人教版选修21第二章抛物线抛物线的标准方程讲义.docx

案例二精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一抛物线定义平面内与一个定点厂和一条定直线/(尸史/)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线/为抛物线的准线。(1)定义可归结为一动三定“：一个动点设为M；一定点尸(即焦点)；一定直线/(即准线)；一定值1(即动点M到定点尸的距离与它到定直线/的距离之比为1)。(2)定义中的隐含条件：焦点/不在准线/上。假设/在/上，抛物线退化为过方且垂直于/的一条直线。(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。知识点二抛物线的标准方程抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。如以下图所示，分别建立直角坐标系，设出IKFI=P(P>0),那么抛物线的标准方程如下：,准线/:x=K；2(4)(1) V=2px(p>),焦点：,012>(2) /=2Py(P>0),焦集点：,准线/：/=5；(3) =-2px(p>0),焦点：,准线/:工=勺(4) 2=-2py(p>0),焦点：(°，,准线/：>=与。相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的1.,即女442不同点：(1)图形关于X轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为±2X,左端为y2；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为±2py,左端为冗2；(2)开口方向在X轴(或y轴)正向时，焦点在X轴(或y轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴(或y轴)负向时，焦点在X轴(或y轴)负半轴时，方程右端取负号。总之，参数P的几何意义：焦参数P是焦点到准线的距离，所以P恒为正值；P值越大，张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。典型例题分析题型1抛物线的定义及应用【例1】抛物线=4y,点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12,6)。求点P到点A的距离与点P到X轴的距离之和的最小值。解析由定义知，抛物线上的点P到焦点产的距离等于点尸到准线的距离d,求IPAI与点尸到X轴的距离之和的最小值，转化成求IPM+的最小值。答案如右图易判断知点A在抛物线外侧，设尸(x,y),焦点/(OJ),那么P到X轴的距离即y值。设尸到准线y=T的距离为d,那么y=d-l.故IPd+y=M+d，由抛物线定义知IP/I=。于是IPd+dT=R4+尸耳一1,由图可知，当A、P、尸三点共线时，E4+P月取最小值，为13。故所求距离之和的最小值为E4-1=J122+(61)2=12。规律总结定义是解决问题的根底和灵魂，要善于思考定义和应用定义，此题如果设P点坐标为(x,y),利用两点间距离公式求解，无法得到答案。由抛物线定义可知，P月等于尸点到准线的距离，当P、A、尸三点共线时，P4+P月的距离最小，这表达了数学中的转化思想。【变式训练1】定长为5的线段AB的两个端点在抛物线V=4x上移动，试求线段AB的中点M到y轴的最短距离。答案如右图，分别过4、B、M作抛物线准线的垂线，垂足为尸、。、N,在直角梯形APQ8中，.WM=p4+q那。-一：F又IpA=IA耳.|明=I即,WNI=万5耳+忸目)，由几何性质，有IA月+忸月H4=5,当且仅当AB过焦点SS3厂时取等号，.当A3为焦点弦时MNI有最小值彳，此时，到y轴有最短距离为1-1=°题型2求抛物线的标准方程【例2】假设动圆与圆(X-2p+y2=外切，又与直线式+1=0相切，那么动圆圆心的轨迹方程是(.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x解析利用抛物线定义的条件。答案设动圆的半径为，圆心为O'(x,y)到点(2,0)的距离为r+1,0'到直线工=-1的距离为广，所以。'到(2,0)的距离与到直线X=-2的距离相等，由抛物线的定义知丁=8工。应选A。规律总结处理求轨迹方程的选择、填空类问题，可首先考虑画维由线的定义，或者经转化后联系圆锥曲线的定义来处理。【变式训练2】圆A:(x+2y+y2=i与定直线/：冗=1,且动圆尸和圆A外切并与直线/相切，求动圆的圆心户的轨迹方程。答案依题意，可知P到圆心4(一2,0)距离和到定直线x=2的距离相等，.P点轨迹为抛物线，且P=4。.2点轨迹方程为丁二一8十。【例3】根据以下条件，求抛物线的标准方程：(1)焦点为(-2,0)；准线为y二-1；(3)焦点到准线的距离是4；(4)过点(1,2)o解析求抛物线方程的主要方法是待定系数法，但要依据所给条件选择适当的方程形式。答案(1)焦点在X轴负半轴上q=2,即p=4,抛物线方程y2=-8x°(2)焦点在y轴正半轴上苫=1,即p=2,抛物线方程为f=4y；(3)p=4,抛物线方程有四种形式：y2=8x,y2=-8x,x2=Sy9X2=-Sy；(4)点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在X轴上时，设其方程为y2=2pM">0),那么22=2pl,解得p=2,抛物线方程为V=4x;当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为d=2py(p>0),那么Y=2p2,解得P=；,抛物线方程为Xi=gy。规律总结(1)抛物线标准方程中的系数叫做焦参数，它的几何意义是：焦点到准线的距离，且焦点到顶点及顶点到准线的距离均为BO2(2)抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键。在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。(3)焦点在X轴上的抛物线方程可统一写出y2=Ww);焦点在y轴上的抛物线方程可统一写成X2=aya0)。