立体几何外接球的10种归类.docx

立体几何外接球的10种归类。常考题型目录题型1墙角模型4 类型1两两垂直型(特别是四个面都是直角三角形)4 类型2对棱垂直推理两两垂直7 类型3对棱相等模型8题型2直棱柱的外接球(汉堡模型)10 类型1直棱柱的外接球10 类型2直棱锥的外接球11题型3切瓜模型12题型4正棱锥与普通棱锥的外接球15题型5两个直角三角形拼接模型17题型6圆锥的外接球18题型7圆柱的外接球19题型8圆台的外接球20题型9棱台的外接球21题型10二面角型外接球24Q知识梳理知识点一.正方体长方体的外接球1.长方体的夕球:长方体的同一顶点的三条棱长分别为d,b,c,外接球的半径为R,则ZR=*+dO2 .正方体的外接球：正方体的棱长为。，外接球半径为R,则2。=5O3 .墙角模型(补成长方体)(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内，如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.(3)正四面体可以补形为正方体如图3所示，知识点二.直棱柱的外接球（汉堡模型）1 .直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）勾股定理：DEJ2+DEJ2=。仃，则口=2 .计算公式。=J（与气-其中小照知识点三.直棱锥的外接球（侧棱垂直底面的三棱锥）补形成直棱柱'I)题设：PA_1.平面ABC第一步：将平面ABC画在小圆面上,A为小圆面直径一端点；作小圆面的直径AD,连接PD,则PD必过球心。；第二步：H为乙4BC的外心，所以0H平面ABC;算出小圆面的半径HD=r,OHWPA;第三步、用勾股定理：R=r2+OH21.当棱锥的侧面垂直与底面垂直时知识点四.切瓜模型2.假设平面ABC，平面BCD,其中n为平面BCD的外接圆半径2为它的垂面ABC的半径,/为两个垂面的交线。结论：=>2=+-2知识点四正棱推和普通的棱推外接球题设：P的投影落在ABC的外心上第一步:确定球心O的位置,取MBC的外心H,则P,O,H三点共线；第二步:算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h;第三步:勾股定理：OH2+AH2=OA2即：（h-R）2+R=R2,解出R但题型分类题型1墙角模型类型1两两垂直型（特别是四个面都是直角三角形）【方法总结】方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2/?）2=/+,即2R=ya2+b2+c2,求出R常见的类型：图4【例题1-1已知三棱锥。一口仔,=4,=5,口=6,侧棱PA,PB,PC两两垂直,则三棱锥-的外接球表面积为.【变式I-In.三麒A-BCD中Q£7_1.平面BCDAz712=OO=00=2,则该三棱锥的外接球表面积为（）【变式11】2.在直三棱柱-口中,=DD=2,=22,z=T,则此三棱柱外接球的表面积为（）【变式1-13.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早100O多年.在九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱推称为阳马.如图O-是阳马，桐,=5,=3,=4.则该阳马的外BC【变式1-14.在三棱锥。£7。中，OO=OO=4,OO=8,OO=8,OOl口口,口口Y口口,则该三棱锥外接球的表面积为.【变式1-1】5.如图，在边长为2的正方形S。中，口,O分别是£7,£7。的中点，将DOO111O11,£7。侬别沿S,DD1。口ff起，使。，O1OE点重合于点方，则四面体O'-型外接球的表面积为（）A.24OB.12Z7C.6Z7D.3Z7【变式1-16.已知长方体。£7£7£7-Ej1.j1.jB中,DD=3,1111=1fd口与平面£7所成角的正弦值为手，则该长方体的外接球的表面积为.D,类型2对棱垂直推理两两垂直【方法总结】特别的：正四面体、正三棱锥对棱相互垂直、四个面全都是直角三角形）【例题1-2如图在正三棱锥D11j.口,会别是棱口。的中点，。为棱。上的一点，且口口=；口口,DD1.口口,巷口口=22,则此正三棱锥。一口口苗外接球的体积为（）A.12OB.等£7C.8311D.4311【变式1-21.在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为3611zM,N分别是SC,BC的中点，且MN±AM,则此三棱锥侧棱SA=（）A.1B.2C.3D.23【变式1-22.在正三棱锥£7-口口中,DD1.OO1OO=5,则正三棱锥。一口口口外接球的表面积为.【变式1-23.)正三棱锥。一AZJBJ侧棱长为2,3。中点，且口口工口口,则三梭锥。-。