模型17 阿氏圆最值问题（解析版）.docx

阿氏圆最值问题背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯啖如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k<kD,则满足条件的所布的点P的轨迹构成的图形为限.这个轨迹最Y由古希腊教学冢阿波岁尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以。为冏心，r为半径的即上运动时,如图所示:易证：ABOPsZkPOA.,.舒=空=苏.二对于网上任意一点P都有笠=益=h时于任意一个阴，任意一个k的伯，我们可以在任懑：一条Il径所在口我上，在同侧适当的位置选取A、8点,则需罕=7="EJ技巧总结计算/贽+AW*最小仅廿，利用旃边成比例且左Jl粕构造录子型和俄三JI彩H«:在上找一,*P使得出+APS的值最小，解决步具体下:如图,将系数不为I的线段两端点与圆心相连即QPOB计宛出这两条线段的长度比H=k在OB上取一点C,使得史=A,即构造APOMsBOP,则££=，PC=kPBOPPB则%+A>H=H4+PC2AC,当A、P,C三点共线时可得最小值【例1】.如图.在RtZXABC中,NACB=90；CB=4.CA=6.0C半径为2,户为圆上一动点,连接AP.BP.则APfiP的最小值为.,：,'i<J(P-(H：；：；,1映使AP弓8P故小.只数八。+。/）以小.*1A.P.。住同第。我时,P+PDM'.即：APHP最小值为AD.2RtACD'l,.CD=I.4C=6.w-AC2-*CD2=V37”，林的敢小依为何,变式训练【变式1-1.如图.正方形A8CO的边长为%。8的半径为2,P为08上的动点,则l'f,在此上榭KB£=1.连接8P,PE.：正方形A8CC的边长为4.Qli的半径为2.C=4=CD.BP=2,EC=3：罢工搀，且NPBE=NPBEBC2BPIapbesacbp.BEPE_1"BP"PC"I：.PE=-PC2"6''CPD+"PC有最小值.当点。.点以点£三点共线时,PD+PE有最小（fi.即'>'('/)/.dc2ce2$故答案为：5【变式1-2.如图，在中，A=90;A8=AC=4,点E、尸分别是边人从AC的中点，点。是以八为同心、以AE为半径的圆弧上的动点.则PB+PC的最小值为_YF_.解：如图，在八8上搬取八Q=1.连接AH>Q,CQ， :点E、尸分别是边八8、AC的中点，点P足以人为圆心、以AE为半役的傀弧上的动点,.AP21 二二-AB42 P=2.Q=.AQ1 AP2：ZPAQ=NB",J.APQABP.PQ=pb.p+PC=PC+PQ>CQ.在RlZSAS中,AC=4,Q=.c=AC2+AQ2=16+1=V17.-l>+>c的必小俏17,故答案为：17.【变式1-3.如图,在直角坐标系中,以原点。为BS心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A,点M的坐标为(6,3),点N的坐标为(8.0)，点P在圆上运动.则PMeW的最小值是5：.Ol=2.OP=A.01_2_1.-,OP420P=4.=lON82',P1.-OP"OP0N'又/P0/是公共向.POVOP.PI_01.J"PN0P2,'"=2PN.2：.PM0PN=PM+PIHIM,2二当M、P（图中0点八/花一条直线上时.PM+PIW小MlHB¼I242+325.故答案是5.【例2】.如图.在。"中.点A、点8在。()上,ZAOB=.r.OA=6.点C在。V匕MOC=IAC.点。是。H的中点，点M是劣孤AB上的动点,则CM+2Df的最小值为_410-解：延长。8到7.(WfiT=Otf.连接MT.CT.VOM=6.OI)=DU=3.OT=12.".OM2=OD-OT,.OM_OT,0DOM'VZMOD-NTOM.