人教版 九年级上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程根与系数的关系学案(无答案).docx

根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(一)、前提:一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a0)(2)/20(二)、结果：如果一元二次方程a2+bx+c=0(aW0)的两个实数根是西,冗2,那么bcx1+x2=，jx)=aa特殊的：x>px+q=O的两个实数根是否,12，那么x1+x2二一P，x1X2=q(三)、应用：1、方程的一个根，求另一根及未知系数的值；2、方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；3、两数，求以这两个数为根的一元二次方程。以和/为根的一元二次方程：二次项系数是1，一次项系数是X1与X2和的相反数；常数项是由与X2的积。即：x2-(x1÷x2)x÷x1x2=04、不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到的有：|七一七I=J(Xl+X2.-4XX2=-(x+m)(x2+m)=x1x2+m(x+x2)+maX2xl÷X2(x÷x2)22xX2XiX2XiXiX25、特殊关系：(1)两根互为相反数，即：+/二°且/2<0；(2)有一根是0,斗=0且/20(3)两根互为倒数，即XM2口且/20。(注意：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数aW0,/20前提条件下应用的，解题中一定要注意检验；我们可以先利用根与系数的关系进行求解，把求得的结果再进行检验，是否满足a0,220,如果满足那么保存，不满足就舍去J例题及稳固练习(一)、方程的一个根，求另一根及未知系数的值；例1方程5/+公一6=0的一个根是2,求它的另一个根及A的值.3解：设方程的另一根是Xi,由根与系数的关系得：2x1=-6/5解得：XF-5由(-3)+2二一K,得依一7,所以，方程的另一个根为一3,A的值为-7.555例2.方程V+3x+k=0的一根是2,那么方程的另一根及k的值。解：设方程的另一根是Xi.由根与系数的关系得：2+x尸-3,解得：x1=-5,又由2x=k得k=-10说明：当二次项系数和一次项系数时，先利用两根之和，再利用两根之积；当二次项系数与常数项时，先利用两根之积，再利用两根之和。练习：1、如果关于X的一元二次方程/+&x+4=0的一个根是1-6,那么另一个根是,的2、2+J3是尸-4+k=0的一根,那么另一根为的值为o3、（2019-山东潍坊）关于X的方程32+m-8=0有一个根是得，求另一个根及In的值.4、（2019日照）.关于X的方程22-ax+l=0一个根是1,那么它的另一个根为.5、 （2019盐城）一元二次方程2+k-3=0有一个根为1,那么k的值为（）A.-2B.2C.-4D.4（二）、不解方程可以求某些可化为方程两根之和与积的代数式的值，例1、X,X2是方程2J7-4=0的两个根，求：（1）x2+x22（2）（x+l）（x2+l）（3） IXX2I的值。解：由根与系数的关系得：X+x2=7/2Xi.x2=2那么:（1）x2+x22=x2+2x1x2+x22-2x1x2=（x+x2）2-2x1x2=（7/2）-2.（-2）=49/4+4=65/4（2） （x+l）（x2+l）-XX2÷X1÷X2÷1-2+7/2+1-5/2（3） ,稳固练习：I5-Z=（X+X2）2-4xX2=XoX11、设Xi、X2是方程2+3x-3=0的两个实数根，那么一巳+的值为（）A.5B.-5C.1D.-1xlx22、假设叭n是一元二次方程2-5-2=0的两个实数根，那么m+n-11n的值是（）A.-7B.7C.3D.-33、一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2炉8x+7=0的两个根，那么这个直角三角形的斜边长是（）A.6B.3C.6D.94、昆明中考x-X2是一元二次方程24x+l=0的两个实数根，那么X凶等于（）4-4B.-1C.1D.45、（眉山）假设m、n是一元二次方程2-5-2=0的两个实数根，那么m+n-mn的值是（）.-7B.7C.3D.-36、 （2019江西）设a、B是一元二次方程2+2-1=0的两个根，那么aB的值是（）A.2B.1C.-2D.-17、 （2019宜宾）一元二次方程2-2x=0的两根分别为Xi和X2,那么xX2为（）A.-2B.1C.2D.08、（2019眉山）假设Q,B是一元二次方程32+2-9=0的两根，那么导+普的值是（）9、 （2019日照）小、也是方程2f+14>16=0的两实数根，那么"+匕的值为x1X210、 东南中考假设一元二次方程2X-I=O的两根分别为x,X2,那么工+,=XiX211、 （2019德州市）方程22-3X-I=O的两根为Xi,X2,那么x2=.12、 （2019四川宜宾）一元二次方程x2+3-4=0的两根为八、x2,那么x12+x1x2+x22=.13J2O19-四川攀枝花）设Xi、X2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,那么;+；的值为.xlx214、假设关于X的方程/.2Wd加-20有两个实数根x1、x%，那么玉（天）年的最小值为，注意：所求代数式只含有一根的平方时，要结合根的定义进行求解。