人教版选修21第二章椭圆椭圆的几何性质讲义.docx

案例二精析精练课堂合作探究重点难点突知识点椭圆的几何性质由椭圆方程r+研究椭圆的性质。(利用方程研究，说明结论与由图ab形观察一致)(1)范围22从标准方程得出一1,斗1,即有一%a,Z?y,可知椭圆落在ab-x=±4,y=±Z?组成的矩形中。(2)对称性把方程中的X换成-X方程不变，图象关于y轴对称。y换成一y方程不变，图象关于X轴对称。把x,y同时换成一Xy方程也不变，图象关于原点对称。如果曲线具有关于X轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有第三种对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。X轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。(3)顶点椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。22在椭圆鼻+当=1的方程里，令y=0得x=±,因此椭圆和X轴有两个交点ab22A(-。，0)4(,0),它们是椭圆1的顶点。令X=O,得y=±匕，因此椭圆和y轴有两个交点Bl(O幼,打(0,。)，它们也是椭圆r2v2-7+=l的顶点。因此椭圆共有四个顶点：i(-,0),A2(«,0),片(O1.b),5(0/)。加a"b两焦点F1(-c,),F2(GO)共有六个特殊点。AA2叫椭圆的长轴，片层叫椭圆的短轴，长分别为2,3°,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的，对称性、顶点。因而只需少量描点就可以较正确地作图了。(4)离心率长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同，这种扁平性质是由椭圆焦距与长轴长之比来决定的。由于e=:ne=qi-:Jta>b,所以离心率的范围是O<e<l。当eO,c(),椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e=O时的特例；当el,c。，椭圆变扁，直至成为极限位置线段KK,此时也可认为圆为辅圆在e=l时的特例，如右图所不O典型例题分析题型1椭圆中几何性质的考查【例1】椭圆的方程为9+y2=8i的长轴长为,短轴长为,焦点坐标为,顶点坐标为,离心率为O解析先化成标准方程，再确定有关性质。丫22将9/2+),2=81化为标准方程3+=1。39.椭圆长轴在y轴上，其中=9,b=3,c=6j,.长轴长2=18,短轴长»=6,焦点坐标为片(0,6五)，8(0,6五)，顶点坐标为4(一3,0)、A2(3,0),B1(0,-9),B2(0,9)o面、.人c6222a93答案18；6；<(,-62),F,(,62);A,(-3,0),A2(3,0),用(0,-9),B2(0,9),规律总结(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率以及准线方程。(2)熟练掌握椭圆定义、标准方程、几何性质，这些根本概念是解决计算问题、证明问题、轨迹问题及其他有关问题的根底和关键。【变式训练1】求椭圆25丁+16/=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标。X2v2答案将方程化为一+乙=1,得=5,h=4,c=3o故椭圆的长轴长为2o=10,短轴长为4=8,离2516心率e=f=3,焦点坐标为(0,-3)(0,3),顶点坐标为A(O,-5)4(0,5),B1(-4,0),ft(4,0)oa522【例2】，工是椭圆21+=1(。>/?>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，假设丽而二0,椭圆的离心率等于*,AAO6的面积为2后。为坐标原点)，求椭圆的方程。解析求椭圆的方程就是利用待定系数法求4、/?,因此,根据条件列出关于。、Z7的等式构造方程求解即可。C个，答案亚版=O.AF2IF1F2,因为椭圆的离心率e=#,那么Z?2=2,22»2设A(x,jX%>0,y>0),由AF1_1.耳居知X=C,A(Gy),代入椭圆方程得J+=1,y=。aba区2.A4。尸2的面积为2亚，Sa"=1.CXy=2,即,c匕=2,222a*/=,:.b2=8,a?=2b2=16,a222故椭圆的方程为三十1二二1。168方法指导由椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤是：(1)构造方程求。、b的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程。22【变式训练2】"、尸2是椭圆+与=l(>b>0)的左、右两个焦点，A是椭ab圆上位于第一象限内的一点，点3也在椭圆上，且满足Q4+O8=()。是坐标原点)，A"J.耳居。假设椭圆的离心率等于半，AABFz的面积等于4/5,求椭圆的方程。fX2y21答案一+匚=1168题型2椭圆的离心率X2V2/解析由于条件都【例3】如右图，P是椭圆会+会=1(。>人>0)上一点，耳、E2为焦点,设0<<生，且NP片K=,NP入片=2,求椭圆离心率。集中在焦点三角形(椭圆上一点与两焦点组成的三角形)中，因而可以利用解三角形的方法建立起参数。与C的关系，从而求出离心率。(利用正弦定理)答案e=3=竺=忻用=一但幺一a2aP÷PsinNg+SinNESink-(+2)sin2+sinasin3ac.303a2sncossin2+sinae2sncos一223a3a.acos2cossinc2?Sinzcr-SinaCiaCa.acos2cos-sin222siner-=2cosa-10规律总结此题主要考查椭圆的定义，离心率的定义及椭圆的相关根本知识。