微专题25 任意角与三角函数的定义（解析版）.docx

微专题25任意角与三角函数的定义【方法技巧与总结】知识点一：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点P(x,y),则r=J2+V,那么:(1)上做的正弦，记做Sina,即Sina=上；rr(2)2叫做。的余弦，记做COSa,即COSa=二；rr(3)叫做的正切，记做tana,BPtana=(x0).xx知识点诠释：(1)三角函数的值与点尸在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=Jx2+y2,那么Sina=0】，CoSa=,A，tana=.Y?7777X(2)三角函数符号是一个整体，离开a的Sin、cos、tan等是没有意义的，它们表示的是一个比值,而不是sin、cosNtan与。的积.知识点二：三角函数在各象限的符号%+三角函数在各象限的符号：九÷OX÷sinacosatana在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正.知识点三、特殊角的三角函数值Oo30°45°60°90°120°135°150°180°270°01111111121131151131164323462Sina0222B213T22220-1cosa13222202也22-10tana03313/-3-1"T0/【题型归纳目录】题型一：任意角弧度与角度题型二：扇形弧长与面积题型三：三角函数定义【典型例题】题型一：任意角弧度与角度例1.给出下列四个命题：-是第二象限角；也是第三象限角；-400。是第四象限角；-315。是43第一象限角.其中正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：-网=-2乃+苗是第三象限角，不正确，44驯是第三象限角，正确，3-4（X）o=-720o+320o是第四象限角，正确，一315。=一360。+45。是第一象限角.正确，故选：C.例2考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（）A.-B.-C.-D.-3366【解析】解：钟表的时针按顺时针旋转，转过的弧度数为-2万2=-2,123故选：B.例3.如果角与+45。具有相同的终边，角与工-45。具有相同的终边，那么。与尸之间的关系是（）A.a-=90oB.+尸=0。C.。一夕=90。+八360。，keZD.a-7=360o,keZ【解析】解：a=x+45o÷11360o=X-45°+«360°m,n整数尸=90。+心60。左Z故选：C变式1.已知。为第二象限的角，则;所在的象限是（）2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限【解析】解：因为为第二象限的角，所以4为第一或第三象限的角,2所以-巴为第二或第四象限的角，所以笈-2为第.或第四象限的角.22故选：D.变式2.已知4是第二象限角，则与工。都不是（）22A.第象限角B.第二象限角【解析】解：。是第二象限角，+2k11<a<11+2k11,AtZ,2C.第三象限角D.第四象限角一+k11<<一+k11,keZ»422.q是第一象限或第三象限角，2ZrCf7c】2k11<a<Ik11，22是第一象限或笫四象限角，2.q与工一a都不是第二象限角.22故选：B.B.D.人养印丘Z(2k+1)与(4k±)11,keZ变式3.下列终边相同的角是（）A.k11+-,AreZ22C.k九+巴与2k冗土巴，kwZ66【解析】解：2Z+1与软±1（&wZ）都表示奇数，.（2Z+）11与（4k±）11,伏Z）表示终边相同的角.故选：。.变式4.写出与下列各角终边相同的角的集合，并在0。360°范围内找出与其终边相同的角，判断它是第几象限角.(1) 230°：(2) -60。；(3) 390°；(4) -140°(5) 470°.【解析】解：在平面直角坐标系中：由图形可知：(4)230o=Ox360。+2300是第三象限角，在0。360°范围内，230。是与其终边相同的角；(2) -60°=-以360。+300。是第四象限角，在0o360。范围内，300。是与其终边相同的角；(3) 390。=1x360。+30。是第象限角，在0。360°范围内，30°是与其终边相同的角；(4) -140。=-以360。+220。是第三象限角，在0。360°范围内，220。是与其终边相同的角；(5) 470。=1、360°+110。是第二象限角，在0。360°范围内，110。是与其终边相同的角.变式5.己知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，在0o,<360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象眼角.(1) 750°；(2) -795°；(3) 950o20,.【解析】解：(1)因为75()o=2x360o+30o,所以在0)<360o范围内，终边与750。相同的角是30%它是第一象限角；(2)因为一795。=-3x360。+285。，所以在()o,av360o范围内，终边与-795。相同的角是285。，它是第四象限角；(3)因为950p20'=2x360。+230o20',所以在0。,，v360o范围内，终边与950。20,相同的角是230o20',它是第三象限角.变式6.现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？