微专题09 三角形的“爪”型结构（解析版）.docx

微专题09三角形的“爪”型结构Sr高频考点考点一中线问题（一）求中线长（二）已知中线长求其他量（三）与中线长有关的最值（范围）问题（四）与中线有关的综合问题考点二角平分线问题（一）求角平分线长（二）已知角平分线长求其他量（三）与角平分线有关的范围问题（四）中线与角平分线的综合问题考点三高线问题一、“爪”型结构解三角形是高考中的重要考查内容,是考查学生思维能力、核心素养的重要载体,其中“爪''型结构的解三角形问题屡见不鲜,如中线、角平分线、高线等.（一）“爪”型结构角互补ZADB+ZADC=11=>cosZADB+cosZADC=O在AAZ汨中有：COSN4。B=空上2竺二4生；2DA×DB、cosZADC=d2÷dc2-c2在ADC中有：2Z4×DC（二）解三角形中有关中线问题向量法:而=X而+m）,平方，建立中线长与三角形边、角的关系注；向量法：而2=：（匕2+¢2+2bcCOSA）4推导过程：由而=T须+前），则前2=1+Xc）2=AB2+AC2Il4Ccos1所以而2=1(2+c2+2bccosA)注；适用于已知中线求面积（已知色的值也适用）.背靠背的两角互补:CoS乙40B+COS乙40C=0,结合余弦定理,建立中线长与三边的关系中线长定理:三角形一条中线两侧对边的平方和等于底边一半的平方与中线的平方和的两倍.即若力。是4ABC的边BC上的中线,则+AC2=2（402+BD?）推导过程：在&48D中，CosB心+*一心2ABBDCosB482+BC2-AC22ABBC中线长定理：在AABC中，4。是边8C上的中线，则482+4。2=2（8。2+力。2）=2（4。2+。2）联立两个方程可得：AB2+AC2=2（BD2+AD2）注：灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中示例：记448C的内角48,C的对边分别为,b,c,己知448C的面积为遮,。为BC的中点,且4。=1.若炉+C2=8,求b,c.【解析】思路1.借助向量工具如图，VS&ABC=bcsnBAC=3,.snBAC=笠.由题意得而=X而+照),|而|=1,.4=b2+c2÷2bccosZB4C.又.b2+c2=8,二cosBAC=.vsin2BAC+cos2BAC=1,be.be=4,b=c=2.思路2.利用背靠背角的互补关系如上图,cosZj4DB+COSzJ4。C=0,AD+BD2-c2AD2+DC2-b_>2,r2-7(112.rn2"2BDAD+2DCD+C-2(40+BD),"BDDCV3.vS&adb=2abc=SinzJ4。B1,ADB-由勾股定理,得b=c=2.（三）解三角形中有关角平分线性质1（角平分线定理）：若。是的边BC上的一点,AD平分乙BAc则器=名可利用面积比或正弦定理DCAC推导如图，在AABC中，40平分乙B4C,角4、B,C所对的边分别为,b,C1、利用角度的倍数关系：BAC=2BAD=2CAD2、内角平分线定理：AO为AABC的内角"4C的平分线，则第=影推导过程：在A3E中,ABBDSinZADB-SinZBAD在ACO中,ACCDsinZADCsinZ.CADABBDACCD该结论也可以由两三角形面积之比得证，即多迪=莫=空SMCDACCD说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪型结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。2cos"性质2:若。是ABC的边BC上的一点,4。平分B4C,则黑=2+白.利用治.=Sabd+推导ADAd/1C注：等面积法：因为SaA8D+SMCD=SABC，所以:cADsin+-bADsin-=-bcsinA»22222所以(b+C)AD=2bcCOS-整理的：AO=I一（角平分线长公式）注：题中出现角平分线，我们可以从“角度”和"长度”两个方面入手考虑.1.角度：角被平分.角平分2.长度：在ABC中，AO为N8AC的平分线，则丝=型，这就是角平分线性质定理之一.提醒:ACDC线性质定理大题中不建议直接使用.示例：在ABC中/B4C=60。,48=2,BC=B4C的角平分线交BC于。,则=【解析】思路1.等面积法如图，令BC=a,AC=b,AB=c,a=6,c=2,BAC=60o,.,b=1+V5.Sabc=SAABD+S2acdQ刑CSin60°=ADsin30o+½Dsin30.AD=2.