大题06圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）（教师解析版）.docx

黄金冲刺大题06圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1. （2024山东二模）已知椭圆的焦点分别是用6,0）,巴卜6,0）,点M在椭圆上，且|叫|+四段=4.（1）求椭圆的标准方程；若直线y=区+与椭圆交于AB两点，且求实数A的值.2【答案】（D±+y2=h4（2）述或一述.22【分析】（1）根据所给条件求出db，即可得出椭圆标准方程;（2）联立宜线与椭圆方程，根据根与系数的关系及列出方程求Z即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为E+¥=l（q>b>0）.CrbC=G=2,由题意可知<2。=4,解得<0=1,a2=b2+c2c="所以椭圆的标准方程为=+丁=1.（2）设A（Ai,苗）,8（巧,），如图，y=kx+>2联立方程产,消去九+y2=l4-得（1+4公卜2+80丘+4=0,从而乂必=（处+0）（乜+应）=攵2%玉+岳（+w）+2=,因为OAj=gpx1x2+y1y2=0,rrl42-4/6-4公用以r+7=T=O,1+4公1+421+4公解得Jt=远或一如，22经验证知A>0,所以2的值为诬或一直.222. （2024江苏南通模拟预测）在平面直角坐标系g中，设椭圆0。+营=13>0）的离心率为卓F1,马分别是椭圆的左、右焦点，过B作两条互相垂直的直线4,4,直线4与C交于A,B两点,直线4与C交于O,E两点，且.AKB的周长是4+21.（1）求椭圆C的方程；当|4卸二京。£|时，求二Oz）上的面积.【答案】+尸=14芈3【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出db,得椭圆C的方程；（2）设直线卜4的方程，以椭圆联W,利用韦达定理和AB=1E求出OE和4的方程，再求出0到直线4的距离，可求.ODE的面积.2a+2c=4+2y3【详解】（1）由题意知，£=一，解得=2,b=l,c=1.a2b2=a2-C2所以椭圆C的方程为工+丁=1；4（2）若直线4的斜率不存在，则直线4的斜率为0,不满足IAM=直线4的的斜率为0,则A小鸟三点共线，不合题意,所以直线1的斜率存在且不为0,设直线/,的方程为=my+6,'n设Aa,%),3(工2，%)，则y+必=一一NM=一-F-+1+144.=i+w2(y1+y2)2-4yly2=l+n2.=4d'同理可得IDEI=4(w2+)1+4,zr,AB=-DE,得室*=1.密*解得则阳咚直线I2的方程为y=±2(x-3),坐标原点O到直线4的距离为d=半=应，Sode=-×-×42=-.73233即。DE的面积的面枳为里.3【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.3. （2024河北邯郸二模）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为X轴、轴，且过M（2,0）,Z点.(1)求C的方程.(2)A8是C上两个动点，。为。的上顶点，是否存在以。为顶点，AA为底边的等腰直角三角形？若存在,求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.【答案】(1)二+V=I4(2)存在,3个4m=1【分析】(1)设椭圆C的方程为，/+炉=i(m>o,"O,m"),根据条件得到J3,，即可求出结果；m+-n=4(2)设直线OA为y=履+1,直线。8为y=-!”+1,当Z=I时，由椭圆的对称性知满足题意；当时，联立方线与椭圆方程，求出AB的坐标，进而求出AB中垂线方程，根据条件中垂线自经过点以0,1),从而将问题转化成方程小-7f+=o解的个数，即可解决问题.【详解】(1)由题设椭圆C的方程为m2+"y2=i(m>o,”>o,m"),因为椭圆过M(2,0),N两点,4m=12所以彳3J得到m=7=l,所以椭圆C的方程为二+/=1n+-n=444(2)由(1)知50,1),易知宜线OAOB的斜率均存在且不为0,不妨设即八=左伏>0)，1.=-；，直线。A为N="+1,直线08为y=-4+l,由椭圆的对称性知，当Z=I时，显然有IM=I。