【变式训练31K为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当尸耳_1.-A,PO/AB（O为椭圆中心）时,求椭圆的离心率。答案方法一：由可设椭圆的方程1+=l（>b>0）,c2=a2-b2,/、Jrv）U耳（一c,0）,因为M_1.KA,所以P",妙嗓，丁/21>211Z即P。,幺，.48尸，=kx,即一一=,.b=c,:.a2=2c2t.e=-=-oa）aaca2方法二：由方法一知pfc,生,又AP0sAQ4,.”=C2,.g=f,即=c,a）BOOAba2c2C叵a=2c.=-=oCl2【例4】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在X轴上，离心率6=立，p（,3到这个椭圆上的点的最远距离2I2）为行，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点尸的距离等于近的点的坐标。解析最值问题的讨论是解析几何中的常见问题，此题首先可以考虑建立起距离目标函数，转化为函数最值问题来求解。答案设。（乂>）为椭圆。+亲=l（o>8>0）上的动点，如右图。,re=与*,22J_2o.=gj=-,/=4，即得。=»,椭圆方程可进一步写为/+4y=482。aa-4（QYQ由两点间距离公式得I尸d=J+0一引=-3y2-3y+-+4Z72（-yZ7）o（1）假设一1.-时，即0bg时，当），=一。时，|尸。2最大值为（j7=-3b2-3Z7+4b2,方程无符合要求的解；（2）假设一一1时，即时，当=一_1时，最大值为防T=4力2+3,，=1,从而。=2所求椭圆方程为：y+y2=U取到最大值时的点的坐标为Q（±百,一；）。规律总结最值问题由于变量的取值范围必须进行分类讨论，此题的误点为利用几何特征会认为最大值点为椭圆的下端点，这是不完整的，仅当0人!才成立。2要注意范围在题目中的隐藏。22【变式调练4】椭圆。:=+与=1（。人0）,A、8是其长轴的两个端点，假设椭圆上存在一个点Q,ab使NAQB=I20°,求椭圆C的离心率e的取值范围。答案设。（工），那么心州=，分8=上，由对称性，不妨设y0,是NAQB是QA到Q8的角。x+x-a：.、2?,=-3,整理得3（x2÷y2-a2+lay=0。X+y-a-2y2又Rr1，联立、可得石l-p-V+20y=0o八2。及"0,.y=后又.y0,.詈5b,:.3c4+4a2c2-4a40,即M+4/40,7解得*或-2（舍去）。3故所求的取值范围为Jel°3题型3实际问题【例5】彗星“紫金山一号”是南京天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点距太阳中心1.486天文单位,远日点距太阳中心5.563天文单位(1天单位是太阳到地球的平均距离，约1.5xl()8km),近日点、远点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程。解析建立坐标系，用待定系数法求解。答案设太阳中心、近日点、远日点分别为B，A,8,如下图，建立直角坐f标系，那么椭圆的方程为/+/=l(”>0).<113),由Q-C=IA周=1.486,q+c=怛闾=5.563。解得=3.5245,c=2.0385o.bJa2-C2=J(+c)(-c)=f5.563x1.4862.8752。因此,所求轨道的方程为2y23.524522.87522规律总结解实际应用题的关键是依据应用题给出的条件,建立起数学模型，此题通过建系，将问题归结为求椭圆的标准方程问题，因而可采用待定系数法,有关椭圆形轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点。”【变式训练51某荒漠上耳、尸2两点相距2km.现准备在荒漠上开垦出一片以巴、工为一条对角线的平(1)试求(2)问农答案11)标系，那么么由得行四边形区域,建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8km。平行四边形另两个顶点的轨迹方程；艺园的最大面积能到达多少？以KF2所在直线为X轴，FlK的中垂线为y轴建立如下图的平面直角坐(-1,0),(2,0)o设平行四边形的另两个顶点为MX,y),Q(x,y),那IP耳+P闾=4。由椭圆定义知点尸在以6B为焦点，以4为长轴长的椭圆4=2,。=1,那么Z?二百。二.P点在轨迹方程为土+上=1()工0),43同理。点轨迹方程同上。所以当尸为隔圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2Jk11)2°规律方法总结1 .关于椭圆几何性质的类型椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；另一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标。对于第二类性质，只要将2 2225+5=1（。0）的有关性质中横坐标X和纵坐标y互换，就可以得出+0=1（。60）的有关性abab质。2 .关于椭圆几何性质的理解（1）通过对椭圆的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握椭圆的形状、大小和位置。（2）桶圆的焦点决定椭圆的位置；范围决定椭圆的大小；离心率反映了椭圆的扁平程度。