仍卜接球的表面积为第三步根据墙角模型类型3对棱相等模型【方法总结】方法：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD,AD=BC,AC=BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步设出长方体的长宽高分别为4瓦C,AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=Z,列方程组，a2+b2=x2222<b2+c2=y2=>(ZR)2=a2+b2+c2=X)*.222C+a=z"补充：Va-bcd=abcabc×4=-abc63【例题1-3四面体。一口口科,口口=OO=5,OO=口口=DO=OD=6,则此四面体外接球的表面积为一.B则三棱锥P-S8U的外接球的表面积为（）A.1211.B.<9rrC.2411【变式l-32.如图，在三棱锥。口口田,口口=口口3,则三棱锥。ooa外接球的体积为（ABBA.2Z7B.3Z7C.41.【变式l-33.在三棱锥。一口口咕,口口=口口二，77,则三棱锥。-的外接球的表面积为（A.211.B.1211.C.<9ra.BD.29口口=y31口口=口口=2,口口=)7D.60=4,1.J1.J=口口=5,1.J1.J=口口=)D.24n【变式1-3】1在三棱推P-/8C中PA=BC=5口口=DO=y113,DO=00=3/5,题型2直棱柱的外接球（汉堡模型）【方法总结】方法：存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是乙满足正弦定理）类型1直棱柱的外接球【例题2-1如图，在直三棱柱ABC4中，底面4ABC是以角B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2,D为BC的中点，三棱柱体积。=42求三棱柱的外接球的表面积和体积；【变式2-1】1.直三棱柱ABC-A1UG的六个顶点都在球。的球面上，若AB=BC=1,ZABC=120°,AA1=2,则球O的表面积为（）A.4rB.8rC.16D.24;T【变式2-1】2在直E幡1口口口-口口口中,4口口口=虱,Da=5,设其外接球的球心为O,已知三棱锥的体积为3,则球O表面积的最小值为.【变式2-13.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点9都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为W,底面周长为3,则这个球的体积为O【变式2-1】4.若球。是直三棱柱ZJDZJ-的外接球,三棱柱的高和体积都是4,底面是直角三角形，则球。表面积的最小值是.类型2直棱锥的外接球【例题2-2】四棱锥。-ASGJ外接球O的半径为2,平面ABCD,底面ABCD为短形，口口=口口=2,则平面PAD截球O所得的截面面积为（）A.411B.311C.211D.11【变式2-2】1.已知在三棱锥。一DDD,口口1口口口，口口=23,口口=口口=4,OO=2,则三棱锥D-Oz7卜接球的表面积为（）【变式2-2】2.在三棱锥一口口口中,口口1口口,口口=口口=DD=2,DO=4,口口=25,则三棱锥外接球的表面积是（A52OB.竿C.竽D.竽【变式2-23.如图，三棱锥。-底面。的斜二测直观图为ddd,已知。ZJl底面7Z7Z7,DO=5,1111=11EJ,EJD=1111=111.J=1,则三棱锥O-£700外接球的体积ZJ=.【变式2-24.在三棱锥。-口口8,底面边长为3的正三角形，侧棱。！底面口口口,若三棱锥的外接球的体积为36。，则该三棱锥的体积为.题型3切瓜模型【方法总结】方法：面面垂直型基本图形一般情况下，俩面是特殊三角形.垂面型，隐藏很深的线面垂直型，【例题3】在三棱锥£7-a,平面£7，£7_1.平面ABCZ7£7=6工,则该三棱锥外接球的表面积为（）A.5411B.4811C.4211D.3611【变式3-11.在三棱锥P-ABC中，平面PAB_1.平面ABC.。=DO=瓜,土=90°I=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A.511B.C.811D.2011P【变式3-12.球O为三棱锥DOQ的外接球,口口曲二是边长为23的正三角形，平面PBCI平面ABC,则球的表面积为（）A.28。B.20。C.18f7D.16Z7【变式3-13.已知四棱锥。-SAZj的每个顶点都在球O的球面上，侧面£7。£7_1底面口口口口,底面口口口中边长为2的正方形，OO=5,口口=1,则四棱锥。一夕卜接球的体积为.【变式3-14.在三棱锥。一£7/7。中，平面口。口工平面口。0l7Z7O口口漪是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为.