2矩形的性质与判定.docx

2矩形的性质与判定基础闯关全练拓展训练1.数学课上,老师要同学们推断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合作小组的4位同学拟订的方案,其中正确的是()A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量组对角是否都为直角D.测量三个角是否为直角2 .如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH1若EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是()A.12厘米B.16厘米C.20厘米D.28厘米3 .如图,在RtABC中ACB=90°,DE、F分别是AB、BC、CA的中点,若CD=5Cm,则EF=cm.4 .如图,在ABC中,点D5E1F分别是AB1BC1CA的中点,AH是BC边上的高.(1)求证泗边形ADEF是平行四边形；(2)求证:NDHF=ZDEF.5 .如图,GEIlHF,直线AB与GE交于点A,与HF交于点B,AC、BC、BD、AD分别是NEAB.zFBA.zABH.NGAB的平分线.求证:四边形ADBC是矩形.实力提升全练拓展训练1 .如图,点P在第一象限,ABP是边长为2的等边三角形,当点A在X轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是;若将ABP的PA边的长改为2,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为.2 .如图,矩形ABCD中,点E,F1G1H分别在边AB1BC1CD1DA上,点P在矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cmlBF=DH=4Cm,四边形AEPH的面积为5cm2,则四边形PFCG的面积为Cm2.3 .(2019山东尊庄四十一中月考)如图,已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且NBAD=ZCAE,求证:四边形BCED是矩形.4 .如图,在。ABCD中,E,F分别是AB1CD的中点,连接AF,CE.求证:BEC合ADFA;(2)连接AC,当AC=BC时,四边形AECF是什么特别四边形？并说明理由.5 .如图,在ABC中,AB=AC,若将ABC绕点C顺时针旋转180°得到FEC.(1)试猜想AE与BF有何关系,请说明理由；(2)若ABC的面积为3Cm2,求四边形ABFE的面积；(3)当NACB为多少度时,四边形ABFE为矩形？说明理由.三年模拟全练拓展训练1 .(2019山东龙口期末,4,幻如图,在矩形ABCD中/BoC=I20°,AB=5,则BD的长为()A.5B.10C.12D.132 .(2019河南郑州八中期末,20,幻如图,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处,假如AB=8,AD=10,那么CE=.3 .(2019河南平顶山试验中学第一次月考,19,幻如图，矩形ABCD的对角线相交于点OjDEIIACjCEIIBD.求证:四边形OCED是菱形.4 .(2019黑龙江哈尔滨六十九中一模,24次汝口图,已知菱形ABCD的对角线相交于。,点E、F分别在边AB、BC上,且BE=BF,射线EO、Fo分别交边CD、AD于G、H.(1)求证:四边形EFGH为矩形;若OA=4,OB=3,求EG长的最小值.5 .(2019江苏南京梅山二中第一次月考,23,)已知:如图,BE、BF分别是NABC与它的邻补角ZABD的平分线,AE"1.BE,垂足为点E,AFJ_BF,垂足为点F1EF分别交边AB、AC于点M和N.(1)求证泗边形AFBE是矩形；(2)求证:MN=IBC.6 .(2019黑龙江哈尔滨南岗一模,21,外如图,四边形ABCD中,AC_1.BD于点。,点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点,连接EF、FG、GH、EH,BD分别与EF、HG相交于点M、N,AC分别与EH、FG相交于点S、K.(1)求证泗边形EFGH为矩形；(2)如图,连接FH,若FH经过点0,在不添加任何协助线的状况下,请写出图中面积相等的矩形.五年中考全练拓展训练1 .(2019上海中考£,*)已知平行四边形ABCD中,AC、BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能推断这个平行四边形为矩形的是()A.zBAC=ZDCAB.zBAC=ZDACC.zBAC=ZABDD.zBAC=ZADB2 .如图,马路AC,BC相互垂直,马路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为()kmkmkmkm3 .