3-2-4-环形跑道问题.题库教师版.docx

环形跑道问题且加店鲜目强1、驾驭如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点动身，假如是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点动身，假如是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等学问解环形跑道问题举闻本讲中的行程问题是特别场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够精确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和二相遇时间X速度和路程差=追刚好间X速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点动身，假如是相向而行，则每合走一圈相遇一次：假如是同向而行,则每追上一圈相遇一次.这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环线型同一动身点直径两端同向：路程差nSnS+0.5S相对（反向）：路程和nSnS-0.5S例1一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行.黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米.经过几分钟才能相遇？【解析】黄莺和麻雀每分钟共行66+59=125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就须要几分钟，即500÷（66+59）=500÷125=4（分钟）.【巩固】小张和小王各以确定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.小张和小王同时从同一地点动身，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？小张和小王同时从同一点动身，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【解析】两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷l-200=300（米/分）.在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此须要的时间是：500÷（300-200）=5（分）.300x5÷500=3（圈）.【例2】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？（2）小亚其次次追上小胖两人各跑了多少圈？【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以须要300子（6-4）=150秒，小亚跑了6x150=900（米）。小胖跑了4x150=600（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小业跑了3圈，所以其次次追上时，小胖跑4小，小亚跑6小。【巩固】一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向动身，经过多少分钟两人相遇？【解析】400÷450-250）=2（分钟）.【巩固】小新和正南在操场上竞赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点动身，那么小新第三次超过正南须要多少分钟？【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，依据S差二%f,可知小新第一次超过正南须要：800÷（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三国，须要800×3÷Q50-210）=60（分钟）.【巩固】华蜜村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【解析】这是一道封闭路途上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一样.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，依据追及问题的基本关系就可求出追刚好间以及他们各自所走的路程.冬冬第一次追上晶晶所须要的时间：200÷6-4）=100（秒）冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6x100=600（米）晶晶第一次被追上时所跑的路程：4x100=400（米）冬冬其次次追上晶晶时所跑的圈数：m）×2）÷200=6（l三）晶晶第2次被追上时所跑的图数：（400x2）÷200=4（圈）例3在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，假如同向而跑2分30秒相遇，假如背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【解析】同向而跑，这实质是快追慢.起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大.接着，两人的距离又渐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈.背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和÷速度和=相遇时间.同向而行2分30秒相遇，2分30秒=150秒，两个人的速度和为：3÷150=2（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：300÷30=10（米/秒）.两人的速度分别为：。0-22=4（米/秒），10-4=6（米/秒）【巩固】在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，假如同向而行3分20秒相遇，假如背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【解析】甲乙的速度和为：400÷40=10（米/秒），甲乙的速度差为：400÷200=2（米/秒），甲的速度为：Q0+2）÷2=6（米/秒），乙的速度为：Q0-2）÷2=4（米/秒）.【巩固】两名运动员在湖的四周环形道上练习长跑.甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向动身，经过45分钟甲追上乙；假如两人同时同地反向动身，经过多少分钟两人相遇？【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地动身，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.环形道一周的长度可依据两人同向动身，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：250-200=50（米/分），所以路程差为：50x45=2250（米），即环形道一围的长度为2250米.所以反向动身的相遇时间为：2250÷Q50+200）=5（分钟）.【巩固】（第4届希望杯培训题）在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后起先跑，每隔4分钟相遇一次；假如两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？【解析】两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈须要20分钟.两人速度和为：1600÷4=400（米/分），两人速度差为：1600÷20=80（米/分），所以两人速度分别为：MX）+80）÷2=240（米/分），400-240=160（米/分）【例4】（难度等级X）两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点动身，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。