成理工核辐射测量方法讲义07核辐射测量统计学与误差预测.docx

第7章核辐射测量统计学与误差预测核衰变是一种随机过程。因此，观测核衰变中发射的辐射的测量，必然存在某种程度的统计涨落。在测量仪器可靠的前提下，核衰变的统计涨落是测量误差的主要来源。研究核辐射测量数据的统计涨落特征与规律，至少具有两个方面的意义：I）检验核辐射测量仪器的工作状态是否正常；2）通过掌握核辐射测量数据的统计涨落规律，预测并控制测量数据的测量精度。本章将讨论核衰变的统计规律，以及核辐射测量中的误差计算问题。7.1核衰变数及其统计分布在放射性测量中，即因所有也是不同的，如图7.1所未JcPs）每次测量获得的核辐射的计数率图7.1核辐射测量中计数率的统计涨落我们发现，各次测量获得的射线计数率会围绕某个平均值做上下跳动。这种现象称为放射性计数的统计涨落。这种涨落，是原子核衰变所具有的随机性引起的。从图7.1可见，放射性计数的统计涨落会遵循一定的规律，即服从一定的统计分布。我们把一个随机变量取值的规律称为它的概率分布，简称“分布”。与放射性测量有关的统计分布主要有三种：二项式分布、泊松分布、以及正态分布。下面我们先讨论二项式分布。7.1.1二项式分布根据伯努里实验：假定有许多相同的客体，其数目为M，它们之中每一个都可以随机性地归于A类或B类。设归于A类的概率为p,归于B类的概率为4,显然P与4满足关系p+q=1.设考察试验后归于A类的客体数目可以证明，f是一个随机变量，它服从二项式分布。每一种随机变量的分布包含两个部分：取哪些值？取这些值相应的概率是多少？对于二项式分布，f取值为n的概率，即从NO个客体中观察到n个客体处于A类的概率P)(称为概率密度)为p(尸G""产”二,，一P"(1.P)S<7.1)式中，PnqNbn表示从No个客体中对魂的一J牙普体观察到归于A类的概率；CA表示从M个客体中取n个的组合数。对每种分布，都有两个最重要的数字特征：数学期望，方差。前者一般记为E(9,或反应的是随机变量取值的平均位置；而后者一般记为ZXf)或。2,反应了随机变量取值相对于平均位置的离散程度。方差的平方根称为均方根差，或标准差，用。表示。对二项式分布E()二y11P(n)=N0-p(7.2)D=M«)二工5-万)2P()=、NoPq=、n(-p)(7.3)核衰变的过程可以看作上面所讨论的伯努里实验问题。设在/=O时放射性核有No个，任何一个核在t时间内衰变的概率为P=(l-ev,),不衰变的概率为q=-p=e式中人是该核素的放射性衰变常数。将衰变概率、不衰变概率代入(7.1)式，可以得到在/时间内有个核发生衰变的概率PM=CP"q5J-("'""F(7.4)相应的数学期望值与标准差为n=E()=NqP=NO(I=11(l-p)=ne,(7.5)Oy/fT如果放射性核是长寿的，即有八fVVl,则在有限的t时间内可以不考虑源活度变化，有(7.6)当值较大时，值出现在五值附近的概率较大，即n%亓，所以上式还可以简化为H（7.7）上式是一个非常有用的公式，它表明。可以用任意一次观测的核衰变数来估算。由于二项式分布计算不方便，加之实际工作中M一般为很大的数目，这种情况下,二项式分布可以简化为泊松分布或正态分布。7.1.2泊松分布历史上，泊松分布是作为二项式分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。在二项式分布中，当M很大而P又很小时，这时作为二项式分布的一种极限情况就是泊松分布。当满足No很大而P很小条件时，有=Nw<<No.对于在11S附近的值，得N。!¼,-京!Q_p)NOFJS)%fepn0(7.8)代入（7.1）式并注意至阮=M）p,就得到P（n）这就是泊松分布。对于M）不小于100,而不大于0.01时，泊松分布可以很好地近似于二项式分布。在泊松分布中，n的取值范围为所有的正整数（0,1,2）,并在三附近时，PS）有较大数值。