微专题07 具体函数与抽象函数定义域（解析版）.docx

微专题07具体函数与抽象函数定义域【方法技巧与总结】一.已知具体函数解析式求其定义域，主要考查方向有：(I)整式函数定义域为全体实数；(2)分式的分母不为零；(3)偶次根号下被开方数非负；(4)在°中底数Q0;(5)若/(x)是由几个部分构成的，则应采用交集法；(6)实际问题结合变量的实际意义来确定.二.含抽象函数复合函数类型的定义域，主要考查方向有：(1)已知原函数的定义域求复合函数的定义域；(2)已知复合函数的定义域求原函数的定义域；(3)已知复合函数的定义域求复合函数的定义域.【题型归纳目录】题型一：具体函数的定义域题型二：抽象函数的定义域题型三：复合函数的定义域题型四：已知函数的定义域求参数题型五：实际问题中的定义域【典型例题】题型一：具体函数的定义域例1.函数y=I二7+占的定义域是()A.(-oo,lB.(-1,O)U(O,1)C.-1,0).(0,1D.(Oj【答案】C【解析】由题，函数定义域满足;",解得XaTO)(O“X30故选：C例2.函数),二M中，自变量X的取值范围是()XA.x<lB.1C.1x0D.x0【答案】Cfl-xO【解析】由题意知：anxl且x0x0故选：C.例3.函数y=G+T的定义域为()A.x-1)B.小wC.小>-1且x0D.xx-lx0)B.D(I,+8)C.23,1D(I,+3)D.2,÷3【答案】D【解析】由函数解析式有意义可得x+l0Kx0,所以函数的定义域是且ro,故选：D.2x+1例4.函数/(X)=忘二+(4-1)°的定义域为(A.【答案】B【解析】由己知得3x-2>OX-IWo所以函数%)=奉=+-D°的定义域为仔,u(,+),3x-213J故选：B.例5.已知集合尸=卜卜=Jr二T,集合Q=Hy=G,则().PQ=0A.P=QB.PoQC.QbPD.【答案】B【解析】因为P=ky=4i,所以o,即x,故p=i,+xO,因为O=My=T,且y=To,得Q=o,”)，所以PqQ且PQ=P,因此P。，故B项正确.故选：B.例6.求下列函数的定义域.(Df(x)=喜?；/3二师5-六十一【答案】(l)4Kx5(2)-x<2x0【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.x40(1)要使该函数有意义，只需“<八，解得x4,且x5,j-50所以该函数的定义域为：xx4且x52x+303(2)要使该函数有意义，只需2x>0,解得一=xv2,且xhO,x0所以该函数的定义域为：x-mx<2且1题型二：抽象函数的定义域例7.己知函数f(x+2)的定义域为(-3,4),则函数g(x)=£1.的定义域为()3x-lA-(?4B-停2)C.停6)D.SI)【答案】C【解析】因为函数/(x+2)的定义域为(-3,4),所以外力的定义域为(-1,6).又因为3x-1>0,即所以函数g(x)的定义域为(g，6).故选：C.例8.已知函数八力的定义域为(3,5),则函数f(2x+l)的定义域为()A.(1,2)B.(7,11)C.(4,16)D.(3,5)【答案】A【解析】.(x)的定义域为(3,5),.3vxv5,由3v2r+lv5,得IVXV2,则函数f(2x+l)的定义域为(1,2)故选：A.例9.若函数/任-2)的定义域为-1,3,则函数/(x)的定义域为；若函数f(2x-3)的定义域为1,3) 函数“1-3x)的定义域为.【答案】一2,7,【解析】因为函数F(X2-2)的定义域为-1,3,即-l3,所以0f9,-2-27,故函数/(力的定义域为卜Z7.因为函数)(2x-3)的定义域为1,3),即lx<3,所以T2x-3<3,则函数“力的定义域为11,3),令-11-3xv3,得V<xq,所以函数/(l-3x)的定义域为FG故答案为：2,7,(-,I例10.(1)已知函数/(力的定义域为0，则函数/(/+1)的定义域为:(2)已知函数“2x-3)的定义域为1,3),则/(1-3”的定义域为.【答案】=o-t【解析】解：(1)因为函数“力的定义域为0，所以0x2+ll,即一lfo,所以X=0,所以函数/(f+)的定义域为=o(2)因为函数2X-3)的定义域为1,3),KP1<3,所以一12一3<3,即/(x)的定义域为-1,3),22所以-1l-3xV3,解得所以函数/(l-3x)的定义域为(-|,|.故答案为：xx=;(2)(一C-例11.