（3）解决有关椭圆的问题时，一般首先应弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置。3 .椭圆几何性质的拓展（1）椭圆上任意一点?（尤），心工0）与两焦点（一。,0）,乙（£,0）构成的2/与工称为焦点三角形,周长为2（a+C）O（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成的直角三角形的边长满足/=+。2。定时稳固检测第1课时椭圆的几何性质根底训练1.椭圆6d+y2=6的长轴的端点坐标是（）.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-6,(6,)D.(-6),(0,76)【答案】D(点拨：由椭圆准方程定又可知。)2.点(加,)在椭圆8+3V=24上，那么2机+4的取值范围()a4-23,4+23B.4-3,4÷3C.4-22,4+22D,4-2,4+2【答案】Al点拨：方程可化为f+=1,那么-im石，2m+4426,4+20。）833 .中心在原点，焦点在无轴上,假设长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,那么此椭圆的方程是（）a+=1b4=18145D.+8136【答案】A（点拨：灵活运用公式/=/+。2。）4 .椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为！，长轴长为12,那么椭圆方程为（）3a4=1区二十.=1或Jx=I3236XV*"D.÷-=461【答案】C（点拨：-=-,。=6可求得c=2,=32,应选C。）a35 .椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，那么离心率e=o【答案】I（点拨：由2/?=。+。平方得4（/一。2）=/+2改+。2,除以/得4（1一/）=1+2«+/,解得6=|。）能力提升A6，B是椭圆三+与二l（>8>0）的左、焦点，点P在椭圆上，APOE是面积为石的正三角形，那么2oab的值是O【答案】23（点拨:灵活应用三角形面积公式与、b、C三者关系。）7 .F1,B是椭圆的两个焦点，过耳且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点，假设AABF2是正三角形，那么这个椭圆的离心率是O【答案】（点拨：应用=z+c2公式利用正三角形性质求解即可。）38 .对称轴为坐标轴的椭圆的焦点K,尸2在X轴上，短轴的一个端点为8,A8%B的周长为4+2JW,NB月入=30。，求椭圆的方程。22【答案】设椭圆方程为二+2=1（。>力>0）。ab在即ABEo中，怛用=,BC=b,0F=c,/%工=30。，.cos300=需，即?=乎。由、两式,得4=2,C=VJ,.从二2.2又忸川+O用=g（4+2百）,三Pa+c=2+3,=Io所求椭圆方程为工+乙=1,即-+/=Io414第2课时椭圆的几何性质的应用根底训练1.假设椭圆的焦距长等于它的短轴长，那么椭圆的离心率等于（）【答案】B（点拨：2C=乃）2.假设椭圆。2/+2,2=。2/?2（。>b>0）的左焦点尸，右顶点4,上顶点反假设448/=90。，那么椭圆的离心率为（）1.B.C.，2D.2【答案】B（点拨：由题意得一22=T,从而有/+e-1=0）ac5tn3 .假设椭圆土+二=1的离心率为e=J,那么实数加的值等于.VlO_m-5=7=oJ5w【答案】3或4（点拨:假设5>团，那么e=巫=互口；假设5<m,那么e=4 .中心在原点，焦点在X轴上，焦距为2,离心率为上的椭圆方程是3【答案】3+事=1（点拨：c=l,=3,所以从二8。能力提升5. P（X,y）是5W=l（>10）上任一点，F1,B是其两个焦点,那么|尸EHP闾的取值范围是（）A.p.a2B,Z?2C.b2,a2D.lbla22【答案】C（点拨：由椭圆的第二定义知|尸"H尸用=（+0）G-勿）=-2,由于02,故IP耳H明十,司）2245206点P是椭圆工+工=1在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直。假设点P到直线4%一3y一2根+1=0的距离不大于3,那么实数机的取值范围是(C.-2,2D.-,-7U8,÷x)【答案】A(点拨：容易得到点尺3,4),于是有上#3°)【答案】令X=-C代入£+/=1（。b0）,求得2="1设,一。,§,而椭圆的右顶点A（,0）,上顶点8（0的）。,：OPHAB,:.kop=kAB,.-,=-,acac近:.b=c；Sa2=b2+c2=2c2,:.a=j2c,:.e=。a222a=M,c=区;.bf,.所求的椭圆方程为：+匕;8.中心在原点，两焦点在X轴上的椭圆上有一点P（3,y）,假设户的方程。【答案】设椭圆的方程为+£=1（。人0）,离心率e=PF=a+ex=a+3e=6.5,PF=a-ex=a-3e=3.5,222”2575.b=ci-c25=,44X24V2.所求的椭圆方程为：-+-=Io2575c2_b4_b2Cria-a又由于-c=Ji5-J5,求得=1O，点到两焦点的距离分别是6.5和3.5,求此椭圆-,由椭圆的第二定义知：ac5解得=5,e=0.5=一,.c=-,a27.假设椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，点尸是椭圆上的一点，户在X轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心。的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于加-,试求椭圆的离心率及其方程。