当日较小时，泊松分布的分布曲线是不对称的；当万较大时，多布逐渐趋于对称，如图7.2所'O可以导出，泊松分布的标准差为7.2泊松分布的图形=NO(NO-1)(乂-2)(M-+1)n)2P(n)J"(7.10)7.1.3正态分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。德莫佛(DeMOiVm)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯(GaUsS)加以推广，所以通常称为高斯分布。正态分布可以看作是泊松分布中汀有较大数值时的一种极限情况。正态分布的概率密度表达式为P（三）=1"S-R/毋(7.11)a：2上式中，7?和。分别是高斯分布的数学期望和标准差。高斯分布是对称分布。当n220时，泊松分布就可以用高斯分布来代替。与二项式分布和泊松分布不同，高斯分布是连续型分布，而前两者是离散型随机分布。对正态分布来说，其数学期望值和标准差可以按以下公式求出7；=*三,在等精度测量列中，单次测量的标准差计算的理论公式：式中N测量次数(应充分大)；=-2+2+-+N2_毕(7.13)"VN=|N(7.14)6测得值与被测量的真值(数学期望值)之差。在有限次测量情况下，可用残余误差代替真误差.而得到标准差的估计值。fl(nl-n)27巳十NT实际工作时，我们可以利用(7.11)式计算落在某个区间的概率。例如，计算落在区间5WWn2)内的概率为(7.15)P(11WW2)=Je(n>,f2<rdn277实际使用时，这一积分不宜接计算，而是利用现成的正态分布积分数值表。在这种表格中，给出了标准正态分布下，对应于f的函数值（积分值）=1ie-,2,2dt(7.16)图7.3测量值落入不同区间的概率分布为此，为利用正态分布积分数值表求出（7.15）式的积分值，需先将其标准化:人一J-TBZa令f=,dt=一，于是得ZTZT41(7.17)Pg<nn1)-Pal<n<t2)=Je,12dt=(r2)-(r1)小、2"根据（7.17）式和正态分布积分数值表，我们可以求出测量值落在不同区间内的概率（见表7.1、图7.3）o表7.1几个重要的概率值tIn-77I=t2(t)1-2(t)测量次数,N超出t的测量次数0.670.670.49720.5028211l0.68260.317431220.95440.0456221330.99730.00273701440.9999().0001156261表7.1给出的测量值落在王IQ,n±2,n±3区间内的概率意义，在工程应用中具有特殊的作用。例如，在检查放射性仪器工作正常时，我们往往在完全相同的条件下测量数百个数据，然后统计这些数据分别落±l,w±2,E±3的数据个数，并计算其占全体读书个数的百分比（频率），当其频率值与理论概率值基本相同时，我们可以认定，仪器工作正常，否则，我们可以判定仪器工作不正常，需要加以检修或加以调整。此外，当我们在相同条件下进行有限次测量时，当其中一次测量数据超出其它读数的3。时，我们有理由将其立即剔除，原因是正常读数中超出3。的概率仅仅为0.0027,在370次测量中才有可能出现一次，在有限几次测量中出现超出3。的正常数据的可能性几乎为0,所以，应该将其作为不可靠数据剔除。7.2 脉冲计数的统计分布在7.1节中我们讨论了原子核衰变数的统计分布。采用同样的思想，我们可以讨论核辐射测量计数的统计分布。设在t=0时放射性核有NO个，现考虑在时间t内它们是否衰变以及衰变后放出粒子是否引起计数的情况。这是，任一个原子核必定属于以下两类中的一类：A类是原子核衰变并引起了探测器的计数；B类是原子核并未衰变或虽然衰变，但并未引起探测器的计数。设任一核归于A类的概率为p',归于B类的概率为片，可以理解p'+q'=1,并且p,二(15"q,=e-,+(l-e"y'z)(l-)(7.18)式中，£是探测器的探测效率。由此，可以知道，在时间t内得到的计数N是个随机变数并服从二项式分布，P(N)为PglNJN壬NpV''利用(7.2)和(7.3)式，可写出计数值的数学期望M和方差。