用，满足题意,y=履+1当解Wl时，由,消y得到J+*+2=o,+V-=I44所以巧I=-Sk1+4公8公l-4k2h114z8k1一4公yA=7+1=,即A(,-),1+451+4/1+4/1+4公(k2-4)(1+4&2)-(F+4)(1-4/)#.1弘。+4公+公+4)Sk公一4F同理可得双目,分)，所以心8二餐4萨K+4K+48kIM/+41+4公8-8k,1-4/&2-4设AB中点坐标为(，为)，则X1+4/+公+4.12%伏2-1),=1+4/+4=T5公°2(2+4)(1+4Z:2)九一2一(公+4)(1+4/).u/h-md15225kz2k(k2-)、所以A8中垂线方程为尸三函E=-FTT(X-诉Ey),要使一A/M为AB为底边的等腰也角三角形，则直AB中垂线方程过点(O,D,1525k.2k(k2-).mz=7-1d,所以1+m由E=E(F不E3整理得到&-7炉+1=。，令”公，则产-7z+l=0,A=49-4>0,所以f有两根八%J,+2=7>0,½=1>0,即产一7/+1=0有两个正根，故有2个不同的42值，满足/-7f+=o,所以由椭圆的对称性知，当*Hl时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以。为顶点，为底边的等腰百角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【,点睛】关键点点睛：本题的关键在于第(2)问，通过设出宜线DA为N=履+1,口线OB为y=-£+1,k联立椭圆方程求出AB坐标,进而求出真线AB的中垂线方程，将问题转化成真线AB的中垂线经过点。(0,1),再转化成关于A的方程的解的问题.4.(2024广东广州模拟预测)已知椭圆C5+g=l(0<b<2>/I),右顶点为E,上、下顶点分别为4出,G是3的中点，且EBlGB2=1.(1)求椭圆C的方程；设过点。(-4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,点A(-2,T),直线虹附分别交直线X=Y于点尸,。，求证：线段PQ的中点为定点.【答案】上+汇=182(2)证明见解析【分析】(1)通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程;(2)设出自线/的方程并与椭圆方程联立，化简叮出根与系数的关系，求得点P,。的坐标，进而证得线段PQ的中点为定点.【详解】(1)由题可得/=8,E(解),4(0力),4(0,»),七四的中点为G第)miZ(a3b)a23b2.2EB1=(-a,b),=,.b=2,I22J22故椭圆C的方程为+亡=1;82(2)依题意可知直线/的斜率存在，设宜线/的方程为y=A(+4),y=Ar(x+4)由，炉y2消去了并化简得(1+4/)/+32公+64&2-8=0,+-=18264V-8+4k2由A=lO2444-40+4k2)(64公-8)0,得左？：,一；左g.设M(XN(XN,%)，贝j+=-=1十rK依题意可知直线MANA的斜率存在,直线ma的方程为j+1=Wla+2),xM+1.-XM-4-22屈+4)-XM-4%+2+2_(-2-l)xw-8-4_(-2-1)(xm+2)-4-2_4A+2=Zac-1,%+2xm+2xm+2，就+2同理可求得y0=-21.-=7,XjV+Za.C44+242+2/7c/cJ11'/.Vp+yn=-4-2=-4k-2-(4k+2)÷如+2+24知+2xn+2J=-4Ar-2-(4+2)0：/+4_+2(+)+4“23E1+4公32k2I1+4%=4-2+(4k+2)=0,+4.线段PQ的中点为定点(T,O)【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5.(2024辽宁二模)平面直角坐标系XOy中，面积为9的正方形ABCD的顶点A8分别在K轴和轴上滑动，且OP=gA+*8,记动点P的轨迹为曲线求的方程；(2)过点E(4,l)的动直线/与曲线交于不同的两点M,N时，在线段MN上取点。，满足IEMHQNI=IQMl区V.试探究点。是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由.【答案】工+工=143(2)点。