再談《數理精蘊》之連比例三率法及內插項數.docx

再数理精薄之速比例三率法及内插项数上傅曾蜉名：三g三112XiaoXi3nGuan112何世SHoSaiKcung提要Y数理精蕴有题目涉及速比例三率，乃指首率：中率=中率：末率。但三率可增至四率、五率，如此刖形成一镂何皴数以矮何级敏方式知曳绡之独比例数敕悬f滋，亦较焉容易，但吾等可藉此以了解清初封矮何级数之研究程度。维同：速比例三率度翥数本文取材自清御裂数理精缠上篇卷五面部二勾股）。睾者已有文名悬“数理精盆）述比例三率定勾股弦法之襁充），本文乃其延绩。数理精缰有所需迪比例三率，乃指首率：中率=中率：末率。可嘉成分数即三=三移项得保式中率2=首率X末率。其Jff建KP毕人毕比例三率可在其接再加一率令彼三率亦成速比例三率，如此海箱增加其率钦、刖可形成一黑何级数常然数理精缠维此法。以下各题皆涉及速比例三率之性。第二十保凡同式I雨平方数，其冏必有相迎比例一数也。如有甲乙丙丁六，戊己庚辛二十四同式雨平方数，此雨数之冏必有壬十二篇相建比例之i数筠。“同式”指相似形。“平方数”指面稹之数此鹿指相似是方形面稽之敦I故耦之热“艮方形敷”较好），她非一数之平方。题意指阚相似艮方形面稹若悬整数，用J雨数之冏必有一相连比例之数而此数亦Zi整数-今以以下雨画明之。下ISI甲乙丙丁面植检6（即2X3），戊己庚辛面覆热24（即4,6）.雨关方形然相似，即J在6舆24冏必有一整数令此三数成相速比例。笔者稠此悬“逋比例三率之内插项”。本修之一平方Ir指面和t之数，甲乙丙丁之数篇2x3=6,戊己挺辛之数4×6=24雨是方形相似，即“同式”。因悬中率2=首率X末率中率2=6X24=144中率=12。以下悬其一般情况：首率悬是方方形a×b=ab末率悬相似之M方方形ka×kb=Pab，中率2=ab×Irab=Ircrlr中率=kab»数理精薄）日。蕊甲乙丙丁、戊己庚辛既悬同式平方数'刖其每漫皆可悬比例，如甲乙二舆甲丁三之比（2：3）同於戊己四典戊辛六之比（2：3）=（4：6），而甲乙二舆戊己四之比（2：4）亦同於甲丁三典戊辛六之比（3:6）也。今以甲丁三典甲乙二相因得六（3/2=6），甲丁三典戊己四相因得十二（3/4=12），刖六典卜二之比（6：12）同於甲乙二典戊己四之比（2：4）矣。又戊己四典甲丁三相因得十二（4x3=12），戊辛六典戊己四相因得二十四（6×4=24）期十二舆二十四之比（12：24）同於甲丁二舆戊辛六之比（3：6）矣“夫甲丁三典戊辛六之比（3:6）原同於甲乙二典戊己四之比（2：4）刖六舆卜二之比（6：12）亦必同於十二典二十四之比（12：24）矣。本题之a=2,b=3,k=2,即得：首率="/>=2x3,末率=(2X2)×(2×3)优以上可知中率=Mb=2*2*3=12。<数理精蕴)日：又若雨正方数之冏亦必有相速比例之一数也，如有甲四、丙九雨正方数此四舆九雨数之冏必有乙六2相建比例之一数篇。题意指有雨正方形数，即雨数之冏必有一相迎比例之数，而此数亦悬整虹今首率=4末率=9，中率2=首率×末率中率2=4X9=36中率=2×3=6'数理精藕日：盎雨正方数其式既同故必有相速比例一数,且丽正方数之比例同於其网遏所作理比例隔一位之比例见矮何原本七卷第五第)今甲方遏焉二，丙方遴悬三'求其典二'三相蕾建比例之第三数，即以二自乘蹲四，以三自乘得九，以二乘三得六，此四典六'六典九之三数即焉舆二、三相常之速比例数而其首数四典末数九既典甲'丙南方敷等剧中散六亦必焉甲、丙阚方数IW之速比例数矣。甲方逐篇2丙方遏急3，求其典2-、32相连比例之第三数其法葛先平方之，得4及9,雨数相乘得36,闻方得6,即4、6及9乃迪比例之三数，而6熟第三数，田旺旺469以上悬4、6及9速比例三数圈。以下卷其一般状况：首率=W2»末率=V2中率2=首率X末率中率2=“2×，所以中率=UV'即有一内插。