【变式3-15,已知三棱锥口一DDOtOO=口口=口口=23,DD1.DD,平面£7。QJ1.平面ABC,则三棱锥的外接球的表面积为.【变式3-1】6.如图，在四棱锥。一口口口袋,钙口口口1口口口口出口口展边长为4的等边三角形，四边形。£7。是等腰梯形，£70=则四棱锥。一B题型4正棱锥与普通棱锥的外接球方法总结】方法：计算公式和图形:D2=（口_Df+E或者d=（一U）2+r2.【例题4-1】已知正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为23,则该棱锥外接球的表面积是（）A.12Z7B.15Z7C.16Z7D.18【变式4-11.已知正三棱锥0-GJ外接球OM半径为1,且满足玩+1111+DD=2则正三棱锥的体积为AWB.4C.咚D.呼4424【变式4-1】2.所有棱长均为2的正四棱锥外接球表面积为（）A.411B.60C.80D.12D【例题4-2若三棱推口-的所有顶点都在球O的球面上,。理边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥体积为苧，则三棱锥Z7-口的卜接球的体积为（）【变式4-2】1.三棱锥，一田,=2,=1,=2,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.8Z7B.yZ7C.j£7D.舞£7【变式4-2】2.四面体口。7E7,=OO=2也=口=2,渥中点，。在面£7/70的射影为£70中点，则该四面体外接球的表面积为.【变式4-2】3.在四面体口一口口3,三角形等边三角形，边长为3,=3,口口=4,口口=5,则四面体/7。6卜接球表面积为（）【变式4-2】4三Z7-牛积为造且口口=OD=O11fOH=OO=1,口口=63,则三棱锥外接球的表面积为.题型5两个直角三角形拼接模型【方法总结】方法：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径题设：NAPB=NAQB=90。，求外接圆半径（分析：取斜边AB的中点，连接OP,OQ,OP二次B=OA=OB=OQ,所以0点即为球心，然后在APOQ中解出半径R）【例题5在三棱犍口一口口口中,OOlD11,DD=12,Z77=16,Z7ZZ7=102,，口口口=45°,则三棱锥一S6卜接球的体积为（）【变式5-1】1.矩形ABC。中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形A88折成一个直二面角AC-则四面体A3C。的外接球的体积是（A.B啰汗C.B万D.B/【变式5-12.已知四面体P-ABC的外接球的球心。在AB上,且PoJ_平面ABC,2AC=6AB,若四面体P-ABC的体积为|厕该球的体积为（）A.4岳B.C.8岛D.-1133【变式5-1】3.已知矩形。O。，OO=1,OO=yf2,。为。的中点，现分别沿口口,口弥口口口口,。翻折，使点。重合，记为点。，则几何体。一口口曲外接球表面积为A.1011B.5DC.竺D.喈212题型6圆锥的外接球【方法总结】方法：圆锥外接球，可类比正三棱锥（任意正棱锥）求解.【例题6圆锥（其中。为顶点，磔底面圆心）的侧面积与底面积的比是27,则圆锥Oa与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为.【变式6-1】1.已知一个圆锥的底面直径为近，其母线与底面的夹角的余弦值为圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为.【变式6-12.圆锥（其中型顶点,D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是21.则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为【变式6-13.设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2,则该圆锥的体积为A.DB.3DC.80D.90题型7圆柱的外接球【方法总结】方法：圆柱外接球，类比正棱柱外接球的求法求解.【例题7】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球3）表面积为8，则该圆柱的体积为（）B.y2DC.2DD.227【变式7-1】1.已知圆柱的侧面积为如其外接球的体积为！/则P的最小值为【变式7-1】2.如图，棱长均相等的直三棱柱。-Q口的上、下底面均内接于圆柱。7的上、下底面，则圆柱。的侧面积与其外接球的表面积之比为.【变式7-1】3.