l-(x)-2(x)-l.WJB错误；地机变量;V-NI<M),结合正态曲线易掰函数/(x)在(0,2)上是单调增函数，则C正确.正态分布的曲线关于JI=O对称.f-)PXS-1)-PxiX)-(x).则。正撤故选：ACD.4,某市高二年级坍生的身而'(单位：cm近似服从IE态分布N(170,5?).随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1) 165<X175:(2) XI65:(3) X>175.【答案】(I)0.6827(2)0.15865(3X).15865.【分析】利用正态分布的计算公式结合对称性求解即可.【详Im由三可褥:身JftX作为变:符合均值为=170.6=5的正态分布(I)P(165<x175)=P(-x÷)=0.6827P(xl65)=0.5-P(-x+)=0.15865P(x>I75)=O.5-P(-x/+)=0.15865(3)