思路2.向量法如上图,在ABC中,由余弦定理可得AC=1+3.v受亚=影=*，shACDDCAC三=7而=黑荏+岛福两边平方得画=2,4D=2.（四）解三角形中有关高线问题高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。1、1,人均分别为ABC边,b,C上的高，则%:小：勿=!=!:一:二一abcsinAsinBsinC2、解三角形中有关高线问题；结合三角函数求解；结合等面积法求解；（求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度）结合两个直角三角形中的边、角关系求解.示例：已知在ABC,A+B=3C,2sin(4-C)=SinB.求sin4;(II)设4B=5,求48边上的高.【解析】(DSiml=甯(过程略).(11)思路1.结合三角函数求解如图,过点C作CO148于点D.由可知CB=r,sin4=若,cos4=丝，SinB=SinG4+Z-ACB)=学.8C=35,410105.CD=BCsinB=6.思路2.结合等面积法求解由SAA8C=1BCAC-Sinz.ACB="SC。求C。.思路3.结合两个直角三角形求解如图,过点C作CD1.AB于点ZX设Co=九.由(I)可得NACB=,tan4=3,tan=Tan(A+ACBy)=2,AD=*BD=48=S+g=5,3h=6,即CD=6.(五)其他爪型模型在448C中,已知C=120°,AB=2,AC=1.(I)求SinNA8C;（三）若。为BC上一点,且=9040C的面积.【解析】（I）Sin乙4BC=与（过程略）.14（ID思路1：如图,.BC2=AC2+AB2-2ABAC-cqsBACBC=7,zdBC2+AB2-AC257.zdz,21ydz,3.,.cosABC=,.snABC=，tan乙ABC=.2BCAB14145在RtABO中,乙BAC=120o,.DAC=30°,.SdADC="OsnDAC=.思、路2:T乙BAC=120°,乙DAC=30°.；Smbc=SAABD+SAACD，.-ACABsinl20o=-ABAD+-AC.ADsin30,.AD=SAADC=.2225AHU1.io思路3:BAC=120°,DAC=30-=丁sinADC=白.SinrCZIDsnzlDC2CD在RtABO中,sinADB=snADB=SinZTlDC,BD=4CD,丽=航+：前=：荏+g玄,两边平方得I西=等,即40=等S4dc=噂OO?O>U思路4:过C作AB的垂线,交BA的延长线于点E,-AC=1,CAE=60.AE=-,CE=:：AD/CEy:.-=22CEBE5.AD=-CE=:：DAC=30°,.SAADC=.S51.10考点精析考点一中线间愿（一）求中线长1. （2024高二下浙江舟山期末）记A8C的内角A8,C的对边分别为函数/（x）=sin、+Gshucosx,角C满足/(C)=0.(I)求C的值；(2)若C=次OsB,且在下列两个条件中塔号二个作为已知，求BC边上的中线长度.a48C的周长为2+J;二ABC的面积为立.4【答案】(I)C=1兀弓【分析】(I)先应用二倍角公式及辅助角公式化简求值即可；(2)由已知先得出边长，再应用余弦定理结合中线计算可得.【详解】(1)f(x)=sin2x+55iinCsv=-+sin2x=sin2x-+-.由f(C)=O得Sinj2C-g=,因为C(0,兀),2C-ge,072000所以2C：=劣，所以C=*663(2) c=2xx>s8,由正弦定理边化角得sinC=2sinBcosB=Sin28.所以C=2B或C+23=兀得8(舍)或B=J所以A=$,306选，因。：6:c=sin:sinB:sinC=:=1:1:-73,222所以周长+"+c=2+如a=2+6，解得=l=b,c=6.设BC边上的中线为加，由余弦定理得/=A2+c2-2bosA,O为BC中点，2而=而+而42而J=(SS+A)2,4"/=6+°2+乃CCoSA.2(Z?2+c2)=(2w)2+a2KP2(1+3)=4n2+1=>m=-选因a.b'.c=SinA:sinB:SinC=:=1:1:3,222所以三角形面积S=-absnC=-a2X=,解得=I="C=G,2224设BC边上的中线为机，由余弦定理得4=从+/一3eosA,D为BC中点,:.2AD=AB+A&(2A力=(aB+AC)4m2=b2+c2+26CCoSA,.2（Z?2+c2）=（2w）2+a2,KP2（1+3）=4n2+1=>m=-2. （2024高一下重庆渝中期末）设；ABC中角AB,C所对的边分别为。