【变式训练3】设抛物线y2=m(mo)的准线与直线=的距离为3,求抛物线的方程。答案当机>0时。由2=m，得K=慢，这时抛物线的准线方程是工=一生。244抛物线的准线与直线X=I的距离为3。.l-f-=3,解得m=8。这时抛物线的方程是V=8x°同理，当mv时，抛物线的方程是52=-16%。题型3求抛物线的焦点坐标和标准方程【例4】抛物线的方程V=混。/0),求它的焦点坐标和准线方程。解析要根据。的正负分类讨论。答案(1)当。>0时，因为2p=,所以P=色，所以焦点，准线方程X=0。214)4(2)当q<0时，)，2=一(_卜。因为2=一，所以二一£。所以焦点厂一(一3)0、，即(t'°),准线方程冗=一0。综上所述，抛物线的焦点厂(9,0，准线方程工=一色。规律总结。可能是正的，也可能是负的，因此一定要分>0,<0两种情况讨论，此类题易忽略。<0。【变式训练4】求抛物线y=2的焦点坐标及的值。答案抛物线方程可化为2a.>0时，=-点，焦点坐标为尸(0,-；4I8。J<0时，=一：，焦点坐标为尸(0,、-)。题型4实际应用问题隧道，如下图，拱口【例5】一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线形的A3宽恰好是拱高Co的4倍，假设拱宽为,求能使卡车通过的的最小整数值。解析要求拱宽。的最小值，需建立适当的坐标系，写出抛物线方程，然后利用方程求解。答案以拱顶为原点，拱宽所在直线为)，轴，建立直角坐标系，如图，设抛物线方程为2=-2py(p>0),那么点8的坐标为,由于点3在抛物线上，所以，抛物线方程为2=-y。将点E(0.8,y)代入抛物线方程，得>=2丝。a所以，点E到拱底AB的距离为ATyl=A手>3o解得。>12.21,取整数。的最小值为13。规律总结实际问题中可由实际情况确立坐标系，要求坐标系要简单，建好坐标系后要由实际情况写出各点坐标及曲线方程，然后依题意解之即可。【变式训练5】汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？答案取反射镜的轴即抛物线的对称轴为X轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xy,如右图所示。(10,12)o由点A(K)J2)在因灯口直径A0=24,灯深IoH=IO,所以点A的坐标是设抛物线的方程为y2=2p(p>0).抛物线上,得122=2PXK),.p=72.抛物线的焦点尸的坐标为(3.6,0)o因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm规律方法总结(1)批物线V=的焦点坐标、准线方程，不管>0还是。<0,总有：焦点,准线方程X=O4(2)正确理解抛物线的定义：抛物线定义中的定点/不在定直线/上，这一点不可无视。当尸/时，那么动点P到定点产与到定直线/的距离相等的轨迹是过尸且与/垂直的一条直线。(3)方程求抛物线的焦点、准线方程时，应先将方程化为标准形式。(4)根据给定条件，求抛物线的标准方程时，由于标准方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确定方程的形式，再用待定系数法求之。当对称轴，焦点不确定时，可分类讨论，也可统一设方程。如对称轴为X轴的抛物线，标准方程可设为y2="(0o).(5)在解决有关抛物线上的点尸到焦点厂的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为P到到准线的距离。定时稳固检测根底训练顶点在原点，准线方程为y=4的抛物线方程为()A.y2=16xB.y2=-16xC.X2=16D.X2=-6y答案D(点拨：冗2=Sy的准线方程是y=4。)2.抛物线y=-1r的准线方程是()A.X=B.X=322C.y=2D.y=4答案C(点拨：原方程可化为：=-8yo)3 .假设抛物线V=2px上横坐标为6的点的焦半径为10,那么顶点到准线的距离为().1B.2C.4D.8答案C(点拨：依抛物线的定义得6+K=10,而顶点到准线的距离为“。)224 .焦点在直线y=3x-6上的抛物线的标准方程是o答案V=8或=-24y(点拨:有两种情形,分别讨论。)5 .根据以下条件写出抛物线的标准方程。(D准线方程X=工；4焦点到准线的距离为2；(3)经过点(-3,-5).答案(1)由一=一；，得,所求抛物线的方程是V=;(2)=2,有四种形式的标准方程，分别是V=4x,y2=-4,2=4y,x2=-4yi,S75(3)当抛物线的方程为产=一2外(>0)时，将点(-3,-5)代入得P=上，即抛物线的方程为V=一二不；当63抛物线的方程为/=-2Py(P>0)时，将点(-3,5)代入得P=V,即/=一.丫。能力提升6.过抛物线产y2=4X的焦点作直线交抛物线于A(1,j1)xMX2,)两点，如果F+=6,那么IA目=()A.10B.8C.6D.4答案B(点拨:根据抛物线的定义知A=+w+P0)7 .M为抛物线V=©上一动点，尸为抛物线的焦点，定点尸(3,1),那么IMH+1的最小值为()A.3B.4C.5D.6答案B(点拨:利用抛物线定义进行M尸长度转化。)8 .动点尸到直线x+4=0的距离比它到点M(2,0)的距离大2,那么点P的轨迹方程是O答案、2=8工(点拨：动点尸到直线1+2=0的距离与到点用(2,0)的距离相等。)9 .有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4m时，水面宽40m,当水面下降1m时，水面宽是多少米？答案不妨设抛物线的方程为f=-2py(p>0),由题意将点(20,-4)代入抛物线的方程中得400=8p,p=50,从而抛物线的方程为冗2=T00y.当水面下降m时，将y=5代入抛物线的方程中,解得x=±l()6，从而可知此时水面宽是2()J510 .假设抛物线通过直线y=gx与圆/+y2+6=o的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程。库案由1户/AX2+y2+6x=0,x=0,或J=O,24X二一不据题意可设抛物线的方程为丁二一2四(相>0)或-,P=-方程为/=一竺),或、2=_g入555*5=-2px(p>0),那么(弓,一£)在抛物线上，.m=