2第二章 电力系统潮流计算.docx

其次章电力系统潮流计算2.1概述电力系统稳态分析是探讨电力系统运行和规划方案最重要和最基本的手段，其任务是依据给定的发电运行方式及系统接线方式求解电力系统的稳态运行状况，包括各路途的电压、各元件中通过的功率等等。在电力系统运行方式和规划方案探讨少，都须要进行稳态分析以比较运行方式或规划供电方案的可行性、牢靠性和经济性。电力系统稳态分析得到的是一个系统的平衡运行状态，不涉及系统元件的动态属性和过渡过程。因此其数学模型不包含微分方程，是一组高阶数的非线性方程。电力系统的动态分析(见第5章、第6章)的主要目的是探讨系统在各种干扰下的稳定性，属于动态平安分析，在其数学模型中包含微分方程，应当指出，电力系统的动态分析不仅在稳定运行方式分析的基础上进行，而且稳态分析的算法也是动态分析算法的基础。因此，熟识稳态分析的原理和算法是把握现代电力系统分析方法的关键。电力系统稳态分析包括潮流汁算(或潮流分析)和静态平安分析。潮流计算针对电力系统各正常运行方式，而静态平安分析则要探讨各种运行方式下个别系统元件退出运行后系统的状况。其目的是校验系统是否能平安运行，即是否有过负荷的元件或电压过低的母线等。原则上讲，静态平安分析也可以用潮流计算来代替。但是一般静态平安分析须要校验的状态数特别多，用严格的潮流计算来分析这些状态往往计算量过大。因此不得不寻求一些特殊的算法以满足要求。本章的前半部分介绍潮流计算的模型和算法，后半部分探讨与静态平安分析有关的问题。利用电子数字计算机进行电力系统潮流计算从20世纪50年头中期就已起先。此后，潮流计算曾采纳了各种不同的方法，这些方法的发展主要是围围着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点：(1)计算方法的牢靠性或收敛性。(2)对计算速度和内存量的要求。(3)计算的便利件和敏捷性。电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性方程式的求解问题，其解法离不开迭代。因此，对潮流计算方法，首无要求它能牢靠地收敛，并给出正确答案。随着电力系统不断扩大，潮流问题的方程式阶数越来越高（目前已达几千阶甚至超过1万阶），对这样规模的方程式并不是采纳任何数学方法都能保证给出正确答案的。这种状况成为促使电力系统探讨人员不断寻求新的更牢靠方法的重要动力。在用数字计算机解电力系统潮流问题的起先阶段，普遍实行以节点导纳矩阵为基础的高斯一赛德尔迭代法（以下简称导纳法）",二这个方法的原理比较简洁,要求的数字计算机内存且也比较小，适应当时电子数字计算机制造水平和当时电力系统理论水平，但它的收敛性较差.当系统规模变大时，迭代次数急剧上升，往往出现迭代不收敛的状况。这就迫使电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为基础的逐次代入法（以下简称阻抗法），20世纪60年头初.数字计算机已发展到其次代，计算机的内存和速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采纳创建了条件。如第1章所述，阻抗矩阵是满矩阵，阻抗法要求数字计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵，这就须要较大的内存量。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行运算，因此，每次迭代的运算量很大。阻抗法改善了系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法求解的一些系统的潮流计算，当时获得了广泛的应用，曾为我国电力系统设计、运行和探讨作出了很大的贡献。