，h,JAD为BC边上的中线；Jo/T已知C=I且2siMcos8=sin-加in8+-加inC,BAD=.则AO=.43【答案】21.12T22【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得力=4,由AD=T（公+A。结合数量积相关运算整理得关于cos。的方程，运算求解即可.【详解】因为2sinAcos8=sinA-加inB+'bsinC,且c=l,4由正弦定理可得：2accosB=a2-b2+-hct4由余弦定理可得：2ac×"+'一>=：a2-b2+-be,整理得b=4c=4,2ac4又因为。为中点，所以AO=J（A5+AC）,设AB,AC的夹角为仇AD2=；(AB+AC)2=；何2+2ABAC+AC2=(C*+2CCOSe+/)=:(17+8CoSe),IUUDi1pAD=-17+8cosUUUUlU1zUU11UUIlU1.U1UUl2UUOUuUIg(l+4COSe)回l×17+8cos<9且A£)AB=5(AB+AC).48=5(A8+ABACj=-(1+4cos)因为tanBAD=独0,则/RM)为锐角，可知SinN8AD>0,cosR40>0.3sinNBAD23sinZBAD=-2nsinZBAD=-可得cosZBAD3,解得,1.或J-（舍去）sin2ZeAD+cos2NBAo=IcosZBAD=cosNBAD=77uinuuQAB-AD所以cosNBAD=cos=YtftIt(一黄叫AAD整理得28cos29+8cos。-11=0,解得CoSe=g或CoSe=且1+4COSe>0,即CoS6>，所以COSe=一,42IUllU1所以,4故答案为：叵【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量税建立关系，运算求解即可.3. (2024高三上重庆阶段练习)古希腊的数学家海伦在他的著作测地术中最早记录了“海伦公式”：S=yp(p-a)(p-b)(p-c),其中P=P+；£,a,b,C分别为tiA8C的三个内角A,B,C所对的边,该公式具有轮换对称的特点.已知在"WC中，sinA:sinB:sinC=8:7:3,且二ABC的面积为121.则BC边上的中线长度为()A.3&B.4C.74D.亚【答案】D【分析】先求得COSASinA,然后利用三角形的面积公式、向量法求得BC边上的中线长度.【详解】设。是BC的中点，连接AO依题意,在AABC中,sinA:sinB:sinC=«:Z>:c=8:7:3,设a=8Z房=7k,c=3Z,k>0,由余弦定理得CoSA=U=-上，2×7×37所以A为钝角，所以SinA=JI-cos?/1=半,WWSbc=×3×7×=123,2=2,AD=-IAB+2、=-9+49-2×3×7×-公=13公=26,，两边平方得AD=-(B+C2+2故选：D34. (2024高三上北京期中)在二ABC中，4。为BC边上的中线，AC=5,cosZDAC=.从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为己知，使aA8C存在且唯一确定，并完成下面问题.条件：cosC=;条件：COSC=-无条件：ZXADC的面积为2.52(1)求AO的长；(2)求A8的长.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)40=百(2)B=13【分析】(1)选条件：利用同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可；选条件：根据余弦函数的性质进行判断求解即可；选条件：根据三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；(2)选条件：利用余弦定理进行求解即可：选条件：利用余弦定理进行、结合二倍角公式进行求解即可.【详解】选条件：COSC=或5记ZDAC=a、ZADC=.在ZAf>C中，CoSa=之,COSC=，55所以Sina=71-cos2a=,sinC=Jl-cos?C=，sinJ=sin(11-a-C)=sin(+C)二.,45325=SlnacosC+cos6rsnC-×÷-×=55555AoAC因为:7»所以AO=AC=爪.sinCsinp选条件：CoSC=-3，2因为C0,11,所以C=,3在ZXADC中，CoSa=m,因为3<立，所以a?