5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数).docx

例1、437与323的最大公约数是多少？根本概念：I、公妁数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数：其中生大的一个，叫做这几个数的最大公妁数例如：12的约数有1.2.3.4.6,12：30的约数有1.2.3.5.6.10.15.30.12和30的公约数有I,2.3.6.其中6是12和30的最大公约数.一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的域大公约数，如(12.30)=6,假如(a,b)=1,那么a,b两个数是互质数.2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数.叫做这几个数的公倍数：其中最小的一个.叫做这几个数的最小公倍数.例如：12的倍数有12,24,36,18.60.72,-18的倍数有18.36.72.90,-12和18的公倍数有:36,72其中36是12和18的最小公倍数.一般地,我们用Hb表示自然数.a.b的最小公倍数.如12.18=36.3、最大公妁效与城小公倍数的求法I.最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法(1)分好质因数法(2)短除法(3)里行相除法解龙川界M相除法求山西数的最A：公约数."E用曲数之枳除以Jft大公约数.向秋岭依小公附数I24871*24276346829755座493408T叵r857!H<24871.3468)=17.C24871.34681=2487浮.4.63=5073684.注自然数0.A的最小公倍数记作S.6.练习693325421的最简分数是多少？分析与解求两个数的最大公狗数常用内料柑除法，先得大故除以小数，如果整除.那么小Ii就此它们的最大公约数；如果不能整除.就记F余数,用前面的除数（即小故）除以这个余数.以下美搜，每次那M前一个除大的除效除以自己的余数,直到有一个除法能整除.这时.最后能整除的除式的除数就是这两个数的Jft大公妁散.横式法，437+323=1（余114）323+114=2（余95）»Il4÷95=l（余19）.95÷19=5所以，（437.323）19.修式法：23232空95437323Ili所以.（437.323）-19.注自然数U力的Ja大公约数记作（，）例2、24871和3468的最小公倍数是多少?2、38支钢笔，41只计算器,平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果的笔多出2支，计灯器差1只.向；评出的优秀学生最学有几人？M加梁附墙少2支.计算霸名IS3就可均奖蛤这几个优养学生.（38幻匈“十】）的量大公约数是6.所以.优为学生11多忏6人.例4、IO个自然数之和等干KK）I求这十个自然数的最大公约数可能收的最大值是多少？M这10个自然数的最大公约皎应能整除这十个数的和1001,而）OOl=7×ll×13.要想这卜个粗的G大公约数取那最大则需使这上个数也尽量大1001的约数有：1001M3.91.77.13.11.7.1.很明,这10个数的最大公约数不可能取1001.W100l=M3X7十多是7个M3的和，不可能分成I个以143为公约数的和，所以股大公约数也不能是M3.由H）OI91XU,却可取9个91,1个182为这卜个自然数,那么它们的最大公约数为91.这符金题目条件的最大值.所以这10个自然数的最大公约数可怅取的最大但是91炼习1、66个自然数的和是6666,这66个数的最大公约数最大能是多少？2、3个数的和是III1.这3个数的最大公约数可能是多少？例5、甲、乙、丙三人定期向王老师求饯甲每H6天去一次，乙每隔X天去IM为（25421.693322311,所以舒一慧老/T故磊的出箭分数是；例3、把一块长90限米，宽42厘米的长方形帙板剪成边长都是整屉米，面积椰相等的小正方形帙板，恰无利余.至少能剪一块.（北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试SS）【分析】：依据题,剪得的小正形的边长必需是90和12的最大公约6。