2025优化设计一轮课时规范练74 求值与证明问题.docx
课时规范练74求值与证明问题1.(2022天津,19)椭圆'+的右焦点F、右顶点A和上顶点5满足氏=.求椭圆的离心率;0(2)直线I与椭圆有唯一公共点M与y轴相交于点N(N异于M).记O为原点,若IoMI=IoNI.且AMON的面枳为、应求椭圆的方程.2(2023北京,19)己知椭圆4+*=1(“>方乂)的离心率为争人,。分别是£的上、下顶点,乐D分别是E的左、右顶%,AC=4(I)求E的方程;(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MNCD3(2024山东;卷坊模拟)已知抛物线C:=2PAa>0)的焦点为FMIAi:34.)4./=4/六抛物线上一点N到其准线的距离等于其到圆心M的距离,且5”仙=华(I)求抛物线C和圆M的方程;(2)过抛物线上一点网冲四)作圆M的切线PA,PB分别交他物线于A,B两点,已知直线AB的斜率为一.求点P的坐标.4(2024江苏无锡模拟)已知八.8。为椭圆C<+4=l上三个不同的点,满足反=而砺,其中/+/=1.记AB的中点Af的轨迹为D.(I)求。的方程;若直线/交。于P.O两点.交r于s.r两点.求证:|PSI=|。71.5.(202”东惠州模拟)已知双曲线C:捺-步13>0力>0)的焦距为2巫,且双曲线C右支上一动点P(mn)到两条渐近线/5的距离之积为(I)求双曲线C的标准方程;(2)设直线/是曲线C在点P(MhW)处的切线,且/分别交两条渐近线八小于MN两点。为坐标原点.求AMON的面枳.6(2024山东薄泽模拟)设抛物线Cv2=2Px(P>0)的焦点为F点Mp.0),i±“的直线交C于MN两点.当直线A)垂直于X轴舟.附尸=3.(1)(H求抛物线C的方程;(方)若点M在笫一象限且吗=木求阳附yr,(2)动直线/与抛物线C交了不同的两点4及P是抛物线上异FAJi的一点,记PA,PB的斜率分别为力.七.,为非零的常数.从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.点P的+标为(产.2注h+吟直线,而经过点(-*).课时规范练74求值与证明问题1 .解(I)由题意,/;=,,可得“2=3尻所以离心率¢=-=/1-7=存z+ft22«i3(2)由题意,椭圆方程化为F+3y2=3尻设(mi)(""JMO),则nr+3n2=3b2.过椭IS上点SMT)的切线方程为“+3y=3尻所以iv(.).因为QM=IoNl.所以加+/=*因为SAMtW=V5.所以;XIttI×m=V3.”=3.22联立,解得M=1,所以福圆的标准方程为I+J=l.G6Zb2-2,2 .解依题意,得e=*则c=.又AC分别为桶圆上、下顶点JACl=4,所以%=4,即A=2,所以标标=4,即=g=4,则a?=%所以椭圆£的方程为5+9=1.(2)证明因为椭圆E的方程为9+?=I,所以(O,2),C(O,-2),(-3,O),D(3,O).因为P为第一象限内E上的动点,设卬小)(0,3。2),则9+¥=1,易得AW=号=W则直线BC的方程为)=1x-2,APo=岑=则直线P。的方程为-3-033m-3m-3y=-r-3).zm-3联立即My=-rx-2.三解得y=-(x-3).(¾3n2rn÷6)12I3n÷2m-6'3n÷2m-6._3(3n2m+6)3n+2m-6_12nJ3n+2m6':)而5=三=则直线PA的方程为V=x÷2.j11<jmm令尸2,则2=M+2.解得X=署即N(翳2).又4+4=1,则M=9-F8M=72-I8了,944.12t的DJ-3n÷2m6、人A"'-3,Zm*61.4”¾+2m4"*iv-6n2+4mn-8m÷24(-6n÷4m-12X112)19n-6m+18Xn-2)+411(3n+2m-6)-6n2+4mn-8m÷249n2f8m2*6ntn-12m-3691127218n2÷6mn-12m36_2k3M*Zmm4mH21_29n2+6mn12m+363(3n2+2mn4m+12)3"又以7'=智=即kvN=kg,显然WN与CD不重合.所以MN/CD.3 .解(I)由题意知INFl=INM|,易知点N的横坐标为牛=.故N仔,土苧).所以SGNFM=3X4)-X号所以*:,得P=:所以她物线C的方程为.T2=X,圆M的方程为82)2+y=1.设P(yl.>)(y.y).B(yl.y2).S.线A8的方程为y=+fc.