(2019黑龙江龙东中考3幻如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,请你添加一个条件:,使四边形DBCE是矩形.4 .(2019浙江衢州中考,18,幻如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD,BC于E,F(保留作图痕迹,不写作法和证明)；(2)连接BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.核心素养全练拓展训练2矩形的性质与判定如图,在四边形ABCD中,AC=4,BD=6,且AC_1.BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形AIBlClD1；再顺次连接四边形AlBICIDl各边中点,得到四边形A2B2C2D2；如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.则四边形A3B3C3D3的面积为,四边形AnBnCnDn的面积为.基础闯关全练拓展训练1 .答案D依据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形门框是矩形.2 .答案C依据题意可知2HF=AH+BF+CF+DH=AD+BC.在矩形ABCD中,AD=BC,故HF=AD.利用勾股定理可以求出HF=20厘米.从而得出AD=HF=20厘米.3 .答案5解析在RtABC中/ACB=90°,D为AB的中点，AB=2CD=10cm,又E、F分别为BC、AC的中点，.-.EF是ABC的中位线,.EfWaB=5cm.4 .证明.点D1E分别是AB1BC的中点，.,DEIlAC,同理,EFIlAB1.四边形ADEF是平行四边形.(2).四边形ADEF是平行四边形，azDAF=ZDEF.在RtAHB中,D是AB的中点,.DH=AB=AD,ZDAH=ZDHAs同理/FAH=ZFHA,.zDAF=ZDHF,zDHF=ZDEF.5.证明/EGlIHF,.zGAB+zABH=180o.ADBD分别是NGAB、zABH的平分线,Z1=zGAB,z4=zABH1.N1+z4=(zGAB+zABH)=×180o=90o,/.ZADB=180o-(z1+z4)=90°.同理可得NACB=90o.BC平分/FBA,.N2=zFBA1又NABH+zFBA=180ol.z4+z2=(zABH+zFBA)WXl80°=90°,BPzDBC=90o,.四边形ADBC是矩形.实力提升全练拓展训练.答案1+3J+5解析取AB的中点M,连接OMFMQP.在RtABo中QM=号二1,在等边三角形ABP中,易求PM=3.无论ABP如何运动QM和PM的长度不变,且在OPM中QM+PM>0P,当OM,PM在一条直线上时,点P距点0最远,此时OP=OM+PM=1+H.将ABP的PA边的长改为2鱼,另两边长度不变，-22+22=(22)2,zPBA=90°,在RtPBM中,由勾股定理得PM=12÷22=5,此时点P到原点O的最大距离为1+5.2 .答案8解析连接AP,CP,设AHP中AH边上的高为Xcm,AEP中AE边上的高为ycm,MCFP中CF边上的高为(4-x)Cm,CGP中CG边上的高为(6-y)cm.由已知得AH=CF=2Cm,又AE=CG=3cm,"S四边形AEPH=SAHP+SAEP=AH×+AEy=2×+3y=5cm2,.2x+3y=10,S四边形PFCG=SAcfp+ScGP=CF(4-x)+CG(6-y)=2(4-x)+3(6-y)i=(26-2x-3y)=(26-10)×=8(cm2).AD=AEf3 .证明在ADB和4AEC中，BAD=CAEtAB=ACt.ADB垩AAEC(SAS),.BD=CE.DE=BC,.四边形BCED是平行四边形.又.NBAD=ZCAE,ZBAD+zBAC=ZCAE+zBAC,即NDAC=ZEAB.(DA=EAt在乙DAC和EAB中，BDAC=EAB,AC=ABf.DACWAEAB(SAS),.DC=EB1平行四边形BCED是矩形.4 .解析(1)证明:.四边形ABCD是平行四边形，.NB=ZD1BC=AD1AB=CD,又E、F分别是边AB、CD的中点，.BE=AB,DF=CD.BE=DF.BEC?DFA(SAS).(2)四边形AECF是矩形.理由如下：二四边形ABCD是平行四边形,.ABIlCD.易知AE=CF,J四边形AECF是平行四边形.又.AC=BC,E是AB的中点，.CE±AB,.zAEC=90°.平行四边形AECF是矩形.5 .解析AE回BF.理由如下：由旋转可知,AC=FC,BC=EC,NACE=ZFCB1ACE=FCB1,AE=FB1ZEAC=ZBFC.AEIBF.即AE与BF的关系为AE0BF.