但是，阻抗法的主要缺点是占用计算机内存大，每次迭代的计算量大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点,后来发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法如“。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只须要存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间连络线的阻抗，这样不仅大幅度地节约了内存容量，同时也提高了计算速度。克服阻抗法缺点的另一途径是采纳牛顿一拉弗森法（以下简称牛顿法）t56jo牛顿法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳矩阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的效率。自从20世纪60年头中期利用了最佳依次消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍在广泛采纳的优秀方法。20世纪70年头以来，潮流计算方法通过不同的途径接着向前发展，其中最胜利的方法是人。分解法。这个方法，依据电力系统的特点，抓住主要冲突，对纯数学的牛顿法进行了改造,在计算速度方面有明显的提高,快速得到了推广。近20多年来，潮流问题算法的探讨仍特别活跃，但是大多数探讨是围围着改进牛顿法和尸-。分解法进行的M。此外，随着入工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也渐渐引入潮流计算1.闻。但是，到目前为止这些新模型和算法还不能取代牛顿法和一。分解法的地位。由于电力系统的不断扩大和对计算速度要求的不断提高，计算机的并行计算技术也引起一些探讨人员的爱好，今后会成为重要的探讨领域。本章主要介绍当前通用的牛顿法和尸-。分解法。在本书后的附录中给出了外。分解法潮流程序的具体框图，供编制程序时参考。最终还应指出，潮流计算的敏捷性和便利性的要求，对数字计算机的应用也是一个很重要的问题。潮流程序的编制必需尽可能使计算人员在计算机计算的过程中加强对计算过程的监视和限制，并便于作各种修改和调整。电力系统潮流计算问题并不是单纯的计算问题，把它当作一个运行方式的调整问题可能更为准确。为了得到一个合理的运行方式，往往须要不断依据计算结果修改原始数据。在这个意义上.我们在编制潮流计算程序时，对运用的便利性和敏捷性必需予以足够的重视。因此，除了要求计算方法尽可能适应各种修改、调整以外，还要留意输入和输出的便利性和敏捷性，加强人机联系，做好界面，使计算人员能刚好监视计算过程并便利地限制计算的进行。2.2潮流计算问题的数学问题潮流计算问题的节点类型电力系统由发电机、变压器、输电线路及负荷等构成。图2-1表示了一个简洁电力系统的接线图。在进行电气计算时，系统中静止元件如变压器、输电线、并联电容器、电抗器等可以用凡£、C所组成的等值电路来模拟。因此这些静止元件所连成的电力网在潮流计算中可以看作是线性网络，并用相应的导纳矩阵或阻抗矩阵来描述。在潮流计算中发电机和负荷都作为非线性元件来处理，不能包括在线性网络部分，如图2T(b)所示。联络节点作为注入零功率的节点引出网络之外。23456O之OE小。Q；-也2J%广30二/.h线性网络(可用导纳矩阵或阻抗矩阵来描述)图2-1简洁电力系统接线图在图2-1(b)中虚线所包括的线性网络部分，其节点电流与电压之间的关系可以通过节点方程式来描述：I=YV上式也可以写成绽开的形式;(2-1)(2-2)=yYtjV,(z'=l,2,m)式个：岑和摩，分别为节点/的注入电流及节点J的电压；小为导纳矩阵元素；为系统节点数。为了求解潮流问题，我们必需利用节点功率与电流之间的关系：:pjQ=Vr/O=I,2,川)(2-3)式中；尸、。