：.MoDS"OM,.DM.OM_1tHTOT2.".MT=2DM.VCW+2。M=CW+MT三CT.又；在RIAOCT中，ZCOT=90j.0C=4,OT=12."f'7'=VC2-HDT2=42+122=4>10f+2Vf>4l.CM+2OM的以小(l'i为10.，涔案为410.A变式训练【变式2-1.0。半径为2.A8./兄为两条直线.作。CUA8FC且C为Ao中点.P为同匕一个动点.求2PC+P/T的最小.是AO的中点，.0C=E,2.pcJP1"op"2'又'：NCOP=/POK.:ZOPSdPOK.-=.PK=2PCPKOP22PC+PE=PE+PK2EK.作f1.6C千点从iCOD,CoSNDOC="±，OD2：.ZDOC=W.，/£M=NDoC=60,.HE=OEsinfH=2×y-=3tw=52+(3)2=27IP最小他足2案】：27【变式2-2.如图，在密形OC。中，NCOC=90,0C=3,点八在0。上，AC=1.点8为OC的中点,点E是如Co上的动点.WlAE+2EB的最小优是二l.解：如图，延长OC至E使得CF=OC=3.连接EROE,.OEOF_,OB0E2NEoB为公共角：.AOBEsdQEF.BEOB_1"EF"E"T：.IBE=EF；.AE+2BE=AE+EF即八.£."三点共线时取得最小便即由勾股定理得【变式2-3.如图.等边AABC的边长6.内切同记为。是。”上一动点,则2P8+PC的最小值为_37-耨:如图.连接OC交。OF点。，取。£的中点R作O£1.8CF£FG1.BCFG.PB.OF-OP1.-一,OPOC2：ZFOP=ZPOc.:.AoPFSNoCP'：.CP=2PF,：.2PR+PC=2（4：PC+PB）=2<P+PF）.2:PB+PF3BF,.PB+PF的最小值为8F,VC=6.NOCE=30',.CE=3,OE=3OC=23.R=啜.GF=J逅,CG=-.44.MiG-BC-CG-.4由勾股定利得.2.2P8+PC的阪小侑为2BF=必.故答窠为：37实故演练I.如图.边长为4的正方形，内切期记为RIaP为硼。上一动点,则&囹+P3的最小值为“耨：设。半径为，.OPr-BC-2.p-2r=22.2取08的中点/,连接.,.o=2v0l=2=22.=2OP2.OPOB,"o=op,/0是公共角.tfOPPf>/.PIOI2一PB=OP丁'二22二当4、P./在一条宜线上时,AP-PBi.作IE1.ABFE,VZ4O=45j.AK=AB-BE=3二"Vs2+2io"内当小仇a,5V2M+Py2(PAiPB>,.加闲+P8的最小2×1025.故答案是25.2 .如图，堪形AO8中，AO8=90°,O=6.C是OA的中点，。是08上一点，。=5,P是篇上13-r2-解：如图,延长O八使八连接EeEP.OP.YO=O8=6.C分别是OA的中点,AOE=12,OP=6,OC=AC=3嗡端得1./'：.AOPEsAOCPPCOP1'PEOE2,.EP=2PC.PC-PD(2PC+PD)-(.Pl)+PE).当点从八，.，-i.iP(P)ffjti'<ls.=Vod2OE2=V2+122=13.PDPEDE=3,J。+"：的M小伯为13,D的值域小值为学.3 .如图，半Bl的半径为1,八8为巴径，八CBD为切度,C=,8。=2,P为孤八8上一动点，见喏*C+PO的最小值为DBD解：；八。是。O的切技.ZOC=90o,.oc=ac2oa2=2.取OC的中点/.连接P/,D1.OP12'OC三T21OI,2op"-".OPOI二、OCOP又/0是公共角.:.502mop,PIOI2"PCOP：.P再pc.22'号PCPD=P"P"P.I(-条直线上时,当PCP小=”.作:1.48FF.IElBDFE.'