，因此+C>11,不符合三角形内角和定理，因此这样的三角形不存在:526选条件：ZXADC的面积为2记ZDAC=a,ZADC=.3/4在ZXADC中，CoSa=所以Sina=。1cos2aSadc=TXAoXACXSina=2,又因为AC=召，所以Ao=有.(2)选条件：在ZV1.DC中，DC2=AD2+AC2-2AD×ACxcoaa=4,所以Z)C=2.所以BC=4.在ABC中，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=13,所以A8=11.选条件：在/MDC中，DC2=AD2+AC2-2AD×AC×cosa=4,所以DC=2.所以BC=4.因为AC=AD=小,所以夕二CW。'万)3CoSa=COs(11一夕一C)=-CoS2C=W,即1-2cos2c=3,解得CoSC=好.55在48C中，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=3t所以AB=f5.法二：取C。中点E,因为AC=4。=石，所以A£_1.C£),CD=5+5-2×5×5×=2,AE=-(gx2)=2,所以AB=律百=5（一）已知中线长求其他量5（2024高一下.湖南长沙期中）在,ABC中,"=2d%C=?AO为"边的中线'。为Az）的中点，则ABBC=.【答案】1【分析】由正弦定理求得AC,用AaAC表示其它向;亡后根据数过积的运算律计算.【详解】如图所示由正弦定理得当;二a,A8=2,8=E,C=f,.AC=-i=22,sm8SinC46SiT6,APB。=；(AC+AB)(AC-A*=；(Ad3)=1故答案为：1.6. (2024高一下辽宁期中)在"IBC中，A6=3,AC边上的中线BO=6,ACA8=5.求AC的长；(2)求sin(2A-8)的值.【答案】(1)2磬162【分析】根据ACA8=5，DA+AB=DB利用平方求出|例，再求4C的长即可；(2)由(1)求出COSA,sinA,然后由余弦定理，正弦定理求出sinB,CoS3,然后由两角差的正弦公式求解即可.【详解】(1)aCA8=5,AB=XAC=IAD,所以2AOA8=5,又Z)A+AB=08，所以(OA+A8)=08，所以网',B-2AOAB=DBBJDA2+9-5=5,所以冈=1,故AC=2AO=2.(2)由(1)可知2通.福=5,所以CoS4=。，所以SinA=®,66所以sin2A=2sinAcos=2XXJ=5>iT6618cos2A=2cos2A-I=2×f-1=16；18在工48C中，BC2=2+AC2-2CcosA=9+4-2×3×2×-=3,所以BC=6,6在a4BC中，4=4>即：而万=而所以SinB=返，所以CoSB=勺叵，sinBsinA-996而WS.oaoxRA.o57331333先以sm(2A-8)=sn2AcosBCoS2AsmB=×X=.vf1891891627. (2024高一下江苏镇江阶段练习)在“BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,b2+c2-a2=bc,若BC边上的中线Af)=7,则AABC的外接圆面积是()A.411B.811C.1211D.1611【答案】A【分析】利用余弦定理求出A,再利用A5+AC=2AO平方后可求得AB即J从而利用余弦定理求得。，结合正弦定理可求得外接圆半径，由此得解.【详解】因为Z/+/-/=*,所以CoSA=心工=4，Tbc2又OVAV11,所以A=，1又。是BC中点，所以AO=(48+AC),又AC=b=2,所以AD?=1.(A4+AC)2=-(A2+2ABAC+AC2),44即7=1.(c2+2cx2xcos+22),解得c=4(负值舍去)，43所以=+c2一4CCOSA=2?+422x2x4COSl=I2,则=2J,2R_U_亚-4所以sinA-.114,即R=2，sin3所以ABC的外接圆面积为S=11N=4兀，故选：A.8.（2024高一下.辽宁葫芦岛期末）己知/品的内角48,。所对的边分别为46,。“=2,2皿（。+?=匕必.6a求A；（2）若BC边上的中线AM为J,求b.【答案】（I）A=W（2）2【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得SinACosC+5sinAsinC-SinB-SinC=O,再结合三角恒等变换运算求解；IlUiT1/Uimuu.