速比例之三数热首率»2'中率UV及末率V2。本僚可视作公理。以下2数理精懑原文：,孜可以彼此度之训痴切帝心则戡:'=*至小软(明关'f十；！._也同两邛方软-R-削必有打t也到，“一技乙如有甲乙内J-六*，)彳-I十>',?向?.网T方M此两叔工M多有一A;.壬十二%扣比比例之一K氏-r乙R丁戊，-fJ同式耳3k1'l每母疗可为儿阿.S甲乙-最甲丁三,bblt一1V£,«&X*£,.J1Z同於戊乙J也E”->1-"P乙二Z.*、乙<,-<X亦同公了厂三网一;六£小.x丁三总甲乙二扪月六二门三或戊乙内加冷十一二则六缺十二之九何甲乙二”戊一乙口之上头人或乙目也叩J=川打得卜二我斗六应戊，；川田，I-J-二卜</百则-÷二版二十日qxm(P丁=.血戊辛六<,山乐大甲J'三典戊?六II-I»HtHnnuInIII第二十一凡同式丽平方数相乘，得数卷正方数也,如有甲乙丙丁六，戊己爽辛二十四悬同式雨平方敦，相乘得一百四十四即悬正方数矣。“平方数”指房乘器之片方形面横。本僚指雨平方数相乘得一正方数。今有画“艮方形eT6典24，阳艮方膨相似，相乘便得一正方敢。因居中率2=首率X末率中率2=6X24=144中率=12。盖同式雨平方数之冏原有相速比例一数，今此六典二十四之周必有十二之一数，且迪比例三率以首末雨率相乘，舆中率自乘之数等，用此六典二十四雨平方敦相乘所得之一百四十四即悬中率十二自乘之数矣。又若雨正方数相乘得数亦仍正方数，其方根1即一遽之良J即原雨方根相乘之数也，如有甲四、丙九雨正方敦此雨数相乘得三十六仍悬正方敦其方根热六，亦即甲方根二舆丙方根三相乘之数也。益此附方数俱悬正方即悬同式丽平方敬矣，因其式同故相乘亦仍得正方敢也。首率=4,末率=9，中率2=4X9=36中率=6=2×3=4×,9'>甲丙943622=4V36=6=2332=9凡数右先各自乘而接相乘者，有先相乘而接自乘者，其理维昊叔其得数皆等。今以二自乘得四（4），以三自乘得九（9），便以四九相乘得三十六（4*9=36），此先各自乘而接相乘也。以二舆三相乘得六（23=6），便以六自乘得三十六（62=36）,此先相乘而接自乘也且四罚九稽也。稹典稹乘仍得稹，二舆三根也，根舆根乘仍得根，此亦理之必然者也。以下卷其一般情况：首率=炉，末率=V2，阚正方形面演相乘彼得：中率2=W2XV2=（“叫2,此亦；一正方形面横。中率=NV'此热正方形之遗房C可多阅上圈J，亦即只有一内插JW。第二十二凡雨正立方数之冏必有相速比例之雨数也，如有甲八、丁二十七丽正立方数，此八典二十七之必有乙十二'丙十八悬相速比例之雨数焉。正立方数乃指/本修指出雨正立方敦8典27，其中必有雨佃相连比例数在其中，皆悬整数今其公比悬，求雨数乙和丙之法如下，今先列成下表：甲88r8r8，甲8乙丙T27优上表之数目比较可知82=27r=/即公比悬p所以乙数=8r=等=12。丙号攵=8r2=W=18。数理精蕊S:盎雨正立方之比例，同於其雨遏所作速比例隔二位之比例1M（黑何原本十卷第四前j），今甲方遴悬二.丁方谖舄三，求其舆二、三相常湮比例之第三、第四鼓，印J以二自乘得四，以三自乘得九，以二典三相乘得六；此四'六'九悬速比例三数。又以二避乘此四、六、九三数得八、十二、十八之三速比例数。彼以三嫌乘四、六、九三数得十二、十八、二十七之三速比例数，除相同者不计其二十七即建比例之第四数，刖八典十二、十二典卜八、十八典二十七皆悬典二、三相常之邀比例数而其首数八典末数二十七既舆甲丁雨立方数等，即其中数之十十八2甲、丁雨立方数冏速比例之雨数可知矣。以下熟（数理精藏之算法：第一列原数甲2甲乙相乘篇J6乙3第二列甲乙平方469第三列第二列×281218第四列第二列×3121827先取甲和乙立方一遏之数即2和3，甬数相乘焉6取甲和乙之港数之平方4典9，6成理比例三率置第二列，第二列乘以2得8、12、18密在第三列中。