所以原长方形的长要分90÷6=15段，宽要分42÷6=7段,至少能剪17X7=105（块）解：（I）求90和42的最大公约数2I9042¾1.iS21-157（90,42）=60（2）求至少剪多少块正方形帙板90÷6=1515÷6=715X7=105（块）答：至少可以剪105块IE方形铁板"说明：用短除法求小数的最大公约数比拟简单.徐习用96朵红花和72朵白花整成花束，假如每束花里红花的朵数一样，白花的朵数也一样,每束花里最少有几朵花？解每束花的红花朵数相同,白花朵数也相同,所以，做成的束数见96与72的公约数又辩束花里花要最少,即束散Jft大.所以束数是96与72的最大公约数24.此时，每束花里有红花96+24=4（朵）,每束花里有白花72÷24=3（朵），从而每束花最少有花什37（朵）.*要搭配合适,就是要在每小时内使各遇匚序加r出的事件数相同为此.i三求出48.32和28的最小公倍数.48,32,28=672.故第道匚序安排672+4874（人）i编二道工序安排672+32=21（人）,第三道工序安排672+28=24（人）.这样可以使每道工序不产生职压或停I：待料.例8、有一堆苹果共五千多个.按IO个装一袋,装到最终少一个：9个装一带，最终还少I个；按8个，7个，2个装一袋，总是少I个。这堆单果究竟有多少个？解根据也愈.这堆草果数应是10.9.8.7.,32的公佬效城1.所以，只要求出10.9.8,.3.2（£5000至6000值的内的公信效即可.10.9.8.-.3.2-2520.2520X2=5040.5040-1-5039.所以.所求学果数为5039个.例9、能同时被2.3.4.5.6.7.8.9.IO这九个数整除的最大六位数是多少？解依据题意,可知所求最大的六位敢虺2.3.4.5.6.7.8.9.10的公倍数.而这几个数的最小公倍数是I2.3.4.5.6.7.8,9.10三5.7.8.9-252O.因为999999÷252O=396（余2079）,由此可知符合68点的总大六位数是I2520X396=997920（或999999-2079-997920）.一次，N4*i9天去一次.假如6月17日他们三人髭在王老师家见面，那么下一次三人在王老如家见面的时间是几月几日？M田.乙、内三人去王电舞室的相隔时间不同从6月17H他们。人在E会锋家见面列再次见面的阿隔时间应是他们各自到EeM家求我的间隔时间的公倍效的6.8.9的公倍t乂因为要，R从6，!17H到下一次见面的时间所以应求68.9的最小公会敷C6.8.9）=72.也就是说.他的从6>117Il处阖后.痔过72天又次圮面叩8J|28II再次见面.例6、付甲、乙两个有甲连乙的个相,甲轮有437齿,乙轮有323齿,甲的某齿与乙的某一尚从第一次接触到K次次接触，须要各转几周？*本明实除上要先求出437与323的般小公倍数.要用它的的M小公倍数除以它的各自的齿数,即为需蔓转的周收.437.323-7429.甲轮转,7429÷437=I7（冏）.乙轮转"429+323=23（周）.|例7、加工一种零件有三道工序第一道工序每个工人年小时可完成48个.K次道工序何个工人每小时可完成32个.第三道工序每个工人科小时可完成28个.在悠道工序至少支配多少工人,才能搭也相宜,使每道工序不产生枳压或停工将料.福由题意可知这个最小五位数是3.5,7和13的公信效加1的故.而它办的最小公倍鼓造1365.又因为100a）+1365=7（余445）.由商和余数可知符合的日条件的*k小五Kttt是1365的8倍数,或是100OO与（1365-445）的和数.所以这个最小五位数是10921.5、求被4除余I,被5除余2,被6除余3的最小自然数.解因为余数都比除数少3,所以这个以加上3能祓4,56赘除.乂4,5.6Ja60.所以符合题目条件的般小自然效应是;的一3-57.6、小明的储苻那里存有2分和S分的悚币，他把这些硬币倒出来，估计有五六元钱.小明把这些硬币分成线数相等的两堆,第堆2分和5分的硬币个数相等：其次堆2分和5分的钱数相等.你知道小明存了多少钱吗?M小明将线数分成两堆，因第一堆2分和5分健巾的个散相等.