3.3.2 函数的极值与导数.docx

332函数的极值与导数一、选择题1.若«x)是R上的可导函数,则下列结论中,正确的是()A.导数为零的点肯定是极值点B.假如在向旁边的左侧尸(x)>0,右侧Fa)<0,那么人是极大值c.假如在的旁边的左侧Fa)>o,右侧Fa)<o,那么/)是微小值D.假如在向旁边的左侧F(X)<0,右侧U)>0,那么人Xo)是极大值答案:B解析:依据极值的概念,左侧F(X)>0,单调递增;右侧/(x)<0,单调递减以为极大值.2.函数y=P3x2-9x(2vv2)的极值状况是()A.极大值为5,微小值为-27B.极大值为5,微小值为-11C.极大值为5,无微小值D.微小值为-27,无极大值答案:C解析y=3x2-6x-9=3(x+l)(x-3),令y'=0,得X=J或x=3.当2<xVj时j'>0;当Ja<2时JV0.所以当X=-I时,函数有极大值,且极大值为5;无微小值.3 .函数,=r3+x+l有极值的充要条件是()A.0B.>OC.0D.4<0答案:D解析y)=3加+1.时/(x)20恒成立U)在R上递增,无极值；a<0时,令V)=0,解得X=+可推断知产时区幻取微小值；X=时U)取极大值.故<0.4 .设函数/U)在R上可导,其导函数为),且函数段)在x=2处取得微小值,则函数)，=MV)的图象可能是()答案:C解析:由题意可得八-2)=0,而且当x(-8,-2)时/(x)v,此时MT(X)>0;当x(-2,+8)时/()>0,此时若x(-2,0)M(x)<0,若x(0,+8)M()>0,所以函数y=W()的图象可能是C.5 .已知函数=2x3+r2+36x24在冗=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3,+o0)C.(2,+)D.(-8,3)答案:B解析:因为函数兀0=2+加+36424在x=,2处有极.值,所以有(2)=0,而/(x)=6x2+20r+36,代入得册-15.现令人#>0,解得无>3或大2,所以函数的一个增区间是(3,+8).二、填空题6 .若函数)，=-x3+6f+?的极大值为13,则实数相等于.答案：-19解析y=-3x2+12x=-3(x-4).由y'=0,得x=0或4.且(8,0)U(4,+8)时Jy0；x(0,4)时y>o.x=4时取到极大值.故-64+96+/=13,解得/W=-19.7 .若函数y=2'在X=Xo时取微小值,则Xo=.答案：-解析:令y=2'+x-2Xn2=2%l+xln2)=0,得X=当x>时j'>0,函数递增；当x<-时j'v,函数递减.，X=-时取微小值.8 .已知函数y(x)=?+bW+cx,其导函数y=(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图,则下列说法中不正确的是.(填序号)当X二时,函数取得微小值；x)有两个极值点二当x=2时函数取得微小值；当X=I时函数取得极大值.答案:解析:由.图象可知内=1,2是函数的两极值点,正确；又工£(-8,1)1)(2,+8)时小、0；X£(1,2)时j'<O,.x=l是极大值点/=2是微小值点,故正确.三、解答题9 .设a为实数,函数yU)=eX-2x+2R求火幻的单调区间与极值.解:由火X)=ev-2x+24WR知Fa)=CJ2WR.令/(x)=0,得X=In2.于是当X改变时一(X)/的改变状况如下表:X(-,ln2)ln2(ln2,+)Fa)-O+於)单调递减'2(l-ln2+a)单调递增/故火X)的单调递减区间是G8Jn2),单调递增区间是(ln2,+8);且”)在X=In2处取得微小值.微小值为4n2)=*2.21n2+2a=2(l-In2+a),无极大值.10 .已知函数以)=/+引nX和g(x)二的图象在x=4处的切线相互平行.(1)求b的值；(2)求/U)的极值.解:(1)对两个函数分别求导,得/(x)=2x+,g3=依题意,有八4)=g<4),即8+=6,Z?=-,8.(2)明显/U)的定义域为(0,+8).由知b=-8,'f(x)=2x-.令Fa)=O,解得x=2或X=2(舍去).当0<x<2时/(x)<0,当x>2时Xfa)>0.於)在(0,2)上是单调递减函数,在(2,+8)上是单调递增函数.於)在X=2时取得微小值,且微小值为42)=48k2.