（2）根据中线可得AM=X48+AC）,结合向量的数量积的运算律运算求解【详解】（1）由题意得cosC+有sinC=b+2,C=2，即acosC+gasinC-b-C=0,由正弦定理可得：sinAcosC+3sinAsinC-sin-sinC=0，则sinAcosC+>sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0,KPsinAcosC+>3sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，可得6sinAsinC-cosAsinC-sinC=0»因为C（O,r）,则SinCH0,可得JsinA-CoSA=1,所以Sin（A-己）=；.又因为Ae（O,11）,则A3（q年），所以AW，所以A=R663uur1/Ui®uun（2）因为AM为BC边上的中线，则AM=K（A8+AC）,所以AM*=：（A8+AC），=IA8?+2A8AC+AC2）,可得（代丫=2+2×2h×b2即3=l+g+；,解得b=2或人=T（舍去），所以6=2.9. （2024全国模拟预测）记JWC的内角NBACNBNC的对边分别为也c,已知2Z?COSBCOS2C=4-2ccosCcos2B.求/BAC.若b+c=8,且边BC上的中线Az）=巫，求"SC的面积.2【答案】（I）NBAC=亨地4【分析】(1)利用正弦定理及三角公式求COSNBAC=-g,根据角的范围可得/8AC(2)根据余弦定理可得从=15,根据面积公式求解可得【详解】(1)由已知条件及正弦定理，得2sin3cosBcos2C=sinN班C-2sinCcosCcos23.整理，f#sin2Bcos2C+sin2CcosIB=sinZBAC,即sin(2B+2C)=SinNBAC.又N8+NC=7u-N8AC,所以-sin2N8AC=sinZfiAC,即-2sin4CcosE4C=SinZBAC.因为SinN8AC0,所以COSNBAC=.又N8AC(U),所以的C=与.(2)由题意得，2D=AB+AC,所以4D2=AB2+AC2+2ABAC'BP19=c2+b2+2cCOS-=(h+c)2-3bc=64-3hc,3所以C=I5.WCl,n,lu2兀156hZS=-bcsin.BAC=×15×Sin=.223410. (2024高三上河北张家口期末)在/8C中，内角A,B,C的对边分别为,b,c,cosC-2Z?COSB+coosA=0.若=3,=阮，求jABC的面积；已知A。为边BC的中线，且Ao=5,求+c的最大值.【答案】(1)唯4(2)27【分析】(1)由正弦定理进行边化角，得Sin(A+C)=2sin&os8,从而B=,又由余弦定理，解得C=I,从而求Hl41ABC的面积；(2)设NBDA=6,则N84。=与一6,由正弦定理可得，c=2sin=4sin(与一。)根据三角函数恒等变形得"+c=2"sin(e+°),可求最值.【详解】（1）由正弦定理，得SinAcosC2sinBcosB+sinCcosA=O,所以sin(4+C)=2sin8cos8.又A+8+C=11,所以SinB=2sinBcos3,又SinB0,所以cos5二;,又5(0,11),故3=g.由余弦定理，得/=/+¢2_2accosB=>7c2=9+c2-3c»由。>0,解得c=l,所以eABC的面积S=Ucsin8=J3xlx立=地.22242兀(2)设NB"=e,则N84O=y-e.由8=9及正弦定理可得，C2A。0，SinNBDAsinZ.BADsinB所以c=2sinJ,=4sin(g-),故4+c=4sin(一e)+2sin9=4sine+2V5cosO当sin（6+e）=l时,+c的最大值为2".11.（2024高三下重庆阶段练习）在ABC中，内角A氏。所对的边分别为。也c,己知/+02=2。CCoSA，边BC上的中线AAf长为6.（1）若A=q,求c；（2）求$ABC面积的最大值.【答案】（1）竺叵524【分析】（I）根据余弦定理与正弦定理化简/+¢2-/=2儿COSA可得A=B,再根据直角三角形中勾股定理求解即可;（2）设CM=。，由余弦定理与同角三角和的关系可得S=在_%上竺叱二型，再根据二次函数的最ov2值求解即可.【详解】（1）rtl2+c2-/?2=2bccosAW2accosB=IbccosA,故cos3=Z?COsA,由正弦定理可得sinAcosB=sinBCOSA,故sinAcosB-sinBcosA=O,即Sin(A-B)=0,又AB(0,11),故A=8若A=5,则A=B=故C=；,则JABC为直角三角形.442设CM=n,则CA=2/m,则nV+(2"zJ=,解得m=故C=AB=壶BC=2辰.