模型12 脚拉脚模型（原卷版）.docx

脚拉脚模型同®模型介绍成立条件：三角彩以隽互林模块一：认识“1Wijlr模型K等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图BABZ已知：ABC.ADE为等腰直角二角形.NB=ND=90。.AB=CB,结论tBF=DF,BF±DF.法1>倍长中线+手拉手延长DF至点G，使得FG=FD,易证DEFBAGCF(SAS)：所以CG=ED=AD,Z2=Z7;乂/1+/2+/3=560",/3+/4+/5+/6+/7=540"(五边形内角和)，Z4=Z6=90'i所以N3+N5+N7=N1+N2+N3,所以N1=N5;弋*0,Jmabcgsabad(SAS),："所以NDBG=90°,BG=BD:卜_,W:4AD=ED,点F为CE的中点。国>所以BF=-DG=DF,BFlDF,bH由BCFgAGEF(SAS).得BCGH.所以N2=N6=90°,则N2=N1.在四边形ADEH中，Zl+Z2=18O,则N3+N4=I8O*,又N4+N5=18O",所以N3=N5注意：选界”四边形对角互补”还是“8型特HIlIDEFGCF(SAS).得GHDE.所以NH+NADE=18(T.即NH=NADE=90.所以NH=NABC=90",所以Nl=所2(8型转角)，所以3=N4T证明角相等取决原有等腰亶角三角形底边与公共II点的夹角(夹角小于4S,选算“四边形对角互补”：夹角大于4法2,斜边中线+中位线取AC中点GAE中点H,连接BG.FG,FH,DH.由中位线定理可知：Ki=1AE=DH.FH=-AC=BG.22Z1=Z3=Z2.所以Nl+N5=N2+4,所以/BGF=NFHD;则ABGFqFHD(SAS),所以BF=DF,ZFBG=ZDFh.ZBFG=ZFDH;所以BFG+GFH+/DFH=BFG+3+/FBG5,.选界"8翦转角")=ZBFG+Z1+ZFBG.乂BFG+1+/FBG+/5=180'（三角形内角和），所以BFG+1+/FBG=90",所以BFJ_DF.2、等腰三角形的序脚拉模型BAB已知：ABCxADE为等腰自角三角形，NB=ND=90",结论：CE=2BD,NBFe=45。.法一：相似ABD-ACE<SAS>=O=2BDBDIZ4-Z1=：>N2-N3-45。（8字型转角）法二，手拉手+平行四边形将线段BD逆时针旋转90“得到线段BG,连接DG、CG。易证：ABADgABCG（SS>.Z1=Z4+Z5.又3+N5+6=N75）°,所以/I+/2+N3+/6=/2+/4+/3+/5+/6=90'+90°=180°所以CG平行且等于DE,所以四边形DECG为平行四边形.所以CE=DG=iBD,/BFC=/BDG=45°FAB=CBiD=ED,3、角互补型脚拉Jl,AB=AC,DC=DE,点F为BE的已知：AABCADCE为等腰三角形,+r=180中点,结论：AFJ_DF.丝=tan2Af-2法1,倍长中线手投手法2,中位线相似经长DF至点G,使得FG=FD,连接AD.AG.BG,延长BG与CD相交于点H.易证：BFGEFD<SAS)得；BG/7DE,BG=DE=DC.NEDH=NGHD=.所以NCHB=#所以NABG=NACD(8字型转角)所以ABGgAACD(SAS).得证。取BC中点M,EC中点N,连接AM,FM.DN.FN4由中位线定理得：FN=MC,MF=CN,Z4=Z5i由卜IDNDN.MBBQV,H所以=tan-.向理=tan：FMCN2AM2又NAMF+NCMF=NFND+NCNF：所以NAMF=NFND,得NAMFSNFND：所以N3=N7.S=Ian2：AF2Z1+Z2+Z3+Z4+Z6=Z5+Z6+Z7+ZAFD:所以N1+N2=NAFD=9(例题精讲【例1】.如图.在Rt中，4HC=90,AB=UC,点。是线段4C上一点，连接鹿）.以鹿）宜知边作等腰直角ZBDE,/DBE=Y,连接AR点户为AK中点,i（AB=4.RF=I.则4。的长为A变式训练【变式1-1.如图.八BC中，ARC=f×y,BA=8C.ABEF为等腿直用三角形./BEF=90M为【变式1-2.已知正方形AbCd将线段ZM绕点8附时针施转(O'CaC90'>.