已知函数/(Al)的定义域为1,2,则/(-2x+3)的定义域为()A.1,2B.0,C.-UD.1,1【答案】B【解析】因为函数+l)的定义域为口,2,所以lx2,则2x+l3,所以2-2x+33,解得04xg,所以/(-2x+3)的定义域为0,g,故选：B例12.已知函数/(x)的定义域为0，则函数f(x2+l)的定义域为.【答案】0【解析】因为函数/(x)的定义域为0，所以0f+,即Tfo,解得=0,所以函数/(炉+1)的定义域为0故答案为：0例13.已知函数的定义域为-2,3,则函数/(2x-l)的定义域为.【答案】-g,2【解析】由一22x-l3解得一x2,所以函数/(2x-1)的定义域为“g,2.故答案为：1-耳,2例14.已知函数/%+1)定义域为1,4,则函数f(x-l)的定义域为.【答案】3,6【解析】因/(x+l)的定义域为1.4,则当lx4时，2<x+l5,即f(x)的定义域为2,5,于是/(AI)中有2x75,解得3x6,所以函数/(xT)的定义域为3,6.故答案为：3,6例15.已知函数产/(2x+l)的定义域为T2,则函数y=(x7)的定义域为.【答案】0,6【解析】函数y=f(2x+l)的定义域为1,2,即T2,所以T2x+15,所以一lx-l<5,即0x6,所以函数的定义域为0,可.故答案为：。,可.题型三：复合函数的定义域例16.已知函数的定义域为3,函数/(1-3”的定义域为A=;，若玉8,使得X+成立，则实数。的取值范围为()Cn3、(1313、0-岛叼D-卜正司【答案】C【解析】(l-3x)的定义域为A=1,1,xl,-2l-3xl,则B=-2,1.令g(x)=fr+,3,使得>2r+l成立，即。大于g(x)在W上的最小值.二.g(x)=(Tj+,g(x)在-2,：上的最小值为名出='，实数°的取值范围是偌，+00)故选：C.例17.已知/(力=击，则/(x)的定义域为()A.xx-2B.x-1C.xwT且XW-2D.xhO且x1【答案】C【解析】因为f()=-1,所以X,又因为在(X)中，/(A)-1,所以7-,所以-2,所以/(f(x)的定义域为小7且x-2.故选：C例18.已知/(x)=7T+11,则函数g()=/空2的定义域是()X-IA.-2,l)o(l,2B.Ol)U(1,4C.0,l)k>(1,2D.-lj)u(l,3【答案】A【解析】/(X)=而7+67.，：+：，.一心於3,，/(用的定义域为尤«-1,3.3-x0f(x+1)f-1x÷13又g。)二匕一，<1,.-2x2且XH1.x-1(x-10.g()=Z空。的定义域是-2,l)u(1.2.x-1故选：A例19.已知函数/(力的定义域为(0)，若c(*则函数g(x)="x+c)+/(X-C)的定义域为()A.(-c,l-c)【答案】BB.(GI-C)C.(l-c,c)D.(c,l÷c)【解析】由题意得:O<x+c<10<x-c<l-c<x<l-cc<x<1+c：,c<x<-c.故选：B例20.已知函数y=(3x-7)的定义域为-2,3,求函数y=f(x-l)+f(l-x)的定义域.【解析】因为函数=/(31-7)的定义域为12,3,所以-2x3,-133x-72,所以函数y=F(x)的定义域为T3,2,所以要使函数>=/(%1)+/(Ir)有意义，则有-13x-l2T3I2'解得XI，所以函数y=f(x-l)+f(I-X)的定义域为卜1,3.例21.己知函数/(*)的定义域为(T1),函数g(x)=/(£|+/(x-2)的定义域为集合民(D求集合&(2)设不等式(x-3+l)v0的解集为A,若xA是x8的充分不必要条件，求实数。的取值范围.-1<-<1【解析】(1)由题意2,解得IVXV2,所以8=(1,2)；-l<x-2<l(2)若XWA是x8的充分不必要条件，则AuB11.A.方程(工一。)-3+1)=0的两根为。,3。-1,即时，A=(11,3a-1),>34-l即。时，A=(3a-9a),a=3a-,即=时，A=0,222=!满足题意，<:显然不合题意,221,1<«<2，ll<3-l<2无解.所以。的范围是；.题型四：已知函数的定义域求参数rr1例22,已知函数丫="，1的定义域为R,求实数。的取值范围.yax+4av+3ax-【解析】由题意.函数“。的定义域为R,Var+40r+3即加+4公+3w0在XeR上恒成立，当=0时，ax2+4ar+3=3r0对任意XeR恒成立:当0时，要使Or2+40r+30恒成立，即方程渥+4r+3=0无实根,3只需判别式=(44-2a=4a(4a-3)<0,解得0<。