执果索因反其道而思 论文.docx

执果索因，反其道而思摘要：在教学教学中，逆向思维是教学创造性思维的一个点要组成部分，量数 学思维的一个重要原则，也是进行思线训练的栽体.本文简单阐述了逆向思维在 定义、公式、定理以及法则中的体现，着支分析了逆向思维在敢学教学和解欢中 的培养方法，培养和提高学生的逆向思维能力反其道而行，思考数学问迪.美使字：逆向思维，教学教学，培养方法,能力提高1引言陶行知先生曾说过：“大雨过后，有两种人：一种人看天，看到的是前蚯与 美丽：一种人低头看地，看到的是淤泥与绝望”.在一节课中，老师让学生.花好 少的钱买样东西，要求是把整个教室都装满。有的学生买来装饰画，有的学生 买胶带他们都没有达到老师的要求，但有位学生用一根蜡烛，就可以用光芒 照亮教室的每个角落。聪明的孩子没有像其他孩子那样，想若用最少的钱买更多 的东西，而是在思考是什么可以最大化的装满教室。教学中，学生经常会钻进问 题的死胡同走不出来，困惑苦恼。正向思维是中学生在学习数学时的思维习惯， 而有些问题使用正向思维容易走进死胡同,但运用逆向思维往往会使学生“拨开 云雾见春天”.逆向思维就是人的思维活动从一个方向转向相反方向，也称为反向思维.就 是可以从问题的相反位置、角度、层次、侧面去思考，当某一思路陷入困境时， 快速转换到思维的另角度去思考，往往会绝处逢生，使问题迎刃而解.像这种 思维的跳跃性，是逻辑思维的个重要组成部分.2400多年前，占希腊开始研窕占典几何三大难题（三等分角、立方倍积、化 圆为方）,而2000多年来，人们在这三个问题上毫无建树.后来,人们认识到从 正面研究这个问题不如“反其道而思之“，从反面去怀疑这些难题是否有解，人 们因此受到启发.在1937年法国数学家万芝尔证明了立方倍积、三等分角的尺规 作图不可能问题：1882年德国数学家林然亚证明了化制为方的尺规作图不可能的 问题.这说明逆向思维在解决问题时的重要性.在物理学上，逆向思维也发挥J'它 “出奇制胜”的作用.英国物理学家法拉第在奥斯特的“电流的磁效应”试的中 受到启发，反向思考，经过十年的实验研究，于1831年提出了著名的“电磁感 应定律”，并根据这定律发明了世界上第台发电装置.而我们熟知的“司马光 砸缸”的故事也运用了逆向思维，司马光打破f “救人离水”的常规思维模式， 而是“让水离人二救了同伴性命，传为美谈.逆向思维在思考和处理生活、物 理、数学等方面问题时，发挥了重要作用.因此，逆向思维的研究对于数学教学 方面有着非凡的意义.逆向思维有助于学生.搜脱思维定式的束缚，突破习惯的条 条框框，产生新的思想、新的方法U .现石的文献中，许多研究者对逆向思维做出了研究.在对数学教学中关于学 生逆向思维能力培养的研究中，研究者仅停密在从数学教材内容的分析上去培养 学生的逆向思维能力，所以本文在此基础上，全点研究了在教学中从逆向思维在 数学问题的应用上培养学生逆向思维的能力.新课标要求中学生通过初中阶段的 数学学习能够具备函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想，这些数学思 想的培养，都离不开逆向思维的运用.本文简单阐述了逆向思维在定义、公式、定理和法则的逆用上体现，逆向思 维在数学教学内容的亚要作用.接着研究了逆向思维在教学中的培养策略.通过在 教学中培养学生还原意识和逆向意识来悟助学生养成逆向思维意识：在研究将逆 向思维渗透到解题过程中分析了几种方法：反证法、举反例法和分析法.希望读 者通过对本文的阅读，能够对培养学生逆向思维能力有更多的了解，也为些问 题的解决提供有用的想法与思路.2逆向思维在基础知识中的体现本章节研究了逆向思维在基础知识中的体现，介绍了定义的逆用、公式的逆 用、定理的逆用和法则的逆用.2.1 定义的逆用在数学解题中，“定义法”是一种最基础最常见的方法，而定义的逆用是培 养学生逆向思维能力的最直接的方法，便于学生打破常规，养成反向思考的思维 习惯.在数学教材中，作为概念的逆命题般总是成立的.因此，在运用定义时， 我们可以运用原命题，还可以引导学生研究并应用其逆命题.例如利用反函数的 定义域与值域互逆解决求反函数的过程繁杂且易错的问题.例 1.设/CO = 4'-2*“，求fRO).分析：本题常规思路是先求出反函数/'(X)，再另X=O求出广(0)的值.但 是在求解函数/(0的过程比较难，思维会受阻，容易产生错误.但是当逆用反 函数的定义和性质：定义域、值域相反且对应法则互逆，先令"r) = 0,求出X 的值,便是广'(0)的值，问题求解过程变得,单易懂.