专题69 数与式中的新定义问题（原卷版）.docx

数与式中的新定义问题例题精讲【例1.定义一种新运抽Jnxn-1dx=an-bn例如J：2xdxk2J若A变式训练【变1-1.定义：对于实效“，符号1。）表示不大于”的最大整数.例如：（5.7=5,5J=5,I-11=-4,如果*=3则X的取值范用是（）A.SWXV7B,5<<7C.SvXW7D.SWXW7【变1-2.规定：符号区叫做取整符号,它表示不超过X的最大整数,例如：5=5.2.6=2.（0.2=0.现在有一列非负数。|，。2，<,已知"=10当“£2时，4"=M1+17(等I-气马，则42022的值为12.定义：如果一个数的平方等于7,记为j2=-,这个数j叫做虚数单位，把形如“+'的数叫做夏数,其中。叫做这个更数的实部,/>叫做这个复数的虚部.它的加、减.乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似.例如计算：(4+i)+(6-2r>=4+6+r-2=10-(2-i)<3-i)=6-2r-3i+it=6-5r-l=5-5i根据以上信息计算(l+2i)(2-i>+(2-i)2=.“变式训练【变27.贾宪是生活在北宋年间的数学家,著有黄帝九堂算法细草M择根算书*等书.但是均已失传.所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也林为“杨辉三角”.贾宪发明的“开方作法本源“图作用之一，足为了揭示二项式(b)n(=1.2,3.4.5)展开后的系数规律，即<<+Z>)i=(t+b.<+)2=(+2ulH-b2,<+h)3=frj+3fl2+3rt2+frj.(a+b)4=«4+43h6(2+43+/.<+h)'=J+50*H12+1(k,+5b4+b5.alla12aIn'222*32n【变2-2.已知"行”歹"w'2)的数表A=：.:中，对任意的i=l,2,，",j=l,2,th都存即=O或1.若当"”=0时，总有(<Jf*a2f÷-+w)÷<ar÷f2*÷i)2小则称数表A为典型表.此时记表A中所有的和记为'001'<1>若数表B=100,11OjTIo0,11000011,0011,其中典型表是<2>典型我中Ss的最小值为.实战演练1 .对任意两个实数”./>定义两种运尊：“=a(a>b)b(a<b)i触=b(a>b)/、并且定义运算独序仍a(a<b)然是先做括号内的.例如：(-2)3=3.<-2)03=-2.(-2>3)02=302=2,则(52)SV27-()A.35B.3C.5D.22 .对于两个不相等的实数。、b,我的规定符号Min<b以表示“、，中较小的俏，Irn(2.4)=2.按照这个规定，方程A”川上，3=±-1的解为(>XXXA.1或3B.1或-3C.ID.33 .定义：如果"=N(心0,a1),那么X叫做以。为底N的对数，记徽K=IoguM例如；因为72=49,所以1噩鸿9=2：因为53=125,所以k>gsl25=3.则下列说法正确的个数为( Iog6=0： Iog323=3k>g32:若log：(3-。)=log27.则。=0：Iogziy=log2+k>g2F<x>0.y>0>.A.4B.3C.2D.I4.我们把&y称作二阶行列式，现定它的运算法则为ay="<-机.如=2×5-3×4=-2.请你计-2笠2的值为.4-95.时于实数Gb.定义运算'O'如下：a<Qb=(+b)2-(.a-b)2.若(m+l)(.m-2)=16.Wlnt6 .设”为正整数.记n!=IX2X3X4XX”(心2),I!=I,贝小一小一T-+甚一+42!3!4!9!10!7 .新定义：任遨两致团，”，按规定y=典-m+n得到一个新数丫，称所得新数丫为数M的“愉悦数二则n当m=2v+1.=*-1,且/»,的“愉悦数”y为正整数时,正整数X的值是.8 .对数的定义：一微地,若"=N(>0且“KI),那么X叫做以“为底N的对数，记作X=Iog,A,比如指数式2j=8可以转化为对数式3=log28,对数式2=l%6%,可以转化为指数式62=36.计算Iogj9+logsl25-Iog232=.9,对于正整数M我们规定：若,n为奇数，则/(m)=3,n+3:若m为偶数，则/(加=号.例如f(5)O=3×5+3=18.f(8)=-=4,若f11=l,j112=<1111)zm3=(112).mt=f<w).依此规律进行下去，得到1列数制,M2>m3,nt4,»mn,GI为正整数),则BJl+m2+m3+«2021=.10.如图，把平面内一条数轴X绕原点O逆时针.加利用0(0090得到另一条数轴AX轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点尸作y轴的平行戏，交K轴于点A,过点。作K轴的平行戏，交F轴于点&若点A在X轴上对应的实数为“，点8在轴上对应的实数为4则称有序数时(“，b为点P的斜坐标.(I)点P(x.y关于原点对称的点的斜坐标是：2)在某平面斜坐标系中,已知8=60°,点。的斜坐标为(2.4).点N与点P关于X轴对称，则点N的斜出标是.I1.欧拉是18世纪瑞士著名的数学家.他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域.在初等数学中也留下了他的足迹.下面是关于分式的欧拉公式：-7TT7*1.VKT÷77-TV=(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(cb)p,r=0时0,r=l时1,r=2时a+b+c,r=3时(其中54C均不为零,且两两互不相等).|当=0时.常数的值为.2利用欧拉公式计算：-20213*20q3=.12 .任何一个正整数”都可以进行这样的分裤：n=s×t（$、，是正整数，B,i>.如果PXq在”的所有这种分解中两因数之差的绝对值呆小，我们就检;PXq是的最佳分解,并规定；F<n）=E.例如18q可以分解成1X18,2X9,3X6这三种，这时就有F<18>=-=-给出下列关于F5）的说法：F（.2）=-iF（48）=A.F（J+“）=-0-.若zj非O整数.则F（rr2）=1.其中正确说法23n+1的是（将正确答案的序号填写在横线上）.13 .