在定直线上，定宜线方程为3x+y-3=O3【分析】(1)设点P,AB的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得X=X°2,结合正方形面积得的方程;%=5(2)设，：y=H+l-4A,Q,M,N的坐标，与椭网联立并根据韦达定理得M,N横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得M=言，化简得X1.筌,代入直线方程即可先，从而求出定直线方程.【详解】(1)设P(XM,A(%0),8(0,%),由00=：04+*03=：(%0,0)+*(0,%)=(,及,先)，所以3=2xy0=y因为正方形ABCO的面积为A82=9,即¥+$=9,所以幻?+(退y>=9,整理可得?+(2FGy=y>o因此C的轨迹方程为%?1.(2)依题意，直线/存在斜率，设/：y-=k(x-4)t即y=Ax+l-4A,设点Q(M,%)，M(%,yJ,N(x2,%)(%<<),y=kx+-4k,3/+4./=12,消，'得3”+4(行+1-4Q2=12,即(3+Ak2)x2+81(I-4k)x+4(1-4)2-12=O,由=642(l-4)2-16(3+42)(l-4A:)23116(1-42)24&2-(3+4阴+48(3+软2)=48(3+软2)一(1一4&)2=48(-2+弘+2)=96(-6公+必+1)>0,可以得到立我女之我,66所以女工一3,rza8Ar(l-4)4(1一4幻2一时可得i=Fh中2=3+一由IEMlQV=QMEN,得瑞瑞,可得4($+%)-2工也8-(x1+x2)4版(14-3+42-24(1一44)2-12-3+4公8%(1-4幻3+422_-32攵(1-42)-8(1-的+24-32Z+128r-12弘:644-8+2424+32公+8女一24公16+32A2+4A24+8/-3+A所以%=5+1-4&=2k+4k2(l-%(3+k)_39k3+攵3+攵因为3%+No=3+k3+k所以点。在定直线匕定直线方程为3x+y-3=0.6. (2024福建厦门三模)在直角坐标系Xay中，已知抛物线。：丁2=2其>0)的焦点为尸，过尸的直线/与C交于M,N两点，且当/的斜率为1时，IMNI=8.(1)求C的方程；(2)设/与C的准线交于点P,直线尸。与C交于点Q(异于原点),线段肋V的中点为R,若QR3,求AMNQ面积的取值范围.【答案】丁二44(2,6对【分析】(1)先设/的方程为x=w>'+5,M(Al，凹)，N(w,%),联立直线9抛物线方程，结介韦达定理及抛物线定义即可求解；(2)先设出R(2病+12)，进而可求P,。的坐标，可得直线QRx轴，求出IQM的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】(1)不妨先设/的方程为x=my+/,(x,y1),N(A2M),RAy2=2px,y2-2mpy-p2=0,所以乂+%=2，叨，yiy2=-P2，则flV=M+x,+p=m(yl÷y2)÷2p=2w2p+2p,由题意可知当斜率为1时，m=,又IMNI=8,即2p+2p=8,解得P=2,所以C的方程为V=4x；(2)由(1)知=2,直线/的方程为x=my+l,抛物线方程y2=4x,y1+y2=4w,y,y2=-4所以A的纵坐标MJ二4产=2帆,将R的纵坐标2m代入x=my+l,得片2加+1,所以/?的坐标（2病+1,26）,易知抛物线的准线为4-1,又因为/与C的准线交于点P,所以P的坐标f-h-l则直线OP的方程为x=y,tn）2fi把x=5y代入y2=4x,得丁=2叱，即y=2m或y=0,因为点。异于原点，从而。的纵坐标为2z,把y=2m代入x=£y,得X=£y=n?,所以Q（病,2。，因为R的坐标（2布+1,2?），所以我，。的纵坐标相同，所以直线QRx轴，且IQM=I21+1-病口病+“，所以4MNQ面积SMNQ=Smrq+S陈Q=JSlE-必|，因为E-）'2=（y+y2）2-4y%=16+16,所以IX_%=J16人I+16=4>fn2+1>所以SMNQ=+1×4W2+1=2（w2+1）2=21QRF,因为点2异于原点,所以加工0,所以M+>o,因为°M3,所以1<QM3,所以2<2Q娘63，即MNQ面积的取值范围为（2,7. （2024浙江丽水二模）己知抛物线氏炉=4彳，点AB,C在抛物线E上，且A在X轴上方，B和C在大轴下方（4在C左侧），AC关于X轴对称，直线AA交X轴于点M,延长线段C8交4轴于点。，连接QA.OM（1）证明：烧J1为定值（O为坐标原点）；Q（2）若点。