.'BE=IF=-AC=-.22o：.D1.BDBE1.W，2iE=BF=OB+OF=§'2二川DE2+IE2zl-2夸>c+p0公小FrE放答案是：-2.4.Rt4Oi1I1,ZAOB=,OA=8,OB=I0,以。为圆心.4为半径作阳。交两边于点C，D.P为劣弧C。上一动点，贝唠H+P8最小值为-26-.连接OR取OC的中点&嘿然"J，NPoE=NA8,OPOA2MPOEsgOP,.PE_OE1“PAOP'2'.i+PB=PE+PB.2;PE/PBWBE.二当8、P.E共线时，P£+。8减小.OE=4-OC=2.OB=10,2"ft=0E2-K)B2=22+102=226，p+pb的双小值是2265.如图，在边长为6的正方形ABC/）中，”为48上一点，且BM=2.N为边BC上一动点，连接MM点8关于MvXj称，对应点为尸，连接两，PG则册+2PC的奴小俏为斛；B*P关于MN对称，BM=2,如图所示,则点P在以M为例心，BM为半径的叩11.在线段MA上取个点E,使得ME=I.又.MA=6-2=4,MP=2,.KEJ.一而巧IPJ.1HA=4=2.IEHP,而乂；NEMP=/PMA,P<×>PM.PEJ.FW:PE=yPA=2(PC+PE)2Ct.M+2PC-2(如图所示.当且仅当AC.E:点共战时联汨以小位2CR*'CEBE2+BC2=32+62=35.用+2PC的加小M为本.6.如图，矩形AB8中.AB=2,AD=4.M点是BC的中点.A为圆心.A8为半径的圆交AO于点£点P在史上运动，则PMv1.)P的AM、值'为二解：取Af的中点K,连接PKKM.(1：KII1.BCFH,则四边形八W/K是矩形.可得IK=8"=1.K=AB=2.MP=2,AK=1.AD=4.pa2=akd,.PA_AK*ADPA'"：ZKAp-ZRAD.二四KS/»/>.PKAK.1.-tPDAP2：.PK-PD.2：.PMPDPSf+PK.2;PM+PK2KM.KMyl2+22V：.PM-PK2底：.PMDP的最小值为故答案为正7.如图，在八BC中，Z=90",B=3.C=4.。为AC的中点，以A为阴心，八。为半径作。八交八8千点£P为劣弧。£上一动点,连接-8、PC则PCqPB泊及小旗为一空续一.3S幅在Ae上取R使AF=名江修CFtoA的交点即是滴足条件的点尸，连接仍如图:*5：A。二AC2.2：.AP=AD=2,VH-3,Af-43AP2=FAB.'：ZPAH-ZhAP.PF_AP.2-PBAB3.PCPHPC+PF-CF.根据两点之间线段最短.此时PC碍PB=Chpcpii最小价为-AF2+AC2(y)2+42=,4故答案为：皆耍.8 .ffl,在平面直角坐标系中，A<2,0)、B<0,2)、C(4,0)、D(3.2>.P是AAOB外部的第一象限内一动点，flZBP=l3S",则2PD+PC的最小值是一VA(2.O),B(0.2),C<4,0),：.OA=OB=2,OC=4.以。为喇心。A为芈径作0O.在优瓠AB上取一点Q连接。从QA.,.,/0弓4。8=45，./”8135，.Z(AZAPB=ISo-.A.P、8、Q四点其网.".OP=O=2.VOP=2.O7,=l,OC=4.".op2-ocot.OPJT,0Cs0P':ZPOT=ZPOC.PTOP1"PC"c=2PyPC2Pl)+PC-2(PC)=2(PI)+PT).PD-PT：-DT.DT=22+22=.2W>+P<>42.2*>+1C的公小('t42.收存案为：4&.9 .如图，¢-RtAO1.ZO=90,OA=3,08=2,。的半径为1.M为。上一动点，求八."+解：如阴,连接。M4CBI1,'1'.C.'；：W-.!C.AC."8=2.Oo的半径为I.OM.OC_1*'0B-OH2"VZf(7C=ZCoM,，()MCS*)bM,JC3*BM-OB2"1WC=-BK>.AMBM.4+jWC.2的最小值即为Af+MC的最小值.：.A."