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3.3.1两条直线的交点坐标【教学目标】1.驾驭两直线方程联立方程组解的状况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的状况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的探讨，加深对解析法的理解，培育转化实力.【重点难点】教学重点:依据直线的方程推断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类探讨与两直线位置关系对应状况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生视察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那假如两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来探讨这个问题.新知探究提出问题己知两直线hAx+B1y+C=OhA2x+B2y+C2=O,如何推断这两条直线的关系？假如两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？解下列方程组(由学生完成)：如何依据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？当改变时，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.探讨结果：老师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线11：Ax+By+C=O点A在直线上直线h与b的交点A学生进行分组探讨，老师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是luA1x+By+C=O,l22x+B2y+C2=O,假如这两条直线相交,由于交点同时在这两条宜线上,交点的坐标肯定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线h和12的交点,因此,两条直线是否有交点,就要fA1X÷B1y+C1=0,看这两条直线方程所组成的方程组11171是否有唯一解.A2x+B2y+C2=0(i)若二元一次方程组有唯一解，则h与12相交；(ii)若二元一次方程组无解，则h与b平行；h/2相交,人/2重合,/、12平行(iii)若二元一次方程组有多数解，则h与b重合.即(唯一解直线h、12联立得方程组转化无穷多解无解(代数问题)(几何问题)引导学生视察三组方程对应系数比的特点：一般地，对于直线MAx+By+G=O,EA2x+B2y+C2=0(ABC0,A2B2C20),有/?唯一解OfUO/相交，A?B?方程组PV+'"+C=°无穷多解。A_=殳=J。/4重合,A2X-B2y+C2=OA2B2C2无解o±=殳WSO/4平行2B2C2留意：（八）此关系不要求学生作具体的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b.)假如AhA2,B1,B2,C,C2中有等于零的状况，方程比较简洁，两条直线的位置关系很简洁确定.（八）可以用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过视察，让学生从直观上得出结论，同时发觉这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(C)结论：方程表示经过这两条直线h与1.的交点的直线的集合.应用示例例1求下列两直线的交点坐标山：3x+4y-2=0,1.:2x+y+2=0.解:解方程组47得x=2,y=2,所以h与1.的交点坐标为M(2,2).2x+y+2=0,变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.hx-2y+2=0h2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以Ii与I2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为丫=1«,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=l,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2推断下列各对直线的位置关系.假如相交，求出交点坐标.(I)Iux-y=O,h：3x+3y-10=0.(2)h：3x-y+4=0>h：6x-2y-l=0.(3)11：3x+4y-5=0,I2：6x÷8y-10=0.活动：老师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清晰，表达是否简洁,然后再进行讲评.x-y=O,3x+3y-10=0,5Y=3,所以h与12相交,交点是A,2）.33（2）解方程组43x-y+4=0,6x-2y-1=0,(1)x2-得9=0,冲突，方程组无解,所以两直线无公共点小b.（3）解方程组3x+4y-5=0,6x+8y-10=0,(1)x2得6x+8y-10=0.因此,和可以化成同一个方程,即和表示同一条直线Ji与1.重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.（1）11:7x+2y-l=OJ2：14x+4y-2=0.11:(3-V2)x+y=7,b：x+(3+V2)y-6=0.（3）h:3x+5y-1=0,E4x+3y=5.答案：（1.）重合，（2）平行，（3）相交，交点坐标为Q,1）.例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-l=0平行的直线方程.思路解析：依据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系（平行系或过定点系）干脆设出方程，依据条件求未知量，得出所求直线的方程.3Y=2x-3y-3=0,5'解：（方法一）由方程组1八得;X+y+2=0,7直线1和直线3x+y-l=0平行，直线1的斜率k=-3.73依据点斜式有y-(B)=3x-(1)，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二),直线1过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点, 设直线1的方程为2x-3y-3+(x+y+2)=0,即(+2)x+(-3)y+2-3=0. 直线1与直线3x+y-l=0平行，.2+2-32-311 =.解得=.31-12从而所求直线方程为15x÷5y+16=0.点评：考查娴熟求解直线方程，留意应用直线系快速简洁解决问题。