的横坐标为-1,且MBMC=g,求AQB的内切圆的方程.【答案】1（W+y【分析】（I）根据已知条件作出图形，设出直线AB的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB的方程，利用直线的斜率公式及宜线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线A8的方程为x=wy+，（0）,A&,y）,8（/,%），则C（X,f）,M（f,O）,x=my+t,',消去”,得y-4my-4f=0,y=4x=16（m2+f）>0=P+f>0,所以乂+为=46/%=一，直线BC的方程为y+x=2k±21.（X-%）,化简得y=迎AfJ2-Ji必一K令y=o,得XQ=竽=,所以。（,0）因此|。ITIT（2）因为点。的横坐标为T,由（1）可知，Q（T,0）,M（1.O）,设。4交抛物线于。，Aa,y）,8（再,必）,。（和-5）,。（题，必），如图所示又由（1）知，=-4,同理可得乂乂=4,得乂=一处，又百+x2=myl+l+m>+1=w(y÷y2)+2=4w2÷2,"=OM=I4416又例8=(9一1,%),"。=(芭一1,一切)，则MBMC=x2-)x-l)-yJ2=XA-(Xl÷2)+1+4=4-4wi2,故4-4*=号,结合n>0,得Wl=也.93所以直线A8的方程为3x-6-3=0,又y-必=J(y+%必=S6病+16=g，二乂一乂二一乂,二4二4一3则A°X1-X4XIf2l_A凹+乂y-y24,44所以直线A。的方程为3x-4y+3=0,设圆心T(s,O)(TVS<1),因为QM为NAQB的平分线，故点T到直线AB和直线AO的距离相等，所以色±3=四T,因为TVSV1,解得S=I故圆T的半径因此圆T的方程为卜一+V=S.8.(2024江苏苏州模拟预测)已知点41。，B(O,1),C(I1)和动点P(x,y)满足/是尸4PB，尸APC的等差中项.(1)求产点的轨迹方程；设P点的轨迹为曲线Cl按向量平移后得到曲线。2,曲线G上不同的两点MN的连线交轴于点。(0力)，如果NON(O为坐标原点)为锐角，求实数6的取值范围；(3)在(2)的条件下，如果b=2时，曲线G在点M和N处的切线的交点为?,求证：R在一条定直线上.31【答案】(i)y=/-；x+；(2)人<0或力>1；(3)证明见解析.【分析】(1)根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，由平移公式可得加线G的方程，然后当直线MN的方程联立，由平面向心的夹角公式，代入计算，即可得到结果；(3)根据题意，求导可得在点M,N处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)由题意可得PA=(ITPB=(TJ-y),PC=(l-x,l-y),则PAP8=(1_1)(_©+()，)(1_y)=x2+y2_4_y,P4PC=(l-x)(l-x)+(-j)(l-y)=x2+y2-2x-y+l,又丁是尸aP8,P4PC的等差中项，.(x2+y2-x-y)+(x2+y2-2x-y+l)=2y整理得点p0,y)的轨迹方程为y=2-+(2)W.31由(1)知C：y=fXH,22又TVq，平移公式为，y=y+-代入曲线Cl的方程得到曲线C?的方程为：即yii=2.曲线C2的方程为y=Yj_2,3,3-X=X+1日nJ41',1,V=V6-16VV=k+Hk+H,如图由题意可设M,N所在的直线方程为，=履+,x1+x2=xlx2=-b由仁展+产去y得1fs令"(，)，N(X2,%)(%),则'>°，即湍森>°'OM=,yj=(x,k),ON=(再,%)=卜2,名)，f)CN又ZMW为锐角，：.COSNMON=WUIOMIONl.-b+(-b)2>O,得力<0或b>l.(3)当力=2时，由(2)可得xl+x2=kxix2=-b=-2对y=d求导可得y=2x,抛物线G在点,.M=(3,M),N(W,考)处的切线的斜率分别为=2占，在点M,N处的切线方程分别为儿：了一52=2%(工_5)，&：、一考=22(工一工2)，V-A-,=2-1(-x1)解得交点R的坐标(x,y).y-×2=ZX2(X-X2)内+X22即y=%_k_满足X=2，.R点在定宜线产-2上.y=-2【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9. (2024江苏南通二模)己知双曲线E的渐近线为y=±*x,左顶点为(1)求双曲线七的方程;直线/:x=f交X轴于点。