分别为节点，向线性网络注入的有功功率和无功功率，当/点为负荷节点时，巳、Qi本身应带负号；匕为节点，电压向量的共扼值。将式(2-3)代入式(2-2),可得到止.JQ=£兀吃G=1,2,M)匕尸】或J.'Q=£与吃0=E2¼m)匕尸】上式含有个非线性复数方程式，是潮流计算问题的基本方程式，对这个方程式的不同应用和处理.就形成了不同的潮流程序，电力系统潮流汁算中，表征各个节点运行状态的参数是该点的电压向量及复功率，也就是说，每个节点都有4个表征节点运行状态的量：V、。、。、0因此，在个节点的电力系统中共有4个运行参数。如上所述，电力潮流基本方程式(2-4)共有个复数方程式，相当于&个实数方程式，因此只能解出给个运行参数，其余2个应作为原始数据事先给定。在一般电力系统潮流计算时，对每个节点往往给出两个运行参数作为已知条件，而另外两个则作为待求量。依据原始数据给出的方式，电力系统中的节点一般分为以下3种类型：(I)AO节点。这类节点给出的参数是该点的有功功率及无功功率(A。)，待求量为该点的电压向量(V,)o通常将变电所母线作为可节点。当某些发电厂的山力凡Q给定时，也作为节点。在潮流计算中，系统中大部分节点部属于这类节点。(2)”节点。这类节点给出的运行参数为该点的有功功率尸及电压幅值K,待求量是该点的无功功率。及电压向量的角度这种节点在运行中往往要有肯定可调整的无功电源，用以维持给定的电压值。因此，这种节点是系统中可以调整电压的母线。通常选择有肯定无功功率贮备的发电厂母线作为节点。当变电全部无功补偿设备时，也可以作为节点处理。(3)平衡节点。在潮流计算中，这类节点一般在系统中只设一个。对这个节点，我们给定该点的电压幅值，井在计算中取该点电压向量的方向作为参考轴，相当于给定该点电压向量的角度为零度。因此，对这个节点给定的运行参数/和出故也可以称为Ve节点。对平衡节点来说，待求量是该点的有功功率尸及无功功率整个系统的功率平衡由这一节点来完成。平衡节点一般选择在调频发电厂母线比较合理，但在计算时也可能按其他原则来选择。例如，为了提高导纳法潮流程序的收敛性。有时选择出线最多的发电厂母线作为平衡节点。以上3种节点的给定量和待求量不同，在潮流计算中处理的方法也不一样。节点功率方程式如前所述，电力系统潮流计算可以概略地归结为由系统各节点给定的复功率求解各节点电压向量的问题，因此假如能把复功率表示为各节点电压向量的方程式，就可以利用求解非线性方程式的牛顿法解出系统各节点的电压向量。这一节我们首先推导节点功率的方程式。节点电压向量可以表示为极坐标的形式，也可以表示为直角坐标的形式。与此相应，在潮流计算中节点功率方程式也有两种形式。由式(2-4)可知，节点功率可表示为P1+JQ,=G=1,2,M(2-5)Jr由于导纳矩阵是稀疏矩阵，上式Z号后一般并没有项，也就是说，其中J并不取从1到的全部下标。式中i表示Z号后的节点J都必需干脆与/节点相连，并包括j=i的状况。假如把上式中电压向量表示为极坐标的形式亿=V-(2-6)式个：½>q为节点，电压向量的幅值和角度。将导纳短阵中元素表示为R÷jQi=匕/(Gjj及J)V/-巴(I=1,2,川(2-7)将上式中指数项合并，并考虑到以下关系：Pl+JQ=匕»匕(Gij-/)(cos如十jsin%)(I=1,24,，兀)(2-8)式中：ij=-j,为八J两节点电压的相角差。将上式按实部和虚部绽开，得到P1=匕%(GjCOS%+民国H配)修(，=1,2,九)(2-9)Q.=匕"VG卢in&Bcos,j)iee这就是功率的极坐标方程式。这个方程组不仅在牛顿法潮流程序中特别重要，在2.4节尸-。分解法潮流程序中也将起重要作用。把上式中各节点的电压向量表示为直角坐标的形式：忆=ei'jft式中：Vi=6卜jft则由式(2-5)就可以得到Pl%)(G”J-Biif)+力力(Gjf+B口%)(f=1,2,(2-10)Q，=f1，(G/BiJCej(G+&<；),/G/»令式中W(GM-Bd=ai(2-11)代2(GJJ+Bijej)=bi式中：生、2事实上是节点,注入电流的实部和虚部。