刘蒋巍：2024苏锡常镇二模立几压轴题的源与流.docx
2024苏锡常镇二模立几压轴题的源与流文/刘蒋巍试题呈现（2024苏锡常镇二模第8题）正三棱锥P-MC和正三棱锥Q-ABC共底面ABC,这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上,点P和点。在平面ABC的异侧,这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为,则当+尸最大时，tan（+）=A.-J-B,-2C.-1D.-4333【参考答案】D试题的源【题源1】（2012年全国高中数学联赛（A卷）试题第5题）设同底的两个正三棱锥尸-ABC和Q-ABC内接于同一个球，若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45。，则正三棱锥。-ABC的侧面与底面所成角的正切值是（参考答案：4）设球半径R,H为A3C的中心，乙HAO=,e(O,0,NPMH=a,AQMH=,则AH=RCOS°,MH=RCOSePH=R(-sin),Q"=R(l+sin°)tantan"里.口="in0.驾+sin*MHMHRCOSeRCOSe22-在“2012年全国高中数学联赛(A卷)试题第5题”中，tana-tan45o=1,结合“tantan/7=4”则tan尸=42012年全国高中数学联赛（A卷）试题第5题，是一个定值问题。2018年江苏复赛将其改编为一个动态范围问题。【题源2】（2018年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第6题）如图，球。的内接八面体PABCO。中，顶点P、。分别在平面488两侧，且四棱锥尸-ABC。、Q-ABCO均为正四棱锥.设二面角P-AB-Q的平面角的大小为夕则tan。的取值范围是（参考答案：（-,-22）设球半径R,H为A3C的中心，乙HAO=,(0,y),NPMH=a,NQMH=,则4H=Rcos°,MH=RC誉,PH=R(Isin。)，2QH=R(+sin)tantan£=MHMHRCOSeRCGS(PPHQH_R(l-sin)R(l+sin)tan+tan=_2CoSePHQHPQ2RMHMHMHRcos12后八，/0、tan+tan/COS(P22/八乃、tan=tan(+)=-=,j(0,)1-tanatan1-2COS夕2故tan。=一2亚(-,-22CGS(P2024苏锡常镇二模立几压轴题第8题的命制对比题源12得出改编思路对比题源12,不难发现2个信息点：题源1.可以参照题源2改编成动态范围问题。“正三棱锥”背景与“正四棱锥”背景，仅仅MH表达式不同。在“正三棱锥”背景下，M"=迎丝；在“正四棱锥”背景下，MH=塔丝.22根据上述第1个信息点，可以改编出：2024苏锡常镇二模第8题的题干条件根据上述第2个信息点,可以得出正确结论:在“正三棱锥”背景下,nPHQHR(I-Sine)tanatan=MHMHRcos-2R(l+s11e).=4RCGS(P2PHQHPQMHMHMH2RRCoSe4cos选项设计44八，/“、tana+tancos¢93小"、tan=tan(+/?)=-=匕=->(0,)1 -tanatan1-4CoSo24W4故tanO=(-,COSe3另外，取一些非正确答案情形下的数据作为干扰项，形成选项。于是，试题就形成了：(2024苏锡常镇二模第8题)正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC共底而ABC,这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上,点P和点。在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为,夕，则当+/最大时，tan(+/)=A.-J-B,-2C.-1D.-4333【参考答案】D试题的流演变方向：(“形似”且“神似”，改编方法：转换问题背景)将“正三棱锥”改为“正四棱锥、正五棱锥、正六棱锥.”，欲求的目标相同。这种改编方法属于“形似质同”。常州市教育科学研究院杨波所长列举了几种变式题组设计方法一一“形似”而不“神似”、“神似”而不“形似”、“形似”且“神似”。变式题组，不管是“形似”的还是“神似”的，亦或“形神兼备”的，而体会一些“神似”的思想方法应该是变题的重点.同时，要让学生始终提醒自己注意一些解题的细节.通过这样的不断训练，让学生的迁移能力上升，即便题目万千，也能应付自如。W【参考文献】浅谈教学中的变题题组编制U1.福建中学数学，2015,(09):杨波.“形神两分230-31.写在后面经过对2024苏锡常镇二模立几压轴题的深入探讨，我们得以一窥试题背后的命题逻辑与演变脉络。本文不仅展示了如何从经典的数学问题中汲取灵感，更体现了如何巧妙地将问题转换、拓展，形成具有新意的试题。这不仅是数学命题艺术的展现，更是对数学思维的一种挑战与锻炼。为了加深对数学问题的理解，我建议读者们采取以下练习方式：1.寻找题源：在解题过程中，不妨尝试追溯题目的原始来源，理解问题的本质与原始问题的联系。这样有助于我们从更宽广的视角审视问题，提升解题的洞察力。2 .改编练习：尝试对已有题目进行改编，如改变条件、增加限制、调整背景等，以形成新的问题。这样的练习可以锻炼我们的创新能力，也能让我们更深入地理解问题的结构与解题技巧。3 .对比研究：对于不同背景的同类题目，可以进行对比研究，找出它们之间的相同点与不同点，理解这些差异如何影响解题思路与策略。这有助于我们形成更加灵活多变的解题思路。4 ,深入探讨：针对一些典型的数学问题，可以与同学或老师进行深入探讨，交流解题思路与方法，分享解题经验与教训。这样的交流可以拓宽我们的视野，提升我们的解题水平。通过上述练习方式，我们不仅可以加深对数学问题的理解，还能提升自己的解题能力与数学思维。希望读者们能在数学的学习与探索中，不断发现新的乐趣与挑战，不断迈向新的高度。如有读者对文章内容感兴趣并希望进一步交流，可以与作者取得联系。作者简介刘蒋巍，中国数学会会员，中学数学创新思维联盟公益大使，江苏高考数学复习指南中考数学解题策略学会编题:教师培训用书新时代人力资源管理教程等20余本图书作者。联系作者2733725655或15050646023祝愿大家在数学的道路上越走越远，探索出更多的数学之美!