解令八 *)=4 WO,则 4"=2"' =*',所以 X = J(x+1).解得：X=L即尸(O) = L在初等数学中，定义教学是每一章节的重要内容.往往这些定义都比较简 单，我们更应该在教学中注意这些方面的训练，M助学生养成逆向思维的习惯. 如直线方程定义教学中，除了强调把h-y+ = 0叫做直线A的方程，直线L叫做 这个方程的图像外，还应该指出对于直线L的方程h-y+8=0以该方程的任何 一组解为坐标的点都在直线L上，反过来直线L上的点的坐标都是方程的解”.同 样的定义教学还有函数的奇偶性、周期性等.例2.已知函数，*) = *'+办+2一6是奇函数，且"-2) = IO.求/(2)的值. X分析：奇函数的定义：函数/(X)在定义域。内任意实数X，都有f<-x) = -f(x)，那么就把函数f(M叫做奇函数.可从定义的逆命题思考，“如果函数/")是奇函数，那么对于函数f(x)定义域D的任意实数X,都有A-O =-f(X)” .解设函数g(x) = . + r+2,定义域。是M-><<+coi;在定义域内，对手任意的 ,都有g() = r(x),所以g(x)是奇函数.因为/(-2) = 10,所以g(-2) = 16所以 g(2) = - g(-2) = -16,则/(2) = g(2)-6.即 /(2) = -22.例3.已知单项式与-3W是同类项，求，”和的值.分析：同类项满足两个条件：(1)所含字母相同相同字母的指数也相同的单项式我们在教学时，应该让学生反向思考同类项的定义，运用已知结论，去求解它 所需满足的条件,可以增强学生对同类项定义的理解并能够运用定义去解决问题.解因为加5/和一3fl W是同类项.所以，”+1 =3. = 2.解得，” = 2. = 2.在解决笈杂的数学问题时，若能运用定义的逆命题，可以使解题过程变得简 学易懂，而且能够保证答案的准确性.在课堂上，我们要积极地训练引导学生进 行逆向思考，提升学生的逆向思维.2.2 公式的逆用数学公式的运用是数学解超过程中重耍组成部分.题目在教材和定义的基础 上进行发展深化，基本的数学公式已经无法恰当使用，在解题过程中，我们更应 教会学生.将公示变形，逆用公示,但是学生.在做题时缺乏这种自觉性和变化性.因 此，在讲授公式时，我们可以通过公示的逆用训练，加深学生对公示的理解与记 忆，还能培养学生灵活运用公式的能力和双向思维能力.如在讲授平方差公式 时，不应该让学生死记哽背课本上的公式，而是迸行推导演示给学生观察，让学生探究公式是否可以逆用.常规思维是：/-从=5+砥4-阶,逆向思维是：(“ +力Xa-/» = /-/.还有比如三角函数公式，学生解题时用的最多的是逆推公 式.如：和差化积、积化和差公式：. cos(x- v)-cos(x+ V)sin xsn v =:-2cosCv + V)+cos(.v- V)cos.vcosy =sin( + V) + s in(x - y)sin A'cos y =:-2倍角公式：sin 2x = 2sin .vcos.vcos2,= cos2 x-si3 A = I-2sir .v = 2cos2-1这些基本公式和恒等变换，都是正反用结合.这些数学公式一般都具有双向 性，学生的思维定式是从左往右使用，而对逆向使用不熟练，因此在教学中，需 通过公式逆用的实例进行反复讲解，全更训练，帮助学生同步发屣正向与反向思 维.2.3定理的逆用数学定理是数学学习的重要部分，学会定理的使用是教学的重点,很多定理 的逆命题往往也是成立的.在教学中,学习完某数学定理后，教师应引导学生 探究其逆命题，再去论证判断其逆命题的正确性，进而后发学生使用逆命题去解 决一些数学问题，这可以激发学生的学习兴趣，激发他们的钻研意识，培养他们 创造性思维能力.例如勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是。.从斜边是 C.那么满足a2+Z=c2和它的逆定理：如果三角形的三边长”,瓦c满足 a'+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的逆用可以帮助学生拓宽 思路，掌握更多的解题依据.例 4 '.在四边形 ABCD中，AB = 3, BC = 4, CD = 12. AD = 13,4 = 90 :求四边形ABCD的面积.分析：在A8C中，/3 = 90 ,由勾股定理可以 计算出AC的长度.再由ACaDA的长度关系由 勾股定理的逆定理得出AAC。是直角三角形.