模型17 阿氏圆最值问题（原卷版）.docx
阿氏圆最值问题背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯啖如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k<kD,则满足条件的所布的点P的轨迹构成的图形为限.这个轨迹最Y由古希腊教学冢阿波岁尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以。为冏心，r为半径的即上运动时,如图所示:易证：ABOPsZkPOA.,.舒=空=苏.二对于网上任意一点P都有笠=益=h时于任意一个阴，任意一个k的伯，我们可以在任懑：一条Il径所在口我上，在同侧适当的位置选取A、8点,则需罕=7="EJ技巧总结计算/贽+AW*最小仅廿，利用旃边成比例且左Jl粕构造录子型和俄三JI彩H«:在上找一,*P使得出+APS的值最小，解决步具体下:如图,将系数不为I的线段两端点与圆心相连即QPOBOP计宛出这两条线段的氏度比言=&在OB上取一点C,使得史=A,即构造APOMsBOP,则££=，PC=kPBOPPB则%+A>H=H4+PC2AC,当A、P,C三点共线时可得最小值例题精讲连接AP.【例1】.如图.RtC.ZACff=90".CB=4.CA=6.0C半径为2,。为阳上一动点.BP.则APBP的眼小值为.A变式训练PC的最小【变式ITl如图.正方形A8CO的边长为4,。8的半径为2,。为。8上的动点,则但等于【变式1-2.如图.在4A8C中,NA=W/,A8=AC=4.点心/,分别是边八8、AC的中点.点。是以八为圆心、以八£为半径的圆弧上的动点，则PB+PC的G小值为【变式1-3.如图，在Il角型标系中，以原点。为圆心作半径为4的圆交N轴正半轴f点A,点W的坐标为<6.3），点N的坐标为0>.点。在圆上运动.则PMKPN的般小曲是.【例2】.如图.在。中.点A、点8在。上,ZAOH=W.04=6.点C在“A上.HOC=2AC.点DlkoB的中点，点M是劣髓八8上的动点，则CM+2DM的川小值为A变式训媒【变式2-1.0。半径为2.AB.OE为两条直线.作OCIAzJ于C，且C为AO中点，。为圆上一个动点.求2PC+PE的最小值.【变式2-2.如图，在扇形OC。中，ZCOD=90,.OC=3.点八在OC上,AD=1.点8为OC的中点.点E是弧CD上的动点，WlAE-2EB的m小信是一B【变式2-3.如图.等边回（?的边长6.内切网记为。仇。是00I-动点,则2P8+PC的最小值为实版演练1 .如图.边长为4的正方形.内切网记为网（）,。为阀。上一动点,则E出+P8的最小优为2 .如图，扇形AOB中，ZAO=90a.OA=6,C是OA的中点，。是08上一点，OC=5,P是'应上3 .如图,半Bl的半径为1,八8为百径，AC、BD为切线,C=I.IiD=2.P为弧人8上一动点，见瞪*C+PO的最小值为.4 .在RtZXACB中,ZAOB=W.OA=H.Oli=10,以。为圆心,4为半径作圆|交两边干点C.D.5 .如图.在边长为6的正方形A8CD中,A1为八8上一点,且8M=2.N为边8C上一动点.连接WM点8关于MV对称,对陶点为化连接¾尸C,则¾+2PC的最小值为.6 .如图，矩形A8C。中，AB=2,AZ)=4,M点是8C的中点，A为网心，AB为半径的回交AD于点£点八8千点£户为劣瓠。E上一动点，连接PZ1.PC,则Pe居PB的最小假为8.如图.在平面直角坐标系中.A<2.0)、H<0.2),C(4,0)、D(3.2).P是AAOB外部的第一望限内一动点,且8¾=I35°.则2P>+PC的最小值是.9.如图.在RtZXA08中,NAC8=90°.CA=3.08=2,。的半径为1.M为Oo匕一动点.