由知ACEwFCB,.Sace=Sfcb又BC=CE,.,.Sabc=Sace同理&CEF=SBCF.,SCEF=SABCF=SaACE=SABC=3Cm2,.S四边形ABFE=3x4=12(Cm2).当NACB=60°时,四边形ABFE为矩形.理由如下：BC=CE,AC=CF,四边形ABFE为平行四边形.AB=AC,zACB=60o,ABC为等边三角形，BC=AC,AF=BE,.平行四边形ABFE为矩形，.当NACB=60°时,四边形ABFE为矩形.三年模拟全练拓展训练1 .答案BNAOB=I80。-NBoC=I80°-120°=60°,因为四边形ABCD是矩形，所以BD=AC=2OA=2OB,所以ABO为等边三角形,所以OB=AB=5,因此BD=2OB=10.2 .答案3解析.四边形ABCD为矩形,AD=BC=10,AB=CD=8,.矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处，.AF=AD=IO,EF=DE,在RtABF中,BF=yAF2-AB2=6,/.CF=BC-BF=I0-6=4,设CE=X,则DE=EF=8-x,在RtECF中,CE2+FC2=EF2,即2+42=(8-x)2,解得x=3.CE=3.3 .证明-.DElIAC1CElIBD,四边形OCED是平行四边形，.四边形ABCD是矩形，QC=OD,.四边形OCED是菱形.4 .解析(1)证明:I四边形ABCD是菱形，.Oa=OCjOB=OD1ABIICD1ADlIBC1.NBAO=ZDCO1ZAOE=ZCOG,.AOEWACOG(ASA)1.OE=OGj同理,0H=0F.四边形EFGH是平行四边形，BE=BF1ZABD=ZCBD1OB=OB,EB02FBO,.0E=0F,.OH=OG,.EG=FH,四边形EFGH是矩形.(2)垂线段最短，.当OEJ_AB时QE最短.OA=4,OB=3,zAOB=90o,.-.AB2=OA2+OB2=25,.AB=5,.jAOB=ABOE,即34=5OE,C匚12QE.OE=OG,.EG=y.答:EG长的最小值是g.5 .证明如图,.BE、BF分别是NABC和NABD的平分线,.z1=z2,z3=z4,.z1+z2+z3+z4=180°,.-.Z2+z3=90°,BPzEBF=90o,.AE±BE,E为垂足,AF_1.BF,F为垂足，.-.ZAFB=ZAEB=90o.四边形AEBF为矩形.(2)7四边形AEBF为矩形，.-.BM=MA=ME1AZ2=z5,.z2=z1,/.ZI=N5,/.MEIlBC,又M是AB的中点，N为AC的中点，.MN=BC.6 .解析(1)证明:.点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点，.EH,FG分别是aABD、ZkBCD的中位线，.EHIBD,且EHmBD,FGIlBD,RFGWBD,同理EFllAClIGH,.四边形EFGH是平行四边形.又.AC1.BD;EFEH,.-.ZFEH=90°,.四边形EFGH为矩形.(2)由(1)得四边形EFGH是矩形，同理,四边形EFKS、四边形SKGH、四边形EMOS,都是矩形，.题图中共有9个矩形,EFH的面积=GFH的面积,OMF的面积=OFK的面积AOHS的面积=OHN的面积，矩形EMOS的面积=矩形OKGN的面积，.矩形EFKS的面积=矩形MFGN的面积,矩形EMNH的面积=矩形GHSK的面积.五年中考全练拓展训练1 .答案C如图,设AC与BD交于点0,.四边形ABCD为平行四边形，.OA=OCjOB=OD,当NBAC=ZABDW,OA=OB1.AC=BDv-ABCD为矩形,故选C.2 .答案D.AC_1.BC,M是AB的中点，.MC=AB=AM=1.2km.故选D.3 .答案EB=DC（答案不唯一）解析.四边形ABCD是平行四边形，.-.ADIIBC1KAD=BC,.,DEIBC,XvDE=AD1ADE=BC,.四边形DBCE为平行四边形.又EB=DC,.四边形DBCE是矩形.4 .解析（1）如图所示,EF为所求直线.（2）四边形BEDF是菱形.理由:.EF垂直平分BD,.BE=DE1BF=DF1ZDEF=ZBEF,-.ADIIBC,.zDEF=ZBFE,/.ZBEF=ZBFEvBE=BF,.BE=ED=DF=BF,.四边形BEDF是菱形.核心素养全练拓展训练解析.点A,D分别是AB,AD的中点，AD是ABD的中位线.1.ADlBDADImBD,同理BClHBDBCIqBD.,.ADIlBC,AD=BC.四边形ABCD是平行四边形，.AC±BD,ACIAB,BDllAD,.,.ABJ.AD,PzBlAlDl=90°,.四边形AlBlClDl是矩形.BD=61AC=4,.BC=BD=3,BA=AC=2,四边形AlBlClDl的面积为6,同理可得四边形A2B2C2D2的面积为3,四边形A3B3C3D3的面积为去由三角形中位线的性质可得,每得到一次四边形,新四边形的面积变为原来的一半,故四边形AnBnGDn的面积为12XC