例：a、B是方超2+-2019=0的两个实数根，求a?+2a+B的值）解：YQ是方程x2+x-2019=0的根.a2+a-2019=0a2+a=2019/.a2+2a+=a2÷a+a+=2019+a+又由根与系数的关系得：a÷=-l原式二2019+a+B=2019+（-1）=2019练习：1、m、n是方程x?+3x-2=0的两个实数根，那么112+4m+n+2nn的值为（）A.1B.3C.-5D.-92、m,n是方程2-2-2019=0的两个实数根，那么r+2m的值为于（）A.2019B.2019C.2020D.20223、设a,b是方程2+-2019=0的两个不相等的实数根，那么a?+2a+b的值为.4、假设a,b分别是方程2+2-2019=0的两个实数根，那么a?+3a+b=.5、一元二次方程一一4x+3=0的两根G、¾,那么Xi2-4x+xX2=.6、假设m,n是方程x?+x-2019=0的两个实数根，那么11）2+2m+n的值为.7、（2019日照）如果m,n是两个不相等的实数，且满足而-小曲,-n=3,那么代数式2胡-mn+2m+2019=_8.（2019四川眉山）设m、n是一元二次方程x*+2x-7=0的两个根，那么r112+3m+11=.式子适当变形后，使用根与系数的关系1、实数a、b满足等式。2一2。-1=0,-26-1=（）,求0的值。ab（提示：把a,b都换成X,那么形式为2-ax-I=O,a,b就是方程的两根）2、假设abl,且有5/+20114+9=09Z?2+2011Z?+5=O,求色的值。b（提示：因为abl,a,b都不为0,把第二个方程两边同除以b'再利用根与系数的关系）（三）方程满足两根的某种关系，进行求所含字母的值可以先利用根与系数的关系进行求值，但是注意求出值以后，一定要保证二次项系数不为0,判别式/20例1、关于X的一元二次方程/一侬+2加-1=0两个实数根的平方和为7,求朋的值解：设方程的两根为：Xi、X2由根与系数的关系得：x+x2=m,Xi.x2=2m-l由题意得：Xi2+×22-7即：Xi2+x22-x2+2xx2+x22-2xx2=（X1+X2）2-2xX2=m2-2（2m-1）=m2-4m+2=7解方程m2-4m+2=7得小尸5m2=l，二m-4（2m-l）=m-8m+4当m=5时/=TlVO（舍去），当m=-l时=14>0所以m=-l.稳固练习：1、m,n是关于X的一元二次方程2-3x+a=0的两个解，假设（m-l）（n-1）=-6,那么a的值为（）A.-10B.4C.-4D.102、 .设方程32-5x+m=0的两根分别为x,x2,且6x+X2=0,那么In的值等于（）222A.B.2C.D.3993、关于X的一元二次方程2+2x+aT=0有两根为Xi和X2,且x-xiX2=0,那么a的值是（）A.a=lB.a=l或a=_2C.a=2D.a=l或a=24、假设X,X2是关于X的方程2+b-3b=0的两个根，且xJ+z2=7,那么b的值为（）A.1B.-7C.1或一7D.7或一15、Xi,X2是关于X的方程2+ax-2b=0的两实数根，且X+x*-2,xXz=I,那么b"的值是（）A.1B.-1C.4D.-1446、方程2-（m+6）x+mW）有两个相等的实数根，且满足x+x2=xm,那么m的值是（）A.2或3B.3C.-2D.-3或27、假设一元二次方程/一研一2才0的两根之和为44一3,那么两根之积为（）A.2B.-2C.-6或2D.6或一28、关于X的方程X2-ax+2a=0的两根的平方和是5,那么a的值是（）A.-1或5B.1C.5D.-19.德州中考方程2+2kx+k22k+l=0的两个实数根x,X2满足x；+x；=4,那么k的值为10、关于X的一元二次方程X2+（m÷3）x÷m÷l=0的两个实数根为Xi,X2,假设xj+x?、！，那么m的值为.（四）、特殊关系1、两根互为相反=2>X1+x2=O且/202、两根互为倒数VA3、有一根为0<>4、两根都为正数1.f5、两根都为负爽=>稳固练习：Xi.X2=I且/20c=0x1+x2>0x1.x2>0且ZINoX+x2<0x1.x2>0且e1、假设关于X的一元二次方程2+mx+mJ3m+3=0的两根互为倒数，那么m的值等于（）D.0,那么m的值等于A.1B.2C.1或22、假设关于X的一元二次方程x2+mx+m2-3m+3=0的两根互为倒数A.1B.2C.1或2D.03、关于X的方程Y+p+g=0的两根同为负数，那么（）A.p>0且q>0B.>0且q<0C.p<0且夕>0D.且q<04.（2019内蒙古包头）假设关于X的方程2+（m+l）x+&0的一个实数根的倒数恰是它本身，5_1_5那么m的值是（）A.-.yC.