如图，圆柱的底面半径为，高为力，记圆柱的表面积为Z，圆柱外接球的表面积为口2,嚼2=g则抑值为（）题型8圆台的外接球【方法总结】【例题8】圆台的上下底面半径和高的比为34:7,母线长为2,则圆台的外接球表面积为【变式8-11.已知圆台上底半径为1,下底半径为3,高为2,则此圆台的外接球的表面积为.【变式8-12.已知圆台。上底面圆的半径为2,下底面圆Oz的半径为RZ圆台的外接球的球心为。,且球心在圆台的轴上满足IPQ=adl，则圆台。Qz的外接球的表面积为.【变式8-13.已知圆台的母线长为2,母线与轴的夹角为60°,且上、下底面的面积之比为1：4,则该圆台外接球的表面积为（）题型9棱台的外接球【方法总结】方法：正棱台外接球，以棱轴截面为主.【例题9已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2,所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为811,则此正四棱台的侧棱长为.【变式9-1】1.我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ZZZf7Z7f7-Z7OZ7Z7有外接球,且口口=43,口口=4,1.JEJ=46,口口4>2,点E到平面OOOOS巨离为4,则该刍童外接球的表面积为【变式9-12.在正四棱台。/7。口1口1口1卉,D1U1=20U=4,OO1=2,则（）A.该棱台的体积为2&万，该棱台外接球的表面积为40。B.该棱台的体积为呼，该棱台外接球的表面积为400C.该棱台的体积为28万，该棱台外接球的表面积为也7D.该棱台的体积为竿，该棱台外接球的表面积为宏O图1图2【变式9-13.在正四棱台-Q中,O1U1=2=4,CC1=2,则该棱台外接球的表面积为（）A.160B.200C.300D.400【变式9-1】4.如图，三棱台28U-48G中,ABrAC,BC=6,AIBl=AIck4戏,/4=52,平面86G&_1.平面ABC,则该三棱台外接球的体积为（）B.10011A500口C.1500题型10二面角型外接球【方法总结】方法：二面角型，多是可以借助外心垂线相交法来计算解决.1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；2 .直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；3 .许多情况下，外心垂线夹角与二面角相等或者互补.【例题10遗形。QOD,=央,口=60,将口沿口口斤四的位置,若二面角-O的大小为120,三棱锥。-的外接球球心为0,0。的中点为，则OD=A.1B.2C.7D.247【变式IO-1】1如图在三棱锥一l,=DD=2>j2tOO=2,二面角。-on-Zj的正弦值是子,则三棱锥。-乃卜接球的表面积是（）A.120B.40C.45Z7D.【变式10-12.如图，已知边长为4的菱形。中，£=60。，将对角线OU翻折至。七所在的位置，若二面角。'-OO-型大小为120。，则过O,d,11l。四点的外接球的表面积为.4Q【变式10-13.已知在菱形中，DC=2,ZU=60。，把乙OOCgOU折起到立置,若二面角。-大小为120。,则四面体。的外接球体积是()K.-11B.OC,阴口D.屋口332727D参考答案题型1墙角模型【例题I-1】【详解】三棱锥一So的侧棱S,DD,。两两垂直，且长度分别为S=4,口口=5,口口=6,且口，口，口,。都在同一个球面上（如图所示）,以口口、口口、DC棱构造一个长方体，这个球就是长方体的外接球，设正方体的相邻三条棱长分别为,yz则仔+仔=16,仔+仔=25,仔+仔=36,故炉+4+炉=，设三棱锥外接球半径为R,则（2。2=4+4+4=日,该球的表面积为=411O2=411X?=故答案为：子【变式1-1】1.【答案】C【分析】由题可知，可将三棱推补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.【详解】由OO_1.平面BCDlDniODl知三棱锥A-BCD可补形为以AD,DC,BD为三条棱的长方体，如图所示，三棱锥的外接球即长方体的外接球,长方体的对角线是夕杼妾球的直径,设外接球的半径为R,则（2。2=OZj2+。炉+口疗=1+4+4=9,所以该三棱锥的外接球表面积为。=411=911.故选：C.【变式1-1】2.【答案】C【分析】由条件得该直三棱柱底面为等腰直角三角形，补全为长方体求外接球半径即可得表面积.因为口=o=2,c=所以Sa为等腰直角三角形，将直三棱柱-4补全为如图长方体/J。-、口,则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，因为=2,DDy=22,所以外接球直径2。=、=j22+22+(22)2=4,所以外接球半径=2,表面积£7=411D2=1611.故选：U【变式1-1】3.