因此式(2-10)可以简写为(2-P,=etai+flblQt=ftatetbt这就是功率的直角坐标方程式。无论式(2-9)或式(2TO)都是节点电压向量的非线性方程组。在潮流问题中,往往把它们写成以下的形式:AFj=P“一匕，匕(Gcosg,+BjSinaJf)=0J"=1,2,例)(2-13)Q=Qts匕匕(GfSin4,BOCoS%)=0er及G=1,2,，篦)<2-14)AB=P“一3刈BrfD->(G+Bg)=0J三'J0AQ=Q11f力(GM-BJ)+马夕(Gjf+Bije,')=0,氏：氏I式(2-13)、式(2-14)中：PiC念为节点/给定的有功功率及无功功率。由这两个公式，我们可以把电力系统潮流问题概略地归结为：对于给定的外、2(i=l,2,1.)寻求这样一组电压向量匕、R或“、力(i=l,2,1.,)，使按式(2-13)式(2-14)所得到的功率误差A。：、AQ(i=l,2,1.,)在容许范围以内。最终应当指出，在某些状况下用节点注入电流见式(2-2)代替节点注入功率构成潮流模型可能开发出更有效的算法，见第2.3节。2.3潮流计算的牛顿法牛顿法的基本概念牛顿法(又称牛顿一拉弗森法)是解非线性方程式的有效方法。这个方法把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，通常称为逐次线性化过程，这是牛顿法的核心。我们以如下非线性方程式的求解过程为例来说明：f(cc)=O(2-15)设不为该方程式的初值，而真正解X在它的近旁X=xwtn(2-16)式巾：°)为初值X的修正量。假如求得°),则由式(2T6)就可得到真正解Xo为此，将式<jr,一c)=O(2-17)按泰勒级数绽开：/(-,)=/(,)r(>)o>+尸Gre)<£上_十(一1)”户>(/')与+=0(2-18)式中：r(N),1.Js)W)分别为函数/(力在”处的一次导数至n次导数。当我们选择的初值比较好，即°)很小时，式(2T8)中包含的(心)和更高阶次项可以去不计。因此，式(2T8)可以简化为/(/)-r()o>=0(2-19)这是对于变量°>的线性方程式，以后称为修正方程式，用它可以求出修正量由于式(2-19)是式(2-18)简化的结果，所以由式(2-19)解出°)后，还不能得到方程式(2T5)的真正解。事实上，用Ar。对X修正以后得到的X：=V_Ar(O)(2-20)只是向真正解更靠近了一些。现在假如再以X作为初值，解式(2-19),/U01)一尸(无)小D=O就能得到更趋近于真正解的X1=2_A1)(2-21)这样反复下去，就构成了不断求解线性修正方程式的逐步线性化过程。第t次迭代时的修正方程式为/0。)f()jrf=0(2-22)或/(1)=ft(xfn)(2.23)上式左端可以看成是近似解一)引起的误差，当/(x")0时，就满足了原方程式(2T5),因而X就成为该方程式的解。式(2-22)中/(户)是函数/(x)在Xa)点的一次导数，也就是曲线在点的斜率，如图2-2所示，tg"=F(N")(2-24)修正运Ara)则由小)点的切线与横轴的交点来确定，由图2-2可以直观地看出牛顿法的求解过程。现在把牛顿法推广到多变量非线性方程组的状况。设有变量而&，1.,玉的非线性联立方程组：（i4mjl）O于2（4F）=O.r（2-25）./”Ol=0,给定各变量初值邸吗/，1.,町°）为其修正值，并使其满足f（工产-%,方。）-Ar次,公。）一j<）=Q力（婢）一心%媛）-Ar巴,必。）-xW）=0,（2-26）£（工产-AxS”-AZ产，口£-x2）=0,对以上个方程式分别按泰勒级数绽开，当忽视包含,A°）,1.,A°）所组成的二次项和高次项时，可以得到Ar严十O(2-27)式中：<为函数£(百,冷1.,x)对自变量的偏导数在点为应上生处C4；jO的值。