、C-:点共线时.AM+MC最小.在RtAAOC中，由勾股定理符:32÷()2=2-二八M18M的最小传>"：，.2210.问题提出：如图1,在等边AAfiC中,AB=12,OC半径为6.P为圆上一动点,连接ARBP.求AP+的投小值.(1)尝试斛决：为了解决这个问题，卜面给出一种斜题思路；如图2,连接CP,在C8上取点0,使CDCP1CD=3.则有兴=兴=,又,：NPCD=NBCP,：PCDS&BCP，CPCB2：.PD=-BP.：.AP-BP=APPD.BP222请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP总BP的最小值为-J13-.<2>自主探索：如图3,矩形A8C。中，8C=7,AB=9,。为矩形内部一点，I1.PB=3,AP+PC的最小值为-52-.<3拓展延伸：如图4,扇形COC中，O为IflI心，Ne。=120“，0C=4,OA=2,06=3,点P是CD上点，求2"+PB的最小械画出示意图jf写出求解过程.图3连接AD.过点4作AF1.CB于点F.：APBP-P+PD.=使Al弓BP最小.HAOfil小.当点A.PQ在同一条直线时,4P+AO最小.'：AC=12.AU.BC,ZACB-W.CF=6.4=63：.DF=CF-CD=6-3=3、，4/)=4人/旬产=313.apbp的最小值为13;<2>如图,V4a9.PB=38户二1.卓42.IlZABP=ZABP.AB3BP：.IABPs.FP.,BP_1*AP-AB"3'PF=AaP,3'4-p+pcpf+pc.3m.,.''P.-'.C:Y或时,1AP+P(<,J'i尺小.CFBF24Q2l+4952.。+PC的值以小竹为52：W<3)如图，延KOC.使CF=4,连接8匕OP-PF,过点F作尸Ml。于点MVOC=4.FC-4.FO=8.HoP=4.OA=2.OA1QP"0P=7=OF.IlZAOPZAOP.,.AOPPOF.AP_0A1.而而巧,.PF=2AP.,.2+P=P+P11.当点A点.点8三点共线时,2AP+P8的Cftfit小,：ZCOD=IlQ".ZFO=60",且Fo=8,FMlOM."M"4.EW-43.,.MHOWPB=4+3=7.A-FH¼p=97.2阳+/7/的城小俏为质.11(1)如图1,已知正方形A8C。的边长为6.例8的半径为3.点P是例8I：的一个动点.则0C的最小值为_芋_,o)-pc的最大值为_芋_.(2如图2,已知箜形A8C7)的边长为4.B=6()°,圆8的半径为2,点。是阳8上的一个动点，求PI吟PC的最小值,以及PD-PC的最大值.解：如图I.,.NPBE=4PBC,：.APBESACRP.PEBP_1"pc"bc'I':PE=PC.：.PDVPC=PD+PE2DE.PD-aPC=PD-PEWDE，；四边形A8。型IE方形，；.N8CD=90”,.½-CD2CE262+()2-y二to+pc的最小值为：竽'此时点在/处，PD-W>c的最大值为：4r此时点P在P”处，22放笞案为：-金与；22<2>如图2.'Z>在BC上栽取BE=1.fl：DFlBC交BC的延长线于F.BEBP_1"BP=BC32,：NpBE=NPBC,：3BESACBP,.PEBP1"PC三BC=I'PE=±PC.2：.PDaPC=PD+PEmDE,2PD-PC=PD-PEWDE,2在Rl"(:尸中，ZDCF=ZC=60,.CD=4,CF=4cos60t=2.)F=4sin6(>=23(.RtDtl,.DF-IM,-C+C-3+25.:11e=52+(23)2=V37.")+>C的最小值为：37.此时点?在尸处PD-PC的最大例为；37,此时国P在"处12.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.