【答案】B【分析】由题目条件有OOJ1.£70,OOiDOlO1.J1.OO1则阳马的外接球与以。磔长宽高的长方体的外接球相同.【详解】因工平面,SU平面ABCD,£7£7u平面ABCD,则OOl,DD1.DO1又因四边形ABCD为矩形，则OOl则阳马的外接球与以S,磔长宽高的长方体的外接球相同.又=5,=3,=£70=4.则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半z-,i.z-7di+di+di32+45+5252径为：=、2=2=2,则外接球的表面积为：°=4114=411q=5011故选：B【变式1-1】4.【答案】80£7I6标】作口口口口,“口道口口,。依于E,根据已知条件可得。一Se的外接球即为SO，的外接球，连接S,应用勾股定理、线面垂直的判定可得Sl面、SI面OS,再由线面垂直的性质有31、DD1.£7/7,则两强垂直,进一步得到-SS的外接球即长宽高分别为,DZj的长方体的外接球，即可求外接球的面积.【详解】由题设，AOOO为等腰直角三角形，作,DO/DDS.OO,。依于E,PB所以口口口口为边长为4的正方形,则O-的外接球即为O-S。的外接球，连接£7£7,又口口1口四口上OO1而Ooj1.口口,cDO=O1故口遹口口口,又口口遹口口口,所以£7£7_lO11i即£7_lDD1在中口疗+d=口疗,又口口=口口=4,口口=口口=8,板口存+D11l=口厅.所以£70J1.口口而工DSJJc口口=报函口口口又口口强口口口,所以OOJ1.HO1即OE71.DD1综上，DD,口口,。两两垂直，则£7-ZJSO的外接球即长宽高分别为。，口口,口口的长方体的外接球,所以。-Ooo的外接球半径O=竿=也零与=25，则外接球的表面积为4。炉=80Z7.故答案为：80£7.【点睛】关键点点睛：作口口”口口,口口1/口近口口,口鼓才E,连接口口,应用勾股定理、正方形性质及线面垂直的判定和性质证明Aa口口,£7。两两垂直，转化为求长方体的外接球面积.【变式1-1】5.【答案】C【分析】由四面体。'-口口阖棱仃口,炉口仃口两两垂直,将它补形成长方体，求出该长方体的体对角线即可得解.【详解】依题意,£7£71dadDl.DD1DD1.仃口且已口=2,廿口=d11=1,如图：于是得四面体。-OO。可以补形成以。'&Oaoo为相邻三条棱的长方体，该长方体与四面体o'-ZJOU的外接球相同，四面体方-的外接球的半径R,则有2R为长方体的体对角线长，即20=J。'万+DCJl+11Jl=6,从而有40炉=7(2Z7)2=6。所以四面体方-。中外接球的表面积为6A故选：C【变式1-1】6.【答案】5/7【分析】作口口，垂足为E,连接方O,BEz证得/O方。是o'D与平面所成的平面角，进而可以求出。方的长度，然后根据长方体的对角线是其外接球的直径，进而可以求出球直径，从而结合球的表面积公式可以求出结果.【详解】作。£71DD,垂足为E,连接方£7,BE,因为口炉1平面口口口,且口dU平面口口已仃,所以平面口口口【平面JUl又因为平面n平面口口仃U,口口U平面ABC,所以口口_1.平面DOdD,因此/OO是D。与平面OOO£7'所成的平面角.又S=Jgxl=A,d11=J(3)2+UD=3+DD.J(5)2÷1223r/.sinz£7£7£7=ly=y,解得口仃=1.1口J3+DU2故该长方体的体对角线为+(W)2+F=g.设长方体的外接球的半径为£7,则2。=5,解得O=苧.2该长方体的外接球的表面积为D=4。炉=47×(f)=5£7.故答案为：50.类型2对棱垂直推理两两垂直【例题1-2】【答案】D【分析】根据题意证明OamZ7。两两垂直，将三棱锥放入棱长为2的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.【详解】因为在口口3,口,U分别是棱OaAu的中点，所以H,因为S_1.OO1所以。£71DO1因为三棱锥。-皿正三棱锥,所以(对棱垂直)，改为口口,口口至口口口,cOO=O1所以口口遹口口口,因为口口,口口便口口口,所以£7£71DDtDU1.DD1在S口口田,O1.f+DDl=口仃,因为三棱锥。-ODO为正三棱锥，所以Sa是等腰三角形，Sa是等边三角形，所以口口=on,OO=口口,所以ZJD2+口己=DDl,即。£7111Ol所以口口,口口,OU两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于OO长，为2夜，则该正方体棱长为2,外接球半径)J()2+(v)2=圾正方体夕H三球体积=g寸=1O×(3)3=43Z7,此正三棱锥。-QO，的外接球体积和正方体外接球体积相同，为432故选：D【变式1-2】1.【答案】D【分析】利用球的表面积公式，算出球的半径R=3.由题意可证出MN，平面SAC,可得SB_1.