(2)由(1)可得A=8,则AC=8C=2CM设CM=。，则AC=2,由余弦定理可得CoSC=这士"二二曳2ACCM即CoSC=里W，rhC(0,11)WsinC=l=Jl-fT=l9/+36?43登4aV4(r44故S.C=BAC?8CsinC2a2sinC.故SABC=J-9+；0/空，当/=-霍可=20时SABC取得最大值，¾S=-972°2360?20-36-=24（三）与中线长有关的最值（范围）问题12. （2024高三上黑龙江大庆期末）在AABC中，角A,8,C的对边分别为。也。，且SinCKeos*b=3.求8；（2）求BC的AC边中线8。的最大值.【答案】（I）B=W场2【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理边化角即可得解.（2）首先利用向量模的公式，再结合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得条件是否满足.【详解】(1)由题意Sino>0,结合已知有2singsinC=gx2sin与COSg=ESin8,223223所以2csing=E0,而b=3,23所以Sin曰=；,而(g),乙乙乙、乙)所以彳=2,解得B=.263所以,耳=义8A+8q=gJ(BA+8Cj2=yBA"+2BABC+BC2=g?+ac+a2,而由余弦定理有9=护=+c2-2accos=a2+/-acf所以k4=9+%c,由基本不等式可得9=2+c2-ac2c-ac=c,当且仅当。=。=3时，等号成立，即(皿=9,所以Haf9+2(正=乎,即一ABC的AC边中线B。的最大值为三巨.213. (2024高一下吉林长春阶段练习)已知出8C的内角AB,C的对边分别为。力,J且满足2a-c=2bcosC.(1)求8的大小；(2)若=2,A。是”WC的中线，求A。的最小值.【答案】Bw正2【分析】(1)由正弦定理和SinA=SinBCOSC+CosBsinC得到CoSB二1.结合B(O,c)求出8=f；23(2)先求出即=1,ABD,由正弦定理得AO=且一，故当N8AO=时，求出最小值.2sinZBAD2【详解】(1)由止弦定理得2o-c=2x:OSC=2sinA-SinC=2sinBcosC,sinA=sin(+C)=sinBcosC+cosBsinC,故2sinBcosC÷2cosBsinC-sinC=2sinBcosC,即2cosBsinC-SinC=O,又CW(O,11),故SinC0,故2cosB=l,cosB=-,2又BW(O,11),=;(2)因为=2,Ao为二ABC的中线，所以80=1,又SgAz)1在AABQ中，由正弦定理得当;二.即巧=SinZTMQ，sinBsinZBADsin故当N8A。=时，AD=B取得最小值，最小值为AO=且.22sinZBAD214. (2024.浙江模拟预测)在JRC中，角AB,C的对边分别为,b,c且bcosC+csinB=a,"十、"=6五，sin+2sinB(1)求人;(2)求AC边上中线长的取值范围.【答案】(1)6(2)(3,3+32【分析】(1)根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；(2)利用余弦定理和基本不等式可得cw(,18+18,再根据丽=；丽+g而，结合向量的相关运算求解.【详解】(1)因为bcosC+csinB=a,由正弦定理可得SinBCOSC÷sinCsinB=sinA=sin(B+C)=SinBCOSC+cosBSinC,整理得SinCSinB=8sBsinC,且CW(O,11),则SinC0,可得SinB=COS8,即IanB=1,且BW(O,11),则8=(,由正弦定理三二=2R,其中R为&ABC的外接圆半径，SinASinn可得=2RsinAb=27?sinB,又因为"2bJRSinA+4RSinB=2r=6忘,SinA+2SinBsin+2sinB所以b=2Rsin8=6x曰=6(2)在JBC中，由余弦定理从=+c2-24zc8s5,即36=+c?在a。，则。2+/=36+缶c2ac,当且仅当。=C时，等号成立，可得c=18(2+J),即ac(0,18(2+设AC边上的中点为。