解 在 A8C中，/8 = 90 ,由直用三角形的勾股定理得AC2 = AB2 + BC1.即 Ae2 =3li+42 =25,所以AC=5,所以 A8C 的面积为 La88C=Lx3x4 = 6.22在 AACQ中，52 +122 = 32,AC2 + CDi = AD2, 由勾股定理的逆定理得A8是直角三角形， 所以NC = 90.A8 的面枳为-CCD = -×5l2 = 30.22所以四边形ABa）的面积为36.例5.己知方程+.r+c = 0的两个解分别是内=3,.* =-1,求/>和C的值.分析：此题已知方程的解，求方程.如果从正面思考解方程则无从下手，需 要运用韦达定理芭+.匕=-23尤=£,但是已知0X,的值，应该逆用韦达定理，求 a a解瓦C的值.hr解 因为玉+毛= 2,.vl. = = -3 ,« = 1即8= -2c = -3.以上两个例题说明/逆用定理在函数和方程上的重要作用，同样，在数学几 何中，逆用定理也是至关重要的.在学习平面几何，直线平行的条件和性质：平 行线平行的性质和条件：三角形相似和全等的判定定理：空间几何两平面垂直的 判定定理：直线与平面垂直和平行的判定定理等等.这些定理的逆命题都可以成 为学生证明解题的依据，在教学时，应该同时推导证明其逆命题的正确性.例如：探究两直线仁人*+4>'+。|=04：41+4），+。2=0平行的条件时，在学生充分理解鸵握基本定理的基础上，引导学生探讨直线平行与系数间的相互 关系.G1-G-Cgbi至”为/O = ' = AH , O,(2)l 与/、重合Oa:A2(3M与，2相交o±2.4法则的逆用数学法则是数学规律的体现.其中包括数学元素间的内在联系与解决问题的 方法这些法则运算中有很多是互逆的，学生最早体膑到的就是小学加减乘除运 卯的检验,加法用减法检验，乘法用除法检验：中学所学的乘方与平方、合并同 类项与雎项式分项、分式通分与分式裂项、分子分母有理化等运算：高等数学中 的指数运算与对数运算、导数与积分等，这种反常规运算，可以提高学生进行逆 向思维的自觉性.在教学中注意将这些运算进行比较与训练，也是培养学生逆向 思维的重要方面.例 6.求 S* =+ + +. +.I ×2 2×3 34 4×5+分析：本题如果按照常规方法：先通分后相加，计算量大，必定束手无策. 若逆用减法法则：-L=!则会使问题由繁化简.这类问题是常考题，也n j + 1 ( + 1) 是学生普遍的难题.解 因为=,n « +1+化简得邑=1-三” + 1,3在教学中培养学生逆向思维意板数学课堂是学生学习数学知识、培养意识的重要环节.培养和加强学生的逆 向思维有利于开发学生的创造性活动，也是提高学生数学素养的至要组成部分. 因此，在教学中教师应将逆向思维意识渗透到课堂中，尽可能的抓住时机训练由 正而反的思维方法.具体可以从培养学生的还原意识和逆向意识进行教学.3.1 形成还原意识还原思想是个“执果索Pr的数学思想，一般来说这样的题都有个清晰 的逻辑版序.在数学课堂上，以教学内容的客观规律为根本,将教学内容构建成 U次化结构，根据每一U次的特点设计教学步骤.在引导学生对知识的学习和应 用的过程中，获取具有逻辑性的结论，然后依据正向逻辑引导学生使用逆向思 维.例如学生在学习数数时，通常都是由小到大的数，等学生.掂培熟练掌握后， 引导学生由大到小进行数数.在这个例子中，由正而反的教学设计思想使得学生 对数学知识的认知不仅从“正向分析”和“逆向分析”两个方面获得r整体而深 刻的理解，并且使学生潜移默化地形成了还原意识，使得学生的思维更加活跋， 更加全面.3.2 培养逆向意识在教学设计时，教师可以通过逆向设计，使学生清矮地辨析概念、通彻地理解定 理的性质，并鼓励学生勇丁 “反其道而思之”，从问题的对立面进行深入探究， 以此来提高学生的逆向思维能力.例如，在讲“角平分线的性质定理以及逆定 理”时，如图教师要引导学生运用正向、反向思维两种方式.思.考问题： 因为点Pl40B的角平分线上，所以PE=尸“（正向思维）： 因为产£=/沙，所以点P在4（用的角平分线上（反向思维）.4将逆向思维油透到解题方法的教学中在解题过程中，运用逆向思维解题的方法普遍存在.本节将从解题方法的角 度展开研窕.主要分析r反证法、举反例法、分析法.4.1反证法数学中有的问题直接证明会有困难，无从下手，对于这些命题可以反过来思 考，采用反证法.反证法是一种间接证法，它是通过证明一个命强的逆否命题来 证明原命题正神的一种方法，是运用逆向思维的一个范例”.