2025优化设计一轮课时规范练60 线线角与线面角.docx

课时规范练60线线角与线面角一、基础巩固练1.QO24福电龙岩模拟）已知直三棱柱ABC-MBCx的所仃棱K都相等.M为C的中点，则直线AM与HCi所成角的正弦值为（）aTbTcTdV2 .已知四梭锥S-ABCD的底面ABa）是边长为2的正方形,5。I平面ABCD线段li,SC的中点分别为EE若异面直线EC与/所成角的余弦值为*则50=（）AwB.4C.2D.33（2024山东日照模拟）在中国古代数学著作九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池,它的高为2AU8即CGQn均与曲池的底面垂直,底面扃环对应的两个网的半径分别为1和2.对应的圆心角为90°.则图中异面直线Bi与C/，所成角的余弦值为.4 .（2024山东济宁模拟）如图.在四棱台BCDABCD中.底面ABCD为平行四边形,平面ABtC1平面ABCIlDDi=DA=B=B=2,ZBAD.（1）证明:。平面八8心若所A=BC求直线/9与平面A8C所成角的正弦值.5 .(2024吉林长春模拟)如图,等腰直角三角形AOB中,OA=OB=2,点C是OB的中点,AA08绕BO所在的直线逆时针旋转至K">=VB3求:(1担八08旋转所得旋转体的体枳V和表面积S：(2)直线4C与平面伙)所成角的正弦值.二、粽合提升练6 .(2022浙江.19)如图,已知ABCD和COE”都是直角梯形工B。C.OCEFAB=5.DC=3.EF=I.ZBAD=ZCDE=W三JfjR0C8的平面角为60".设MN分别为八£.8C的中点.(1)证明/N-1.AO;(2)求直线RM与平面八。£所成角的正弦值.7 .(2024江苏苏锡常板模拟)在：梭柱ABC-A向Cl中,平面A8BA1.平面A8C,侧面AiBiBA为菱形,NA88=%*81ACA8=AC=2E是人。的中点.(】)求证:A由J_平面ABiC;(2)点P在线段A1E上(异于点儿.£),直线人/,与平面所成角为也求詈的值.4cy8(2024浙江杭州模砌如图,在四极台ABCD-AiBiCiDl中.底面ABCD是菱形./如O=1梯形CQQCj1.底面ABCDCO=CG=OO=3.GOI=I.设。为OC的中点.(1)求证:人心|_1平面088|；梭Od上是否存在点A%使得直线AM与平面BDDlBI所成角的余弦值为，请说明理由.课时规范练60线线角与线面角IC解析取AC的中点Q连接。氏OM则BO±ACfOlAC.又该三棱柱为直三棱柱.则MOlOB.设直三校校ABCAB。的棱长为2,以O为原点.05.0CQW所在直线为X轴、y轴、Z轴速立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,-1,0),(0,0,2),B(3,0,O),C(0,1,2),所以祠=(0.1,2),西=(-3.1,2),则cos<AM,BC>=德=华.故sin<AM,BCj>=Jl-cos2<TM.BC>=坐.2.B解析如图所示,以。为原点QAQCQS所在直设为,r轴、>轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设SO=SO,则D(OOO)/(2.0.0)B2.2.0).C(0.2.0)5(0.0),E(2.1.O).(o,1,：所以正=(2.I,O),FF=(-2.-1.0.因为异而直线EC与8户所成角的余弦值为g,所以ICOs<就加>|=餐瞿=，将得r=4,即SD=4.T11×4+1+学3解析设上底面圆心为0；下底面圆心为。,连接OOQC,OBOBi以。为原点,分别以0C0&。'所在直线为X轴、,楚二轴,建立螃所示的空间直角坐标系，则C(100)/(0.2.02四,2).D(2.0.2),Jl'!西=(1.0.2).砥=(0.-l,2).Atr以ICoSV可,砥>|=舞篇=永故异面直鼓八所与Cd所成角的余弦值为g.4证明连接BD交4C于点0,连接03,8Q.在四棱台ABCdABQDi中,因为DD=DA=AB=AB=2,所以。/力/）1且。=小。|,所以四边形。小。川为平行四边形，所以OBiOd.又Od仁平面A8C03u平面A8C所以。Dl平面ABC解因为BtA=BiCX）为4C的中点,所以。办AC.又平面AAC1.平面ABCD平面A3C平面八38=AC,03u平面A3C所以08平面ABCD因为0朋。0.所以平面ABCD在ABD中/O=8=2.N8A。音由余弦定理港bij=D2+B2lABcosZAD=4+16-2×2×4×=12,故BD=23.则八32+Bp2=A5j所以AD1HD.如图,以点。为原点。4,0及Od箭右直线为X轴、），轴.Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2.0.0)B(0.12)C(2210),8(0.210)C(l12).蚓=(,12)N瓦=(2.5.2证=(42X).设平面A8C的法向量为n=(j,z).则I=-2x+5y+2z=0,取广6,则2工=0,所以n=(3,2,0).