模型18 奔驰模型（解析版）.docx

大招奔驰模型因为像弃Ifc车标，所以叫弄It模型.EI【结论】如图，等边ZkABC,PA=3,PB=4,PC=5,则NAPB=I50*,SX=FAtf=至等El知I旋转可以让线段动起来证明：过点B作BQ1.AP与点QVNAPB=I50'NBPQ=30°BP=4BQ=2：.Pd=JBP2-BQ2=23：.AB2=AQ2-F2=25+123JflC哼用在咨以AP为边向左侧作等功ZAPD,连接BDVABC,ZsADP为等边：角形.*.Z0AB=60°-ZBAPNPAC=60"-ZBAP：.Zdab=ZPAC易证4DAB<ZPAC(SAS)DB=PC=5VDPj+BP2=DB-，ZDPB=90jZAPB=150'各种旋法，EJ超酷炫又实用I例题精耕【例1】.如图，点。是等边ZiABC内部一点，BD=,DC=2.D=3,则/ADB=150解：将次7)绕点R逆时计旋转60”得到ZUBO.：.HD-Hl),.AIJ=CD.；.NDBD=60*,.8。足等边三角形，工NBDD=60°,;BD=l,DC-2.AD-V3.D=l.W=2.在/»/)中，ADf2=ADDf2.二/八"=90°.ZADB=60'+90*=150.故答案为150.6A变式训练【变式1T1如图，点。是等边ZA8C内一点，八。=3.ZJD=3.=32.ACE是由AABD绕点八逆时针旋转得到的.则NAoC的度数是（>D.55,A.40"B.45"C.1051解：连接CE二八£=八。=3,CEHBD=3,CD32.ZftW=ZCAt.,.,A8C是等边三角形.ZfiC=601,.Z4HZDC=60i.,.ZCE+ZDC=60",即NOAE=G(T,二/)AE是等边：的形，：.DE=AD=3,.32+32=(32)2.：.DE2CE2=CD2,.DEC金包用三角形.ftZDEC=W.".DE=CE,NEDC=45'.ZADC=ZADEZCDE=105".故选：C.CP.若AP=6,WP=8.CP=IO.则变式1-2.如图.等边三角形ABC内有一点尸.分别连接AABP、SmBrS-BPC=24+16V§.耨：如图.将火.烧点8逆时针施转60°后得ZXA从连接根据旋转的性廉可知，旋转角NPBP'=NC8=60".BP=BP'.:ZPP'为等边.用形，：.BP'=8/=8=尸产:Ih旋找的件版可知.AP'PC=Id衣.ABPP'中,PP'=8.AP-6.×Ply×AP24+lf3由勾股定理的逆定理得.PP,是R角三角形.-SAt-+SB>C-S1l.u-S-BgSRP-故答案为：24>lf3【变式1-3.如图,点P是正方形八BC。内的一点，Fl¾=1.PS=PC=亚，则NMW的度数为IOU耨：如图,将ZXAHJ烧点A逆时针旋转<X)'f<JADE.连接上r,.,.4P4ED.：.AE=AP=i.>B=DE=2.N用£=90°,NAM=NAPB,.,E=2AE-2.NAEP=Nw1.H,：.DE=DP=PE=®,.OEP足等边三角形，ZDCP=60,.ZAED=IO5=NPB,故答案为：IOU.实战演练1 .如图，点。是等边三角形A8C内一点，OA=2.08=1,OC=近，则八OB与A8OC的面积之和为解：将八08绕点8地时针版K60'fiCD.连接OC,1.OB=BD,NO8。=60°,CD=O=2,，雨）/）电等边：.角形,J.OD=OB=."OD2+OC2=I2+（3>2=4,CD2=22=4.od2+oc2=cd2.-×i24-×1×3=-ZDOC=9(),.：,AOBijBOC的冏积之和为S,oc+5,W7)=S故"”SCOW)=故选：c.2 .如图，P是等边三角形A8C内一点，将戏段AP绕点4股时针旋转60“得到跳段4Q,连接BQ.若出=6,PB=8,PC=IO,则四边形AP8Q的面积为()A.24+93B.48+93C.24+183D.4S+I83耨：连接PQ.如图.,.,A8C为等边三角形.C,ZfiztC=60",.