反证法是根据已知条 件，假设结论成立，经过层层推理，证明这种假设是错误的，然后完成证明.反证法的特点是提出与结论相反的假设，进而运用条件进行推导，得出与定 义、定理或与已知条件相矛盾的结果，及后推新假设，从而肯定原命题是成立 的.因此，反证法是逆向思维的最常见的方法，也是学生容易掌握的一种证明， 对于培养学生逆向思维是至关重要的.例7.求证&是无理数.证明：假设祀是有理数,令41 = P（“M互素qi = R两边平方得/=2炉<7所以"是偶数，那么,也是偶数.设 =2k代入上式得(2A)2 = Iq2,化简得所以夕2也是偶数，则q是偶数.那么PM存在公约数2,与互素矛盾，所以假设不成立，即是无理数.例&己知A?C求证：.M8C中至少有一个内角小于或等于601证明：假设A8C中没有个内角小于或等于60 .则ZA>60 .Z>6(),.ZC>60.所以 Z4 + N8 + NC>60 +60+60 =180,.即NA + N +NC> 180 ,这与三角形的内角和为180矛盾，则假设不成立，所以A8C中至少有一个内加小于或等于60.教学中，教册需要注重强调反证法的证明步骤：反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立：(2)归巡：从假设命题出发,经过推理证明得出矛的：(3)结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.4.2举反例法举反例法是学生在做选择和判断题时常用的一种方法，运用举反例法往往会 获得事半功倍的效果.数学中的反例，就是找到某个既能满足命迤的条件，但在 该条件卜.无法得证结论成立的例子.举反例是建立在数学理论和逻辑推理的基础 上的.举反例法可以使解题变得简单快速,但是能够熟练运用举反例法在于学生 思维是否敏捷，灵活敏捷的思维是培养逆向思维的个重要条件.例如判断题中常见问题：命题“若为偶数，则”必为偶数."反例“ =14=3.命题”若14=1小则。="反例“ = 2/ = -2.命题(3) “若两个角相等或者互补，那么这两个角的两边分别平行”反例如图两直角相等且互补.在中学教学过程中的些证明题往往是按照逻辑推理的顺序或者是由已知条 件完成证明的，但是在一些题目中条件会非常有限或者隐瀛起来，学生在遇到这 种类型的题R时会感到非常棘手.教师应该教会学生利用逆向思维的分析法，执 果索因，由结论着手.逆向推导出应该成立的充分必要条件，从而推断出题目中 的所有已知条件,最后再反过来按照逻辑顺序重新进行相关的证明.分析法也叫逆推法，适用丁各个题型中，使用较多的是在条件探究题中.使 用分析法必须让学生知道此解强过程是可逆的，从结论倒推到条件，要求学生有 较高的综合能力.这种方法经常出现在高考题和高等数学中，其中在几何、不等 式的证明中经常使用.例 9.如图，已知。4:0C = O8:00,求证：ZA = NCNB = ND.分析：本题是求解两组角相等，进一步观察这两组角是互为内错角，因此 要证 NA = NC" =只要证A"CO,只要证”=竺，（已知） OC OD得证.这是一道比较简单的证明，分析步骤只需几步，但是它给出了分析法解题的 基本步骤.从“未知”到“需知”,再从“需知”到“已知”，从而得出证明.在教 学中，必须强调学生每步的分析必须要有依据并IL是互逆的，才能保证证明的 严密性和准确性.逆向思维的形成，有利于学生学习能力的提高与个人品德的完善：帮助学生 扩展想象空间，提高学生基础能力，还能提高学生创新能力,教师应结合教学内 容，帮学生理顺知识点的逻辑股序，有目的、有计划地提出兆逆向问题，引导 学生发现知识点的可逆性，启发他们学会运用逆向思维进行解题，在训练中学会 使用反证法、举反例法和分析法并生成逆向思维意识，提高逆向思维能力.良好 的思维习惯能够梢助学生去粗取精、去伪存真，抓住问题的本质.当然我们不能 片面有大逆向思维的作用，有选择性的使用逆向思维，否则会增大问题的琲度.参考文献3范成.教学逆向思维的培邦充略J.数理化学习教育理论收）.2012. 3:23-24.居明.诙对初中生数学逆向思维的培#J.语效外学习（初中版上句）.2014. 8:12.5成需广.教学数学中培养学生逆向在收舱力的策略J.丹东十学报.2002. 9 （2）: 58-59复聚鲫.敷学效学中逆向思维的培养J,新课隹（下旬）,2013, 12:172-173.吴木成.逆向思维在教学论证中的作用与培养（J.款Ir教学论坛，2014, 18:104-105.李玉海J.断技Ir时代电子杂志（技师版）,2016, 9:73.