己知平面上两点儿B,则所有符合酱=k（Jl>Olll）的点P会祖成一个10.这个结论最先由古希朋数学家阿波罗尼斯发现.称阿氏阿.阿氏阅基本解法：构造三角形相似.【问题】如图I，在平面白角坐标系中,在K轴，y轴上分别有点C（孙0）.。（0,”），点P是平面内一动点，且OP=r,设绦=4,求pc+rc的出小值.图1阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1,在。上取点M,使得0M；OP=OP;OD=k第二步：证明他。=PM：第七步：连接CM.此时CM即为所求的设小伯.下面是该跑的解答过程（部分）：解：在OD上取点M,使得。M：（）P=OP:（）D=k.又VZPOD=ZMOP.二A,ODOP.任务：< 1>将以上解答过程补充完整.< 2）如图2,在RtZA8C中，AC8=90°,AC=4,BC=3,C为AABC内一动点,满足CO=2,利用I中的结论,请直接写出A呜8。的最小（ft.解I在0。上取点使汨。W：OP=OPtOD=k,W/1.POD=/MOP.Apomsadop.：.MP：PD=k,.MP=kPD.:PCHPD=PC+MP当PC+PD取最小值时PC+MP有垃小值即CP9M三点共线时有最小值.利用勾股定理得CMwoC240M2=tn2+(kr)2=m2+k2r2< 2>,.AC=m=4.=-.在C8上取点A3使得C”C一Dv«5«5*513.(1如图I,已知正方形A8CC的边长为4,削8的半径为2,点是囤8上的一个动点，求?吟PC的域小值和PD-PC的以大伯：(2如国2,1.1.知正方形ABCD的边长为9.Kltf的半径为6.点P是圆BI二的一个动点,那么PAPC的最小值为PC栏PC的最大值为W(3如图3.已知菱形A8C/)的边长为4.NB=Nr,圆8的半径为2,点。是网B上的一个动点.瘙么以吟PC的外小值为_a7_,PD-PC的最大位为_a7_.解：（1）ltlI.在做.上取一点G,使福HG=1.：.里二毁.VZPBG=ZPBC.BGPB：.0BGsACBP.PGBG1*,1一"",PCPB2：.PG=WPG：.PDPCDPPG.DPPG>DG,.Ji>。、尸共线时.尸C的他的小最小位为。=5.：PD-4-PC=PD-PG这DG2"''.P</x；：'j；2E"I叮.PD-PC的值般人，:如图2中.星大位为X7=5.zG图2<2）如图3中,在8C上取一点G使得BG=4.-.YNPBG=NPBC.BGPB:ZBGsACBP,.PGBG2.II一"PCPB3：.PDPC=DP+PG.DPPG>DG.Ji。、g、尸共战时.巴）4尸。的位设小.从小位为）g=J7F=I.2,.PD-WaC=PD-PG£DG.3当点PiSAX；的廷长线上时PDT产C的值最大.坡大伯为QG二IB故答案为1俞.106<3>如图4中,在BC上取一点G,使用BG=K作。修BC于F.二粤一绘，VZPBG=ZPBC.BGPB；.APBGsdCBP'.PG_BG_1-a三三.PCPB2PG-PC.2：.PD-PC=DPPG.YDP-PGDG.当“G.尸共线时.吗PC的值最小.最小值为。G.在RIs(7)F中，ZDCF=Zr.CD=4.DF=CDsin60'->3.CF=2.(rigd'1.lx;(23)2+(5)237；PD-卷PC=PD-PG'l×i.3，f;的公K线IlH.PD-PC的他此人，如图2中),最大值为f>G=37.14.如图.弛物线F=-X2+>x+r与直线A8交于4(7.-4).B(0.4)两点.直线AC：y=-x-6交V轴于点C.点E是直线AR上的动点，过点E作EFlX轴交ACF点F.交她物线于点G.<1>求柚物戏)=-+t+e的表达式；2连接G8.EO,当四边形G£08是平行四边形时，求点G的坐标：(3在)粕上存在一点，连接£，HF.当点E运动到什么位置时，以A,£,F,为顶点的四边形是矩形？