对于三个实数小b,c,用Wa,b,c）表示这三个数的平均数，用”向伍，b,¢）表示这三个数中最小Is+q的数.例如：2.9=气三=4,而【，2,-3=-3,而"3,I,l=l.请结合上述材料，解决下列例时：<I>，疝"sin300,CoS60°,tan450）：<2>ZiA（-2.?,3）=2,求K的值.14.定义，y为二阶行列式,规定它的运算法则为:=Od-be.例如:2017201820162017的值.<2>若ln+211r20.求m的值.m2m+25材料；对于一个四位正整数m,如果满足百位上数字的2倍等于千位与卜位的数字之和,I位上数字的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”.例如：.3579中,2×5=3+7=IO.7X2=5+9=14,，3579是“相邻数二<1>判断7653,3210是否为“相邻数”,并说明理由:<2>若四位正整数”=l000+100HIOed为“相邻数”,其中a.b.c,d为整数,且IEaW9.0fe9.OWCW9,0J9.设尸（n=2c.G（w）=2d-a,若竺1答应二空为整数，求所有湎足条件的此16.我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法3中提出“杨辉一:角"（如图），此图揭示了（+b>"<n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律.例如：（÷b>D=I,它只有一项.系数为I；<4+)=a+b,它有两项，系数分别为1,1,系数和为2：(+>)2=+24h>2,它有三项,系数分别为1,2,I,系数和为4：根据以上规律，解答卜列问题：<1><a+h)'展开式共有项.系数和为.2求(勿-1S的展开式：<3>利用表中规律计算：255X21+IOX23-10X22+5X2-I(不用表中规律计算不给分)；<4>设(.r+l>l7=7x,7+<11<ulft+-+tt+<ro.贝J“i+3+g+6+7的侑为.1(+b)0=l11(a-b),=a÷bI132J1(a-b)2=a-+2a÷b21 4641(a-b)3=a3+3a-b+3a-÷b3(a+b)4=fl4+4a3b+6at>-+4ab3÷b4图1图217.若规定了(mm)=n×<n+l)×(+2)×5+3)××(n+m-1).且”为正整数,例如f(3.1)=3,<4,2)=4×5./(5.3)=5×6×7.<1>计笄/(4,3)-<3.4)s<2>试说明：f(n,m)=-f(n,m+l)-f(n-l.m+1)：m+1<3>利用(2中的方法解决下面的何密，记«=/<1.2><2.2>V(3,2)+f(27,2),b=f(1.3)+f(2,3)V<3.3)+4/(11.3).的值分别为多少？试确定a的个位数字.18 .请阅读以下材料,解决何题.我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数,即Mnq但是，在城数体系中，如果一个数的平方等于-1.记为户=-1,这个数.叫做虚数监位,那么形如b为实数)的数就叫做复数.“叫做这个加数的实制，/，叫做这个页数的虑部.它的加，诚，乘法运算与整式的加，M，乘法运舞类似，例如计算：(3+力i=3i+i1=3i-I(2+r)+(3-4r)=(2+3)+(1-4)f=5=311若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个宓数相等：若它们的实部相等,虚部互为相反数，则称这两个复数共转.如l+2i的共奥更数为1-2i.根据材料回答：< 1>埴空；(2+r>(3r-I)=；将”r2+9(，”为实数)因式分解成两个红数的枳：”入9=.< 2>若叶加是(l+2i)2的共奥里数，求(h->2022Kffi：< 3>已知(+i)(4)=2-4r.求(J一户)(/Hj+产+产23)的俏19 .式子“I+2+3+4+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，100为了简便起见，可以将上述式子表示为En，这里是求和的符号.例如“I+3+5+7+99”用n-i5010可以发示为工(2n-l).ttl3+23+3j+-+IO3"IIIu,可以友示为工n.n-ln三l6,1把E写成加法的形式是：n三l<2>“2+4+J8+100”用u"可以表示为:2022,计监£(-7r)n,1n(n+l)2().好学的小贤同学,在学习多项式乘以多项式时发现：(+O<2+5)(Iv-6)的结果是一个多项式.弁且展高次项为：-.r2r3x=3,常数项为：4×5×<-6)=-120.那么一次毡多少呢？要解决这个问题，就是要确定该,次项的系数.根据尝试和总结他发现：一次攻系数就是：-×5×(-6)+2X(-6)×4+3×4×5=-3,即一次项为-3x谛你认真领殳小东同学解决何的的思路，方法，ff细分析上面等式的结构特征.结合自己对笠项式乘法法则的理解，斛决以下问题.< 1>计算(x-5><3r+l)(5x-3)所得多项式的一次项系数为< 2>若计算(.t2+.r-I><?-2r+«)+3)所得多项式的一次项系数为2,求“的伯；< 3>柠<+1>2022=«or02：+«.ta,21+air020+«202«+«2022.则“2021=.21.阅读下列材料.材料一：对于一个四位正将数,如果百位数字大于千位数字,且个位数字大于十位数字,则称这个数是“双增效展如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于I位数字，则称这个数是“双域数例如：3628、4747是“双增数”，5231、9042是“双减数”.材料二：将一个四位正整数W的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数W,设定：<w)=m-nf.例如：F(2146)=2146-2416=-270.<1>联大的”双增数-是,最小的“双减数”是；<2已知"双增效"s=100Ox+100(>4)+10)M(1WxW9,0WyW9,x、y是整数"双减数，=3000+2+>(OWaW9,09,«,。是整数)，且，的各个数位上的数字之和能被12整除，现规定&=F(三)+F,求*的最大值.