得到线段连接EA.EC.<1)在图中依题意补全图形,并求NAEC的衣数：(2)作/£8C的平分线交EC于点G,交£4于点R连接CR用等式表示线段A£,*FC之前的数员关系，并证明.【变式1-3.(1)如图1.AB=AD.AE=AC.NzMO=NEAC求证：BE=CD.<2>如图2.AACA是等边三角形.P为三角形外一点,ZAPC-12()p.求证：PA+PC=PE.(3如图3,若NAC£=/!£C=NAOC=45',ZACD-ZED=60,.DC=3,求。£长.实战演练I.如图，分别以AABC的边4B,AC向外作两个等边三角形4A8O,ACE.连接8£、CC交点F,连接AF.<I>求证：AACD9AAEB:<2>求证：AF+fiF+CF=CD.2.如图，ZABC与"/)E均为等腋直角三角形，B1AC,0E_1.8D，点。在A8边上，连接EG取EC中点F,求证；<l>AF=DFt(2)AFlDF.3 .已知：如图.AR=AC,DC=DE,0./BAC=ZCDE=90°,连接BE.尸为8E的中点.求证：(1)NACD=NABE+NBED：<2)FA=FD.M±FD.4 .已知正方形ABC7）与正方形CTFG，A1是A尸的中点，连接。MEM.I）如图I.点E在CD上，点G在Be的延长线上，谓判断DMH的数家关系与位置关系，并直接写出结论:<2）如图2,点E在OC的延长线上,点G在BC上.（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论.5 .如图，等边八Be外有一点。，连接加，DC.AB（1如图1.若N0W+NDC8=18O',求if：M）平分/IOCZ<2如图2,若N8OC=60',求证：BD-CD=D;<3如图3，延长AO交BC的延长统于点F,以BF为边向下作等边ZS8EF,r点/),C.E在同直线上,且A8O=,直接写出/CEF的度数为(结果用含"的式表示.6 .在ZSASC中，AB=AC,。是边8C上一动点，连接AC,将其。绿点A逆时针旋转至AE的位置，使汨ZDAE+ZC=180,.（1如图1当N8AC=90"时.连接8£交AC于点匕若WiT分NA8C.Hl）=2.求AF的长：（2）如图2,连接8E.取M的中点G,连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系,并证明你的猜想.7 .如图I,点A在*轴上，点。在）轴上，以O八、八。为边分别作等边aOAC和等边£）£,若。（0,4）,A(2.O).<1)IfZDAC=IO,.求CE的长和NAEC的度数.<2)如图2,若点P为K轴正半釉上一动点，点P在点八的右边，连PG以PC为边在第一象限作等边?”,延长M4交了轴干M当点P运动时，/ANO的伯是否发生变化？若不变,求其伯，若变化，清说明理由.A"-AP的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化,请说明埋由.8 .已知点A在X轴正半轴上，以OA为边作等边AQ8,A(x,0),其中X是方喏丁!=；2勺的解23x-l6x-2<1点A的坐标为2如图1,点C在y轴正半轴上,以AC为边在第一象限内作等边,(?/).连。8并延长交>轴干点E,求N8H)的度数：(3)如图2,点F为X轴正半轴上一动点，点尸在点八的右边，连接正8,以房为边在第一象限内作等边尸8G,连G八井延长交y轴于点“，当点F运动时,G八F的值是否发生变化？若不变，求其值:若变化，求出其变化的范Bt9 .在平面£1角坐标系中，8点在X轴上，I1.li.点A(0,“)、P(nt.>n),若a、，n满足J+Wj-4“-即”+20=0<I>如图1.求"、m的值:<2)如图2,若A点运动到轴的负半轴上，求OB-OA的位：<3)如图3,若0是线段AB上一动点,C为A。中点,PR1.PQ且PR=PQ.连8K.请同学们判厮线段8K与Pe之间的关系,并加以证明.10.如图I,在平面直角坐标系中，A<0,4),C(-2.-2),HZACB=W.C=BC.(”求点8的坐标；<2>如图2,若?C交y轴于点M,AB交X轴与点N,过点/T作轴于点E.