段段AP绕点人顺时针版转60得到段段Q.：.AQ=AP,N¾Q=60",.APQ为等边1角形，PQ=AP=6.'：APAQ-ZRMi-NCA8-/阴8.".ZCAP=ZBAq.i.APC和人。8中AP=AQZcap=Zbaq.AC=ABAPCAQR(5>*5).CP=SQ=IO.在Z800中,IPQ=6.BP=8.BQ=1().而62+82=IO2.：.PgPBl=B*为出角：角形.N8P0-<X，四边形AP8Q的面积=SIMSSMV=X6X8近X6，24=24+'3-3如图，O是正AABC内一点，0A=3,OBM,0C=5,将线段Bo以点B为旋转中心逆时针旋转60*汨到跳段BO',有下列站出：4B0'A可以由ABOC绕点B逆时针旋转60°得到；点0与。'的距离为1：NAOB=I5。°卷SX边对mb。=6+35:SMOC+Smob=6+g5其中正确的结论是（）A.©©©B.C.(3烦D.解：如图,连接00'.由奔驰模型推存过程可知0=6(,B()C4H0A./A()H=150°,ZMMK).为等边三角形,所以(M)-OB1故货:正确S用-o=4wo+%8。=33*1+9心6471故描洪如图,将AAOB绕点A逆时针旋转60',使得AR与AC我合，点0旋转至点0”.易知*）（）"足边长为3的等功V角形,axr是且用三角形,则SIiAOC+$M08=S/WOBO=SliCOOTSgOO=i×3×1+y×3=6+J3.故正确.综上所述,正确的钻论为.故选A.4 .如图，在受形ABCD中，NABC=60",触角线AC平分NBAD,点P是AABC内一点，连接PA,PB,PC.若PAW,PB=8,PC=IO,则菱形ABCD的面积等于.解：过A点作Al1.1.BP,交BP的延长镂于H.由仰驰模型可知APB=150°,ZAMI=30,AH=PA=3,PH=33,WI=8÷33,.*.AB1=H,+BH,=10O+183.：:=2Sc=2×fxAB=53G+725 .如图，点。是正方形ABa）内一点，若PA=,PB=2.PC=I,则/8PC=13是解：.四边形A8CC为正方形，二/八SC=90",BA=BC.把AHAP绕点8顺时计旋转90°将到zBCE连接"如图,：，BP=BE=®'CE=AP=遥,ZPBE=W.；.户BE为零腰耳角:.角形.N8PE=45,E=2,=2×2=2.PCT',.VPC=I.PE=2.CE=yS.,.I1C2+PE2CE2.二尸CE为口角三角形，NCPE=90°,.,.ZHPC=ZBPE/CPE=45,+90"=135".故答案为：135'.6.已知P是等边AABC内一点，若用=3,PB=5,PC=4,则AABC的面积=36÷2534解：.八BC为等边三角形.：.AB=AC,ZBAC=Wo,把AAPC烧点八顺时叶旋转60可得到ZAW),如图，：.AD=AP-3.BD-PC=4.OW=60'.NADB=NAPC.八DP为等边三角形，：.DP=AP=3,NAoP=60”，在48DP中，VDP=3.DB=A,BP=5,而32+42=52.：.DP1DB1=BP2,为五角加形.NBQP=90；.*.ZDB=ZADP>ZDP60+90°=150,ZPC-I50,:VZlD=150w.ZfiDE=304.在R心BDE''.HE=Rf)=2.J=3BE=23：.AE=Al)+DE3+23.在RAE,p.=BE2+AE2=V22+(3+2>3)2=25+12V3.Sw=4x(25+123)2：返.44故答案为：3吐47.如图，P是等边三角形A8C内一点，将线段4。绕点4地时针旋技600得到规段AQ,连接BQ.若布=6,PB=8,PC=IO.则四边形八尸8。的面积为24+95.；八8C为等边三角形，ZJAC=60,AB=AC.V线段AP绕点A顺时针故转60°得到线段Aa：.AP-PQ-6./¾Q=60'.AAPQ为等边三角形.Q=A尸=6,a：ZCAPZBAP-(M,NZMr÷84。