，过。点的直线交双曲线E于3,C,直线AB,AC分别交/于G,H,若O,A,G,，均在圆户上,求。的横坐标;求圆尸面积的取值范围.【答案】二一丁=13俾.;S>密且SH=4I164【分析】(1)根据渐近线方程及顶点求出得双曲线方程；(2)设0&O),由四点共圆可和&八gG=1，根据斜率公式转化为民。点坐标表示形式，由此线9双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出h求出G点坐标得出OG,利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】(1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在X轴上，可设双曲线的方程为=1(>0,b>0),从而渐近线方程为：y=±-x,由题条件知：2=虫.aa3因为双曲线的左顶点为4卜6,0),所以a=布,b=t所以双曲线的方程为：y-=l.0(八0),设直线BC的方程为：ny=x-ti将X=%，+1代入方程：2-3-3=0,得(m23)9+2，。，+*3=0,当初2一3工。且A=12("+z-3)>o时，设5(py),C(2,j2),则以+力=一言，2=4m-3m-3设直线AG的倾斜角为1,不妨设0<<,则NAGH=5a,由于。，A,G,77四点共圆知：/HOD=ZAGH,所以宜线OH的倾斜角为-,心G直线AC的方程为：y=7r('+")令X=f,则y=Cf),从而Hlx2+3(巧+。3J所以G=7鬲'又得:Ur黑哥g('+外*=g+6)n+g)'又x1=my+/,%=根为+，代入上式得:(1+>)yly2=+1+>)(wy2+r+3),=>(r+3)yly2=/nG可=%2+"-6)含+«+娉化简得：4r+33r-3=0,解得：t=-诉(舍)或”立.4故点。的坐标为乎，。).直线AG的方程为y=tana(x+G),由知：r=#,所以G俾,乎tana.44I直线O"方程；y=一一工,tana所以Hf乎'I-144tana若G,”在X轴上方时，G在的上方，即tana>O时，地tan>及一：44tana若G,”在X轴下方时，即tana<O时，空tan(xX,44tana所以tana>或tana<-.55又直线AG与渐近线不平行，所以tana士且.3因为OG所以0<a<11,tana>Ctana<Ktana±设圆P的半径为/?,面枳为S,贝1.OG,J3(l+25tan%),SinaSina所以R3(l+25tan2a)(1÷25tan2a)(sin2a+cos2a)64sin2a64sin2a3=X64+25tan2«)1+tan2a3(C，1.=25tan%+tana64-4-+26tanatan2a+26tana27二正'当且仅当25ta112。即tana=土且时，上述不等式取等，,tana5yj5-产y/S口y/3tana>或tana<1.tana±.553所以片>二且从而s>等且Sr=.164164【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出1这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.2210. (2024江苏南京二模)己知抛物线Uy2=2px(p>0)与双曲线E:5备=1(0>0,b>0)有公共的焦点尸，且P=4).过尸的直线/与抛物线C交于A,B两点,与E的两条近线交于P,Q两点(均位于y轴右侧).(1)求E的渐近线方程;(2)若实数4满足丸f_、JP+OQ,MFIIBFl,求义的取值范围.【答案】(l)y=±冬。窈【分析】（I）由两曲线有公共的焦点凡且P=4人得c=2b，”回，可求渐近线方程：（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出j*1.1和1；尸I一j""p由j11求义的取值范围22【详解】抛物线C：y2=2px（p>0）与双曲线E:=-4=1（>0,。>0）有公共的焦点产,ab设双曲线E的焦距为2c,则有=c,又p=4b,则c=3.由a?