模型25 圆综合之中点弧模型（原卷版）.docx
模型介绍大招圆综合之中点孤模型【模型解读】奏型一中求孤身和似【以下五个条件如一推四】点C是A8的中点 AC=BC OC±ABPC平分NAPB CECP=CB，即ACPB-MBE)Zl-Z2,NPCB为公共角，于母型相似【未卜克】(三)PEPCPAPB类型二中正孤耳戏轿【模型斛读】点P是优孤AB上一动点，J1.点C是48的中点邻边和等+对角互补酸样相似模型，一般用来未困中三条拨段之间的数量关系.由于对角互补,即NP8C+NHO=18(F,显然PAP共线且PC=PC通过导笫不难捋出相似.奥型三中志孤+内心可得等晨【模型讲解】外接困内心n得等楼如图,Sl。是/$C外接回圆心./是三角舫/18。的内心，延长小交.圆。于D,证川=DC=BDIWffilZ1=Z1+Z5,Z；«=Z3,Z2=Z5.Z1三Z2+Z3*Sw孤中点与叁径定理【模型解读】知1推54。平分NaB。是CA的中点DO工CB CE=EB ACHOD OE=5C<A-:中点弧与相似三角彩的综合【例1】.如图，A、8、C,/）是。上的四个点，AB=AC.AO交BC于点HAE=3,EO=4,则AB的长为B1'DA变式训练【变式17.如图,四边形A8C。内接于O"，对角线AC、BD父千点P,AB=AD.若AC=7,AH=3.则BCCD=【变式1-2.如图，四边形ABCT）内接于0O八8为直径，AD=CD.过点/）作OElA8于点R连接AC交。E干点卜：若SinNcA5=.DF=5,则8C的长为才嬴二中求孤身我种的绿合1例2.在。的内接四边形AB。）中，Ali6.AD=K）,NaV）=60°,点C为弧，Q的中点，则Ae的长是A变式训练【变式27.如图，己知八A是：O的弦，点C是孤A8的中点，。是弦八8上-动点，H.不与A、8,口合，C/）的延长线交于O<）点£.连接AE、BE，过点A作A1.iC垂足为尸,ABC=2.（1）求证："是Oo的切线：<2）若C=6,CD=3,求£«?的长：<3>当点。在弦AB上运动时，_乌一的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范用：如果不变,AE+BE请求出其值.才嬴三：中束JM内心可得等晨三角形【例3】.如图.已知。是ZXA8C的外接网.点/是ZA8C的内心.延长A/交8C于点£,交。于点连接8/),DC、BI.求证：DB=DC=D1.【变式37.如图.点/是ZA8C的内心.初的越长线与AABC的外接阚。交于点给.与AC交于点尽延长CD.BA相交于点F.ZADF的平分战交A尸于点G.<1)求证：DGCAi<2>求证：AD=IDt(3)若)E=4,Bt-=5.求加的长.【变式3-2.如图1,在,仍C中,M?二必OO是.侬'的外接网.过点。作NO=NM?交。于点,连接相交成,于点£延长贺'至点月f½CF=AC,连接."：< 1>求证：ED=EG< 2）求证：”是©。的切线：< 3）如图2,若点，是4.4e的内心,liC三=25,求跖的长.图2才惠四：中点与全径定理【例4】.如图,AB为Q。的直径.C.力为网上的两点,CXJHRD.弦AZ),HC相交于点E.<1)求证：AC=CDt（2）若C£=2.EB=6,求）0的半径.A变式训练【变式4-1.如图.A8是。的直径,点C为防的中点,Cr为。的弦.且C尸一A8,垂足为七连接BD交CF于点G,连接CO,D.BF.<1>求证：gFG9ACDG;<2>若AD=8E=4,求8F的长.【变式4-2.如图A8是00的设径.点E为弧AC的中点.AC8«交于点/).过a的切线交8K的延长线于F.<l）求证：AO=AA考羔五丛中点与叁在模型（三等5模熨）【例5】如图.覆足O的宜径.点C为/扰>的中点,CF为）。的弦,且CA.八8,垂足为E,连接HD交CF于点G,连接CO.AD.HF.<1）求证：ZiFGwXCIK）:<2）若AD=8E=2,求防的长.1 .如图.在。“中A8为直径,C为弧人8的中点,EF/AH.