3.1.1 二次函数与一元二次方程（一）.docx
二次函数与一元二次方程(一)自学目标1 .驾驭二次函数与对应方程的关系2 .理解.函数的零点的概念3 .初步了解推断函数零点所在区间的方法4 .会用函数图象的交点说明方程的根的意义5 .能结合二次函数图象与X轴的,交点个数推断一元二次方程根的存在性和根的个数6 .了解函数的零点与对应方程根的关系学问要点1.函数的零点：一般地，假如函数y=f(x)在实数a处的值等于0,即f（八）=0,则a叫做这个函数的零点。对于函数的图象，零点也就是这个函数的图象与X轴的交点的横坐标。2 .二次函数的零点性质:(1) 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二重零点)，函数值变号。(2)相邻两个零点之间的全部函数值保持同号。3 .方程f()=O有实数根G=O函数y=f(x)的图象与X轴有交点=>函数f(x)=O有零点。预习自测例1.求证：一元二次方程22+3-7=0有两个不相等的实数根例2.如图，是一个二次函数y=f(x)的图象。(1)写出这个二次函数的零点；(2)写出这个二次函数的解析式；(3)试比较f(-4)f(-l),f(0)1f.(2)0的大小关系。例3.二次函数f(x)=a+bx+c(xR)的部分对应值如下：-36-140-61-6不求a,b,c的值，可推断ax2+bx+c=0的两根所在忸/可是A(-3,-1)(2,4)B(-3,-1)(-1,1)C(-1,1)(例4.若方程2a2-T巾在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是a<-lBa>lC-l<a<lD0a<l课内练习344,2)D(-、(4,+oo)4y41 .函数f(x)=X?-3x-4的零点是()1,-4B4,-1C1,3D不存在42 .函数f(x)=-=的零点的个数是()XAO个Bl个C2个D多数个3 .已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与X轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数111的取值范围是A(0,1)B(0,lC(-co,1)D(-oo,l4 .关于X的方程Ix2-4x+3Ha=X有三个不相等的实数根,则实数a的值是.5 .对于随意定义在R上的函数f(x),若实数Xo满意f(xo)=x°,则称X。是函数f(x)的一个不动点。现给定一个实数a(a(3,4),则函数f(x)=x'ax+l的不动点共有个。6 .若函数y=a2-XT只有一个零点，求实数a的取值范围。7 .己知关于X的函数f(x)=2+2(m-l)x+2m+6,当函数图象经过点(0,1)时,试证明函数有两个不等的零点，且分别在(0,1)和(6,7)内。归纳反思1 .方程的根、函数图象与X轴的交点的横坐标、以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式。例如.求方程根的个数，就是看对应的函数图象与X轴有几个交点。反过来求函数的零点个数，则可以看方程有几个实数根。2 .函数零点的存在性的推断方法是本节的重点和难点，它指出了函数零点的一种找寻方法。对于连绵不断的函数，只需找到一个区间，使区间两端点的函数值异号，就可确定在此区间内至少有一个零点。它的几何意义是函数的图象在此区间上与X轴有交点。假如图象是间断的，虽然在区间两端函数值异号，但图象与X轴不肯定有交点，因此不肯定有零点。3 .函数在某一区间上单调对零点个数的推断很重要。巩固提高1 .函数f()=f-3x+l的零点个数有()Ao个Bl个C2个D不确定2 .二次函数尸/一4%-(2-8)与乂轴至多有一个交点，则k的取值范围是A(-,4)B(4,+)C(-,4D4,+)3 .函数f(x)=f+(加2+2)%+机在(一1,1)上零点的个数为()AO个Bl个C2个D不确定4 .无论m取何值时，方程7心一|)=k2-3不+2的实根个数为()AO个Bl个C2个D3个5 .函数f(x)=lnx-W的零点所在的大致区间是()XA(1,2)3(2,3)C(e,3)D(e+)6 .函数f(x)=a?+2aE+c(aw)的一个零点为1,则它的另一个零点为7 .f(X)=X2+2+在区间卜3,2的最值是4,则实数a的值为8 .求下列函数的零点：(1)y=x2-5x-14(2)y=-x2-x+20(3)y=(x-l)(x2-3x+l)(4)y=(-2)(x2-3x+2)9.求下列函数的零点，图象顶点坐标，画出个函数简图，并指出函数值在哪些区间大于零，哪些小于零。(1)y=-x2-2x+l(2)y=-2x2-4x+l3.10.己知二次函数.f(x)=a2+bx+c(1)若a>b>c且f(l)=0,证明：f(x)有两个零点。(2)证明：若对Xi,X2R且f(x,)f(x2),则方程f(x)=/'H".必有一实数根在2区间(Xl,X2)内。二次函数与一元二次方程(一)例题：1. va=32-4×2×(-7)=65>0方程有两个不相等的实数根。2. (1)零点是X=-3,w=lf(-l)=4/.a=-l(2)令f(x)=a(x+3)(xT)f(x)=-(x+3)(-l)即f(x)=-2-2x+3(3)f(-4)f(-l)<O,3. （八）4. (B)课内练习：1：B2：C3：B7：f(x)过点(0,1)f(0)f(2)<034：-1和一一5：2个42m+6=1,6：a-0a=-4=49-4=45>0XVf(O)=I,f(1)=-5,f(O)fe(l)<O,f(x)=x2-7x+lf(x)有两个不等的零点。f(6)=-5,f(7)=lf(6)f(7)<0f(x)在(0,1)和(6,7)内分别各有一个零点。巩固提高：1：C2：C3：B4：C5：B6：-27：5或-48：(1)7和-23+5(2)4和-5(3)1和二2(4)士和1和29：(1)零点：3±6顶点(3,-2)图象略当xg(3-#,3+#)时，y<0,当x(-8,3-#)2(3+#,+8)时，y>0.(2)零点：一1±逅顶点图象略2当x(-oo,(-l+,+oo)时，y<0,当x-1+)时，y>0.222210:(1)vf(l)=O,a+b+c=O令f()=0,则Or2+u+c=o-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)又a>b>c>0f(x)有两个零点。令F-)-y¾jF5)=fU9=m"F(x2)=f(x2)-/(X)+/(%2)_/(无2)-/(西)22F(x,)F(X2)=一""2)/狗0.,F()=在(,2)上必有一个实数根,方程f(X:/U)+/(三)必有一实数根在区间(X1.X2)内。