+从=/,得口=有，所以E的渐近线的方程为y=土冬(2)设/:x=my+c,P(,yl),(x2,y2),/与E的两条近线交于P,Q两点均位于），轴右侧，有病<3,由，X=my+c3，解得y=y=±丁j3-m-y3-m+=+=OPOQ2y12y2I>3-n+1->/3-n-m-(->3-n)右设A（XPy3），8（/，丁4），由X=my+c,C，消去X得k-2/WlX-=O,y=2p则有+M=2pm,%”=/，J1_AFBFJi+/1%Vl+w2y4I国TMl+w2l>l>41l%+>=12M=2Im2Jl+/y3y41+zw2P2PVw2+1有4=半展i即收二层i'由相2<3，有J5Ae所以4e0,(解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.11. (2024重庆三模)已知F(2,0),曲线C上任意一点到点尸的距离是到直线x=g的距离的两倍.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C的左顶点为A,直线/过点F且与曲线C在第一、四象限分别交于M,N两点，直线AM、AN分别与直线X=T交于P,H两点,。为PH的中点.(i)证明：QhMN；(ii)记-夕例。，"NQ,4MNQ的面积分别为S-52,S3,则与2是否为定值？若是，求出这个定值；d3若不是，请说明理由.【答案】/-£=1(2)(i)证明见解析；(ii)是，I【分析】(1)设曲线C上任意一点坐标为(x,y),利用坐标可得曲线。的方程；(2)(i)设直线MN：x=my+2ff(x1,y1),N(X2，%)，联立方程组可得X+必，Xy2=h'3"厂137w1求得直线AM：）'=告Ta+1），求得P,H，进而可得。的坐标，求得尸。的坐标，直线MN的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.3（ii）法一：利用可求得IMNI=,J）：IQFI=MP1.进而可得S,=5”吗出曰=等篝，进3而求得S+S2=4P"（+2T）,代入运算可求得&+S,="上上X，可求结论.4-4（l-3）法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，IMPI=2、-鼻，同理PV/I=212-£），计算可得51+52=v,又S3=3"nq尸笠*黑，进而计算可得结论成立.O254QF【详解】（1）设曲线C上任意一点坐标为（X,），），则由题意可知:(x-2)2+y2=41X-I=>x2-4x+4+y2=4x2-4x+l=>x2-=1,故曲线C的方程为f-1=(2)(i)设直线MN：x=my+2t(x1,yl),N(2,%),其中邛皿孝且e，ex=my+23f_y2_3=O=(3-l)/+12阳+9=0,故x+%=一12/n3w2-19x%二罚;直线AM：）'=等T（H1），当'时，=同理唱，时，。为PH中点,M13故%W九+1+”、_3乂(4+1)+%(内+1)4(1+1)(x2+1)(x1+1)(2+1)=(wv1+3)(ny2+3)=m2y1y2+3/n(,y1+y2)÷9=9w2-36n2+9(3"-1)_93m2-I3w2-l(*)13zn2,V33m2,2（ii）法Iy-%|=（+必卜纣跖=144-36(3m2-l)6>j+m(3m2-1)21-3w2*)y,(x2+l)+j2(x1+l)=y1(my2+3)+%(彷+3)=2my,y2+3(y1+y2)=1骋3器=.Jtn1Dtn1,318/3/w口”八故”二屋丁=3'即°直线MN的方向向量二(/1),aF0=言+Sl+52=gP砒斗-:卜gl"。卜卜2卜:P"(X÷x2-1)=0,故QF1.MN.3y+m22故IMNI=J1+*I)1.y2=6；：)；IQpk3又QF1.MN,故S3=3MN|MH=2211-3nIl-3x,+x2-l=w(y1+j2)+3=_2初2+96233(1+加2)3w2-1I则=x2+1)2(1+l)(x2+1)_3%(my2+3)-y?(my+3)9(1+1)(x2+1),一）22(+1)(2+1),由（*）知+i）（z+i）=匚，由（*）知|凹_必卜密R*W13m故IPM961+w21-3w221-3小故sl+s2=j31+"3l+m2)9(1+w2)l-3m24(l-3m2)rlS,+5,1，则一二5d3,法二：（利用双曲线的第二定义）由(1)知，MP=21故S+S2=；|叫+s-)=/M(M/+M)4phmM,Qbo1.l1Sl+S,1PH又S3=5MNQ%故丁丁百、又回)“=；/背4(xl+l)(x2+l)9且由(*)知l%l='&i=,记直线P”与X轴相交于点,3-l由阵力|=(可得IPKHHKI=I尸K，即,哥=周，即4PKFspa,故PFlHF；又。