±(y-4*"'得3y2+4y-4Z>=0,则y1+>,2=Vy2=X,设电浅PA的方程为(j'-y)(y-yo)O,>>)(-y?)=0.易知>i)y.整理得-(w+y)y+WiiVi=O.因为PA与圆相切,所以J+%”=1.整理得(MJ)W+2>y+3M=0.JIXM)+力产同理可得(M-IM+2.VO.V2+3M=0.所以y.yz为方程(M-I)y2+2wy+3-M=O的两根.则>+y2=-¾.Xo-1所以票=*即2y3)u-2=O.所以W=T或8=2,经检毅符合题意.所以喔,4)或4,2).4 .解设A(x,y),B(.v2,y),=1,=1.则CUn+必/以+/A)m(空,空).将人8代入/':?+?=1,得I:*将C代入+=1.得空Sl+曳包支=.4343又因为产以÷=1即乃(¥+)v2(+?)+2竽+竽)=1.所以竿+竽=().所以粤至+笔工=:©+)÷(+当+2(牛+竽)与所以O的方程为+(=;.432即。的方程为9+=ly(2)证明设57的中点为G,PQ的中点为G'.当/垂直X轴时,由对称性可得IPM=IQ71;当/不垂直.r轴时.设l.y=k.x+m.将直鼓/的方程代入厂:?+?=1,得(3+4A2*+8A三+4"H12=O.所以心+、尸黑X+)«+仃)+2,片煞J,所以XG=黑典=赢和g(彘,券),同理呜捺币).由此可知IPSl=|。琮上JPSl=IQ715 .解双曲线C的渐近线方程为v+wv=0和bx-ay=O.以gt>+也I.I"g-到_也加_标/八t+ftz+i>l2+t>2-a2+t>2'由题意可得孚=兆.即/=4四Sa'+D'又2r=25.Wj<j=2+Z>2=5.解得a=2.b=,则双曲线C的标准方程为9-)2=|.(2)当宜线/的斜率不存在时,易知此时代2,0),直线/5=2,不妨设M(2,1),N(2,-1),得StMoN=2.当直线/的於率存在时,设直线/的方程为y=kx+tn.kO,k±与双曲线的方程2-4r=4联立.可(4Ar-lXr+8三+4+4=0.由直浅与双曲块的右支相切,可将J=(8n)2-4(42-l)(4zr+4)=0.42=,r+l.设直线/与r轴交于点D则d(-P0)又双曲线的渐近线方程为),=上1联立y=产可得ykx+m,_2m:二空不妨令借)yl-2k同理可得n(康提).Sa*w=Samod+S3ooWI(MIlyM-»1=馈U1xwxn=尚M7+=图"卜I4mI2m2_IGI=2标上.AWON的面积为2.6 .解(/)由题意得C,0),因为直线M。垂宜于X轴Qs.0),所以点M的横坐标为p,代入Cj2=2m3>0)中炉=%2,则0M2=2p2.在RtAOMF中JOFl=Pa=?由旬股定理得IMFl=J0F'+IDMI2=J+2p2=3,得p=2.故弛物鼓。的方程为=4.(方)由(/)知尸(1,0),因为瞿=;,所以IMFAT1,直域MN的斜率存在且不为0.W4设直送.MN的方程为y=Mt-1)M0.与,r=4X联立得,H22-(2n2+4)+M=0.设M(x,.Vi)(r2,y2)1>0,y1X),r11.2rn2+4IW1JXl÷2=-m-,XX2=1.E为照=所以"=去即X2=4w+3,将其代入l2=l中得4H+3r-I=。,解得XIW,负INFI4Xj÷144值舍去,则X2=4x+3=4JMNl=XI+.0+=:+4+2=.若选作为条件证明,设直AB.x=ky+n,A(,以),8()b)联立n得-4妙-4=0,故yi+)w=4A.)x.ya=Y,故=京?同理故爪出云+嵩=i三即端K,解得i、所以八3:X=KV-尸,即直线AB经过点(/,0).16k+16t-4n*8fct*4tr若选作为条件证明,设直线AB-.x=ky-rA.力”件,yff).联立B=.:;2得/4下+4户=0,所以+>=4AYA)W=4尸岗=铲=同理妇=P所以为+ft2=7+套=41V人+VB>16。>,yB÷2C(yx+>l+4(16lf*16e16Jk+16f2-_-_一4+8*,+4"-Bt28kt一C若选作为条件证明,设宜线AB:K=心,尸川(?M),»仔,犯)、P(XQm).联立P-r4”2得V24Af+41=0,所以)乂+”=4人)辑=4户人】=与出=1同理*2=-÷=-V+-÷-=WmETvbzxoy+20v/2myp÷20<y+ya)+所以-;=之即(f-M(-M)=0,yAyu+zxoWA+ygH塌t4W/X8H16O要想上式对任意的k成立,则rx=O.即r=m故点P的坐标为(尸2).