大一微积分复习资料教学教材.docx

大学的考试比较简单,主要以书本为主,下面的复习指导可作提引作用.10-11学年第一学期“微积分”期末复习指导<2).y=arctanu,u>,=x2+1.XD=；/(y)-：第一章函数本章点复合照数及分解.初等函数的概念.二.复习要求1、能熟练地求函裁定义域；会求函数的值域。2.理解函数的的单性质.知道它们的几何特点.3、牢记常函数、珏函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角由数等六类范本初等函数的表达式,知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中(1) .时于对数函数.V=InX不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数ye互为反函数的关系，能熟练将墓指函数作如下代数运算：rZ=e"n"(2) .对于常用的四个反三角函数,不仅要熟习它们的定义域、值域及简垠性质,还要熟记它外在特殊点的函数做.4、掌握笈合函数，初等函数的概念，能熟练地分解空介函数为简单函数的组合.5,知道分段函数，除函数的概念.三.例1.试分析下列函数为哪几个简中.函数基本初等函或基本初等函数的线性函数)更合而成的？(1) .J=产(2) .yarctan()1+x分析：分解个复合函数的坝合过程应由外层向电层进行，期一步的中间变敬都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)解：._y.e”,r/0v(参见教材P79)4.掌握两个重要极限：,V*injv例2.Iy=WCCOtX的定义域、值域各是什么？an*cotI=?答：y=(irccotX是y=cotx,xe(0,JC)的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知S=WCCOtX的定义域是D,-<-co,XO),值域为Z(0,X).arccot1三三一4四.练习题及叁考答案1. /(x)三arctanX则凡D定义域为_一值域为>=:/(O)-：2. /(x)NarcSinX则AD定义域为，值域为3. 分斛下列函数为简单函数的复合:(1) .y=(2) .J=ln(x5-l)答案：!.(-8400).(-y,y),O3<1>.yeu,u=-3x<2>.j=ln,u三x3-1.自我复习X习题<A)55.(Dx、(3)：习题一.(B).11.第二章极限与连续一.本章点极限的计修：函数的连续及间断的判定：初等函数的连续性。二.复习要求1 .r解变量极限的概念.掌握函数在即点有极限的充要条件是：函数在>点的左右被限都存在旦相等。2 .理解无穷小埴与无穷大城的概念和关系，常握无穷小IK的运尊性质,特别是无穷小量乘以有界变成仍为无穷小.例如：Iimxsin=O,IimSill"-014,X,X3会比较无穷小的阶.在求无力小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运徵简化，常用的等价无穷小代换有：当(x)>时.有:Sincr(X)-(x):tan(x)-()e*x,-l-(x):lnd+(x)-()；1-cosflrtx)-2,.sinx(1).Iim1IX1-(Il)lim(l+-)三t,=lim(l+x)*记住它们的形式、特点、自变破的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用我要极限(Il)的如下扩展形式求1如未定式极限：ii1Iim(I+)*=e'=lin(l+Ax)”X*olim(l)j=el=Iim(IAx)"*X<5 .#握函数连续的概念,知道结论：初等图数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点.函数凡O在分段点即处连续的充要条是：函数在XQ点极限存在且等干/(X.),即；Iim/(x)=(xn)",11出故f!.3X0,JV网订CiJ式不Illi.'!时，函数/K)在分段点处处连续的充要条件则是：Iim/(xl-Iim/(x)-(xl,).<-<*-瑞6 .掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数/(X)在/点间断，必至少有卜列三种情况之一发生：、/(X)在X.点无定义：、Hm/(X)不存在：.r-÷xo、存在lim(x),Iimf(x)f(x0).j(Tx.JiT*.若Xll为/(X)的间断点，当Iim/（八）及,Iim/(X)都存在时.