则钱数一定是2+5u7（分）的倍数,因第二堆2分和5分的坡数相等,而5个2分和2个5分钱数相同，所以第二堆钱数-定是2X5+5X2=20（分）的倍数.乂因为两堆钱数相等，则每堆线数应为7和20的公倍数.7和20的M小公倍数是"0,又知小明的钱数估计为五、六元.140X4=560（分）=5.6（元）.符合曲意.7.一次会转.每两人合用一只饭碗.三人合用一只菜碗.四人合用一只汤碗.会长共用了65只碗，问：与会崔的人数是多少？例10、三个连续的自然数的加小公倍数是168,那么这三个自然点的和善于.（1998年小学数学臾林匹克Bi赛B卷第4题）解：168=23×3×7,因此这三个连续自然数是6,7.8,和为6+7+8=21.蛛习，1、用长5厘米、窕3厘米的长方形铁片，搜成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片？M根据正方形四条边长相等的特征当IE方形的边长分别能被长方形的长与宽整除.且摆清无瞅块数Ift少时那么正方形的边长是长方形的长与宽的籁小公倍数".3=15.所以IE方形的边长是15厘米.15X15+（3X5）-15（块）.因此,至少要用这种长方形铁皮15块.2,有一些釉果平均分成假设干包，好包10粒余9粒，包12粒余H粒，摊包15粒余14粒,这些融果最少有多少粒？斛限霭题意知.若精果总粒敢增加一粒后州三种包装方法邱恰好分完.又喂据傅提他数应为最少跤的条件可知糖果总他以应力比10、12留15的最小公倍敢少1的敦,口0,12.】5-60.所以.精果,依粒敢最少是160-1=59（粒）.3、有一种自然数,它加I是2的倍数,加2是3的倍数.加3是4的倍数.加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数.那么这种自然数中除I以外，最小数是多少？*由曲意可知这种自然数分别除以2.3,4.5.6.7都余1.则这种自然数减少后,也分别是2,3,4,5.6,7的倍数.再由这种自然数除1以外的Jft小值的条件，可知它是2.3.4,5.6,7的最小公倍数加1的数这祥,这个最小数是421.4、同时能破3,5.7和13除余I的最小五位数是多少？解因为4X168=24X乙数,所以,乙数=4X168÷24=28.例12、甲、乙两数的城大公约数是6,最小公倍数是36,求甲、乙两数W设甲数为，乙数为门且Z>W依期息行-6.y=6.其中U与6花质.那么rfty的最小公倍也是：6XX6.就是说6××=-36.d×三5三6×=3×2.即U养=6.hl时.则j=6X6=36.y=6Xl=6.Z若u-36=2时，则x=6×3-18.y-6×2=12.故甲、乙曲数分别为36.6或18.12.练习I、两个数的酸大公约数为12,最小公倍数为180.且大数不是小数的倍数.求这两个数.解设这两个数分别为H和y,且才>»依88意有r=2a,y12A,其中u叼6互质.那么r和>的G小公倍数是2×a×b,就是12XaXb=I80.即X6=15=15Xl=5X3.若u-lS6ri.j=2i5.y-12X1.大数是小数的倍数不符合题窟，舍去.若=5.6=3.则工=12X5=60.y=三12X3-36,即为所求.所以,这两个数是60和36.j2、甲、乙两数的比为5；3,并且它们的鼓大公约数与最小公倍数的和是Io40.求甲数和乙数。解先考虑使用饭碗.菜网.通碗人兹的*»小公倍数/2.3,41=12.这样彬两人合用只饭阚.三人合用一只菜豌,内人合用只海豌就可以说成好12人共用6只饭碗、4只菜碗、3只汤碗,即12人共川维数可求,并Ji用这我去除鱼腕敢再乘12就是会普人数.I2÷26.12÷3-4.12÷4=3.12人共用碗为：6+43=13（只）所以,叁加会鬟的人数为：65+13X!2=60（人）.8、在一条长96米的路两恻，方案旬l4米栽榇树.而好"记号”后发觉距离过近，改为每隔6米段-探树.还要更新做多少个“记号”？M先讨他在路的一僧侬“记号"的情农.脩漏4於做一个；记号关做9÷4+l三25个尸记愣t.立为每展6米做一个一记就要做96+6+1=17（个尸记号”.4。6的找小公信也是12.96"?12+1=9.因此有9个“记号”不必收新耳.4折画的.记号节177=8（忖破百“富霜8X2=16仆比号9、把一批苹果分给幼儿园大小两个班,平均每人可分得6个.