假如同向而行，几秒后两人再次相遇【解析】（4+3）×45=3I5米环形跑道的长（相遇问题求解）315÷（4-3）=315秒（追及问题求解）【巩固】（难度等级派）一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时动身，经过多少分钟两人相遇【解析】小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟【巩固】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时动身，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？【解析】176【例5】（难度等级派）周老师和王老师沿着学校的环形林荫道漫步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第1。次相遇后，王老师再走一米就回到动身点。【解析】两人每共走1圈相遇1次，用时480÷（55+60）=4（分），到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了。55×40=2200（米），要走到动身点还需走，480×5-2200=200（米）【例6（难度等级派）在400米的环行跑道上，A,B两点相距100米。甲、乙两人分别从A,B两点同时动身，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米,都要停10秒钟。那么甲追上乙须要时间是多少秒？【解析】甲实际跑100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒；乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒；这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束。正好追上。【例7】在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，假如两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各须要几分钟？【解析】由题意可知，两人的速度和为1.,速度差为1-412可得两人速度分别为!+-!-÷2=，和（1-!-÷2=-!-（412J6（412J12所以两人跑一圈分别须要6分钟和12分钟.【例8】（难度等级派）有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.假如3个人同时同向,从同地动身,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处？【解析】由题意知道：甲走完一周须要时间为3OO÷I2O=3（分）；乙走完一周须要时间为3OO÷1OO=3（分）230丙走完一周须要时间为300÷700=亍，那么三个人想再次相聚在跑道同一处须要时间为：5305,30,33027J（2,7,1）1【例9】（难度等级派）甲、乙二人骑自行车从环形马路上同一地点同时动身，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，假如在动身后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？【解析】甲行走45分钟，再行走70-45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程.甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25x45=126分钟.即乙走一圈的时间是126分钟.【例10（难度等级派）林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【解析】设总时间为X,则前一半的时间为X/2,后一半时间同样为X/2X2*5+X2*4=450X=100总共跑了100秒前50秒每秒跑5米，跑了250米后50秒每秒跑4米，跑了200米后一半的路程为450÷2=225米后一半的路程用的时间为（250-225）÷5+50=55秒【巩固】某人在360米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米,则他后一半路程跑了多少秒？【解析】44【例11（难度等级派）甲、乙、丙在湖边漫步，三人同时从同一点动身，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过S分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？【解析】30分钟乙落后甲（5.4-4.2）+2=0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从动身到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6=4.2（千米）。【例12（难度等级派）甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时起先以匀速按相反的方向绕此圆形路途运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又其次次相遇。求此圆形场地的周长？【解析】留意视察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1圈的路程，当甲、乙其次次相遇时，甲乙213共走完H=一图的路程.所以从起先到第一、二次相遇所需的时间比为1:3,因而其次次相22遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100X3=300米.有甲、乙其次次相3遇时，共行走（1图60）+300,为一圈，所以此圆形场地的周长为480米.2【巩固】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时动身反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点其次次相遇，D点离B点60米.求这个圆的周长.【解析】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；其次次相遇，两个人合起来又走了一圈.从动身起先算，两个人合起来走了一周半.因此，其次次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到。的距离，应当是从A到C距离的3倍，即4到。是80x3=240（米）.240-60=180（米）.180x2=360（米）.【巩固】如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与。同时动身，绕圆周相向而行.它们第一次相遇在离A点8厘米处的3点，其次次相遇在离C点处6厘米的。点，问，这个圆周的长是多少？【解析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点动身的小虫爬了8厘米，其次次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从动身共爬行了1个半圆周，其中从A点动身的应爬行8x3=24（厘米），比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8x3-6=18（厘米），一个圆周长就是：（83-6）x2=36（厘米）【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时动身反向而行，两人在C点第一次相遇,在D点其次次相遇.已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【解析】340例13（难度等级派）两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米.甲、乙两车同时分别从相距90米的A,B两点相背而行，相遇后乙车马上返回，甲车不变更方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点.