连接AC交E广于点O.若已知。尸=2。£C.I：23D.1：42 .如图，己知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点8是右的中点，点P是半径ON上的点.若0。的半径为1.则AP+8P的最小值为（）C.2D.I3 .在。的内接四边形A8C。中，A8=6,AC=10,NBAO=60",点C为弧8。的中点，则AC的长是4 .如图，/BAC的平分税交A灰：的外接留于点D.BC的平分线交AD尸点E.<1)求证：DE=DH-.(2)若NzMC=90',«0=4.求ZiA8。外接圆的半径.A5 .如图，八8是。的直径，AC为弦.。是BC的中点，过点。作EE1.Ae交AC的廷氏线于E,交AR的延长线于F.<1)求证；EF是OO的切线：(2若sinF=,AE=4,求0。的半径和AC的长.6 .如图,已知Ac8。为0。的两条宜径.连接A8.8C,。E1.A8千点£,点尸是半径OC的中点,连按£F.(I)设。的半径为1.若NzMC=30-，求城段EF的长.(2连接BF,DF,设OB与E尸交于点P,求证：PE=PF.若DF=EF.求NZMC的度数.7 .如图，ZSA8C内接于O。，八8是。的直径，C是俞中点，花CE,ABT点H,连接Az>,分别交CE、BC于点P、Q,连接用).I求证：P是线段A0的中点：<2>若。0的半径为5,。是标的中点，求弦CE的长.8 .如图，已知人8是。的弦.点C是弧AB的中点，。是弦AB上一动点，且不与A、8羽合.C。的延长线交于。点£,连接A4BE,过点A作A1.8C垂足为-ZAHC=30°.(I)求证：八厂是OO的切线：(2)若8C=6,CD=3,求。£的长.<3>当点。在弦A8上运动时.7的值是否发生变化？如果变化.请写出其变化范围：如果不变.AE+BE请求出其值.9 .已知AABC内接于。0,/84C的平分浅交。于点D，连接。B,DC.<1>如图，当/8AC=I20'时，讲直接写出设段A8,AC,A。之间满足的等以关系式；<2）如图，当R4C=90°时，试探究线段AJ,AC,八。之间满足的等垃关系，并证明你的结论:（3）如图.BC-mBD-n求AC2C的值（用含”的式子表示.AB+C图图图10 .如图，己知A8是。的直径，点C在。上，过点C的H战与A8的延长战交于点P,AC=PC.ZCOR=2ZPCB.<1>求证：PC是。的切线：<2>JRiiE.BC=-ABt23点Af是如A8的中点.CM交A8于点M若A8=8.求MNWC的值.11 .如图，己如O。的半径为2,八8为宜径，CD为弦.AB与CD交于点M,将百。翎折后，点八与圆心合，延长OA至P,使AP=OA,连接PC<1>求CC的长：<2>求证：PC是0。的切线：3点G为ADB的中点，在PC廷长线上有一动点Q,连接QG交B于点E.交女广点F(F与8、C不里合).问GEGf是否为定值?如果是,求出该定值:如果不是.请说明理由.12.如图1.在平面直角坐标系XS中.点A(-5.O),(330),以A8为比径的OG交y轴于C、。两点.<1>填空：请出接写出OG的半径八E母心G的坐标：，=：G(.):(2)如图2,直线y=阵x+5与»)轴分别交于，£两点，且经过Kl上一点72行，而，求证:*5宜线E尸是OG的切线.3在(2)的条件下,如图3,点”是0G优退位上的一个动点(不包括A、7两点,连接AT、CM、TM.CM交AT于点M试何，是否存在一个常数£，始终满足CNCAf=*?如果存在，求出A的伯.如果不存在,请说明理由.13.已知：如图,抛物线坐广用与X轴交于48两点，与、釉交于C点,ZXCff=90.I求，”的t及她物线顶点坐标：（2过4、从C的三点的OM交F轴于另一点连接OW并延长交C）Af于点£过足点的OM的切线分别交X轴、F轴于点尸、G,求直线G的解析式：3在条件（2）下，议P为痂上的动点（P不与C。重合,连接用交y轴于点H,问是否存在一个常数3始终满足A"AP=A?如果存在,请一出求解过程;如果不存在，请说明理由.