平面SAC,从而得出NASB=NBSC=NASC=90°.因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的夕假球，正方体的对角线就是球的直径,利用正方体对角线公式即可算出SA长.【详解】取AC的中点E,连结BE、SEr.三棱推S-ABC正棱锥,/.SA=SC,BA=BC.XvE为AC的中点,.SE±AC且BE±AC.SE.BE是平面SBE内的相交直线，.AC_1.平面SBE,又SB在平面SBE内可得SB_1.AC又.MN是ASBC的中位线，.-.MNllSB,可得MN_1.ACX.MN±AM,又AM,AC是平面SAC内的相交直线，.MN_1.平面SAC,结合MNlISB,可得SB_1.平面SAC又三棱锥S-ABC是正三棱锥，.zASB=zBSC=zASC=90of因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，设球的半径为R,可得411Z=3611,解得R=3,.4dJl+DEf+DUl=2口=6,解之得SA=23故选：D【变式1-2】2.【答案】7511【分析】将正三棱锥O-£70%卜成正方体，根据正方体的对角线即为外接球的直径，求得外接球半径，即可求得答案.【详解】由正三棱锥的性质可得，口口iDD1.DD1口口=OD=口口=5,则将正三棱锥O-m卜成如图所示的正方体，则正三棱锥O-OOS卜接球即为正方体的外接球，所以正三棱推口-OO正卜接球的半径为/002+g%的=竽，所以正三棱推。-006卜接球的表面积为411×=7511,4故答案为：7511【变式1-2】3.【答案】1211【分析】根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直判定可知。，平面从而得到£701OD；由线面垂直判定可得1.平面。S,进而确定三棱锥O-Dm为正方体的一角，通过求解正方体的夕楔球表面积即可得到结果.【详解】VZj¾Z7D点，口口=口口,口口=DD,DD1.口口,口口I口口,又c口口=D,口口,口口u口,口口1平面口口口,口口U平面口口口,口口1口口,又口口1口口,c口口=D,DD,口口U平面口口口,.口口工平面口口口,又三棱锥-6J正三棱锥侧面为全等的等腰直角三角形，三棱锥。-SR如图所示的棱长为2的正方体的一角，该正方体的外接球即为三棱锥B勺外接球，正方体夕杼妾球半径O=j22+22+22=3,所求外接球表面积。=411U=1211.故答案为：12tl类型3对棱相等模型【例题1-3】【答案】n【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的外接球即为四面体£700的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径，可得球的表面积.【详解】将四面体0Z7U放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，如图：则长方体的外接球即为四面体O-SU的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径2£7,设长方体的长宽高分别为口,D,则有4+4=36,4+万=36,r+=25,所以4+Z=y=4D2f所以外接球的表面积为411U=支，故答案为：:11【变式1-3】1【答案】D【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积.【详解】三臃，-48U中，PA=BC口口=口口=内,口口=00=25,构造长方体使得面对角线分别为5.245,113,则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径2£7,如图标，设长方体棱长分别为a,b,C则炉+d=20,D2-11225.O2+O2=13,则炉+O2+O2=29,即4炉=29,外接球表面积和炉=29.故选：D【变式1-3】2.【答案】C【分析】将三棱推。-。二放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为求出口,口,得三棱推P-ABC外接球的半径，即得解.【详解】解：由题意，口口=口口=6,口口=口口=2,口口=OO=y5,将三棱锥-放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为3,2,5,设长方体的长、宽、高分别为a。，则Jo2+d2=6,y2+112=2lyjlf+D2=y5,解得ZJ=1,O=y12l11=3.所以三棱锥£7-7功卜接球的半径Z7=Xd+内d=f.三棱锥。-S仍卜接球的体积。=O113=O.故选：C【变式13】3.