此时甲车马上返回（乙车过B点接着行驶），再过多少分与乙车相遇？【解析】右图中C表示甲、乙第一次相遇地点.因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A,所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180-90=90（米）.甲从A到C用了180÷20=9（分），所以乙每分行驶90÷9=10（米）.甲、乙其次次相遇，即分别同时从A,B动身相向而行相遇须要9（R（20÷10）=3（分）.【巩固】（难度等级派）周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A,B两点.甲、乙两人分别从A,B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B假如以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从动身起先，共跑了多少米？【解析】如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程.由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时间的上.即AC=1.X400=200（米），也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速22度是乙速度的2倍.那么甲到达A,乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷（2J）x2=600米，加上起先跑的1圈400米.所以甲从动身到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米.【巩固】（难度等级派）在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时动身反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各须要多少分？【解析】由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12+8=20（分），乙需20÷4x6=30（分）.【例14（难度等级派）（2000年华校入学试题）甲、乙两车同时从同一点A动身，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶.甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米.一旦两车迎面相遇，则乙车马上调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车马上调头，那么两车动身后第11次相遇的地点距离有多少米？【解析】首先是一个相遇过程，相遇时间：6÷（65+55）=0.05小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75千米.然后乙车调头，成为追及过程，追刚好间：6÷（65-55）=0.6小时，乙车在此过程中走的路程：55x0.6=33千米，即5图余3千米，那么这时距离A点32.75=0.25千米.甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25+2.75=3千米，而第4次相遇时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与起先相同.所以，第8次相遇时两车确定还是相遇在A点,又11+3=32,所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离4点是3000米.【巩固】二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向动身，甲走1。圈，改反向动身，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？【解析】1428【例15（难度等级派）下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形.甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时动身.假如甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？乙>【解析】甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边（300米）需300÷（90-70）=15（分），此时甲走了90×15÷300=4.5（条）边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙.甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共2需300x5÷90=16-（分钟0,即16分40秒.3【巩固】（难度等级派）如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米.甲、乙两人分别从房屋的两个墙角动身，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次望见乙？【解析】乙一13米111r2米2米8米起先时,甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米.因为一边最长为13、所以最少要追至只相差13,即至少要追上29-13=16米.甲追上乙16米所需时间为16÷（3-2）=16秒，此时甲行了3x16=48米，乙行了2x16=32米.甲、乙的位置如右图所示：明显甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面2的那条边之前到达上面的边，从而望见乙.而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2:3=322秒.所以经过16+-=16一秒后甲第一次望见乙.33例16（难度等级派）如图，在400米的环形跑道上，A,B两点相距100米.甲、乙两人分别从A,B两点同时动身，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙须要时间是多少秒？【解析】假如甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100:（5-4）=100秒.此时甲跑了100X5=500米，乙跑了100X4=400米.而事实上甲跑500米，所需的时间为100+4x10=140秒，所以140150秒时甲都在逆时针距A点500处.而乙跑400米所需的时间为100+3x10=130秒，所以130140秒时乙走在逆时针距B点400处.明显从起先计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙须要时间是140秒.【例17（难度等级派）下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点动身，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米.两人第一次在CD边（不包括C,D两点）上相遇，是动身以后的第几次相遇？【解析】两人第一次相遇需360÷（75+45）=3分，其间乙走了45x3=135（米）.由此知，乙没走135米两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）【例18(难度等级派)如图，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A,B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人马上以相同速度从D点动身.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米？【解析】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置.