变式训练求经过两条直线ux+y-4=0和/"x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-l=0垂直的直线方程例4求证：不论m取什么实数，直线(2m-l)x+(m+3)y-(m-l1)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m,给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过肯定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特别值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.另一个思路是：由于方程对随意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有多数个解的条件求得定点的坐标.解：解法一:对于方程(2m-l)x+(m+3)y-(m-ll)=0,令m=0,得x-3y-ll=0;令m=l,得x+4y+10=0.解方程组1+；丫+0_0得两条直线的交点为(2,-3).将点(2,-3)代入已知直线方程左边，得(2m-1)x2+(m+3)x(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=O.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2,-3).解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-l)m+(-x+3y+ll)=0.由于m的取值的随意性，有-'解得1'-x+3y÷ll=0.y=-3.所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2,-3)点评含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幕.的系数为0,从而求出定点；二是分别令参数为两个特别值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满意，则此点为所求定点变式训练当a为随意实数时，直线(a-l)x-y.+2a+l=0经过的定点是()A.(2,3)B.(.-2,3)1C.(l,)D.(-2,0)2JVI20X-2解析：直线方程可化为a(x+2)-x-y+l=0,由一'得(一一定点(-2,3).-%-y+1=0y=3.答案：B课堂小结本节课通过探讨两直线方程联立方程组来探讨两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培育了同学们的数形结合思想、分类探讨思想和转化思想.通过本节学习，要求学生驾驭两直线方程联立方程组解的状况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的状况，培育学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时,会求交点坐标.留意语言表述实力的训练.通过一般形式的直线方程解的探讨，加深对解析法的理解，培育转化实力.以“特别”到“一般”，培育探究事物本质属性的精神，以及运动改变的相互联系的观点.当堂检测导学案课内探究部分【板书设计】一、两条直线的交点坐标二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题3.3A组1、2、3,选做4题.及导学案课后练习与提高3.3.1两条直线的交点坐标课前预习学案一、预习目标依据直线的方程推断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点二、预习内容1、阅读课本102/04,找出怀疑之处。同学们，通过你的自主学习，你还有那些怀疑,请填在下面的表格中，怀疑点怀疑内容2、学问概览两直线相交,则交点同时在这两条直线上,交点的坐标肯定是两直线方程的解,若两直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则以这个解为坐标的点必是两直线的交点.两直线Ax+B1y÷C1=0与A2x+B2y+C2=O的交点状况，取决于方程组的解的状况.Aix+ly+C1=0,A2x+B2y+C2=0A.x+BIy+C1=0,若方程组11、二八有唯一-解,则两直线相交.A2x+B2y+C2=0A.x+B.v+C1=0,若方程组1'''八无解,则两直线.平行.A2x+B2y+C2=0A.x+B1y+C1=0,若方程组''''八有多数个解,则两直线重合.A2x+B2y+C2=03、思索当改变时，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？三.提出怀疑同学们，通过你的自主学习，你还有那些怀疑，请填在下面的表格中，怀疑点怀疑内容课内探究学案一、学习目标1 .驾驭推断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；2 .了解过两条直线交点的直线系方程的问题.教学重点:依据直线的方程推断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类探讨与两直线位置关系对应状况的理解.二、学习过程自主学习【学问点一】、两条直线的交点。假如两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即()；把两条直线的方程组成方程组，若方程组有()解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组()，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有(.)，则两条直线有多数个公共点，此时两条直线重合.【学问点二】、直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x、y以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线h：Ax+By+C=O,I2:A2x+B2y+C2=O交点的直线方程为Ax+By+C+(A2x+B2y+C2)=O,其中是待定系数.在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=O,因此它不能表示直线h.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是(),是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=O(AO,Bro)垂直的直线系方程是()(4)特别平行线与过定点(xo,yo)的直线系：当斜率k肯定而m变动时，()表示斜率为k的平行线系，()表示过定点(xo,yo)的直线系(不含直线X=Xo).问题设两条直线的方程为lAx+By+C=0和bA2X+B2y+C2=0,假如这两条直线相交，你能分析它们的系数满意什么关系吗？探究:我们可以先解由.两直线方程联立的方程组/'t：A2X+B2y+C2=0(2).xB2-xB,得(AB2-A2B)x+B2G-B1C2=O.当A1B2-A2B1#)时，得X=BlG-3线；再由xA2-xA,当A1B2-A2BO时，可A1S2-A2B1得y=A2C-AC2因此,当IAlB2-A2BO时，方程组有唯一一组解x、y.A1B2-A2B1这时两条直线相交，交点的坐标就是(x,y).