称/为/(x)的第一类间阍¾点，特别Iim/(x)=Ibn/(x)时(lipIim/(x)X>,Xf%1。存在时),林X,为/(X)的可去间断点：Iiin/（八）Iim/(x)时称*为/(x)的跳ATJ¼跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7 .了耨连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必布最大他与最小伯。8 .能铭熟练地利用极限的四则运算性质：无穷小埴、无穷大量的关系与性质：等价无穷小代换：教材P69公式(2.6)：两个由要极限：初等函数的连续性及洛必达法则(第四点)求函数的极限，三.例题选解Iimf(x)=Iim四竺=-1Iimfx.O(Xj-*O,即D也不对，菊下的B就是正确答案。,由于2x2.Jl+21一1代%.X2Iim；=jt0sin*.vf°x*°x：.应选择D.例3.求极限：Xf1-COSXIim()rrX-5例1.单项选择题下列极限中正确的是(当XTO时，41+2/-1是,访。的()A,低阶无穷小；B,高阶无穷小：C同阶无穷小，但不是等价无穷小：D.等价无穷小：分析与解：<1>.A与C显然都不对，射于D.记I(X)=tanX,则/(刈=IanXXIUn工TA*<0解：此极限为9型0当Xfo时，有ln(l-X2)-(x:),1cosx.l.In(I-X-)-X1.Iim=Iim-J-=21-COSx*0XT<2>此极限为c型，可用球要极限(11).X-23Iim(Y=lim(l+-)rx-5,xX-53上二，=Iiin(1+)37x-5判断其类型.r门、l.IanxIim/(.r)=IimX-KTXwX例2.判断南¾y=I-7的间断点，并xj-9(x-3Kx+3)由于y=：三x'-X-6(X-3)(x+2)(cos(3x)-Ijtan-.Iim-i?r(e2,-i)lnd+5x2).x=3,x=-2是函数F无定义的点，因而是2.单项选择虺函数y的间断点.设"筌洽下面说法正确的是Iim(I)(X+3)=Ihn.)7(x-3)(x+2)7x+25.x=-2为%数,的第：类(无穷型)间断,1cos-/()-kX=OX=3为函数y的可去间断点;1.(x-3)(x+3),.x+3Iim=Iim-i(x-3)(x+2)x+2例3.函数A.点X=-3,X=2都是可去间斯点：B.点X-2是跳班间断点.点X-3是无穷间阍点：C.点X=2是可去间断点，点X=3是无穷间断点；D.点X=2是可去间断点,点X-3是跳灰间阍点：.下面正确的是.AJimTJ=1；B.Iimxsin'-0sD.Iim-HItanxIml在点X=O处连续，求常数k分析与解：由于分段函数/(x)在分段点X=O的左右两边表达式相同，因此/(X)在X=O连续的充要条件是Iim/(x)h(0)=A.jrOXX2I-COS一代俟Iim/(x)=limz=Iim-*-0Kf。i*f。X，四.练习题及弁考答案I.填空.当x0时.(e'-l)sin2x与(l+x-l)ln(l+2x)相比,是无穷小：(2) .lim(r三-2x+3答案:l.同阶而不等价的5(2),e-2s(3).-,2.(1).C;(2).B.自我更习.习题二（八）II.(4).24.(1),(4),).27.(1).(4).28.(1),(2).30.37.(1),O).习题二(B)14.第三章导数与微分一.本章重点.导数的概念.导数及微分的计算.二.复习要求1 .掌握函数/(X)在X处可导的定义,并能熟练应用导致的定义式求分段函数在分段点的导致.分数是一个逐点概念，/(X)在X.处的分数的定义式常用的有如下三种形式：/(xt,÷Ar)-/(X,1)=Iim)一仆)Hh三Iim八.xx-x02 .知道空数的几何意义，会求/(x)花X0处的切线方程。3 .熟记基本求导公式及求导的运算法则,熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的手数：运用堪木求导公式及求导的四则运算法则求导：女合因数求导法：隐函数求导法：取对教求导法.4 .埋解高阶导致的概念，能熟练求函数的二阶导致。5 .理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分“6 .掌握函数可微,可导及连续的关系.三.例题例I.求下列函数的导数：.>=(l÷x1).求)，'，/.)，=3反.求".(3>.设j=ehm求丁W.S=In(I+/).求)，解:、木遨为抽象函数求导，由复合函数求呼法,得：/-(i+2Ml+2)r=,(1+x2)2x=2x,(l+x2).