甲丙丁8时10分七8时24分第8时为分,/跳一8时10分一一g8呼百分乙丁先分析甲的状况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙的状况，乙的速度等于甲的速度,乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程.所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程.+AD60+AE60+DF/AO=60+O尸101410P(AE-ED)=5(60+AE)然后分析丙的状况,丙4分钟,行了走ED的路程,再看丁的状况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF的距离.*EDDFo有=,即5ED=2DF.410AD=AE+ED=60+DF联立"(AE+ED)=5(60+AE),解得(EO=18DF=455ED=2DF于是,得到如下的位置关系：60SABEF=S四边形ABCD一SMBE一SAEDFSNCB=60×(87+18)-60×87-18×45-×15×(87+18)=2497.5二、环形跑道变道问题【例19如图是一个跑道的示意图，沿AC的走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A到8的直线距离是75米.甲、乙二人同时从A点动身练习长跑，甲沿AC3D4的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBE4的大圈跑，每100米用21秒，问：乙跑第几圈时第一次与甲相遇？发多长时间甲、乙再次在A相遇？A【解析】因为甲、乙沿不同的路途，所以并不是谁多跑一圈，就确定有一次超过.超过只可能发生在他们共同经过的路途上，也就是AC6上.（1）甲跑半圈ACB用时48秒，乙跑半圈ACB用时42秒.也就是说假如某次乙经过A点的时间比甲晚不超过6秒，他就能在这半圈上追上甲.甲跑一圈用的时间为275÷100x24=66秒，乙跑一圈用的时间为400÷100x21=84秒，下面看甲、乙经过A点的时间序列表（单位：秒）甲066213819426033乙084816225633可以看出336秒与330秒恰好差6秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相遇.要在A点相遇，两人跑的必需都是整数圈，甲跑一圈用66秒，乙跑一圈用84秒，它们的最小公倍数为66,84=924.因此924秒即15分24秒后，甲、乙第一次同时回到A点.【例20如图所示，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从A点动身逆时针方向沿跑道进行长跑熬炼，儿子跑大圈，父亲每跑到8点便沿直线跑。父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。假如他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？【解析】首先我们要留意到：父亲和儿子只能在由A沿逆时针方向到8这一段跑道上相遇.而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时确定是儿子从后面追上父亲.儿子跑一周所用的时间是19×（400÷100）=76（秒），也就是说，儿子每过76秒到达A点一次.同样道理，父亲每过50秒到达A点一次.在从A到B逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑19（200÷100）=38（秒）,父亲要跑20x（200+100）=40（秒）.因此，只要在父亲到达A点后的2秒之内，儿子也到达A点，儿子就能从后面追上父亲.于是，我们须要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大2.换句话说，要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间.这试一下就可以了：76÷50余26,76x2÷50余2,正合我们的要求.因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈.【例21如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道.大跑道与小跑道有200米路程相重.甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处动身,当他们其次次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米？【解析】依据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇.易知小跑道上AB左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上AB的左、右两侧的路程均是200米.我们将甲、乙的行程状况分析清晰.当甲第一次到达8点时,乙还没有到达3点,所以第一次相遇确定在逆时针的84某处.而当乙第一次到达B点时，所需时间为200+4=50秒,此时甲跑了6x50=300米,在离B点300200=100米处.乙跑出小跑道到达A点须要100÷4=25秒,则甲又跑了6x25=150米,在A点左边（100+150）-200=50米处.所以当甲再次到达8处时,乙还未到B处,那么甲必定能在8点右边某处与乙其次次相遇.从乙再次到达4处起先计算,还需（400-50）÷（6+4）=35秒,甲、乙其次次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒.所以，从起先到甲、乙其次次相遇甲共跑了6x110=660米.【例22（2005年小学生数学报优秀小读者评比活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道（如下图）。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。假如甲、乙两个机器人同时从A点动身，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离动身点A点多少厘米？【解析】第一次在B1点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米（见左下图）;其次次在打点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米（见右上图）：同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米.那么到第三次相遇时两者共跑了400+700+700=1800厘米，共用时间1800÷（6+4）=180（秒），甲跑了6x180=1080（厘米），距4点400x31080=120（厘米）.【例23（难度等级派）下图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点动身，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？【解析】我们知道，大小圆只有一个公共点（内切），而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另始终径端点B,所以在小圆甲虫跑了在大圆甲虫跑了m+1圈；于是小圆甲虫跑了30n,大圆甲虫跑了48（m+'）22=48m÷24o因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n=48m+24;即5n=8m+4,有不定方城学问，解出有n=4,m=2,所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。【例24】三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从A、8两地按箭头所示方向动身，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟2。厘米和每分钟15厘米，甲、乙两爬虫其次次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？