第二列乘以3得12、18、27篇在第四列，即得8、12、18及27四数，故12'18乃中央雨数。以下2一般之情况，甲，丁/3，先列出下表：甲/¢3户eV甲/乙丙Tj拢上表可知"=乙数=/，丙数=eV。丙悬e3/=j，所以所以乙数=esr=crf-丙数=/户=f2。即有二内插项本题之e=2，/=3，代入上式即可得答案。以上之代数法比数理精盘算法蔺单清晰本修亦可视作公理。第二十三凡南正立方数相乘得数仍焉正立2方数，而其方根3即原南立方根相乘之数也。如有甲八'丁二十七雨正立方数'此雨数相乘得二百一十六仍悬正立方数，而其立)方根热六，亦即甲立方根二典丁立方根三相乘之敷也。雨立方数甲8舆乙27相乘得8x27=216=6'，即2$3)=216=6、。留意雨立方敦相乘之规律。盖此雨立方数俱悬正立4方即悬同式雨立方数矣，因其式同，故相乘亦仍得正立方也。凡教行先自乘再乘而彼以所得之帔相乘者，有先以南敷相乘而接以所得之数自乘再乘者，其得数皆等，故二自乘再乘得八(？=8)，三自乘再乘得二十七(33=27)，假以八典二十七相乘得二百一十六(8×27=216).此先各自乘再乘而彼以所得之数相乘也。8216=6j27以二舆三相乘得六(2×3=6)便以六自乘再乘亦得二百一十六(6,=36×6=2I6)此先以陶数相乘而彼以所得之数自乘再乘也，且八典二十七，稹也，以稹乘植仍得稹二舆三，根也，以根乘根仍得根，此又理之自然者也。数理精薄之“稹乘稹仍得«r及“以根乘根仍得根”之雌值得注意，因比例不涉及率位所以“桢乘殖得另一大横”，“以根乘根得另一大根，大根即大遴，大谖刖形成大硬，在验算畤有一定之常助“以下悬本文之引申题可精数理精组J之不足。引申题一今有雨数首率=J，末率=/$，e典/皆；整数'在其中可插入多少整数项使各数成建比例（即成矮何破数1?解：优前Sg可知首率/奥末率4可插入三数即有三内插，即41=3。甲热/-戊悬.U，/舄公比，先列出下表：甲Jeire4r2e4r4甲/乙丙T戊Ut½上表可知第五数戊2Jr4=/4，乙数=e'，内数=e4r丁数/。i戊数可得产=Sr=§。此即公比。所以乙数=e4r=/，丙数=e4r5=ey，丁数=J户=C户。此五数依次悬/'e3f'e2f、ef'、，若公比取负数即=-§mI乙数=eir=eif丙数=Jr2=e2f2，丁数=eV=efy»此五数依次J/'-4、e2f2、3、广。注意正负数之相冏。引申题二今有雨数首率=/，末率=，°典/皆检整数，在其中可插入多少整数项，使各散成理比例C即成篌何级数J?各数热何？解：拢前题可知首率焉第I瞥ren典末率第+1敷卷广，可插人n-敝今r悬公比，先列出下表：首率eneVKr2enr,enr-l末率ea尸第1数Cn第2数第3数第4数第”数第+1t½上表可知第1数="，第2数=eV，第3数，第4数enr3笫数=enrn1.笫+1数=ent=fa。(第”+1数可得次方得：r=7所以第2数=enr=e'f'第3数=enr=e"V2第4数=e"r3=e"-y3第数=enN=ef"T，第+1数=e=ftt。此数序依次焉en、1."、e"-y2、e"-3fie"-、/"。除首尾二数外，其他皆悬插入。即有-I内插项。若悬偶数，同上题，注意正其数之相冏。引申题三1.求上题求第"+2数、+3数、+4数n+p数。2.r>1、r=1及r<I之情形。解：(1)优上题可知第+2数=e*,-×r=1×r="×£=E，n÷fn÷2第+3数=.X5=J-,f11÷2ff11+3第+4数=第11+p数=tt÷p-2f>l÷p-lX一=1'Q”-2eP-zn-p-若r>I，即>e。若-*co，用JJk。此乃遮增襄何级数，n÷p-lCPT产x”T4一】，若n-*，Bjfn-8Q若r=I，即=e”肌各项皆舄/或。r11*p-1若"1，即<e。若P-8，即Bk-0。此乃避减掇何级数。,相似也2原文缺立字3“立方根”指立方一遴之是。原文疑缺"立”字。4原文缺立字