【解析】解:时针每小时转过了(-效)，即(-30。)，则每分钟转过了(-0.5。)，而分针每分钟转过了(-随),1260即(-6。)，故2小时15分钟后，时针转过了(2X60+15)X(-0.5。)=-67.5。；分针转过了(260+15)x(-60)=-810°,2小时15分钟后为10点20分.此时如右图所示,分针指向4,时针则由10转过了20x(-0.5。)=-10。.界，如图所示).X轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边【解析】解：(1)阴影部分内的角的集合为。|2攵万-看融2k兀塔、keZ包括边界).(2)图(2)阴影部分内的角的集合为小件,S变式8.如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于X轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不【解析】解：图1所表示的角的集合：2%r-二Ca<2女乃+2，女Z.36图2终边落在阴影部分的角的集合.2%rvv2Ar+5,或2A万+4vav(2左+1)乃攵Z.题型二：扇形弧长与面积例4.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(万的，).历史上，求圆周率"的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正6边形的周长和外切正6边形(各边均与圆相切的正6边形)的周长,将它们的算术平均数作为2万的近似值.按照阿尔卡西的方法，2万的近似值的表达式是()A/.30。30°、Ds,30030。、A.6(Sln+tan)B.12(Sm÷tan)nnnn厂/.60。60。、cs/60°60。、C.6(sm1-tan)D.12(SnIFtan)nnnn【解析】解：内接正6边形的边长为2sin迎，故其周长为Sin迎,nn外切正6边形的边长为2tan竺，故其周长为12tan迎，nnQn311o两个周长的算术平均数为6"sin36"tanU-,故2公6(Sin"+tan吗.nn例5.弧长为4开的扇形的圆心角为王，则此扇形所在圆的半径为12,此扇形的面积为.3【解析】解：设圆的半径为，扇形面积为S,由弧长/=4乃，扇形的圆心角为巴，得4乃=工厂，则r=12;33S=r2a=×122X=24万.223故答案为：12；24开.例6.己知扇形的周长为4cm,当它的半径为_ka_和圆心角为弧度时，扇形的面积最大，这个最大面积是.【解析】解：扇形的周长为4cm,.2r÷=4»gp=4-2r,(0<r<2).S=-r=-(4-2r)r22.当半径r=kw时，扇形的面积最大为Iem2,/4-2此时，=-=2(raJ)»r1故答案为：an,2,Icw2O变式9.如图，在圆心角为直角的扇形Q钻中，分别以。4,08为直径作两个半圆.在扇形。钻内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_1-2_.【解析】解：如图所示：。力,，设04的中点为。，两半圆交于点C，连接CP，则CD_1.Q4，设扇形OAB的半径为r,-×-r×-r.两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为J./.图中阴影部分的面积为乃产-2×-t2+2(-11r2-r2)=-11r2-r2,488442I2I2-TIV)此点取自阴影部分的概率是幺；-2-=1-.N兀4故答案为：1一2.变式10.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由圆弧48和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4%，弧所在的圆的半径为6,则弧田的弦B长是_6>/3_,弧田的面积是.【解析】解：如图，弧田的弧AB氏为4%,弧所在的圆的半径为6,AQr=ZAOB=-=-,可得ZAOO=2，QA=6,633.AB=2AZ)=2OAsin-=2×6×-=63,32.弧田的面积S=S扇形0.一5例8=；*44x6-；x6#x3=12乃一9#.故答案为：63,12-93.变式11.有一扇形其弧长为6,半径为3,则该扇形面积为9该弧所对弦长为.【解析】解：.扇形其弧长为6,半径为3,二.扇形所对的圆心角='=2,3二.扇形面积S=1./a=J_x32x2=9.22.由余弦定理可得该弧所对弦长为32+32-2×3×3×cos2=18-18cos2=718-18(21-1)=36-36c52l=6sin1.故答案为：9,6sinl.变式12.有一扇形其弧长为6,半径为3,则该弧所对弦长为_6sinl_,扇形面积为.【解析】解：.扇形其弧长为6,半径为3,.二扇形所对的圆心角a=-=23.由余弦定理可得该弧所对弦长为y31+322×3×3×cos2=>18-18cos2=<18-18(2(?<?521-1)=*V36-36cos21=6sinl.扇形面枳5=r2=×32×2=9.22故答案为：6sinl»9.变式13.九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，7(1)当圆心角NAoB为士乃，矢为2时，求弧田(如图阴影部分所示)的面积；3(2)已知该扇形圆心角NAOB是,半径为，扇形周长是一定值c(c>0),当。