，11UUD>(1Uir1IlUDA21U21UirUlV1UuU2因为BO=184+78C,则80=-BA+-BC=-BA+-BABC+-BC22U2J424=；(/+)+gaccos8=；(36+V.c)+ac=9+ac(9,27+18应,即5。66,3+3应,所以AC边上中线长的取值范围为9,3+3垃.15. (2024高三上江苏南京期末)锐角三角形ABC中，角A8,C所对的边分别为,b,c,且y3aC-tanB+tanC.ccosB(I)求角C的大小；(2)若c=2J,。为AB的中点，求中线长的最大值.Jr【答案】(I)C=I(2)3【分析】(1)由正弦定理边角互换以及三角恒等变换进行化简即可得解.（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解.r*Mrv/1r11yj3c_匕匚卜I3sinAsinBsinC【详解】(1)因为=tanB+tanC»所以=+»ccosBsinCcosBcosBcosC则GSinAsinBcosC+cosBsinCsin(8+C)sinCcosBcosBcosCcosBcosC因为A+3+C=兀，所以有SinA一sin(11-A)一sinAsinCcosCcosC又sinA>O,所以tanC=与£=6,cosC由题意知Ce所以C=1(2)因为。为AB的中点，所以Co=T(C4+CB),则CD="(c4+Cb)2=CA-CACBCB=a2+ab+b2),又由余弦定理得，c2=a2+2McosB,即12=/+/一白人，所以CO2=；(2+2M)=3+；4由12=/+/一,必得，2+ab=a2+h22ab,则而12,当且仅当°=6=2石取等号，即C7)*/所以CQ3,即中线。长的最大值为3.16. (2024高一下安徽合肥阶段练习)在ABC,内角AB,C的对边分别是o,b,c,且sinC+JcosC=",b=+.(1)求角B；(2)若+c=2,求边AC上的角平分线BP长；(3)若：ABC为锐角三角形，求边AC上的中线鸵的取值范围.【答案】(I)B=(2)BD=-也32-,2J【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）根据余弦定理及已知得a。=；,然后利用面积分割法列方程求解即可;f>Tr（3）利用向量加法运算及数量积模的运兑得86=j3+2c0）,利用正弦定理得四二2加（24-今+1,然后46利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）由SinC+GcosC=4及正弦定理得sinC+JJcosC=JsinA,即SinBsinC+由SinBcosC=>3sinA»即sinsinC+>3sincosC=GsinBcosC+>3cosBsinC»所以sin3sinC=JJcosBsinC,因为SinCW0,所以tanB=6因为8e(0,11),所以B=1.(2)由B=T及余弦定理得3=c2+2-c=(c+)2-3c,又+c=2,所以c=q,33IBlB由Svabc=Svmd+Svbdc得5csinB=+,所以csinE=Bf)(c+)sin2,所以1.X且=BO21.解得BD=.363226(3)因为E为AC的中点，所以8E=g(8A+8C),则BE2=-(BA+BC)2=-(c2+2cacosB)=-(3+c÷ca)=3+2ca,4444由正弦定理得c=SinA-SinC=4sinAsinC=4sinAsin(-A)sinBsinB3=4sinA-cosA+-sir1.4=2>3sinAcosA+2sin2A=>3sin2A÷l-cos2A=2sin(2A-)+1,因为OABC为锐角三角形，所以0,所以J<A<g,c211,兀620<A<32所以3<2A-所以<$而（2人一今个，所以2vc3,6OO26所以西=33+2c）g4,所以8E,即边AC上的中线BE的取值范围为卜g,.17. （2024广东广州模拟预测）在锐角ABC中，角AB,C所对的边分别为,Ac,且2c2=S+c2-Z?2)(tanA+tanB).(1)求角A的大小;(2)若边=,边BC的中点为O,求中线长的取值范围.【答案】W102÷22'【分析】(1)由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角;由M=结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围【详解】(1)由余弦定理得2c2=2MCsB(tanA+tan8),sinsi111cosAcosB即C=cosB(tanA+tan)