求AM+10.问题提出：如图I.在等边八8C中,A8=12,OC半径为6,。为硼上一动点,连接AHBP.求AP+1)去试解决：为了解决这个问遨，下面给出种解网思路：如图2,连接CP,在CB上取点。，使CDCP1(7)=3，则有兴=兴=小，又：NPCD=/BCP,.PCDBCP.CPCB2：.PD=-BP.：.APdBP=AP+PD.BP222请你完成余下的思考，并直接写出答案；八BP的最小值为.<2>自主探索：如图3,矩形八8C。中,BC=I,八8=9,P为矩形内部一点.II.PB=3.八0+PC的最小值为.<3拓展延伸：如图4.扇形CQ/)中.。为圆心.COO=I20°,0C=4.04=2.OR=3,点P是而上一点,求2/W+P8的最小值,画出示意图并写出求解过程.图3图411.<1)111.已知正方形A8C。的边长为6.阀8的半径为3,点。是例8上的一个动点.则。/吗OC的最小值为.P。-/。C的最大值为.2如图2,已知差形A8CC的边长为4,N8=60"，IfllB的半径为2,点。是圆8上的一个动点，求/旧。的最小值,以及PD-PC的最大值.2212 .阅读以下材*；.并按要求完成相应的任务.己知平面上两点儿B,则所有符合酱=k(Jl>ORl)的点P会祖成一个10.这个结论最先由古希朋数学家阿波罗尼斯发现.称阿氏阿.阿氏阅基本解法：构造三角形相似.【问题】如图I，在平面曲角坐标系中,在K轴，y轴上分别有点C(皿0).。(0,”)，点P是平面内=k,求PC+WD的Ai小值.一动点，I1.P=r,图1阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图I，在上取点M使得。M：OP=OPiOD=k：第二步：证明他。=PM：第七步：连接CM.此时CM即为所求的设小伯.下面是该跑的解答过程(部分)：解：在。上取点M,使得。M：()P=OP:()D=k.又VZPOD=ZMOP.：.ZPQWsADOP.任务：<1>将以上解答过程补充完整.<2)如图2,在RtZA8C中，AC8=9(,AC=4,BC=3,C为AABC内一动点,满足CO=2,利用中的结论,请直接写出A呜8。的最小值.PC13 .I如图1,己知正方形八8CD的边长为%即8的半径为2,点P是圈B上的个动点,求Po+PC的最小值和0)-PC的最大值:(2如图2.已知正方形AliCD的边长为9.网8的半径为6.点P是例8卜.的一个动点,那么的炒小值为叩-VpC的最大值为一<3如图3.已知菱形A8CC的边长为4,NB=60",IfllB的半径为2,点P是酸8上的一个动点,那么P>pC的最小值为,PD-PC的最大值为.14 .如图.她物线F=-i+b,x+c与直线A8交于4(-4.-4),B(0.4)两点.出线AGy=-x-6交轴于点C.点月是直线AB上的动点，过点E作EFIX轴交Ae于点F，交她物线;于点G.<I>求挑物戏产-+fcr+c的表达式；2连接G8.EO.当四边形GEa8是平行四边形时,求点G的坐标：(3在)轴上存在一点，连接£，HF.当点E运动到什么位置时，以A，£.F.为顶点的四边形是矩形？求出此时点E,”的坐标；在的前提下,以点E为网心，FH氏为半径作圆.点M为0E上-动点.求AW+CM它的最小值.15.如图，已知二次函数y=0v2+W+c的图象经过戊C(2,-3>,且与X轴交于原点及点8(8,0).< 1)求二次函数的表达式：< 2)求顶点A的坐标及H城B的表达式：< 3>判断4A8O的形状，试说明理由：4若点P为。上的动点,且。的半径为2历，一动点£从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段Ap匀速运动到点P.可以每秒1个单位长度的速度沿税段PB匀速运动到点8后停止运动，求点E的运动时间，的最小(ft.