60°.ZCAPZBQ.花八PC和八HQ中，AC=AB<Zcap=Zbaq.AP=AQ.".APCARQ.PC-QB=IO.在PQ中,VF2=82=64,PQ2=62,而64+36=100.JWQ为g角三角形,/BPQ=W,SH4.APH(»-S.,H>+S.APif-×6×8+故笄案为24+9l8.如图，P是等边三角形A8C内的一点，(=IO2.X62-24+*3.4且阴=3,PB=4,PC=5,以8C为边在AABC外作ASQCPBA¾.连接PQ.则以下结论中正确有（填序号）48PQ是等功-：角形CPCQ是宜角：角形/APE=150'冬耨：TZA8C是等边三角形.：.ZABC=My./APC=120。8。一占例.：.NCBQ=乙BPPB=QB=4,=QC=3,ZB!4=ZC./PBQ=/PBC+/CBQ=/PBC+NABP=/ABC=W.ABPQ是写边.用形.所以正确：PQ=尸B=4,PC2*OC2=42+32=25,P('2=52=25.PQ1QC2=PC2.>QC=9(.APC0是直角V角形，所以正确：.Z8PQ足等边二角形.：.乙PQB=4BPQ=工NAPB=N8QC=NBQP+NPQC=W+90°=150",所以正确：APC=360'-150°-60'-/QPC=150'-ZQPC."：7PQC=90a,PC2QC,二QPC30°,ZPC120.所以错误.所以正确的有2通.9.如图,户是正三角形八8C内的一点，I1.=6,P8=8,PC=10,若将4¾C绕点八逆时针抗转后，得到尸AB.<1>求点?与点P'之间的为离:<2）求NAPB的度数.ZPAC=ZP'B,而AMC+8AP=60°.所以NRW=60便.½APj'为等边三角形,所以PP'=AP=AP'=6：<2）利用勾股定理的逆定理可知：PP,'+BP2=BPt所以A8'为Fl角三角形,HZBPP'=90*可求APB=90°MO'=I5O,.10.卜面是一道例题及其解答过程，请补充完整.<1>如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,P=3,PB=4,PC=5,求/AP8的度数.解：将AAPC绕点A逆时针梃转60°,得到R.连接尸P',则为等边三角形."：PP'-PA=3.PB=4.P,If=PC=S.：.P'Pz+PB2=P'B2.BPP,为三角形.ZAPB的或数为.<2>类比廷伸如图2,在正方形ABCT）内部有一点R若AP>=135°,试判断税段内、力J、0”之间的数家关系,并说明理由.解：(I)如图I,相AAPC绕点A逆时计旋传60',得到AAP'B.连接"0',则AAP尸为等边一：角形."PP'=¾=3.PB=4.P'B=PC=5.：.P'P2+PB2=PBr.HPP,为出闲三知形.NAP8的度数为90°也>=150'.故答案为：Ffffh50,：<2>2Mt+PDPBi.理由如下,如图2,把AAOP绕点A顺时针旋转90"得到AASU,连接P尸.则P'B=PD,P'A=阴./PAP'=90：.APP,是等腋Ii角三箱形，二尸。'2=2+P,2=2l¾2.N叩A=454.；NAP/)=135".ZAP'K-API)-MS'.8=135'-45,=90".ftRtPP',由勾股定理得,PP,2+P'B2=PB2.".2R2+PD2=PB2.p00211.【方法呈现】:<1>已知，点P是正方形ABeC内的一点，连阴、PB.PC.将用8绕点8醺时针旋转90'到?'CB的位置（如图I）,设AB的长为小08的长为>求朋8拴转到ZSP'C8的过程中边小所扫过区域（图1中阴影部分）的面.积：【实际运用】:< 2>如图2,点尸是等腰Rt内一点，AB=HC,连接粗，PB,PC.若以=2.PB=4.PC=6,求NAP8的大小：【拓展延伸】:（3）如图3,点P是等边4I8C内一点，质=3,PB=4,PC=S.则Pe的面积是也接埴答案）解：（1）；将力8绕点B顺时针旋转90"到尸C8的位员，二用89/C8.