(n½C=-4x+23y=0.设直歧BCi与平面的角为4则sin。虫S酝e=繇=塔需货=嚼所以直线8。与平面/18IC所成角的正弦值为簧.5.解由题意知,旋转体的体枳为圆锥体积的最所以V=i××11×22×2=.由题得ABZ2+22=2&.则旋转体的表面积为S=×11×2×22+J×11×22+2×Z22=""4.23(2)过点。作O.CM,则以CMQKQB所在直线为X轴、)，轴、z更建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,0,l),B(0,0,2),D(-l,3,0),0(0,0,0),=(-2.0.),OB=(0.0.2).0D=(l.10).设平面BOD的法向量为n=(XJm.则pOB=2z=0,1丽=-X+3y=0.令)=1,则x=3,n=(3,l,0).设直线AC与平面5。0所成角为8.则sin夕=ICOs<m.n>=谷=等=乎,所以直线AC与平面80。所成角的正弦值为C>tV5×25is5,6 .证明在直角梯形八ZJCO中,Afi力C且/BAD=6()°,.：DC1.BC,又Oe=3./18=5,.：3C=21同理,在直角梯形CDEF4CF=2A：BC=CF,又CDJ_CF且CD_1.BC,.：/3C2为二面角尸-。08的二面角./8。F=60".8CF为等边三角形.又N为8C的中点,.：FN1.BC.又CTU平面BCF,CBu平面BCFSC8CCf=C,二DC1.平面BCF.又“Nu平面BCF,FNlDC.又OCU平面ABCD.BCcABCD且DCBC=C.:FA1.1.平面ABCD.又AoU平面八8CO,.7W1.AO.=iDC=解取A。中点P.连接NP.以Ar为原点,分别以丽5,而,评的方向为X轴、V轴、Z轴的正方向.拢立如图所示的空间直角坐标系.BC三23u4=5.:B(O.3.O)l(5,.O),F(O,O.3)JX3.-,O),C(O.-3.O).XlF20,0)=(-1,0,0),.田1.0.3),又M为EA中点两=(3.一,设n=(x,y,z)为平面AOE的一个法向量,且而=(2-23.0),荏=(4-5.3),Sn-2x-23y+0=0,n-4x-3y+3z=0,取y=3,RlJx=-3,=-3,.=(3.3.3).IS_S767'14",：cos<n而>=遒=一'ln,w向时隔1设直BM与平面ADE所成角为夕则sin0=cos<n.M>|=哈.：直线与平面AoE所成角的正弦位为当.7 .（1）证明因为四边形AiBBA为菱形.所以A8_1.A8.又因为A由d.八CA8C=Ad8SCU平面ABC.所以A仍1_平面BC.解取AB的中点。,连接Bo因为四边形八出BA为菱形工B=83,且/八8所=；,所以ZiA仍I是等边三角形,所以Blo工A区因为平面八山山八_1.平面A8C,平面488A平面八BC=A区BQU平面48由人所以跟0_1_平面ABC又ACU平面A3C,所以9O_1.AC.又43<1.AC.直线3。与48相交,8OU平面A8BAA8u平面AiBB4.所以AC_1.平面A山山八.取8C的中点。连接（）£>.因为AC/ODS'BiO1.OD.以O为原点,。注0。/力所在直线为X轴、），轴、Z轴,建立如图所示的空间宜角坐标系，B(1.0.0)(100)A(20.5).E(-1J.0),所以瓦4；'=(30.8).丽=(2l.0).钛;=(1,l.5).设平面AiBC的一个法向量为n=(xj.所以卜丝1-3x+5z-仇令*=,则z=3,v=2.n-BE=-2x+y=0,所以n=025).设前二)西=(U,乩归),o<I,则p(-",u,吊),故而=(u,j,5n.因为直线AP与平面AIBE所成.角为弓,则sir=cos<AP.n>=-=-=r'+2'2+,44MpmlMKG)Es解得幺三或2=(X舍),即詈=：.5EAiS8.证明取DiCi的中点Oi,连接OQ。出.则5.08Bl共面.又CCi=DD1.所以OIO_1.OC由底面ABCT）是菱形,/BAD=*所以ABC'/）为正三角形,所以（阳DC.又OBOO=O,OB,OOOBBi,所以Oe1.平面O88,因为48ina,da0C所以AI3。C,所以A心I_1.平面OBB.（2）解不存在.因为平面CQQU1.平面A8CD00u平面CQQC.aO_1.DC,平面。Qe平面ABCo=OC,所以0。_1_平面ABCD.则以O为原点QDOBQOi所在直线分别为X轴、y轴、Z轴迂立如图所示的空间直角坐标系,则A(3.券0).%。0),。畛0.2、HO,等.0).所以西=G,0,2),而=(-苧.0).设丽=疝5OWW1,则MelO,2低)前呜x.-22),设平面BDDIBI的法向量:n=(A-.>z),nDD,=-X+22z=0,_f=_c则1335I=6.v=a/2j:=-.R;n=(6,2ri-).nDB=+y=O.22所以喘常常亭回82×设直M与平面BDDB的夹角为仇=乎,整理得Z2+=O,J4-左(),所以方程乃+：+±=0无实数根,故棱/犯上不存在符合条件的点M.