2,并假设是在入tVVl的情况下，由(7.18)式可知q'接近于1,于是得到M-Nop,=No(-e't)(7.20)2=Np,qsNop,=M(7.21)同样，作为二项式分布的极限情况，可以写出计数值所服从的泊松分布，以及当计数值较大时用来代替它的高斯分布。所以，(7.9)和(7.11)式对计数值的分布也是完全适用的，只要把其中的核衰变数n用计数N代替就可以了。所以，计数的高斯分布可以写成2"(7.22)-J211式中。2=M。在M较大时，。2也可以用某一次计数值N来近似计算。7.3 脉冲幅度的统计分布我们知道，核辐射探测器输出的脉冲幅度一般是正比于探测器入射粒子能量的。但实际上，最后我们获取的射线能谱，确有一个一定宽度的分布。这表明，探测器输出的脉冲幅度并不是完全确定的，是有涨落的。造成这种脉冲幅度涨落有很多方面的原因，并随探测器的不同而不仅完全相同，其中不少是统计性因素，需要按统计规律来处理。7.3.1电离的统计涨落n入射粒子在一定条件下在某探测介质中产生一对离子所需的平均能量，与入射粒子种类和能量关系不大，可以看作是一常数，称为“平均电离能”，用w表示。设粒子在介质中所损失的能量为反，则所产生离子对数的平均值为(7.23)实际上，即使氏相同，在探测器中所产生的离子对数n也会显示出某种统计性涨落。对此，可以采用统计涨落模型来讨论。一、泊松分布为了讨论问题方便，我们可以将介质中原子的电离，看作是由于入射带电粒子与原子轨道电子发生碰撞的结果。每次碰撞中，原子以一定的概率发生电离。假设带电粒子在介质中做了N次碰撞(N是个很大的数)，平均产生了历个离子对，则每次碰撞产生一对离子的概率是万/M不产生一对离子的概率是1一万/N。按照二项式分布，我们可以写出结果产生离子对数为n个的概率P(n)为N-n当Nf8,F/N-0,而Nw=F保持有限数值时，上述的二项式将过渡到泊松分布。PM=(7.24)离子对数n的涨落范围，可以用它的标准差。来表示。(7.25)相对涨落为OnIw,=-"J-J(7.26)nn<rrNEo(7.26)式说明，当粒子能量越大或平均电离能越小时，产生的离子对数将越多，电离的离子对数的相对涨落越小。我们在对式(7.11)的讨论时已经知道，当方220时，泊松分布就可以用高斯分布来代替。通常情况下，是个比较大的数。所以，尸()可以用正态分布来讨论P(i)=1U=，2出s2112=n(7.27)二、法诺因子事实上，带电粒子在介质中的电离过程比上述情况复杂得多，因而电离的涨落实际上也并不遵从泊松分布。法诺第一个对此做了较仔细的考虑，他导出电离涨落的方差为O2=Fn(7.28)式中F为法诺因子。按照法诺的推算，对气体，F介于1312°法诺的基本考虑是：假定入射粒子在介质中通过一系列的碰撞事件把能量传递给介质，在每次碰撞中，产生激发与电离的不同情况，相应地粒子的能量消耗也有不同情况。令N代表入射粒子与原子的碰撞次数，并令在k次碰撞中产生的离子对数为nk,消耗的能量为民。又设入射粒子的能量为瓦，平均电离能为w,则有：nNnkAKE0-f旦k=考虑到：每次碰撞是相互独立的；每次碰撞有相同概率分布的结果，则按照相互独立的随机变量的和的方差是各随机变量方差的和，n的方差可以由下式计算(n-n)2)=N(nk-2)式中N为平均碰撞的总次数。为了与泊松分布比较，令(n»)2)=Fh联立上面的两个公式，可以得到法诺因子F为F=N(-)2)(7.29)nw法诺对气体介质中的法诺因子做了计算。设在气体中，入射粒子的每次碰撞使原子过渡到激发态j,所吸收的能量是Ej。按照j态的高低，可分成三种情况：1.激发：这是当弓1的情况，I为最低电离电位。在这种情况下，没有离子对产生。因此，这时在(7.29)式中所相应的nc=0,但Ek0,用心表示；2 .一次电离：这是IWEjW21的情况。这时，可以产生一个离子对，故皿=1,且Ek用Ei表示；3 .Ej221：在这种情况下，射线产生一个离子对后还可以进一步电离。作为一个近似估算，可以这样考虑：仍然产生一个离子对，但所吸收的能量是I,即JIk=1.