也血Z冽沆MK,OM20由7O副O剽O(2-28)把上式写成短阵的形式:/口产"产,，3。力袅胃口严，,”=JrKIy,公汽0俨)一这是变量斌°),°),1.,A°)的线性方程组，称为牛顿法的修正方程式，通过它可以解出s,A,1.,°,并可以进一步求得(2-29)公D=4Arr1.式中弁°),吃,1.,怎向真正解靠近了一步，假如再以它们作为初值重复解式(2-28)型修正方程式，并按式(2-29)对变量进行修正，就构成了牛顿法的迭代过程。一般第1次迭代时的修正方程式为了心巴斓，常。）-人（好,娉,斓）工（N巴斓,公”或者简写为茹比弘总组gfCC副副剽l副lAry.Arf1.(2-30)F(X)=7ujXco(2-31)式中:(2-32)£q*,c£),，E”为第，次迭代时函数的误差向量;空f£三l(2-33)称为第Z次迭代时的雅可比矩阵;-AZy93.(2-34)为第Z次迭代时的修正量向量。同样，也可以写出类似于式(2-29)的算式X(N1>(2-35)这样，反复交替解式(2-31)及式(2-35)就可以使X-D逐步趋近方程式的真正解。为了推断收敛状况，可采纳以下两个不等式中的一个：Iaa)IlVq(2-36)Il<2(2-37)式中：x"+d及af"d分别表示向量X（三）及AF(M)的最大重量的肯定值；与和j为预先给出的很小正数。修正方程式在第节中我们推导了两种类型的功率方程式，它们在牛顿法潮流程序中都有应用虽然它们在迭代步骤上没有差别，但其修正方程式则各有特点。当采纳极坐标的数学模型式(2T3)时，待求量是各节点电压的幅值和角度匕、4(i=l,2,1.,")0对PV节点来说，节点了电压幅值匕是给定的，不再作为变量。同时，该点不能预先给定无功功率0$,这样，方程式中A0,也就失去了约束作用。因此，在迭程中应当取消与PV节点有关的无功功率方程式。只有当这迭代结束后，即各节点电压向量求得以后，才利用这些方程式来求各PV节点应维持的无功功率。同样道理，由于平衡节点电压幅值及相角都是给定量，因此与平衡节点有关的方程式也不参加这迭代过程。迭代结束后，我们利用平衡节点的功率方程式来确定其有功功率及无功功率。设系统节点总数为，PV节点共T个。为了叙述便利，我们把平衡节点排在最终，即设为第节点，则潮流计算要解的方程式应包括PI=Pr-匕2%(GbCoSelJ+BlJSin%)=O(2-38)产2=P费匕:匕(GzjCos%1+§2JSin%p=O2.*=Pl-U"72匕(G"TX>S/T.J+&7,jSin/r,p=O?GlT)此式中共包含-1个方程式；及QiS=Qu一匕5,匕(G,sin4,BJCOS&P=0Qz=Qi>Vz，VJ(G2jsin&2,一Zcos2j)=O0>(2-39)QI=Q-1.，一匕T匕(GiSinel“一B1.gCoSelt7,)=OjE(n-l)此方程组共包括个方程式。以上方程式的待求量为各节点电压的角度以及电压幅值匕，其中q共有-1个。由于匕中不包括PV节点的电压幅值，所以共有-个。这样，未知量共有2-r-2个，恰好可由以上2-2个方程式求出。将式(2-38)、式(2-39)按泰勒级数绽开，略去高次项后，即可得到修正方程式-P1-HnW1?NnN2Ng-2】22“2,4-】N21Nn,nZ.*-%:：:-1.1J.3Hx-Im7Ar,-.NIa2(2-40)QlJItJ12Jp11.IIZrt2,"/"wlWIzVlq2J，八2J?e71.z：'2f2v13-j“】*1J1.l,2K-t,n1£段-1.1乙一】,2上1，公匕/匕式中电压幅值的修正量采纳/%,%/%，1.,匕/匕-的形式并没有什么特殊意义，只不过为了使雅可比矩阵中各元素具有比较相像的表达式。利用简洁的微分运算对式(2-3)或对式(2-38)、式(2-39)取偏导数，并留意式中心、0,均为常数，不难得到雅可比矩阵中各元素的表达式：必PH”=匕匕(GJSin%Btjcb,j)(ji)(2-41)H1.