【解析】依据题意，甲爬虫爬完半圈须要210÷2÷20=5.25分钟，乙爬虫底完半圈须要210+2÷15=7分钟.由于甲第一次爬到1、2之间要5.25分钟，第一次爬到2、3之间要10.5分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处.由于甲第一次爬到2、3之间要10.5分钟，其次次爬到1、2之间要15.75分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以其次次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处.当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了20x14=280米，210+2+210280=35（米），所以甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还须要35÷（20+15）=l（分钟）相遇，所以其次次相遇时，两只爬虫爬了14+1=15分钟.所以甲、乙两爬虫其次次相遇时，甲爬虫爬了20x15=300厘米.【巩固】一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A,B,C分别在这3个点上.它们同时动身，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，3的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫动身后多少时间第一次到达同一位置？【解析】先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.起先时，它们相差30厘米，每秒钟3能追上C（5-3）厘米.30÷（5-3）=15（秒）.因此15秒后8与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，8要追上C一圈，也就是追上90厘米，须要90÷（5-3）=45（秒）.8与C到达同一位置，动身后的秒数是15,60,105,150,195,再看看A与8什么时候到达同一位置.第一次是动身后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是A追上8一圈.须要90÷（10-5）=18（秒），A与3到达同一位置，动身后的秒数是6,24,42,60,78,96,比照两行列出的秒数，就知道动身后60秒3只爬虫到达同一位置.【例25如图所示，甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步（图中给出跑动路途的次序：1-2-3-4-1-）o假如甲、乙两人同时从A点动身，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第三次相遇的时间是动身后秒。【解析】从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在A、8两点处相遇（本题中，虽然在8处时两人都是顺时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）.从A到3,在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是200米.两人的速度之比为3:5,那么两人跑200米所用的时间之比为5:3.设甲跑200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位.依据题意可知，1个时间单位为40200÷3÷5二,秒.3可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在A点或3点，而且是奇数倍时在8点，是偶数倍时在A点；乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时，乙才可能在A点或8点，同样地，是奇数倍时在8点，是偶数倍时在A点.要使甲、乙在A、B两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是40说，动身后,45=600秒两人第三次相遇.3也可以画表如下：ABABABABABABABAB甲051015202530354045乙0369121518212427303336394245从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在8点，经过30个时间单位后两人同在A点，经过45个时间单位后两人同在8点，这是两人第三次相遇.【例26如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？（路程按甲跑的计算）【解析】依据题意可知，甲跑的路途是“8”字形，乙跑的路途是小圆环.甲绕大圆环跑一周须要100秒，乙绕小圆环跑一周也须要100秒.所以两人的第一次相遇确定是在A点；而以后在小圆周上确定还有相遇点.由于两人都是周期性运动，乙的状况较为简洁，假如以乙为中心，可以看出，每次乙回到A点，假如甲也在A点，则两人在A点相遇；假如甲不在A点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇.设乙第加次回到A点的时间为1秒，则f=100m,此时甲跑了6xl0（h11=600m米.而甲一个周期为600+400=1000米，因此，Z时刻甲跑了9驷个周期.10004600Z3m而-100053mV3mV，其中整数部分表示甲回到A点，小数部分表示甲又从A点跑了X100o米.由此，我们可以算出一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是甲的位置:3m=5k5k+l5A+25&+35k+4小数部分表示的路程0200400600800甲、乙相距的路程0800600400200甲、乙相遇还需的时间080604020甲、乙相遇的位置080160240320以其中的第三列（5k+1）为例进行说明：这一列表示3/九=54+1,于是jgjl000=200,这表明甲回到A点后又跑了200米，此时乙在A点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距100O200=800米，所以须要的时间为800+（4+6）=80秒，在80秒内乙跑了4x80=320米，所以在这种状况下甲在小圆周上跑的路程为400-320=80米，这就是此时相遇点与A点的距离.其它状况同理可得.所以甲、乙可能相遇的位置在距离A点顺时针方向320米，240米，160米，80米和。米.三、环形跑道变速问题【例27（难度等级派）甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度削减2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有变更，假如相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两人和跑一圈也用24秒。以甲为探讨对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以(V+2)跑了24秒的路程之和等于400米，24V+24(V+2)=400易得V=7,米/秒3【例28(2003年迎春杯)甲、乙两人同时同地同向动身，沿环形跑道匀速跑步.假如动身时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度马上提高25%,而乙的速度马上削减20%,并且乙第一次追上甲的地点与其次次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是米.【解析】如图，设跑道周长为1,动身时甲速为2,则乙速为5.假设甲、乙从A点同时动身，按逆时针方向跑.由于动身时两者的速度比为2:5,乙追上甲要比甲多跑1图，所以此时甲跑了25l÷(5-2)×2=-,乙跑了乙；此时双方速度发生变更，甲的速度变为2x(l+25%)=2.5,乙33的速度变为5x(120%)=4,此时两者的速度比为25:4=5:8：乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，则此次甲跑了1+(8-5)x5=3,这个*就是甲从第一次相遇点跑到其