但&=1。现用。e、。”、。J2分别表示相应于上述三种碰撞情况的截面，用N1、N2、M分别表示相应的平均碰撞次数，则有：n=N2+冗n=N1-Tn2逊并且Mae,n2ao八，一乂aj2O按照平均值的计算方法，.29)式中的(4一2)2可以写成带入(7.29)式，得尸=NM一区)2)=,N产+而却÷,l-1fnuN2*/V3(MJnJIWj(730)法诺通过以上计算，得出F值在1/31/2。实验证实，法诺因子的引入是非常之有必要的。以上是针对气体介质进行的讨论。对半导体介质，也可以进行类似讨论。近年来，随着人们对电离机制的深入了解，法诺因子的计算也有相应的改进。最新的计算表明，气体的法诺因子02.三、电离涨落对谱线的影响我们知道探测器的脉冲幅度正比于入射粒子在探测器中所产生的离子对数。假如没有离子对数的涨落，那么对应于入射粒子相同能量，探测器输出的脉冲幅度将完全相同，因而将得到一条无限窄的谱线。然而，由于存在离子对数的涨落，而且这种涨落服从高斯分布，因此，实际获得的谱线是一条具有高斯分布形状的谱线(峰)。这条谱线可以用正比于下式的函数来描述：(7.31)yndn-einnl2dnv211这里，n表示相应的脉冲内所包含的离子对数，y(n)dn表示对应于离子对数为n到n+dn内的脉冲数目，吊二乙w,f是探测器所吸收的能量，W是平均电离能，“二反)是离子对数涨落的方差。为了将上式改变成以能量E为变量的表达式，可进行下列变量置换，令E.dn=,2=Fn=fe-WWW代入(7.31)式得y(E)dE=1re=G)(2广岛/W)dEew-2FE°/wM(7.32)1e-<E-E0V/(2三)J211式中，5八FEo"它是由离子对数涨落造成的以能量单位表示的峰的宽度参数。如果原来探测器的能量谱线具有更一般的形状，不是无限窄的，并用Y(E)表示，则实际谱线可以通过Y(E)和以上高斯分布的卷积来得到：y(E)dE=(Y(E)1e(E'E0)2,i2dE(7.33)1.x20如果原来的谱线Y(E)为高斯分布，其方差用蔑示，则卷积结果谱线仍服从高斯分布，且总的方差j为0；二a+oI(7.34)通常把谱峰半高处的全宽度定义为峰的半宽度，用FMIM表示，它用来说明探测器的能量分辨本领。对高斯分布谱线，半宽度和标准差有如下关系：FWHM=2、2In2=2.36(7.35)7.3.2倍增过程统计学以正比计数器为例，每个放电脉冲中离子对的产生可以分为两个过程：入射粒子在气体中产生电离，这一电离(初级电离)产生的离子对数用N表示；在靠近阳极附近，每个初始电离产生的电子又以雪崩放电形式引起更多个离子对的产生，设倍增系数(气体放大系数)为Mo这两个过程都是随机的，即N和M都可以看作随机变量。现在我们来讨论脉冲中所包含的离子对数Q及其涨落。Q也是一个随机变数。实际上它是这样一个随机变数,设有两个随机变数和g2,先对1实现一次，得到一个随机的取值1；再对g2实现。次得到个&2的取值；然后将这些82的取值加起来，于是得到了目的一个取值。按这种规则定义的随机变数&称做是由和和g2组成的二级串级型随机变数。可以写成(7.36)对气体放大的电离过程来说，N就相当于口，M就相当于g2，Q就相当于C。这里应该注意，Q并不是N和M相乘得到的随机变数。在数理统计中可以证明，关于二级串级型随机变数的数学期望EG)和方差D()的下面几个公式是成立的：(7.37)(7.38)(7.39)D()=E(l)D(2)E2(2)D(i)1D&)E2()=E2(l)E(i)E2(2)这些公式还可以类推到多极(K级)串级型随机变数上去，即E()=Eg)E(2)成力，(7.40)卫包二生R+.1另1D©)S(GEt)E(三)-尸)E(GE(GE2%)+!Qizil(7.41)£(/.)&%-)£*(4)对Q应用公式(7.37)与(7.38),可以得到Q=NM(7.42)Q=2°n+N2(Jm(7.43)g'j(NY+1MV一0Q2nm-进一步的计算需要代入Qn和Qm的数值。