=匕2匕(GJSinZBJCOS/)(2-42)R，j,)i=V78,+Q,(2-43)匕=-匕匕(Gaosa)IBl,3n,</)(2-44)Nii=匕=匕>匕(G)COSaJ+8,卢in%)2VjGtt=V?GH-P1(2-45).八P，Ju=j71%=匕匕(G/Cos/+%sin&p(ji)(2-46)JH=匕=一匕.'KG,es%+BuSin仇I=VfGtt-P,(2-47)一1.i)=匕=-VVj(GJSin匹B"Cs61)G/)(2-48)=一匕(G,sin%JCOSz)+2ViBt,=VM-Q1黑(2-49)修正方程式(2-40)还可以写成更为简洁的形式-APPff2J1.JNA6-lJ1.VV.(2-50)比照式(240不难看出式中各符号的意义。有时，为了程序上处理便利也可把修正方程式排成下列形式：S-"HuNIl对2NnHIM-IM,'一仇C1JIlEiiJ121.12,JUr-I心】.1.lVVlH21NZlHgN22&2,-】NQzJZl工211.z2,2.1V2V2(2-51):：:V»:4F.-M.He-1、2Ml-.2Hl1.l1-1.0-I81.I皿-l-JK-1.1JkT.2-l.2-.n-lR-1-4*y.7.上式与式(2-40)在本质上并无任何不同。当采纳直角坐标时，潮流问题的待求量为各节点电压的实部和虚部两个重量e1j,2,X,ellJn0由于平衡节点电压向量是给定的，因此待求量共2勿一个，须要2-个方程式。事实上，除平衡节点的功率方程式在迭代过程中没有约束作用以外，其余每个节点都可列出两个方程式。对节点来说，2、Qn是给定的，因而可以写出EP,ie,>(Gj%Bi)f)力，(GJJ+Btfei)=O'*'0卜(2-52)Q,=Qtt-f，(G/j风力)+%>(Gif+Bilej)=0,大，,Wt对尸V节点来说，给定量是旦、匕，因此可以列出P、=P钮-aA(GA-Bljfj)-fiZ(GiJ)+Bejy)0代'r(2-53)V?=Vl-(+/7)=O式(2-52)和式(2-53)共包括2(nT)个方程式。将它们按泰勒级数绽开，略去高次项后，即可得到修正方程式，写成矩阵的形式如下：HQ1P2Q?».V?J1T鬻鬻舞.蒙鬻.管誉T普T警；:«装黑翳鬻絮。装鬻斐鬻爱。紫鬻粉鬻布。絮鬻鬻O.一>-I1N(2-54).Zi9/,1依据式(2-52)、式(2-53),利用简洁的微分运算不难求得上式雅可比矩阵中各元素的嗜=一等=一(G©+Bj)莘=等=-Gtjf11(2-55)*网aVf必匕2-r-=一-r-=O的OjJ,以上为对角元素。当八时：=声Brf,)-GMBitfl利用式(2-11)可以改写为=-4Gn%Btjft同样得到W(G/j-Bj,)+G,et+Bja,+Guet+Bt,f=-2(GJ÷RJeJ)+B,letGitf=九+Blie,G,ifl(2-56)=芽(GJ)+BjeJ)+Bl,e1Gltf=bi+Buei-Gtif7e'2el=-2fi以上得到的两种坐标系统修止方程式，是牛顿法潮流程序中须要反复求解的基本方程式。探讨以上公式，不难看出这两种修正方程式有以下持点：(1)修正方程式(2-54)明显是2(nT)阶的，修正方程式(2-40)的阶数为2(n-l)-r.由于系统中PV节点数(r)一般较少，所以也是接近2(nT)阶的方程组。(2)由两种坐标系统雅可比短阵非对角元素的表示式(2-41)、式(2-44)、式(2-46).式(2-48)以及式(2-55)可以看出，它们只与导纳矩阵中某一个元素有关。因此，当导纳矩阵中元素修为零时，修正方程式系数矩阵中相应元素也为零，即修正方程式系数矩阵与导纳矩阵具有相同的结构，因此修正方程式系数矩阵也是稀疏矩阵。