：.SSRB=S&PCB.SWli=S«1MC-S«.RPP=J（2-b2>:< 2>如图2,连接尸尸.< ；将小8烧8点顺时针旋转90',与/>'C8曲合.¾S5P'CH.NPBP'=90”.IBP=BP'.NAPB=NCP'H.AP=CP'=2.PBP'是等腰直用三角形，；."'=aPBsNBPP=45a.在2CPP'中.'；PP'=42.CP,=2.PC=6.：.PP'2+CP'2=PC2.：ZP.尸是151.角三角形，ZCP'P=90”,："CFB=ZBP'P+NCP'Q=45'X）s=135°:<3>如图3，将AAA8绕A点逆时针旋转60'得到APiAC,连接/,.,.Pi4PlC.：.AP=APi,ZP4P=M）:,CP=BP=A,二小Pl是等边三角形，.PP=4P=3,'：CP=S.CPi=4.PPi=3.PP2+CP2-CP2.,CP十/直角=角形，ZCPiP=W.：SAf=Ix3x=S7*c=2x3X4=69日；SHarCPI=5mfpi÷S.ppic=÷6:95：4P2PC.Srp÷Sca11:=SNdriJWel=-+6；如图3,同理UJ求：ZiAB。和A8PC的面枳的和=；x4x竽+gx3X4=45+6,APC和ABPC的面枳的和=×5×+i×3×4=竿+6.ABC的面枳=I<尊+6+43+6+竽+6)=亨+9.4PC的面枳=C的面枳-A"3与48PC的面枳的和=(g+9)-<43+6>=竽+3.故答案为等+3.12. (I)如图1,点尸是等边ZiAHC内一点,已知则=3.PB=4,PC=5.求/AP/J的度数.分析：要直接求NAP8的度数显然很困难注意到条件中的三边长恰好是一期为股数因此考虑借助施转把这三边集中到一个三角形内.解；如图2,作/小。=60"使八。=AP,连接PO,C。，则/¾。是等边三角形.,.PD=AD=AP=3.NACP=/用。=60”< 4Be是等边一:角形.AC=AR.8AC=60"ZBAP=/CAD.,.ABPACD.,.HP=CD=4.NAPB=NADC:在aPCO中.PD=3.PC=5.CD=A.Pl)2+Cl)2=PC2：.Z.PDC=90aZAPB=ZADC=ADPPDC=(a+90°=150*< 2>如图3,在AAHC中，AB=RC.ABC=90°,点?是ZiABC内一点，PA=.PB=2,PC=3.求NA心的度数.< 3）拓展应用.如图<4）.BC.ZAfiC=30',B=4,BC=S.。是4A8C内部的任意一点.连接阴，PC.则¾+PB+PC的被小位为_VH_.解；（I）如图2,作/双。=60°使A。=Aa连接PC,CO，则树。是等边三角形.PD=D=AP=3,/ACP=/«0=60”；AABC处等边三角形.'.AC=AH.ZHAC=Mr.：.NBAP=ZCAD.".BPACD（.&Sy'BP=CD=KNAPB=NADC；在APCQ中，PD=3,PC=5.CD=4,PUr+CD2=PC2./W=90：ZAPB=ZADCADP+ZPDC=M,+90”150,故答案为：PD.ZCAD.NAPB.90.<2)WsVZA5C=90,BC=AB.把APBC圾B点逆时针旋转90得到ADBA.如图,“WBC图3AD=PC=3.BD=BP-2,VZ,BD=90*:.dp42PB22.ZDPH”.PD',八C=3,PD=Nm=1.Vl2+(22)-=32.ap2+pd2=b)2.八PO为H角三角形,r.ZAPD=tXY.,.ZAPB=ZAPDZDPB=90i+45*=135°.(3)如图4中,将ZABP绕着点b逆时针旋转60个3.：/××X图4.得到ao.连接占化cd.,RPl)8E；.NABP;NDBE.8D=AB=4.,P8E=Z)".IiE-PE.AP-DE.ZiOPE是等边三角形1.EP=BP.APBP+PC=PC+EP+DE二当点。点£点P.点C共线时.