根据(7.28)式，有5坪=FZN；又根据Snyder的简化理论，M的概率密度Pl(M)是一个指数函数：Pl(M)=W而由此可以推出1=J(M-M)2Pl(M)dM=M20代入(7.44)式并取F=1.得到fcof(OQYll2二二十二(745)KQj(N“，NNN-即按Snyder的简化理论以及取法诺因子为1时，倍增过程恰使相对方差(Qq/。尸增大1倍。这个结果比实验数据偏大些。与讨论正比计数器的情况类似，在闪烁计数器中，从光电倍增管阳极输出的电荷Q也是一个倍增过程(多极)所产生的。其方差除依赖于从光阴极发射的电子数N的统计涨落外，还依赖于倍增系数M的统计涨落，也有类似于(7.44)的关系式。这里倍增系数的平均值M为(7.46)M=12R式中司、司、我分别为各联级的平均电子增益。假设所有联级的增益相同，用6表示,并假定它们都服从泊松分布，f2成立，则按照（7.41）式得到假如除第联级的增益等于1外，其它各联级的增益都等于,则上式要改为fc'此外，假如从光阴极发射的电子数N也具有泊松分布，二R成立,把它们代入（7.44）式，则对以上联级增益的两种情况分别得到(7.49)JM-I)(7.50)由此可见，最好的相对方差不会好于1/N。为了使涨落小一些，一方面要求N越大越好，另一方面，希望各个联级的增益，特别是第一联级的增益大些。7.4脉冲时间间隔的统计分布核事件的统计性可以在两种类型的问题上得到反映。一类问题是统计在一段时间内核事件的发生次数，会发现这个数目是围绕着它的平均值上下涨落；另一类问题是统计先后相邻发生的核事件的时间间隔，此间隔也有大有小，有它特定的分布特征。第一类问题我们已经作来讨论，本节讨论后一类问题。7.4.1 核辐射脉冲的时间间隔分布当核脉冲的平均速率不变时，相邻脉冲的时间间隔仍可大可小，这个时间间隔是一个随机变数。根据泊松分布（7.9）式，可以导出这个时间间隔t所服从的分布规律。发生时间间隔为t的脉冲是这样的一种核事件：在第一个脉冲发生后的t时间内没有脉冲发生，而在随后的出时间内有一个脉冲发生。设脉冲发生的平均速率是m（脉冲/秒），根据（7.9）式可知，在t内没有脉冲发生的概率Po（t）为而在dt内发生一个脉冲的概率P(dt)为P(dt)=mdt按照独立事件的概率乘法定理，发生时间间隔为t的脉冲的概率，用dP表示:dP=PO()P,(dt)=mem,dt(7.51)这个分布是指数式的，很不对称，具有段间隔的脉冲的概率远高于长间隔的概率。其分布图形如图(7.4)中对应于S=I的那条曲线所示。为什么具有这样的分布呢？这时因为在确定dP(t)的两个因子中，P(dt)虽然与t的大小无关，但Po(t),即在t内不发生脉冲的概率却显然与t的大小有关。t越小，这一概率越大。这就是为什么发生短间隔的脉冲概率要大些的原因。由(7.51)式，可以求出相邻脉冲的平均时间间隔/和间隔t的方差,2。按照平均值和方差的定义可以得到88I/=tdP(t)=tme'mtdt=(7.52)脉冲时间间隔的分布2=j-O2dP(t)-(t-1)2We-Md7±?0m”(7.53)(7.52)式说明，平均时间间隔等于平均速率的倒数。还可以求出时间间隔大于或等于某个预定的时间T的脉冲的概率P(INT)。对(7.51)式积分，得PgT)=WP(D=mem,dt=/心(7.54)TT显然，间隔T得脉冲概率P(tT)为P(t<T)=_p(f>T)=1一丁(7,55)举例说，如果总共发生得脉冲数是N,假定它是个很大得数，则其中出现间隔比T大的脉冲数是NeF、当把T=代入时，就得到出现间隔比平均间隔大的脉冲数，它占全m体脉冲数的leo7.4.2包括多个脉冲的时间分布在利用进位系数为S的定标器记录探测器的脉冲数时，其输出脉冲具有怎样的时间分布呢？我们知道，它的每个输出脉冲包括了S个输入脉冲，它的相邻的两个输出脉冲的时间间隔就是一个包括了S个输入脉冲的时间间隔。我们称这样的一个输出脉冲叫“S倍脉冲”，S倍脉冲之间的间隔叫“S倍间隔”。一个时间为t的s倍间隔，或说成间隔为t的s倍脉冲是这样组成的，它在时间t内有S1个脉冲发生，而在随后的时间dt内又有一个脉冲发生。