为PH的中点，故I。Pl=4P",即=邑=4累=；.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程.笫二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式:计算一元二次方程根的判别式>()(有些题可不考虑).第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出.第五步：根据题设条件求解问题中的结论.有些运算量大，转化是关健，运算求解能力也是考查点之一.12.(2024河北二模)已知椭圆七:*+(=l(>b>0)的离心率e=华(1)若椭圆E过点(2,&),求椭圆E的标准方程.(2)若直线心4均过点?(以，。乂。<外<。，£)且互相垂直，直线4交椭圆E于AB两点，直线A交椭圆E于C,O两点，M,N分别为弦AB和Co的中点，直线MN与X轴交于点Q(%0),设%=5.(i)求3(ii)记4=P,求数列IJkJ前项和加【答案】4+4=1842Q(2)(i)乙=产；Ci)Sn=(3n-).【分析】(1)根据椭圆的离心率得到力之间的关系，再结合椭圆过点(2,五)，求出从的值，从而得到椭圆的方程.(2)(i)利用根与系数的关系及中点电标公式求得点M,N的坐标，再根据KMQ三点共线得%p.之间的关系；(ii)求得耳，并利用等比数列的前项和公式求得S.【详解】(1)因为e=£=也，a1=b2+c2,所以/=2/，a2所以椭圆E的方程为£+=1,2bb因为椭圆E过点(2,&),所以奈+/1，解得从=4,所以椭圆E的方程为丫+匕=1.84(2)(i)当直线44中一条宜线的斜率不存在，另一条直线的斜率为。时，直线MN叮X轴重合，不符合题意.故直线Z14的斜率均存在且不为0.联立方程,东+方曰y=k(x-pn)设直线4的方程为y=k(x-PMk0),A(XI,M),B(x2iy2),M(xm,yM),N(,%),消去丁并整理得(1+2k2)x2-4k2pnx+2k2p-2b2=Ot因为白:线与椭圆相交于两个不同的交点，所以>O,根据韦达定理得，*“溪年=2k?p：-2b2pK+2k21+2同理可得k2+2_Pnkk2+2因为M,N,Q三点共线，所以以（4%）=（%-加）（/-4），易知外Zw。0，2p*2Pnk2p”-Pnk则/=KMX，-2,W=1+2人二切+2/+21+2/二2%犷珀-Pnk-P#"3公+2l+2k212因为P"踵，所以乙=诃121（ii）结合（i）可知q二|PQl=。日诞一F1二到，所以,二3"，%所以数列,是首项为9,公比为3的等比数列，lan）所以数列，的前项和S“=也二力=2（3"-1）.an1-32【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题.其中关键点是联汇If线与椭圆的方程，根据韦达定理和M,MQ：点共线，求出点Q的坐标,从而得到储13.（2024辽宁沈阳二模）以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为而和J,。为大圆上一动点，大圆半径OP与小圆相交于点民PP_1.X轴于P,BBuPP于B',8'点的轨迹为C.（1）求3'点轨迹。的方程;点A(2,l),若点M、N在C上，且直线AM、AN的斜率乘积为枭线段MN的中点G,当直线MN与y轴的截距为负数时，求NAoG的余弦值.【答案】1+J=63.迎10【分析】(1)设*(x,y),NPOP=6,根据条件得到,消元即可求出结果;x=Pcos3=fcosy=|。叫Sin。=VJsin。(2)法一：设Ma,y),N(毛,%),直线MN的方程为y=H+",联立直线MN与椭圆方程得到(1+2-)f+4knr+2"z2-6=0,由韦达定理得当+电=j小=筌芸，根据题设得到直线MN的方程为y=-g+m,再利用点Ma,y),N(毛,%)在椭圆上，得到自G=I,从而有OG与y轴负平轴所形成的火角为。=彳，再求出Oi与工正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设Mn,y),N(z,%),直