(3)由雅可比矩阵各元素的表达式可以看出，两种坐标系统修正方程式的系数矩阵都是不对称的，例如很简洁验证a产,即必Ql必Qj函-于况,西"丰兆,以及aPt乙,必Qj-QJ西*石7*fr等等。(4)两种修正方程式的系数矩阵一一雅可比矩阵中诸元素都是节点电压向量的函数，因此在迭代过程中，它们将随着各节点电压向量的变更而不断变更。这一点是影响午顿法潮流程序计算效率最重要的因素，因为不仅每次迭代都要重新计算雅可比矩阵元素，而且还需重新进行三角分解。因此，对牛顿法潮流程序的改进,大多是针对这一问题。例如，文献12提出当采纳直角坐标时，假如以注入电流见式(2-4)构成潮流方程，则其修正方程式的雅可比矩阵中非对角元素将为常数，从而提高求解效率。文献13则建议采纳部分更新雅可比矩阵元素以削减运算量。限于篇幅，不再详述。两种坐标系统的修正方程式给牛顿法潮流程序也带来一些差异。当采纳极坐标表示式时，程序中对PV节点处理比较便利。当采纳直角坐标时，在迭代过程中避开了三角函数的运算，因而每次迭代速度略快一些。一般说来，这些差异并不特别显著。在牛顿法潮流程序中，两种坐标系统都有应用。关于对两种坐标系统的修正方程式的比较，可参考文献14。日前广泛采纳的一Q分解法是从极坐标系统牛顿法潮流程序演化而来的，将在第2.4节中具体探讨。因此，下一节将主要依据直角坐标表示式(2-54)型的修正方程式探讨牛顿法潮流程序。牛顿法的求解过程以下探讨用直角坐标形式的牛顿法潮流的求解过程。在牛顿法潮流程序中，电力网络是用导纳矩阵来描述的。由式(2-52)、式力-53)、式(2-55)、式力-56)可知，其中的运算都以导纳矩阵为基础，因此在程序中应首先形成导纳矩阵。牛顿法潮流求解过程大致分为以下几个步骤：(1)给定各节点电压初值/°)、/(0)o(2)将电压初值4°)、尸°)代入式(2-52)、式(2-53),求修正方程式的常数项PAQ(s、(V2f,0(3)将电压初值代入式(2-55)、式(2-56)中求修正方程式系数矩阵(雅可比矩阵)各元素。(4)解修正方程式(2-54),求修正量或、V。(5)修正各节点电压向量：=8。)(2-57)fm=/<0>一/(6)以e、/代入式(2-52)、式(2-53)个求PAQ、(V2)11(7)校验是否收敛，如收敛，则进而求各支路潮流并打印输出计算结果，否则再以e、/为初值，返回第步骤进行下一次迭代。牛顿法潮流程序的原理框图如图2-3所示。图2-3以及上述求解步骤只是从原理上简要地介绍了牛顿法的计算过程，它们和实际的应用程序还有一些差别。如前所述，牛顿法求解潮流问题的过程，事实上是不断形成并求解修正方程式的过程。如何处理修正方程式对于内存要求和计算速度有着确定性的影响，因此，在下一节具体探讨修正方程式的构成及解法以后，才能进一步给出牛顿法潮流程序的好用框图。图2-3牛顿法潮流程序原理框图现在我们仅就与修正方程式处理无关的问题作简洁的介绍。牛顿法的收敛性比较好，一般潮流计算通常迭代67次就能收敛到特别精确的解，而且迭代次数与电力系统规模关系不大。从理论上讲，牛顿法具有平方收敛的特性，但它对初始值要求比较高。当时始值选择得不恰当时，可能出现不收敛，或者收敛到实际电力系统无法运行的解。这种状况是牛顿法本身引起的。如前所述，牛顿法的实质是把非线性方程的求解转化为反复求解修正方程式的过程，这种“逐次线性化”是建立在Ae、V特别小，因而其高次项可以忽视不计的假定之上的。当时值和真正解相差较大时，高次项就不能忽视，从而牛顿法就失去了迭代的基础。一般电力系统在正常运行状况下，各节点运行在额定电压旁边，各节点电压相角差不会很大。在这时，初值采纳“平启动”方式，即d°'=l0,=0,0<1=1,2,，力(2-58)牛顿法都能给出比较满足的结果。在图2-3中，我们采纳的收敛条件是IlPcrQ|(<(2-59)式中：论尸<AQ表示向量。中最大重量的肯定值。这个收敛条件比较直观，用它可以干脆限制最终结果的功率误差。