假如只分给大班，集人可分得IO个，假如只分给小班，祗人可分得几个聿果？解由一酬人分网收X人数一尊票总以不变广的关系式相，6x人攻（两班人敢和）-革果配tto人数（大班的人>-这说明草果他故是6与10的公倍U.MlR小公倍数是30.设苹粤总IS为30个Q为口然效）.则大小超班人数和为30+6=5<人）大班人敢为，30÷10=S<人3故小班人敢为，&»-&»=如（八）.所设.如果只分妗小班.每人可分M,30÷（2u>-15（>b>.例11、甲数是2%甲、乙两数的最小公倍数是168,G大公约数是%求乙数停解了先求出甲、乙,丙各嵬所需的时间：甲：！+3二以小时）；J1.Jn乙：J4=z（小时”,IIb丙4+5-1（小时）.O，u把奈吉，款通分,再求分的烛小公俗由焉篇，翡,个分数分干的最小公倍数是3360：.人第次同时回到出发点的时间t鬻=6（小时）.OvU53,27和42三个数被同一个数除,所得商的和为9.余数和为14.求各自的商及余数。除数=（52+27+42-14）+9=1253=12x4+527=12x2+342=12x3+6.73,27,42被这个数除的角分别为4,2.3;余数分别为5.3.6.因为5与3互质所以.甲皎=最大公约数X5,乙Jft=最大公约故X3它们的Jrt小公信数-最大公妁散X5X3最大公妁数为1O4O+C5+D-65.甲数为65X5=325,乙数为65X3=195.例13、求2,”的最大公妁数.283556分析求几个最3!分散的锻大公为效的方法是:取各最三!分找分子的被大公的敢做月分子.耻芬最SJ分散分用的最小公信致做分母.所得的IS分数就£这几个最同分骰的最大公约数.(9.12.15)-3.C28.35.56)-280.(.y.l)三.例14、求乂，,与的最小公倍数.283556分析求几个It蔺分数的锻小公僭败的方法是I取各分数分子的14小公倍散做分子.取各分数分母的锻大公约数也分母,所对到的新分数就是这J1.个做置分数的最小公信数MC912.151-180.(28.35.56)-7.*.Il.枭一竿二,5u,例15、三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈跑道上沿同样的方向跑步.开场时三人都在旗杆的正氽方向.里圈、中圈、外Ia胞道分别长,公里.1公里,。公里.甲、乙丙三人的速度548姆小时分别为3；公里，4公里，5公里。三人同时动身后，几小时第一次同时回到动身点？1、工人加工学件,第一批毛坯1788个，其次批毛坯1680个，第三批毛坯2098个。现平均分给工人，分别剩下7个、3个、5个，问；加工的工人最多有多少？«艘工人据多人联的-7=】78】,幽7=1677.2098-5"2093:个数的臬人公约数.|乂由T1677.1781.2093.iA三个数较大乂都比较接近,用分的女因数的方法求破大公约故太麻烦.可以根据整除的性质“三个!故的最大公约数,也是它们将两个数之差的J大公约数”来求它们的收大公约It因为1781-1677=104,20931781=312.所以.只要求104和312的设大公约数就可以r,即(104.312)-2,×13.乂由F1677.1781.2093均是奇数,由奇偶性知.(1677.1781,2093)=13.所以加工的工人最多有13人.2、排练团体操时，要求队伍变成IO行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，呆少须要多少人参与团体操的排练？解由于队形要成为长方形因此人数必玳是行教的信基,求最少的人坡就是求各行数的最小公信数,因此所需最少人笠是:口0,15-8.24卜360(人).I、动物园的饲养员给二群猴子分花牛，黄如只分给第一群，那么母只獴子可得12粒：假如只分给其次群.相么祗只眠子可得15粒：线如只分给第三群，那么每只猴子可得2Q粒.那么把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可得多少粒？W由.捋只颊子分裨花生数X我子只数=花生总粒数（不变）”的关系式得12X第一群集干只兹=花生晶粒数，15X第二群依尸只数=花生总粒数；20X第三群账子只数一花生总粒数这说明花生总数是12.15.20的公倍数Jt最小公倍数是60设花生总粒以为60（为自然数）则第胖候F只数为，6M+I2n5（只h第二群就产只数为60d÷15=U（只"第.