-5或D.15、（2019泰州）xX2是关于X的方程2-a-2=0的两根，以下结论一定正确的选项是（）.xjx2B.x1+x2>OC.xjx2>0D.x1<0,x2<06. （2019包头）关于X的一元二次方程2+2x+m-2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，那么符合条件的所有正整数m的和为（）.6B.5C.4D.37. （2019湖北黄石）关于X的一元二次方程2+2-2m+l=0的两实数根之积为负，那么实数m的取值范围是.8、如果关于X的方程112-（m-2）x+l=0的两个实数根互为倒数，那么m=.9、关于X的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求用的值.10、k为何值时，方程2-（k+l）x+（k-2）=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.（五）、求做方程两数，求以这两个数为根的一元二次方程。以和马为根的一元二次方程：二次项系数是1，一次项系数是X1与X2和的相反数；常数项是X1与X2的积。即：X2-（X1+X2）X÷X1X2-O例：求做以2与-5为根的一元二次方程解：V2+（-5）=-32.（-5）=-10所以所求方程为:X2-（-3）x+（-10）=0即：x2+3-10=01、实数Xl,X2满足Xl+X2=ll,X1X2=3O,那么以Xl,X2为根的一元二次方程是()A.x2-11x+30=0B.x2+11x+30=0C.x2÷ll-30=0D.x2-ll-30=02、一个一元二次方程的两个根是2+5A和2-#,那么这个一元二次方程为：3、两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。课后稳固练习：1、假设关于X的一元二次方程X2+h+45一3=0的两个实数根分别是Eg,且满足N+W=NW.那么人的值为()A、-1或1B、-1C、=D、不存在442、一元二次方程2-3x-l=0的两根为修、X2,那么七+=.3、关于刀的一元二次方程d+法+c=0的两个实数根分别为1和2,那么h=_4、如果关于X的方程+bx+t=U的两根之差为2,那么由二o5、关于X的一元二次方程7-I"IaTi"E=U两根互为倒数，那么4=。6、关于X的方程-3血+2(6-1)二°的两根为丸、X2,且X与4,那么掰=_。7、关于X的一元二次方程冽-4x6=0的两根为为和勺，且用+勺=-2,那么W=；(1+彳2严=4、方程f+3x+l=0的两个根为七、/，求(1+玉)(1+工2)的值.5、关于X的一元二次方程f+(2n-1)了+加2=0有两个实数根占和马.(1)求实数团的取值范围；(2)当;-2=0时，求Z的值.6、关于工的方程f-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求用的值.7、占，%是关于X的方程。一2)(X-M=(P-2)(P-M的两个实数根.(1)求芭，%的值；(2)假设王，是某直角三角形的两直角边的长，问当实数勿，夕满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值.8、方程x2÷(2k+l)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。9、M今是方程2?-3公1=0的两个根，利用根与系数的关系，求演何F君的值。10、5、与是方程3/-2x-l=0的两个根，利用根与系数的关系，求的值。11、M今是方程2+3x4=0的两个根，利用根与系数的关系，求K÷fitto12、关于X的方程2-(掰-+6+1=0的两根满足关系式A-4=l,求掰的值及方程的两个根。13 .(2019南充)关于X的一元二次方程2-6x+(2m+l)=0有实数根.(1)求m的取值匏围;(2)如果方程的两个实数根为Xi,X2,且2xX2+x+x2220,求m的取值范围.14 .南充中考关于X的一元二次方程x2-22x+m=0有两个不相等的实数根.(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是由,X2,求代数式x；+x；xX2的值.15 .【怀化】X1.X2是一元二次方程(-6)%2+20x+=0的两个实数根，是否存在实数a,使一为+为质=4+泾成立？假设存在，求出a的值；假设不存在，请你说明理由；(2)求使(乂+1)(及+1)为负整数的实数的整数值.16.(2019湖北荆州)在关于X的分式方程旨_二2和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)、的程需,kk方、万试P求当当，1)2)3)攵Om娄n8m、n均为实数，方程的根为非负数.值范围；、有两个整数根X1、X2,k为整数，且k=m+2,n=l时，求方程的整数根；有西个实薮板Xi、X2,满足Xi(X1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k),且k为负IMW2是否成立？请说明理由.