【答案】A【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4,5,万7的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.【详解】三棱锥O-Z7OO,口口=00=4,口口=OH=5,DO=D11=yTfl构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,77,则长方体的对角线长等于三棱锥£7-£7。步卜接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为口，口,£7,则炉+炉=16,D2+D2=25,炉+炉=11.则O2+O2+O2=26,因此三棱锥8仍卜接球的直径为原，所以三棱锥O-卜接球的表面积为赤（苧尸=2版.故选：A题型2直棱柱的外接球（汉堡模型）类型1直棱柱的外接球【例题2-1】【答案】表面积160,体积竽。；【分析】先由三棱柱体积求出&,再找出球心，勾股定理求出半径，即可求出外接球的表面积和体积；（1）易知口=gx2x2=2,三棱柱体积口=2口=42,解得£74=2取，中点£7,取&&中点&,连接。0交£74于£7,易知。aSoM外心，口'为A的外心，OW为外接球的球心，=22+22=22,故外接球半径为罕=M#=2,故外接球表面积为4x22=16。,体积为gOx23=三11.【变式2-1】1.【答案】CaAiBiCi的外接求半径为=2£7r=l,R2=r2+(/=4,R=2.S球=4111.J1.J1.J)UNR2=1611【变式2-1】2.【答案】270【分析】设=O1口=O1球的半径为。，连接。口，4融于点£7,取。中点。,连接即口为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得a'司关系，表示出。，根据基本不等式可求得。的最小值，从而得到球的表面积的最小值.【详解】如图，因为三棱柱a4是直三棱柱，目口=9o没口=,=,球的半径为连接。,&Z5交于点。，取。中点£7,连接口,所以£7=+d=+囹=恬Wl历b苧则，®I三棱柱六个定点的距离相等，即o为三棱柱外接球球心，且=；、=冷,又因为三棱锥0-02%的体积为用即黄；£7。乂亨=73,即£70=12,当且仅当。=口=23时等号成立，所以球表面积最小值为£7=4Z7C2=27。,故答案为：270.【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真解析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图,如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【变式2-1】3.【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为r,m1在而工小c/6/1、23力,9A则。=二，底面积为5=6(一)=,匕F=Sh=h=-,.h=y3,2428在88W=(苧)2+(g)2=l,R=I,球的体积为V=与【变式2-1】4.【分析】由题意作图,可得夕H三球半径月满足d=辱R(?2根据题意可得£7=2,由球的表面积公式可得。次的f=(£/+£/+16D,结合基本不等式即可得出结果.【详解】由题意得，在底面直角三角形口口坊,设JJ口=OtOD=O1/口=90,如图，设三棱柱的外接球的半径为R.则炉=亭+夕，又三棱柱的高和体积都为4,所以2=口皿m=!x4=4,得口口=2,所以三棱柱外接球的表面积为：口夕加4d=4口K乓弓+(%=4口5孚+G=(d+O2+16)0>(2口口+16)0=200(当且仅当。=口=2时等号成立)，所以外接球的表面积的最小值为200.故答案为：20口类型2直棱锥的外接球【例题2-2】【答案】B【分析】根据外接球的球心到所有顶点距离相等，故可得球心O为。中中点，即可根据截面的性质求解截面圆半径.【详解】由题意可知球心CDUM中点,因为。1口口,口口上口口,cOO=Ot所以S_1.平面中点,故J平面SB)距离为TS=I,故截面圆的半径为庐7二3,截面面积为11(3)2=311故选：B【变式2-2】1.【答案】C【分析】求出三棱锥So卜接球平面SU所得小圆圆心位置及半径，再确定球心3）位置，并求出球半径即可计算作答.【详解】因£7£7J平面£7£7£7,u平面口口口,则S_1.DUtUD1.口口,而口口二2炳,口口=£70=4,则S=口口=2=00,三棱推。一So的外接球。截平面S嗨得小圆圆心4是正口口阖中心，口、口=:风,连口口则Oa_1.平面SZ7,取线段。的中点。，则球。的球心。在过E垂直于直线OB）垂面上，连口口,如图，则四边形OOoa是矩形口口、=口口=三口口=3,因此,球G）半径。有:口好=+=M所以三棱锥。-。仍Hg球的表面积£7=40-口疗=弓.故选：C【变式2-2】2.【答案】B【分