为多少弧度时，该扇形【解析】解：(1)由题意，如下图所示,CD=2,令圆弧的半径为火，NAOB为上兀，3.OD=Rcos-=-,即CD=OC-OD=R-E=2,解得R=4,322.弧田面积S=Soac8-Solt=-11R2-ODAB.AOAl.D.'VtCzfJ32AB=3?,(2)由题意知弧长AOB为r,即该扇j彩周Kar+2=c,扇形积5=三产，2即a=2时，等号成立,故为2弧度时，该扇形面积最大.变式14.己知一扇形的圆心角是,所在圆的半径是R.(1)若a=60。，R=IOCfn,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当口为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】解：(I)设弧长为/,弓形面积为S;,Ct=60°=-»R=IO,3:.1=aR=(cm).S.,=SiI-S=-×-×0-×2×0×sin-×0×cos-弓限23266=5(y-y)(cw2).(2)扇形周长C=2R+=2R+2R,C-2R.aR-.S=-aR2=-R2=-R2-CR=-(R-)2.m22R2164当且仅当R=2,即a=2时，扇形面积最大.4题型三：三角函数定义例7,点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动空弧长到达Q点，则。点的坐标为()3A.(-lfBu)C.(-i.-fD-甥)【解析】解：点P从(U)出发，沿单位圆逆时针方向运动弓弧长到达Q点，所以NQoX=等，所以Q(CoS空，sin)»所以Q(-1,3)3322故选：A.例8点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动与弧长到达。点，则。点的坐标为()【解析】解：点P从(1.O)出发，沿单位圆逆时针方向运动与弧长到达Q点，所以NQQx=,，所以Q(COSf,sin,)，所以。(一g,-日)故选：C例9.已知角。的顶点为坐标原点，始边为X轴的正半轴，若P(4,y)是角。终边上一点，且Sine=-平，则y=()A.8B.-8C.±8D.±4【解析】解：角6的顶点为坐标原点,始边为X轴的正半轴,若P(4,y)是角。终边：点，.x=4,r=y6+y2,sin=-2-=,.),=一8,16775故选：B.变式15.已知点P(CoSatane)在第二象限，则角。的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】解：.已知点P(CoSe,tan。)在第二象限，.cosevO,tan6>0,则角夕的终边在第三象限，故选：C.变式16.若三角方程SinX=O与sin2x=0的解集分别为E,F,则()A.EVJFC.E=FD.fF=0k【解析】解：由题意E=xX=ATT,keZt由2x=心r,得出X=,kZ.2iF=xx=y,AZ,VxeE,可以得出xF,反之不成立，故E是尸的真子集，A符合.故选：4.变式17.已知角a的终边经过点尸(1,?)，且Sina=-半，则CoSa=(AYRM£>-10I01.z10【解析】解：因为角的终边经过点尸(1,?)，所以OP=而获因为Sina=一,所以：=ioiItl310+m210所以桃=-3.(正值舍)故c°s=4=螟77io故选：C则可以是()变式18.已知角a的始边与X轴的非负半轴重合，终边过点尸(SinI20。,CoSI20。)，A.60oB.330oC.150oD.120°【解析】解：尸(Sinl20gl20。)即P*-g),所以尸在第四象限，如图：角a的始边与X轴的非负半轴重合，终边过点P(sinl200,cosl200),则可以是：330°.故选：B.变式19.已知角a的顶点与原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边落在射线3x+4y=O(X<0)上，则、22sin+cosa的值为_-_.【解析】解：根据角的终边落在射线3x+4y=O(XVo)上，在角a的终边上任意取一点P(-4,34),>0,则r=|OPI=Jl6/+9/=Sa,/.sin<z=-=->CoSa="=-»r5a5r5a5也C642故2sm+cos=，555故答案为：5变式20.已知点P(Iana,8Sa)在第三象限，则角a的终边在第二象限.【解析】解：因为点尸(tan,cosa)在第三象限，所以，tana<0,CoSa<0,则角的终边在第二象限，故答案为：二.变式21.若角的顶点在原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边落在直线y=-4%上，且刀,0,求sina,CoSa，tana的值.【解析】解：在直线y=-4x上除了原点外任意取一点(a,-4a),则r=5I7a,a,0-4a47.sina=-=.7a17a17cosa=.1717-4a.tana=-4.变式22.对于sin9>0,sin9<0,COSe>0,cos9<0,tan9>0与tan9v,选择恰当的关系式序号填空：(1)角。为第一象限角的充要条件是；(2)角。为第二象限角的充要条件是:(3)角。为第三象限角的充要条件是:(4)角。为第四象限角的充要条件是.【解析】解：sing>O:sinOvO：COSe>0；CoSeV0：tan9>0;tan<O.(1)当角。为第一象限角时，反之也对的是；(2)当角。为第二象限角时.，反之也对的是；(3)当角。为第三象限角时，反之也对的是；(4)当角。为第四象限角时，反之也对的是.故答案为：(1)；(2)；(3)；(4).