<一，4综上，实数。的取值范围是0,().例23.若函数f()=>ax2+r+l的定义域为R,则的范围是.【答案】。4【解析】依题意，VxeR.Or2+ar+之0成立，当。=0时，l0成立，即4=0,当。工0时，2./八，解得0va4,因此得0<4,所以。的范围是。4.故答案为：0,4例24.若函数/(x)=2+故+1的定义域为R,则。的范围是()A.0,4B.10,4)C.(0,4D.(0,4)【答案】A【解析】依题意，TXR,Or2+r+l0成立，当=0时，l0成立，即=0,a>0当0时，a,),C，解得0<4,因此得04,=-4a0所以。的范围是0,41.故选：A例25若函数“力标F的定义域为R，则实数，的取值范围是<)A.q,+8)B.I>+【答案】B【解析】由题意可知，函数/(X)=/一的定义域为R,"*-x+2所以不等式m-x+2>0在R上恒成立.当加=0时，当x=4时，-4+2=-2<0,所以不等式-x+2>0在R上恒成立显然不成立，m>01当加工0时，则满足八/、2八，解得?>g,=(-l)-4×2×<08综上，实数用的取值范围是(，+8故选：B.例26(1)若函数/(%)=疝工T的定义域为(YO/，则实数的值为；(2)若函数f(x)=疝T在区间(田上有意义，则实数的取值范围为.【答案】-1-1,0【解析】(I)根据题意，知关于X的不等式0r+l0的解集为(-,1当0时，不符合题意；当av时，关于X的不等式Or+l0的解集为18,，故一"1.=1,所以=一1.综上，a=-.(2)根据题意，知当x(o,l时，关于X的不等式Or+l0恒成立.<0晨"0解得T<°当。=0时，符合题意；当WO时，设g(x)=r+,根据一次函数的性质，得，综上，-laO.故答案为：-1;题型五：实际问题中的定义域例27.高一(3)班的小北为我校设计的冬季运动会会徽冬日雪花获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产.其中会徽的六个直角(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示，矩形ABCD的周长为4cm,其中长边AD为xcm,将及»沿8。向AABQ折叠，BC折过去后交AO于点E.图1图2(1)用%表示图1中ABAE的面积；(2)己知镀金工艺是2元/cmz,试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用.【解析】(1)因为AO=XCm,所以AB=(2-X)Cn1,设ED=CIcm,则AE=(x-)cm,因为ZAEB=NCtED,ZEAB=ZDCfE,AB=DC',所以RtZXBA比RtZXQCE,所以5E=EQ=cm,在RtZ84E中，由勾股定理得口42+4七2=3炉，即(2-xp+(i)2解得=x2-2x+22x-2所以AE=X=X(l<x<2).11Or9-Y2÷r-7所以gBAE的面积S=5A84E=q(2-x)=XXX所以ABAE的面积S=3-x+)cm2(l<x<2)；(2)设一个会徽的镀金费用为y元，yiJy=652=12×3-fx+-12×(3-22)=36-24>,2当且仅当X=：，lvxv2,即x=时等号成立，所以当AD为cm时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为（36-24&）元.例28.已知圆。的直径为4,将该圆的内接矩形A8C。（四个点都在圆周上）的面积表示为它的一边AB的长X的函数/（x）,并求出其定义域.【解析】由题意BC=JAC2一至2=Ji6-x2，f（x）=BBC=x16-，AB显然小于直径，所以0。4,即定义域为（0,4）.例29.2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABa）和瓦G”构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNFQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2,在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2,再在四个空角（如ADe”等）上铺草坪，造价为80元/m2.设Ao长为Xm,。长为ym.