当采纳标么值进行计算时，可以取£=10-4或g=i0-3,假如以100MVA作为基值，这就相当于出名值0.01MVA或0.1MVA,这实际电力系统计算来说已经相当精确。由图2-3可知，在利用牛顿法计算系统潮流时，每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并且对它进行消去运算，因此，每迭代一次要求的运算量相当大，降低了牛顿法潮流程序的计算速度。由前面雅可比矩阵元素的表达式可知，在迭代过程中特殊是趋于收敛时，由于电压变更而引起雅可比矩阵元素的变更不会很大(参看节例2-1),因此，为了提高牛顿法潮流程序的计算速度，可以在形成雅可比矩阵后，用同一雅可比矩阵连续进行几次迭代。修正方程式的求解牛顿法在20世纪50年头末期就已用于解决电力系统潮流问题，并采纳了高斯消去法求解修正方程式。这时出现的冲突是其内存量及运算量随着系统的扩大而急剧地增长。如前所述，牛顿法修正方程式的阶数为2(n-l),因此须要45-1)2个内存单元贮存整个系数矩阵，而且求解线性方程式的运算量在某些状况下达到2(-If乘加运算，这样就限制了牛顿法的应用和推广。20世纪60年头中期，人们对牛顿法修正方程式的稀疏性进行了深化探讨，在求解线性方程式的过程中充分利用了稀疏线性方程的特点，避开了对雅可比矩阵中大量零元素的贮存和运算，这样就大大节约了内存单元并且显著地削减了运算量，从而提高了计算速度。当采纳节点编号优化时，还可以保证修正方程式系数矩阵在消去过程中增加的非零元素最少，使求解修正方程式所须要的内存量及运算量可削减到几乎与系统节点数目成线性关系，从而使牛顿法成为求解电力系统潮流问题时应用最广泛的方法之一。下面我们以图2-4所示的简洁系统为例，说明牛顿法潮流程序在求解修正方程式过程中的一些算法特点。图中节点3及节点6为发电机节点，其中节点3为PV节点，节点6为平衡节点，其余节点均为PQ节点。该系统的导纳矩阵结构如下：修正方程式中不包括与平衡节点有关的方程，因此修正方程的形态应为飞NnHxzM?NMAQ3J11七1】几七】2几【八3，九心14P2M】凡2MZ232344S5qfvpqpm三1N3乩3M3N3400J筋OOH八H<3N43HM九3几1.uHs4N54J$42、/f2%A凡SMSJ451.45£HSSMS上5SS乙55.A-(2-60)式中：常数项A%A2可按式(29-52)求得:尸，=Pii一A(GMBJJ)f2(GJ+AM)山，金Q,=Qts£>(G/,Blf)十*A(GJJ+Bliey)?JWtji或者写成(2-61)P、=P»-Cetat+ftb,y)Q=Qu(ftat-eibi)由式(2-56)可知修正方程式中对角元素为Hu=-a(G”啖+Btf)(2-62)M=¼+(B/,GJl)J”=仇十(&GGJf)1%=下尸=-4+(G血+BJ)式(2-61)和式(2-62)中都含有节点，注入电流的重量q也，为了求月,A0r及雅可比矩阵中对角元素4,M,4,主要运算集中在求及4上。节点,注入电流重量4也只与/行导纳矩阵及相应节点的电压重量有关见式(2TI),因此，我们只要依次取导纳矩阵中的第，行各元素及相应节点的电压重量作简洁的乘加运算，即可积累求和得到也。当也求出后，与节点/的电压重量按式(2-61)作乘加运算再与节点，给定的功率，就可得到匕,AQ°式(2-60)中雅可比矩阵非对角元素的表示式为H”=-(G,+JBJ)Nt)=BtJaG/(2-63)人=EJ1.B的一Gljfl=MJ1.”=G产，+BtJt=一Htj明显，非对角线元素只与导纳矩阵中相应的元素及该节点的电压重量有关。从对角元素的达式(2-62)也可以看出，其中除了节点，注入电流重量4也以外，也只有导纳矩阵中对角元素G+j4,与该点电压重量0+比乘加运算而得到的结果。综上分析，使我们在程序的处理上能把形成修正方程式的过程变成逐行取导纳矩阵中元素并与相应节点电压重量作简洁乘加运算的过程。当节点了为尸/节点时，A。,的方程式要