用dPs(t)表示S倍间隔为t的概率，按照独立事件的概率乘法定理，有dPs二PST1式中PSTS为在t内出现S1个脉冲的概率，P(M)为在dt内出现1个脉冲的概率。它们可由泊松分布(7.9)式求出并代入上式，得到dPs(t)二e-,n,mdt=IZFe-mtd(mt)(7.56)(.V-Ip(S-I)I可以计算S倍脉冲的平均时间间隔1,和间隔ts的方差(：b=IfdPs(J)=j，色吧一e'm,d(tnt)=S(7.57)b=j(1.,s尸"s二"(")=s2(7.58)iJ1(S-l)m在图7.4中画出了S=1、2、4的S倍间隔的分布。当S=I时，就是输入脉冲间隔为I的分布。由图上可以看出，随着S的增大，短间隔出现的概率逐渐减小，分布趋于对称。这时，最可几间隔tos(即出现概率为最大的那一间隔)接近于它的平均间隔心，这个结论从以下推导中也可以看到。S倍间隔的最可几值tos可以由以下极值条件来确定：dj：空斗IIWfl二O力dtJr(S-l)!解出：沁=(7.59)m将上式与(7.57)式比较，可以看出，随着S的增大，IoS趋近于编，这样，也就很容易明白定标器的输出脉冲在时间分布上的特点：随机输入脉冲的间隔分布原是很不对称的，当S=I时，妞=0，经过定标器后，输出脉冲在时间分布上大大地'规则化"。进位系数S越大，这种规则化作用越显著。当S相当大时，定标器输出的脉冲将近似成为均匀的周期脉冲。对(7.56)式积分，还可以求出S倍间隔t不超过某个预定时间T的概率。这一概率用PS(IWT)表示，它可以写成Ps(f40二I(S-1)em,mdt(mT)S-(5-1)!对上式使用分布积分法得到PSa<T)=1-e-,nr-mTe-m-T)二丁2!上式从第二项起，就是在时间T内得到0,1,2,，S-I个脉冲按泊松分布算出的概率(不包括符号)，现用Po、Pi、P2、Psj表示，于是得到Ps(r7)=l-(P0+P1+P2+1)=Ps+Ps+Ps+2+-,+1o)(7.60)上式说明，S倍间隔I不超过T的概率等于在时间T内得到S,S+1,，8个脉冲按泊松分布算出的概率之和。显然，S倍间隔超过T的概率Ps(t2T)为Ps(r>7)=l-Ps(r<7)=P0+P1+P2+(7.61)上面这几个式子的成立和含意可以这样来解释：例如(7.60)式，式左PS(IWT)代表S倍间隔不超过T的概率，而“S倍间隔不超过T”这一事件就是指在T内至少有S个脉冲(当在T内有多于或等于S个脉冲时，显然前S个脉冲没有超过T),即在T内具有S,S+1,S+2,个脉冲。按照泊松分布，在T内具有这些脉冲的概率分别是Ps、Ps+卜PS+2、。于是，根据概率论的概率加法定理，(7.60)式自然是成立的。同样，对于式(7.61)也可以作出类似的解释，即“S倍间隔2T'的事件是指在T内的脉冲最多只有S1个，即包括0,1,2,直到S1脉冲。因此，相应的概率可用(7.61)式来表示。对S=I的情况，即(7.54)和(7.55)式，也可以这样来解释。7.4.3分辨时间和漏计数校正各种测量装置不能记录射线在探测器中发生作用的所有事件。当相邻的两个脉冲发生时间足够靠近时，后一个脉冲将不能引起计数，即发生漏计数。在核电子学中，把分别能引起计数而又相隔最近的两个脉冲之间的时间称作装置的分辨时间。它原则上可以分为两种类型。下面分别讨论之。一、第一种类型其特点是：每个脉冲都使测量装置在一个分辨时间J内失效，而不论此脉冲是否能引起计数。譬如，一个脉冲是在上一个脉冲所引起的Tl内来到时，它不能引起计数，而又使装置在它之后的一个和内失效，即延续了装置的失效时间。在这种情况下，凡与上一个脉冲相隔时间小于Tl的脉冲是不会引起计数的，只有与上一个脉冲相隔时间大于Tl的脉冲才能引起计数。由(7.54)式可知，与上一个脉冲相隔时间大于J的脉冲的概率是0-刖.因此，在单位时间内能测到的脉冲计数n为n=tnem'(7.62)式中m是单位时间内平均实际产生的脉冲数。