(I)试找出X与y满足的等量关系式；(2)设总造价为S元，试建立S与X的函数关系；(3)若总造价S不超过138OOO元，求AD长X的取值范围.【解析】(1)由己知，卜字形区域面积为矩形DAMQ面积的四倍与正方形MNP。面积之和，得出X与丁满足的等量关系式为：4xy+=200;(2)由(1)得y=也E(O<x<lj)4xS=4200x2+21mxy+80?=400Q2+400000+3800(<0<x<I02)；X400C)Oo由S,138(XX),得4000x2+38OOO,138000,x(x2-5)(-20),0,即J5k25,，A。长X的取值范围是525j.例30.已知一等腰三角形的周长为12cm,则将该三角形的底边长y(单位：Cm)表示为腰长X(单位：Cm)的函数解析式为.(请注明函数的定义域)【答案】y=-2x+12,x(3,6)【解析】根据题意得y+2x=12,由三角形两边之和大于第三边得2x>y,所以4x>y+2x=12,即>3,又因为y=122x>0,解得xv6所以该三角形的底边长.v(单位：cm)表示为腰长工(单位：cm)的函数解析式为y=-2x+12,x(3,6)故答案为：y=-2x+12,x(3,6)例31.一个等腰三角形的周长为20,底边长y是一腰长X的函数，则()A.y=10-x(0<x10)B.=10-x(0<x<10)C.y=20-2x(5<x10)D.y=20-2x(5<x<10)【答案】D【解析】V2x+y=20,y=20-2x.20-2x>0,由题意得r+x>20-2芭解得5<xvl0x>O,y=20-2x(5<x<10).故选：D.例32.己知矩形的周长为20cm,设矩形的宽为X(Cm),面积为y(c11?),则)，关于X的函数表达式为()A.y=x(10-x)(x<10)B.y=x(10-x)(x>0)C.>,=x(10-x)(0<x<10)D.y=x(10-x)(0x10)【答案】C【解析】由矩形的周长为20cm,矩形的宽为X(Cm),则矩形的长为10-X(cm),，面积为y=NiO-X)(OVXVl0).故选：C.【过关测试】一、单选题1 .已知集合A=xx2-4x-50,8=xy=7,则A/3=()A.xl<x5)B.x-l<x5)C.,1x5)D.x-1x5【解析】由A=jd2-4x-50=3(x-5)(x+l)0=xTx45,8=xy=Jx=l,所以A-B=xlx5.故选：C2 .函数/(x)=GR-1.的定义域是()XA.RB.-h-)C.(,0)U(0,m)D.-l,0)(0,-H)o)【解析】由题意解得“e,o)Jo,”)故选：D二、多选题3 .下列函数中，与函数y=+是同一函数的是(),2A.y=(Jx+l)B.y=r+lC.y=+1D.y=+【答案】BD【解析】两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.函数y=+的定义域是R.y=(77T)2的定义域为-1,位)与y=X+l的定义域不同，所以不是同一函数；y=+l与y=+l的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；y=t+l&H)与y=x+l的定义域不同，所以两个函数不是同函数；Xy=47+l=+l与y=x+l的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.故选：BD.4 .如果某函数的定义域与其值域的交集是,可，则称该函数为“,句交汇函数下列函数是“0交汇函数”的是().A.y=>xB.y=Vl-xC.y=-x1D.j=>1-X2【答案】BD【解析】由以交汇函数定义可知：0,1交汇函数表示函数定义域与位域交集为0：对于A,y=7的定义域A=0,m),值域4=0,+8),则AA=0,y),A错误；对于B,y=117的定义域A=(Y0，值域B=0,+8),则AI8=O,1,B正确；对于C,=1-炉的定义域为a=r,值域3=(-8，则Ac8=(-oo,l,C错误；对于D,y=47的定义域为A=T,1,值域3=0，则AI3=O,1,D正确.故选：BD.5 .欧拉公式*+1=0被数学家们称为“宇宙第一公式”.(其中无理数e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274.),如果记。小数点后第位上的数字为必则y是关于内的函数,记为丁=。().