=2,(1+x2)+2*(1+x2)2x-2,(1+xi)+4x7*(1+x2)本题为都指函数求导，必须川取对敬求引法，原方程两边取对数：Iny="Jixlnx上式两边对X求导,视F为中间变量:=lnx+->i7-y23xX注：本即除此方法外，也可以:v=e'nt:.v,=h,(-=3ln-v+3x-)23-X.Vy=¢,.(tanx)*三eu"jfsec2x.：,dy=ejsec2xdx,6x(1+x)-3x23x23x(2-xj)"(i+xiyi-"a+x'/例2,设/(.v)在X=I处可导.F1./'(I)=2.求Hm出2竺2*'x-1分析:将/()在X=1处的导数的定义式理解为结构式：尸=Iiin您坦二世0O其中口为Ar=X-I或AC的函数.旦当AtO时,DTO即可.解：/(4-3x)-(l)IimHX-I=Iim川3(XT)A/卬(-3)I-3(x-l)=-3,(l)=-6例3.求曲线x'+V-3axy=/在点(O,a)处的切规方程。解：显然，点(0,4)在曲线上.现求切战的斜率，即y'(0,a)曲规方.程两边对X求V：3x2+3>2y,-3ay-3axy,=O解得八牛二y-or/(0,)=l切践方程为：y-a=x即j-=e-一例4、设/(X)=I-x00X=O试讨论/(X)在X=。处的连续性及可导性.分析与解：由己知，/(0)=0；(1)讨论/(X)在X=O处的连续性.e'l1Iimf(x)=Iim.Ov<*X代绕-X2=Iim=(>三'(O).TfCx./(x)在X=O处连续。<2)讨论/(x)在XHo处的可导性.分段的效在分怪方的导致必须用定义八O)Gim/di'X-O即存在*(0)-l.四.练习题及弁考答案1 .总项选择时Ina-/).设门、/<)三-1下面说法正确的是(Aj(X)在X=O不连续:B. J(X)在X=O连续，但.不可导；C. /(X)在X()可导，Il/*()-1；D. /(x)在X=OUr导，且/'(0)=0.2 .填空题/(X)在X=X.处可导，且/'(/)=-1,则<1)Hh3 .求的数的导致或微分：£)=X”,求PX=n(l-x)(x<l).求咒r.yInyjx1-i.求力.4 .设=x+cos(外)确定J是X的函数，求孚，并求出函数在点(0,1)的切践方程.dx5、证明：(l)K(.v)是偶函数旦可通那么f,(x)是布函数.<2)若是符函数且可导.那么尸(用是偶函数，答案：I.D.2.-2,1-23.<1).三xr(I-Inx)(2) .y三-*ln(l-x)：(X-I)7ln(l-x)(X-I)7,ln(l-x)0OO极限,必须将其转化为“U”型或“一”型未定0式才能使用法则。洛必达法则Ur以连续使用，当再次使用法则时.一定要检脸法则的条，.-I条件不满足时必须停止使111,A用其他求极限的方法计算.(3),在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用,可使运算更简便.3 .掌握用一阶导致判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。4 .常褥函数帙值的概念及求函数极值方法.5 .掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的收大、G小值;会求经济应用问题的最位,如求，”人总收入,最大总利润等.6 .掌握函数的凹向,拐点的概会及求曲线凹向.拐点的方法.(3) .<y=dx.x一11dyl-,ySin(Jj)dx3j+xsin(xy)切线方程：3y-x3.自我复习:习遨三（八）13:21,(6),(9)；24.，:25：26.(1),(7);27.(5)；29.(2),(6>,<7>s47.(1).(2),54.习跑三(B)1：3：11.第四章中值定理与导数的应用一.本章重点求未定式极限的洛必达法则：应用导致判定函数的单调性，求函数的极伯和最值：应用导致确定曲戏的凹向与拐点：时珞济向题作边际分折；二.复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的4.掌握拉格朗H定理推论的意义,三.例题选好例1.求下列极限e,+sinx-2x-l(I),IimTXInU+x)(2).Iimx2dnjf(3).In(l+x)解:ex+sinx-2x-iIimXIn(I+x),ex+cosx-2=IimfIx2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.注意：(1)洛必达法则只能直接用于求型或8“一”型未定式的极限.对干其他类型的未定式当加”二手(不是未定式)Tl2(2)原式为为指型不定式(0型),利用代数变5-V1,I11U3换：=e.