作8广1.X轴于点八谪探窕线段MMM凡NF的数量关系,并说明理由：<3）如图3,若在点8处有一个等腰Rt4"；.RBD=DG.NBDG=婚连接AG.点，为AG的中点,试猜想线段与线段C"的数壮关系与位置关系,并证明你的结论.己知IE方形ABCD与正方形AEFG,正方形八£FG绕点八旋转一周.<1>如图，连接8G、CF,求基的值；BG<2）当IE方形八EFG加转至图位置时,连接CAHE.分别取C人8£的中点从M连接试探究：A4V与HF：的关系,并说明理由：3连接8从BF,分别取8«、斯的中点N、Q,连接。MAE=6,请直接写出线段QV扫过的面机12.已知：在平面直角坐标系中,点八(-3.0),点8(-2,3).<I>在图中的Y轴上求作点R使得P+PB的值加小：<2>若AA8C是以AB为腌的等腰直角三角形，诸直接写出点C的坐标:<3>如图，在ZiABC中，ZABC=W1.AB=BC点J)(不与点4的合)是X轴上一个动点，点E是4。中点,连接>£把8E绕着点E朦时针旋转90。得到FE(即NBM=90°,BE=FE').连接BACT,Cl).试猜想NFa)的哎数.并给出证明.如图.丫面之角生标系中.4点在y轴上，B(b,0)，C(c,0)在X轴上，ZBAC=Wa,且、C满足等式>2+n>c+c2=O.<1>判断ZXAfiC的形状,并说明理由:<2）如图1,尸为AB延长跳上一点，连尸C,G为.y轴上一点，若GFC+ACG=60°.求证：FG平分NAFC：<3）如图2,Z8CE中，DB=DE,NBQE=120"，M为八£中点，试确定Dw与CM的位置关系,并说明理由.14.如图所示，AARC.ZiAOK为等腰；.角形,NACB=/AED=W.（I如图I,点E在AB：.点。与C重合.F为线段8。的中点.则线段EF与FC的数址关系是：NEFD的度数为二.<2）如图2,在图1的基础上,将ZSADE绕A点顺时的旋转到如图2的位忆其中4A、C在一条直线上为线段8。的中点.则线段EF与打?是否存在某种确定的数盘关系和位置关系？证明你的结论.<3）若八。E绕八点任意旋转一个角度到如图3的位置，尸为线段8。的中点，连接EF、Pei。你完成图3,i?猜想战段EF与FC的关系，并脸证你的猜想.已知等边A8C和等腰（；/»：.CD=DR.ZCDE=H.<1）如图1.点。在8（?匕.点E在A8上,。是8E的中点，连接A）,则线段A/）与H）之间的数量关系为；<2）如图2,点。在AABC内部，点E在C外部，尸是8K的中点，连接A）,PD.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立.请给出证明：若不成立,请说明理由：（3）如图3,若点。在ZA8C内部,点£和点8重合，点P在。C卜方，flP8+PC为定值，当PC最人时，NBPC的区数为一.图1图2图316. Ce是4A8C的商<1>如图I,若NAC8=90"，/8AC的平分AE交CO于点F,交BCF点E,求证：CE=CA<2>如图2.若NA=2N8.NACB的平分线CG交AH于点（；,求绘典的值：(3)如图3,若4AJC是以AH为斜边的等腰直角加形，可以八。为斜边作等段RtAamoQ是/用的中点,连接C0、A/0.试判断线段CQ与MQ的关系,并给出证明.17. (1)探究：如图1.在48C和ZiAOE都是等边三角形，点。在边8。上.求NOCE的度数；JI接写出畿段CO,Cf,AC之间的数H关系：（2应用：如图2,在四边形A8CC中，AB=BC,ZC=60,.P是四边形八8C。内一点，且NAPC=120°.求证：P+PC+PDBD:（3）拓展：如图3.在平面出角坐标系中.点A的坐标为（-4,0）,点8是.V轴上一个动点,以A8为边在AB的下方作等边ZUBC求OC的最小值.18. 如图，AJC是等边：.用形，/?/）E是乐角为120°的等段：角形，RD=DE.连接CDAE.<1>如图I,连接AD若NA8E=60",AB=BE=M,求CC的长：<2）如图2,若点尸是AE的中点,连接CF,DF.求证：CD=ZDF,<3>如图3,在（2）的条件下，=23.BD=I,将48Z）E绕点B旋转，点，是AAFC内部的一点，当。尸最大时.请直接写出2HA+”-fC的最小值的平方.