设此函数定义域为A,值域为民则关于此函数，下列说法正确的有()A.2.71AB.0.更BC.O(U)=5D.BfQ=0,9【答案】BC【解析】由题意得:y(n)rwnA二N,B=0,123,4,5,6,7,8,9,所以2.71/A,2B.0(11)=5,BQ=B,故选：BC三、填空题6 .若函数/U)=/；'的定义域为R,则实数的取值范围是.yjax+ax+1【答案】。4)【解析】/的定义域是R,贝J0+v+>o恒成立，a=0时，OV2+av+=>o恒成立，a>040时，则1.24c，解得OVaV4,=-4a<0综上，0q<4.故答案为：。4).7 .设函数/(x)=JX+l+x-2卜,若函数/*)的定义域为R,则实数的取值范围是.【答案】(f3【解析】因为函数/(力=历而二不，的定义域为R,所以不等式x+l+A2在R上恒成立，转化为(k+11+1%-4)min/“eR.因为x+l+x-2k+l-(x-2)=3,当且仅当Tx2时等号成立，所以实数。的取值范围是(f,3故答案为：(-,3.8 .若等腰三角形的周长为c,将腰长表示成底边长X的函数(需注明定义域)._a._C-X，八【答案】y=-【解析】因为等腰三角形的周长c=x+2y,所以y=昼，根据三角形任意两边之和人广第三边可知2y>xyc-x>xix<t所以函数解析式为y=Xe(O,).故答案为y=s'XdO,?9 .已知函数/O)的定义域为"2,则函数/(1-2x)的定义城是.【答案】-,0【解析】因为函数区力的定义域为口,2,所以要使函数/(12x)有意义，只需1K1-2x2,即一x0,2所以函数/(1-2x)的定义城是一;.故答案为：-;,010 .(1)若函数"力=疝77在区间(70,1上有意义，则实数0的取值范围为(2)若函数f(x)=疝口的定义域为(yo,1,则实数。的值为.【答案】TO-1【解析】(I)由题意知：当Xe(Yo,1时，Or+l0恒成立：当。=0时，INo恒成立，满足题意；4<0当。工0时，设g(x=狈+1,由一次函数性质知：,l1、八，解得：<g(l)=+lO综上所述：实数。的取值范围为T,0(2)由题意知：0v+lO的解集为(yo,1;当0时，显然不合题意；当v时，Or+1之0的解集为(一8,-，,/.-=1,解得：a=-.综上所述：实数。的值为-1.故答案为：T,0:-1.11 .函数X)='+4x+12+匕的定义域为.【答案】-2,4)_(4,6y24.4r+17>0一，解得，-2x6,且x4:x-40/(»的定义域为：-2,4)U(4,6.故答案为：-2,4)U(4,6.12 .函数/(X)=与总的定义域是,则21-1)的定义域是.【答案】xx4且x5;卜x且xw3.X4O【解析】由可得x4且5,Ikl5所以函数/(X)=亮'的定义域是：xx4且xw5,2x-l4,5由235可得，所以/(2xT)的定义域是xx且xr3.故答案为：xx4Hxh5;卜xg且XW3.，扃四、解答题13 .设全集为R,A=xa-<x<2c,(1)若=5,求4B,4(AB)；(2)若Aw0,且“xA”是"x8”的,求实数。的取值范围.请在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题.【解析】(1)当=5时，A=x4<x<10,因为丁=/1二5需满足三0,解得3vx6,所以8=x3<x6,VJXDX所以AC8=x4<x6,(AcB)=x4或x>6,(2)若选择充分不必要条件，则AfB,a-<2a因为A0,故-l3,不等式无解，故aw0,2«6若选择必要不充分条件，则BUA,所以-解得3<q4,*2a>6,所以实数4的取值范围为3vq4若选择充要条件，则A=以由题意AB,故e0.14 .求抽象函数的定义域.已知函数f(x)=J匚7+而5,求函数/(x+l)的定义域；已知函数/(3x+l)的定义域为(T6,求/(2x-5)的定义域.【解析】(1)由/()=JI-X+Jx+3,l-xO得乙、八，解得：-3xl,x+30函数，(x)=7+而I的定义域为-3,1,由3x+ll,得T<xO,即函数/a+。的定义域为,o函数"3x+l)的定义域为(T,6,-l<x6,WJ-2<3x÷l19,即函数“力的定义域为(-2,19,由-2<2x-519,得T<x12,21一5)的定义域为2.15 .若大为的定义域为-3,5,求例x)=f(-s(幻的定义域.-3<-x<5(-S<r<3,即，,解得-3x5(-3x5-3<x3*所以函数以幻的定义域为-3,引.