3.3 垂径定理.docx
3.3垂径定理(2)(1)垂直弦(不是直径)、平分弦、平分弦所对的弧、直径四个条件中只要将其中两个作为条件另两个作为结论得到的命题都是真命题.(2)垂径定理应用于几何计算的本质就是半径、弦心距以及半弦长组成的直角三角形的计算1 .如图所示，在半径为13Cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(C).A.IOcmB.16cmC.24cmD.26cm2 .杭州市钱江新城，最出名的标记性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.己知这个球体的高度是85m,球的半径是50m,则杭州国际会议中心的占地面积是（八）.A.127511mB.255011mC.382511m2D.510011m3.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心0,另一边所在直线与半圆相交于点D,E,量出半径0C=5cm,弦DE=8cm,则直尺的宽度为(C).A.IcmB.2cmC.3cmD.4cm4 .如图所示，将一个半径为5cm的半圆0折叠，使第经过点0,则折痕AF的长度为(C).A.5cmB.55/2cmC.53cmD.103cm(第6题)5 .如图所示，在。中，AB,AC是相互垂直的两条弦，ODJ_AB于点D,OE_1.AC于点E,且AB=8cm,AC=6cm,那么。0的半径OA长为5cm.6 .如图1所示，小敏利用课余时间制作了二i架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为IOCnb则该脸盆的半径为_257 .如图所示，要把残缺的轮片复制完整，已知弧上的三点A,B,C.(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心.(保留作图痕迹，不写作法)设aABC是等腰三角形，底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R.(第7题)(第7题答图)【答案】(D如答图所示.连结AO,BO,CO,Ao交BC于点E.；AB=AC,OB=CO,OA垂直平分BC.,AEJ_BC.二BE=2BC-I×8=4(cm).在RtBE,AlAB2-BE252-423(cm).ftRtBIX),2ob2=be-+oe2,2525即RM2+(R-3)2,解得R-；.圆片的半径R为cm.66(第8题)8 .如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m,拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m时，要实行紧急措施，若拱顶离水面只有4m,即PE=4m时,是否要实行紧急措施？【答案】(1)(第8题答图)如答图所示，连结0A.由题意得AD=1.AB=30(m),OD=(1.I8)(m).在RtZXADO中，由勾股定2理得r2=302+(r-18)2,解得r=34.二圆弧所在的圆的半径r的长为34m.连结OA'.易知OE=OP-PE=30(m),在RtAVEo中,由勾股定理得A'E2=A,O2-OE2,即A'E2=342-302,解得A'E=16.A,B,=2A,E=32(m).VA,B,=32m>30m,，不须要实行紧急措施.9 .如图所示，CD是。的直径，将一把直角三角尺的60。角的顶点与圆心0重合，角的两边分别与。0交于E,F两点，点F是ED的中点，。的半径是4,则弦ED的长为（八）.A.43B.52C.6D.6210 .如图所示，半径为1的半圆0上有两个动点A,B,若AB=I,则四边形ABCD的面积最大值为(C).2B.3C.-3D.-342I1.如图所示，正方形ABCD内接于。0,E为DC的中点，直线BE交。于点F,假如。的半径为2,那么点0到BE的距离OM=.512 .如图所示，AB,CD是半径为5的。0的两条弦，AB=8,CD=6,MN是直径,AB±MN于点E,CD_1.MN于点F,P为EF上的随意一点，则PA+PC的最小值为72一图3（第13题）13 .将始终径为2折Cm的圆形纸片（图1）剪成如图2所示形态的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图3）形态的纸盒，则这样的纸盒体积最大值为_8_cm（第14题答图）14 .如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90o,圆心0在AABC内部，且。0经过B,C两点，若BC=8,AO=1.求。的半径.【答案】如答图所示，连结BO,CO,延长AO交BC于点D.VABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,AB=AC.Y点0是圆心，,OB=OC.直线OA是线段BC的垂直平分线.AD"1.BC,I1.I）是BC的中点.在RtABC中，AI）-BI）-BC,.B（'-S,BI）-I）-1.VAQ-I，OI）-I）A0-3.2VAD±BC,ZBD0=90o.OB-+BDl32+42=5.（第15题）15 .在我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图所示，AB为。的直径，弦CDj_AB于点E,AE=I寸，CD=Io寸，求直径AB的长.请你解答这个问题.【答案】如答图所示，连结0C.Y弦CD_1.AB,AB为。0的直径，,E为CD的中点.又.CD=10寸，CE-DE-CD-5寸.设O1.O.Af（寸），则ABNxGj）,OE=（XT）（寸），由勾股定理制20E2+CE2=0C2,即（X-D'5J2,解得X=13,OAB=26寸,即直径AB的长为26寸.（第15题答图）（第16题）16 .【南充】如图所示为由两个长方形组成的工件平面图（单位：Inm）,直线1是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是双mm.17 .【无锡】如图1所示为一个用铁丝围成的置物架，我们来仿制一个类似的柱体形置物架.如图2所示，它是由一个半径为八圆心角90。的扇形M0B2,矩形AGEO,矩形BDEO及若干个缺一边的矩形框ACDB,A2C2D2B2,AnBnCnDn,OEFG围成,其中A,G,Bl在&凡上，A2，A3，An与Bz，Bj，Bn分别在半径OAz和OB2±，C?，C3，G和D2，D3D11分别在EG和EDz上，EF_1.GD2于点H2，CiDi±EF于点Hi>FHl=H=d，CiDi»GD2，C36，CnDn依次等距离平行排放（最终一个矩形框的边GDn与点E间的距离应不超过d），AlClIlA2C2IlAaCsIlIlAnCn.（1）求d的值.（2）GDn与点E间的距离能否等于d?假如能，恳求出这样的n的值；假如不能那么它们之间的距离是多少？(2)假设CD与点E间的距离能等于I.由题意得(n+l)三一二r,这个方程n没彳：J40_6_6：假设不成立.rr=4+22-6.8.n=6此时CnDn与点E间的即倒=r-6xqi-4432-4r=r.2(第18题)18 .如图所示，C是。O上砧的中点，弦AB=6cm，E为OC上随意一点，动点F从点A动身，以ICn1/s的速度沿AB方向向点B匀速运动若y=AE2-EF2«y关于动点F的运动时间x(三)(OWXW6)的函数表达式【答案】如答图所示，延长CO交AB于点G.t是电的中点，(第18题答图).,.CG±AB，AG=.4B=3(cm)./.AE2=AG2+EG2EF=FG=EG)当0WW3时IAF=X(Cni)W2FG=(3x)(Cin)，.y=AE2EFJAG2+EG1.FG2-Etf=AG2FG19(3-x)J6x2.当3<x<6时，AF=X(Cm)>FG=(x-3)(cm).y=AE2-EF2=AG2+EG2-FG2-EG2=AG2-FG2=9-(x-3)2=6x-x2./.y=6x-x2(0x6).