例+PB+PC有设小伯C/)：/ABC=30"=ZABPZPBC二NDBE+NPBC=WZDBC-90”CC=JbD2+BC2=V2+42=旧故答案为I1.13.（原题初探）（I）小明在数学作业本中看到有这样一道作业烟：如图I,P是正方形A8CC内一点，连结¾.PB,。现新以8浇点从喉时针旋转90得到的CH,连接OP'.若以=08=3.4PB=I35",则PC的长为,正方形ABeT）的边长为.变式猜想（2）如图2,若点P是等边448C内的一点，口阳=3,PR=4,PC=5.请猜想/A08的度数,并说明理由.拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小造的训练后，善于反思的他乂提出了如下的问题：如图3,在四边形A8C。中，AC=3,CD=2,ZC=ACB=ZDC=454.K'l8。的长度为.解：(1)；ZkAS一点B顺时针旋转90°将到的/»'CB.,.RP=BP'=3.P'C=PA41,NPBP'=90'.ZBP'C=/APB=135°，OBPP'为等腹点角：角形，；./B尸。=45".PP'=2P=32.ZP,C=135°-45°=90",在RPP'C,l,.由勾股定理用：PC='JPP,z+P,C2=J(32)2+(2)z=2S.过点A作AEHP交BP的延长战于E.如图I所示：.A08=135°,ZAPE=IHO-135°=45°.'ZkAEP是等假直角三角形.：.AE-PE="m=X=I.：.BE=PB+PE=3+14.在Rl八£8中，由勾股定理得：AB=>iAEi+BE2=l4+42=17.故答案为：25,17s<2>NAr8的度数为1S(T.理由如卜：:八8C是等边三角形，.48=8C,N48C=60",将&PC绕点8逆时针旋转60“，得到ABPA.连接尸，如图2所示：则是等边三胸形.：.PP'=BP=4,ZRPP,=60。，VAP=3.AP,=PC=5,二尸产+4尸=A尸一APP,为Cl角三角形，APP,=90°.ZAPH-ZAPP'+ZBPP'=90°+60°=150”：<3),：ZBC=ZACB=DC=45'.ZMC是等腰H角三用形.工NBAC=90",AB=AC.将AAS空点八顺时针旋转90',讨到AACK,连接CK如图3所示：由旋转的性质用：AK=AD=3,CK=RD.NKAD=90；二。八K是等艘自用三角形，.OK=4O=3.DK=45",ZCDK=ZAC+ZADK45'+45'=90".：.ACDK是花用三箱形.14.阅读下面材料:小明遇到这样一个问遨：如图I,在等边三角形A8C内有一点R且阴=3，PB=4,PC=5,求/AP8度数.小明发现，利用废咕和全等的知识构造AU'C,连接PP',得到两个特殊的三角形，从而将何题解决（如图2）.请回答：图1中NAP8的度数等于,图2中N'C的度数等于.参考小明思考何时的方法，解决问应：如图3,在平面内角坐标系XOy中，点八坐标为（一行，I,连接八0.如果点8是X轴上的一动点，以解：阅读材料：把AAP8绕点A逆时针靛/60”得到人.由旋转的性质.P'A=¾=3.P'D=PB=4,ZPP,=60".APP,是等边三角形，：.PP'=¾=3,ZP,P=60j.YPP'2+P'C2=32+42=25.PCt=52=25.：.PP'2+P'C2=PC2,1NPP'C=90c,.,.7AP'C=/AP'ZPP'C=60"+90°=150°:收NAPB=NAP'C-I5(：故答案为：15()”：90°：如图3.在F轮I截取OD=2.作CF±y轴于F.AElx轴千£.连接AD和CD.:点A的坐标为（-3,1）,Ian/AOE=：.AO=OD=2,ZAoE=30°.Z4OD-60.八。足等边三角形.又Y八8C足等边：角形，.A8=AC,8=NOAC=60'ZCAD=ZOAB,.ADCOB.ZADC=ZAOB=5Q,.又；/A。尸=120'.ZCDF=30,.DF=3CF.VC(.y)且点C在第一象限内，.t-2=3k,.)=5k+2(x>0).