求出此时点E,”的坐标；在的前提下,以点E为阴心，硝氏为半径作圆.点M为。E上一动点,求4W+CM它的最小值.解；U),.½A(-4,-4>,B<0,4>在抛物i)=-.r+t+e±.f-16-4b+c=-4(¢=41c=4二拊物观的解析式为y=-?-2t+4；<2)设出线A8的耨析式为>=2n过点A,8.(n=41-4k+n=-4.fk=2"ln=4二出线AB的解析式为y2x+4.设£(w,2wr+4).'.G<h.-m2-2m+4).；四边形GEOS是平行四边形，：.EG=OB=4.,."m2-2j+4-2m-4=4.：.m=-2：.G<-2.4).<3>如图I.由2知，11筏A3的解析式为.v=2x+4,二设E(ri.2«*4).线AC：y=-.r-6.：.F(.a<-AU-6).2m,Hto.p).：以点A,E.F,H为顶点的四边形是矩形，2直线AeIMI析式为F2rt4.('：V-吴'AB1.AC.：.EF为对角线.EF与An互加平分,如图2,由知，E(-2.O).H(0.-I).(.EHV.4£25.役AE交。月于G.取EG的中点P,JE=4，2连接PC交QE于Af,连接EM,.EM=fc7=5.4.-4),PEHEHEAEPE-HE521WT21需得.,:4PEM=NMEk2AWfiA.PM_ME_1AM-AE2''.PM=-AM,2.AM+CM的小值=PC.设点。(p>2>+4).,.PC2=5+2)2+(2K)2=532)2.:PE当,25|+2)=与，4“=""或P=2':,-,11所以舍去）15.如图，已知二次函数产/+限+，的图象经过点。（2.-3）,且与X轴交于原点及点8（8.0）.1求：次函数的表达式：<2>求顶点八的坐标及且跳八B的表达式：3判断ZSABO的形状，试说明理由：<4）若点尸为0。上的动点,且。的半径为2一动点E从点A出发.以每杪2个单位尺度的速度沿线段AP匀速运动到点P,再以短秒1个中位长度的速度沿戏段/>8匀速运动到点8后停止运动，求点E的运动时间I的地小值.解：(I).：次话数F=/+加+c(0)的图象经过c-3>,且与X轴交于分点及点8(8,0),/.(,=<).二次函数大达式可Ei为：y=r+fcr(0),将C(2,-3),R<8.0)代入y=2+>x得：(4a+2b=-3l64a+8b='1.J.解知4.b=-2二：次由数的&这代为X2-2x："y-x2-2x=-<)2-4,二抛物段的顶点八(4,-4).设11践A8的函数表达式为F=JU+，”，将A<4,-4>,B<8,0>代入，得：4k+m=-4l8khn=0解得:(k=1.Im=-8：.出线AB的函数表达式为y=x-8：<3)AA8O是等度UftJ三角形.方法I：如图I,过点A作Af1.o8干点F，则F(4,0),：.AFO=ZAB=9(r,OF=BF=AF=A,4Z>.AAHi均为等腰直角二角形.O=42NO"=NBAF=45",ZOB=90.八8。足等腰直角三角形.方法2：；ZiASO的三个顶点分别是O(0,O),A<4,-4),B(8,0),:.()1i8.OA0F¼A2V(4-0)2+(-4-0)242.4j=af2+bf2=q-(-4)2+(8-4)2=42且涵足ob2=oa-+ab1.；.AABQ是等腿直角：.角形:4如图2,以。为圆心,历为半径作圆,则点P在圆版匕依逸意知:/：的3动时间为,=AP+P8,在OA上取点。，使OD=2连接PD.则在AAPOfiIPDO*'.滴足；黑=祟=2，AOP=Z.POD.ODOP：.AAPoSNDO,.AP_P0AO,"PD0DOP'从而得：PD=4f.2:rgp+PB-PPB.2,当从A。三点共线时,PlAw取得0小瓶.煌也。住。GifMr点G由于0D=ISAW)为等朕“角角形.则有DG=I,NOOG=45'动点E的运动时间I的最小值为：，=AZ)=DG240B2=i2+(8-1)2=>V2ASl