得：Iiinx2dnjr=Iinie2"ln,nx-J*-O*Ilm2inxlnx=e'*(1+X2)-2xX_I-X2y-(l+x2)2(l÷x2)2'“(-2x).(I+x,)j-2(1+xj)2x.(1-xj)八(l+x2)42x(/-3)"(l+x2),其中Iim2sinxlnx(0oo)<=Iim2a-InX(代换)o21nx(一)lim(-2x)=0.X<*.原式=e"=l(3)Iim(co-co55)rXln(l+x)1.In(l+x)-x=Iim*xln(l÷x)(通分化为型).In(l+x)-x=Imi(代换)IX-X-1.-I=Iim1.匕(洛必达<Ix2x(1+x)2令),，=(I-K)(I+*)=0,得驻点X=-1,(l+)-x三l:无不可导点，两驻点分定义域为三个子区间,列次讨论如下：Xy,T)-1(-1.1)(l,+>/O+-0z三jy、极小/极大、令.*,2x(X-VJ)(X+6)=0(l+x2)3得X=0,x=±3.无J“不存在的点.曲线的凹向或拐点列表讨论如下:X-O.-Va>(-710)0<0,3)3(3.4>)y,-0+0-0+，In邈届J由上面的讨论看出:函数r的旗减区间为(Y>,-l)U(l,+8):1+x单地区间为-1.U.极小(ft是N-I)=-Q.例2.求函数y=UF的单调区间和极值,凹凸区间和拐点.解：函数.FH7上K的定义域为(Y°.+8)1+x*极大值是Nl)=曲战)，=7的凸区间是(YO1.J)50,J)1+x四区间是(一JI)u(5o),曲戏y=的拐点有三个：(一Jj,一1+.V(0,0)，例3.证明不等式(l+x)ln(l+x)<x2+x(x>0)分析与证；证明不等式的Zf法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明.即令/(x)=(l+x)ln(l+x)-x2-x2则问融转化为证/(x)Vo=/(O)(x>0)印证在X>O时f(x)单破.：x)三ln(l+x)+-X1三ln(l+x)-x*(x)=-J-1=-<(>1+X1+X.x>0时,/'(X)通减，有,(x)<,(0)=0，/(*)也单战，/(X)</(0)-0.证毕.例4.证明：对任意xl,有arctanVx2-I+arcsin=-x2分析：本Sfi为恒等式的证明.我们设F(x)=arctanJx'_I+arcsinX由拉格明日定埋的推论，若能证明F*(x)=0则=P(X)c.冉确定C=:即可.证：当XNl时,Fr(x)三1+(1_2x/l+2-12x-l，F()uc*.*F(I)=arctan+arcsinl=2.,.C=.证毕！2例5求出函数>三x5-Sx4+5/+1在区间-2,1上的最大、最小值.解：显然函数J=-5x'+51+1在闭区间-2,1上连续,因而必存在最大、最小值.三5xi-2ttxi+15x2三5x2(x-1Mx-3)III/=0耨得区间(-1,2)内的可疑点为：l三0,x：=l,比较以下函数值，/(-I)=-1()./(0)=IJ(I)=2J=-7得Znn(I)-2,J-=-o.例6.某食品加工厂生产X单位的总成本为C(X)=200+4x+0.03/，得到的总收益是R(X)=8x-0.02x求出生产该商晶X单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大.解：(D.利润函数(x)三(x)-C(x)三-0.01x2+4x-2004.单墙区间(一.-l)U(3,+fl);边际利润函数/x)=T).02x+4.当X=300时，1.'(300)=-0.02X300+4=2<3>.令Z(x)>-0.02x+4-0解母；X=2001.*(2(M)=-0.02<0.，产房X=200电位时，可获最大利涧.注：设函数y=(x)可导，分函数/'(X)也称为边际函数。四.练习题与弁考答案I.求极限单项区间(-1,1)：极大值3(-1)=14.极小依3(3)=T8;上四区间(1+)；下凹(凸)区间(-«1)；拐点(1»-2).自我复习：习跑四（八）8.9.(5).(8),(9),(ID.02)：14.(1),(3),(5)：18.(1),(2)；19.(1)；20.(1),(3)；32.<2>,(4)；37；41.习时四(B)10：12.(I)linx2(l-cos-)*X<2>lim(-)*,XsinXIIim(tanX产*4*2 .证明.当*>1时.有:(x+l)lnx>2(x-1).3 证明：CoSX>l-gx'(x>0)4 .求)，=-3-9工+9单调区间和极值，凹凸区间和拐点。5 .证明当x>O时，有：arctan-Jx+arctan=C.并求出常数C.参考答案：l.(l).J；,0；(3).e.