由此可以看出，对这种类型的分辨时间，若进入测量装置的脉冲速率mo很大，n可趋于0,即装置完全阻塞。而在m=lI时，可得到最大计数率nma=me1=1/(e)0二、第二种类型这种类型的特点是：在一个脉冲引起计数后的分辨时间内，若又有脉冲来到时，虽然不能引起计数，但也不会进一步引起分辨时间的延续。这类分辨时间用T2来表示。在分辨时间T2内所损失的脉冲数，可以直接利用泊松分布公式来计算。考虑在一个产生计数的脉冲所引起的分辨时间T2内，若又有K1个脉冲达到，则这K一1个脉冲将全部漏计。在T2时间内达到K1个脉冲的概率可以用泊松分布算出，用P(K-I)表示。因此，在单位时间内所记录的实际上是由K个脉冲组成但只作为一个脉冲记录下来的脉冲数C(K)C(K)二P(K-I)式中，n是探测器记录到的脉冲计数率。若用m表示实际来到的脉冲计数率，则m应等于各种计数脉冲中所包括的脉冲数累加起来，因此m=fC(K)=£kP(K-1)=(K1)+1P(K-I)<三e<«1AwB=n£伉-IM(K-I)1).<。-方括号内第一和式是在时间I2内来到脉冲的平均数，它应等于m2.第二和式是在2内来各种脉冲数的概率之和，它应该等于1,因此m-n(mT2+1)(7.63)n-112上式也可用另一种简便方法得到，即考虑在单位时间内，测量装置总的失效时间是n2,在这段时间内进入的脉冲数是m(n2)，它也就是在单位时间内漏计的脉冲数(mn),因此下式成立：m-n=m(nT2)解出m,也可得到(7.63)式。与第一类型分辨时间的情况不同，当进入装置的脉冲速率很大，以致于mi2>>l时，装置不会阻塞，这时具有最大的计数率：为单位时间内所能包括的T2的最大数目，即为l2o但在这种极限计数情况下，n已远离m,m已无法由n校正得到了。需要指出，实际测量装置的分辨时间大都介于以上两种类型之间，所以只在计数率较低，即m<<l时，漏计校正才有意义。这时属于第一种类型的(7.62)式也可以近似地化成(7.63)式。也就是说，在m<Vl时，不论装置的分辨时间属于何种类型，漏计数都用统一的公式(7.63)来校正。7.4.4脉冲重叠数的计算在某些计数装置中，小幅度的噪声和本底信号是很多的，通常用幅度甄别方法把它们剔除。但由于脉冲发生的随机性，有可能在一个短的时间(和真信号的脉冲宽度相当的时间)内，有好几个小信号都同时发生，以致于堆积起来叠加成一个较大幅度脉冲，这时就会造成虚假计数。为了正确估计这种虚假信号对计数的影响，可以对脉冲重迭数作个估算。考虑这样一个问题，设脉冲的发生速率为m,求在单位时间内，在T内有K个脉冲发生堆积造成一个打脉冲的数目，为脉冲的宽度。一个在T内发生K个脉冲堆积的脉冲是这样的一个事件：在一个脉冲来后的T时间内又有K1个脉冲来到。按泊松分布，这一事件的概率P(K1)为每单位时间内发生K个脉冲堆积成一个大脉冲的数目C(K)应正比于P(K1),或写成C(K)="(KT)式中/为一常数。它可以这样来确定，即各堆积脉冲中组成的脉冲数累加起来应等于单位时间实际输入的脉冲总数。因此m=YKC(K)=ffP(K7)=(K-I)+1P(K-I)=f£(A-I陷A-I)+fpU-l).4Z=(wr+l)所以有于是C(K)二.(KT)二(mr)AFr(7.64)l÷mr(A-1)发生KO个以上的脉冲堆积的大脉冲总数目C(K2Ko)为C(KKQ=VC(K)=Y"，)二f(7.65)6,.4t0l+mr(f-l)!7.5核辐射测量中的统计误差与传递核辐射测量的实际工作中，有许多物理量都是通过间接测量的方法获得的。例如，在伽玛能谱测量中，我们直接测量的对象是单位时间内进入铀道、钛道、钾道的伽玛射线数目，而最终确定量则为物质中铀、牡、钾元素的含量。如何由测量的伽玛射线数目的误差去估计间接测得的元素含量的误差呢?上述问题是一个由直接量的误差传播（递）给间接量的误差的问题，简称为误差传播。下面，根据误差类型不同，分为系统误差的传播、随机误差的传播，以及前述两种误差都存在时的误差传播来加以讨论。