因此这两条直线相交时，系数满意的关系为ab2-a2b1o.精讲点拨例I求下列两直线的交点坐标,h：3x+4y-2=0,h:2x+y+2=0.变式训练求经过原点且经过以下两条直线的,交点的直线方程.kx-2y+2=0h2x-y-2=0.例2推断下列各对直线的位置关系.假如相交，求出交点坐标.(l)li：x-y=O,h：3x+3y-lO=O.(2)h：3x-y÷4=0,h：6x-2y-l=0.(3)11：3x+4y-5=0,h：6x+8y-10=0.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l:7x+2y-l=0,l2:14x+4y-2=0.(2)1i：(a/3-2)x+y=7,1.：x+(6+42)y-6=0.(3)l:3x+5y-1=0,h：4x+3y=5.问题当改变时，方程3x+4y-2+(2x+y+2尸0表示什么图形？图形有何特点？例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y÷2=0的交点且与直线3x+.y-l=0平行的直线方程.变式训练求经过两条直线1rx÷y-4=0和/"x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-l=0垂直的直线方程.例4求证：不论m取什么实数，直线(2m-l)x+(m+3)y-(m-l1)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标B.(-2,3)变式训练当a为随意实数时，直线(a-l)x-y+2a+l=0经过的定点是()A.(2,3)1c.(l,-)B.(-2,0)2反思总结1.两条直线的交点。直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数确定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.2.直线系方程。假如在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求,解.当堂检测1 .两条直线u2x+3y-m=0与/2：x-my+12=0的交点在y轴上，那么m的值为()A.-24B.6C.±6,D.以上答案均不对2 .无论k为何值，直线(k+2)x+(l-k)y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为()A.(l,3)B.(-K3).C.(3,l)D.(3,-l)3 .求经过两条直线rx+y-4=0和/2：x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-l=0平行直线方程.参考答案1 .解析：/i：2x+3y-m=0在y轴上的截.距为呵,，2：x-my+12=O在y轴上的截距为U,依据3m两直线的交点在y轴上得丝=-=>m=÷6.m3答案：C2 .思路解析:直线方程绽开按是否含参数k合并同类项,得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,由直线系X4aa0X,一3方程,知此直线过两直线的交点，即为1-一-解得一2x+y-5=0.y=-1.交点为(3,-1).3 .解析:由尸i=：得尸，工一y+2=0,y=3.3与12的交点为(1，3).解法一：设与直线2x-y-l=0平行的直线为2x-y+c=0,则2-3+c=0,Xc=1.所求直线方程为2x-y+l=0.解法二：所求直线的斜率k=2,且经过点(1,3,),所求直线方程为y-3=2(x-l),即2x-y+l=0.课后巩固练习与提高知能训练课本本节练习1、2.拓展提升1 .已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0相互垂直，垂足为(l,p),则m-n+p为()A.24B.20C.0D.-42 .己知点P(-1,O),Q(1,O),直线y=-2x+b与线段PQ相交，则b的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.D,0,2223 .三条直线x+y=2、x-y=O、x+ay=3构成三角形，求a的取值范围.4 .已知两直线Mx+my+6=0,h：(m2)x÷3y÷2m=0当m为何值时，直线h与1.：相交；平行；重合；垂直.5 .三条直线11:ax+y+1=0,12：x+ay+1=0,13：x+y+a=0构成三角形的条件是什么？参考答案tn+4p-2=0,m-10,1.解析:由条件知2-5p+/=0,得,=-12,(g=TW=-2答案：B2 .解析：PQ直线方程为“0,由二J五+'得交点(乡，0)油-121得-2b2.1.y=O22答案：A3 .思路解析:考查两直线的位置关系和两直线交点的求法.解:要使三条直线构成三角形，则三条直线有三个不同的交点，即必须满足：互不平行、两两不重合、三条直线丕共点.(D由两直线平行的条件可知：当a=l时，直线Q尸2和直线攵基=3平行；当a=-l时，直线X-V=O和直线x-av三3平行.(2)由Vk'可得直线x+y=2和直线xy=O的交点坐标为(1,1).若三线共点，则点(1,-y=0,1)在直线x+ay=3上，所以有l+a=3.解得a=2.综上,可知a满意的条件为a-1,1,2).4 .解唳立方程组尸吁6=。，(m-2)x+3y+2m=0.(1)当m=0时，则li：x÷6=0,h：-2x+3y=0,l111.相交.当m=2时，则h：x+2y÷6=0,l2：3y+4=0,，h、卜相交.小、口，八口、11uA1BmC163(2)当m0且m2时,=,=,=一A2m-2B23C22加m.若A=*zz>m=-i或=S=>m=3A2B2A2C2D当mr-l且n3时(,1),方程组有唯一解,h、I2相交.A2B2当m=_l时(4_=且_#9-),方程组无解$与I?平行.A2B?C2当ib=3时(4_=*=5),方程组有多数解小与b重合.A2B2C23(3)当m-3+3m=0即m=一时,h与k垂直Ci1.bOAA2+BB2=O).4点评：要留意培育学生分类探讨的思想.5.解析：三直线构成三角形，则需随意两条直线都相交，且不能相交于一点.留意不要忽视三线交于同一点的状况.所以可以从正反两个方一直思索.解法一:任两条直线都相交，则g2,且1.故a1l.又有三条直线不交于同一点，IallX+ay+1=0故其中两条直线一'的交点(Jal)不在直线ax+y+l=O上，即X+y+a=0a(-l-a,)+l+l0,a2+a-20,(a+2)(a-1)0,a-2,a1.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a±l,a-2.解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即随意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的状况解除掉.若三条直线交于同一点，则其中两条直线/J的交点(Jal)在直线X+y+a=0ax+y+l=O_t».*.a(-a-l)+l+l=O,/.a=l或a=-2.若h12，则有一1.=-1.a=I；若1/7h,则有一,=7,a=l;若23,则有-a,a=±l.所以若三条直线构成三角形，则需a±l,a-2.