群媒F只数为6O+2O-3（只）因此,花生总粒蚁问时分给二群眠干,平均仔只联子可将,60÷（5。+4。+3。）=5（粒）.2、两个数的积是5766.它们的最大公约数是31,这两个数是几？62.93或31,186解:5766=2x3x312.於此二数可以是1x31与6x31,也可是2x31与3x31.3、四个连续自然数的最小公倍数是5460.这四个数和是（）.（北京市第十一“迎春杯数学竞实刊试区）答：54600-22×3×5×7×1312+13+14*15=54解54.72=216（厘米）.从起点到第个睁印9.合时止大亮的脚印（216÷54«）4（个），爸爸的脚印有（216+72=）3（个）.因为他的行.个脚印是靠的,所以在216M米长的这段路程内共有脚印（4+3-1=）6个.又因为.60÷6="IO,216X10=2160（1米）=21.6（米）.所以花IB的周长为2）.6米.6、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过假设千年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍."你知道爷爷和小明现在的年龄吗？爷爷70岁,小明IO岁梃示：苓爷和小明的年近是6,5.4.3.2的公信也乂，由到年龄的米标情况,取公倍数中最小的，216.1999。2174。2,8出21995。22°1.7、七个不同的三位数的最大公约数中.最大的是几？M2斜：设这个最大的公约败为人则这七个不同的三位数至少为<f,2rf.3d.7d.于是1007J<1000.Ed<142.即这个最大的公约数不超过142,而142,284,426.56«,710,852.9<M这7个三位数的徽大公约数为|42,故得解答.8、在一根长棍上,有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成IO等份；其次种木机分成12等份：第三种符木棍分成15殍份.假如沿每条刻度线符木棍锯妍.木机总和技据成多少段？3、两个数的最大公约数是20.最小公倍数是560.符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？解谀这两个裁分别为7和y依也更有r=20<y=20,其中与6互质,IIq为rj=20XX6560,所以XQ56O÷2O=28=lx28-4X7.（2×lt.2M不互质,拿去）提中=4,6=7时,两数的庭最小.所以,这两个数分别为"-20X4=80,y=20X7=M0.3524、苹果每个理三克，果毋个小士克，橘子集个画二F克，假如帮果、282421梨、橘子的总Hilft都相等.苹果'梨、橘子最少各有多少个？解根据题意.先求去另片的疑小公倍也因为3.521一30.28242111.所以!卷击,哥一卒-30.故取果的个数为:30+2=280（个）；4o整的个数为,30+铝144（个h'枯子的个数为：304=315（个）.5、大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花闹的周长，他俩的起点和走的方向完全一样.大亮斑步场54扉米，爸爸等步长72厘米，由于两人脚卬有重合的，所以各走完一圈后雪地上只用卜,60个脚印，求花刷的周长。然先求出10.12.15的最小公倍数为60.使古为个长度单位.木板被分为60个单位木桩的10等份姆份氏6个单位；12等份.悔份长5个单位“5号份用份长4个单位iC4.5=2O,t.6=12.5.6=3O,4,5.6=6O.6O÷2O-3.6O÷12-5.60÷30=2,60÷60-l.再揖除重复情况,即可求出木棍总共被锯成的段数：10+12+1535-2+1-28（段）.9、老师在黑板上写下三个数：108,396.A.让同学们求它的的最小公倍数.小马虎误招108当作1X0进展计飘.结果竟然与正确答案样.A最小等于几？BS9解：”08,396=2,×3,×11.1180.3961=2,×3,×SXI1.因为1108.396,Al=U80.396.A,所以A至少含有因数3,W5.印A最小是3'5=135°