7.5.1 函数系统误差的计算在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且一般为多元函数，不失一般性，其表达式为：y-fIm，.，/)式中，X、X2、X3、xn为直接测量量；y为待确定的间接测量量。例如，在X荧光分析实例中，Xl、X2、X3、Xn是被测量的n个元素的特征X射线的计数率，y为待确定的目标元素的含量。对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示：若以小量aXj代替dXi，则得到函数的系统误差公式：式中，xf代表第i项直接测量量的系统误差；则是由n项直接测量量的系统误差决定)，=AM+JA%+.+-S1.x(7.66)SxGX2的y的总的系统误差；fxi则称为第i项误差的传递系数。7.5.2 函数随机误差计算函数的随机误差用函数的标准误差来判定。不失一般性，设函数的表达式为:yfGl,曲,)设各个测量值均进行了N次等精度测量，其相应随机误差为：对X:rll,x12xN对X2：&21,122，2N对xzj:xni,xn26xnN根据：力=生的+旦-血+2-此可得函数M的随机误差表达式：I2此曳配型"+12曲曲曳电电比+12M曲电血曳切=dy>N=?-公IN+-dx2N+÷4-vcxtdx、x.将上面各函数V的随机误差表达式作左右平方处理，有：酝摄）&:+周武+&2蔡融函蜕=闺碣+图限2÷÷+21x'砥=勘舔÷+¾÷21x将以上方程左、右分别相加有:加：+恻+ylvIJ1.J/V(麻+÷+酝N)+21+x22+*+困N)+(+x1.)+tli<jnt=1I将该式的各项除以N,并根据求标准差的定义式:。=_柠+62+0孕Vn-In可以求得：叫舒H副*一却产*骂生现定义：工包4切二p_KiiK=I，XUjij(7.67.-NQ有：(7.68)式中pij第i个测量值和第j个测量值之间的误差的相关系数。第i个测量值的误差传递系数。在实际工作中，若各测量值的随机误差相互独立,且Nf8,将有相关项:励XiQXjm此时，有K"R=°，乌二°时却仁卜+图力222(7.69)'=+-+-+Ii1'=+沅2+&）7.5.3 系统误差与随机误差的合成一般情况下，测量过程中都存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。测量结果的总误差常用极限误差来表示，但有时也用标准差来表示。一、按极限误差合成总误差若测量过程中有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差它们的误差值或极限误差分别为：l,2,rel,e2,es61,62,，q先讨论一种简单情况。假设各个误差传递系数均为1,则总的极限误差为A总二七士A£卜I+-17I+R（7.70）式中，R为各个误差间协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时,测量结果总的极限误差为+（7.71）E三一1一般情况下，已定系统误差一经确定是可以加以修正的。故对已定系统误差修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的平方和根，即=±1V+2（7.72）1一I1该式表示的是单次测量的总的极限误差。当测量结果是n次测量的算术平均值时，其总的极限误差应为：二、按标准误差合成总误差若测量过程中有S个单项未定系统误差（不考虑以定系统误差），q个单项随机误差,它们的标准差分别为ww2.ms5,5,q若各个误差传递系数均为1,则：=1V+Vf2+/?/、1.'一'（7.74）当各个误差间互不相关时，单次测量的合成误差为=.yW?+y2信（7.75）当测量结果是n次测量的算术平均值时，其总的合成误差应为：=+1v2l÷1n,（7.76）7.6核辐射测量中可疑数据的剔除在一列重复测量数据中，如有个别数据与其它的有明显差异，则它（或它们）很可能含有粗大误差（简称粗差），称其为可疑数据。根据偶然误差理论，出现大误差的概率虽小