大题06 函数与导数的综合问题（解析版）.docx

大题06函数与导数的综合问题1 .利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，多以解答题的形式出现，为压轴题，难度较大.2 .导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等.3 .导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型：Q)判断、证明或讨论函数零点的个数；(2)已知零点存在情况求参数范围；(3)函数零点性质研究.球H题H突H破I大题典不等式恒成立或有解问题已知函数/(x)=x2-(+l)ln尤若/(x)(2-)111；1对.1«1,+«)恒成立，求a的取值范围.【解题指导】份离参数If构造函数状幻=工T函数g*)求导H分析g(X)在Q÷o°)上的单调性H求g*)的InXl最不回一解不等式求a的画I【解析】由/(x)(1)lnx对XG(I,÷oo)恒成立，得/+工对工e(,y)恒成立Inx【卡壳点】分离参数，构造函数设g)=1,>),则g)=n蒜2(l,e),(x)<0t当xw(忘+)时，,(x)>O.【易错点】注意定义域要求所以M=M闷=2e，则/+12e,解得-J2e-1aJ2e-1,故a的取值范围是-怀二I"二口.>»»解接族导1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为“>"r)ma、或Vx)min的形式，通过导数的应用求出人工)的最值，即得参数的范围.2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.>»»49变式已知函数/(x)=ex(2+*+2)(eR),其中e是自然对数的底数.若/(x)/在区间-2,0上有解，求实数。的取值范围.【解题指导】函数导数f转化为含参二次函数f分类讨论问题求出函数的最小值f最小值不大于二列e'不等式求解【解析】若)m在区间-2,o上有解，即求/(X)而f,M=eA(X2+20r+%)+eA(2x+2a)=3。+2)(x+2)【卡壳点】分界点的寻找，比较两根2。,2的大小引起当。=1时，r*)=e%x+2)20,/(x)在R上单调递增，所以“X)在-2,。上的最小值为/(x)min=/(-2)=e-2(4-4+2)=-<不成立，故不满足题意.当“<1时，由f(x)>0得XV-2或X>-2a»由f(x)<0得一2VXV-2a»所以/(x)在(to,-2),(-2«”)上单调递增，在(-2,-2)上单调递减，若o0时，则函数F(X)在-20单调递减，所以f(力.=f(O)=e°加=%/成立，满足题意若0<<l时，函数"x)在-2,-2可单调递减，在-次,0上单调递增.所以"x)min=-2)=e32a/,.l+竽>1不成立，舍去，当4>l时，由/(x)>0得JVV-勿或>-2,由/(x)<0得-2vx<-2,所以/(x)在(F,-2a),(-2,小)上单调递增，在(-加,-2)上单调递减.所以函数/(x)在-2,0单调递增，/(x)Mn="-2)=e-2(4-2),所以g综上的取值范围为8(-,0J*xo)>»»后”模拟1 .已知函数G)=e2+20r+2)(R),其中e是自然对数的底数.若/(x)在区间-2,0上有解，求实数的取值范围.【解题指导】函数导数一转化为含参二次函数一分类讨论问题求出函数的最小值一最小值不大于二列e不等式求解【解析】若/(x)E在区间-2,0上有解，即求A*/,f,(x)=eA(x2+2av+2)+eA(2x+2)=ex(x+2«)(x+2)【卡壳点】分界点的寻找，比较两根2。,2的大小引起当。=1时，,(x)=ex+2)20,/(力在R上单调递增，所以/在-2,0上的最小值为&1.=(-2)=e2(4-4+2)=卷q不成立，故不满足题意.当aVl时，由/(x)>O得x<-2或x>-2”,由/(x)<0得一2<%<-2«,所以"x)在(f-2),(-2。,”)上单调递增，在(-2,-2)上单调递减，若0时，则函数/(x)在0单调递减，所以/(x)min=/(0)=-2=2£成立，满足题意若0vi<l时，函数Fa)在-2可单调递减，在-功0上单调递增.所以)min=(-2)=e32/,i+竽>1不成立，舍去，当。>1时，由/(x)>0得一勿或X>-2,由/(x)<0得Q<xv-2,所以“x)在(-,-24),(-2,÷)上单调递增，在(Q,-2)上单调递减.所以函数/(另在-2单调递增，/(X1.=/(-2)=e-2(4-2),所以g综上的取值范围为S*÷)2 .(2023北京朝阳一模改编)设,小:)=1+加,虱幻=3一好一3.如果对于任意的“t三I,都有,AS)Nga)与成立，求实数”的取值范围.函数求导，一利用单调性求力(X)ZIf夙示等式求参【解析】对任意的S,匕有AS)g(f),则凡r)min才g(x)ma.2【卡壳点】将恒成立或有解问题进行等价转化gr(x)=3x2-2x=x(3x-2),21令g'(x)=U,得X=O或X=F知当XW匕,2将g(x)max=以2)=1,J2；当£匕,2时，兀r)=E+xhQl恒成立，即1恒成立.【注意点】将不等式恒成立问题等价转化分离参数令z(x)=-/加工，,2,:h'(x)=l-2xln-t2令3(x)=l-2XhIX-X,(X)=-3-2InXV0,/(X)在己,2上单调递减，又1(1)=0,2当x1.,2时，h,(x)>0,当xl,2时，h,(x)W0,2加幻在已上单调递增，在1,2上单调递减，2i(x)nax=(1)=1>故1.,实数。的取值范围是1,+«).>»»后”真题(全国甲(理)卷T21节选)已知/3=Or-W1.,%(,?,若/S)sin2x恒成立，求。的取值范围.【解题指导】移项构造函数f函数求导并化简f二次求导f计算二次导函数的最大值f与O比较大小f确定的分界点f对参数讨论f等价转化求解【解析】设g。)=/(X)-Sin2xg(x)=/(x)-2cos2x=(r)-2(2cos2x-l)=+-2(2t-l)=+2-4/+-、23设(t)=+2-4/+rtt【技巧】在一次求导以后，仍无法确定单调性时，可构造新函数进行二次求导，,、zl26-4r3-2r+62(f-l)(2+2f+3)八()=-4-+-=-½i>0t1rrr所以奴，)V。二。-3.若(-oo,3,g<x)=")v-30即g()在(o.?上单调递减,所以g(x)<g(0)=0.所以当w(-,引J(x)<sin2七符合题意.2。若q(3*),zO,-=-3-+-oo,所以以f）0,e（l）=-3>0.所以（0,1）,使得/。）=0,即却（0弓）使得（小）=O.当，£（“）M"。,即当Xe（O，/）名（工）>。心（幻单调递增.所以当XG(O,%),g(x)>g(0)=0,不合题意.综上的取值范围为（,3.大题典例2导数与不等式的证明已知各项均为正数的等比数列的首项DCicZ¾Cit（1）求数列4的通项公式;/、4（2）已知数列q的前项和S.,证明：1<-.【解】(1)设数列,的公比为q.一，116116因为一+=-f所以+=一,出为%q%q,qJ1,故一+r=6,qq-解得q=g或q=_g.又数列4各项均为正数，所以夕=-：舍去，故q=g,所以凡=；X击.证明：由，得q=gx券，则S"T5+弄>,+券)lcIfl23吟-S”=-rHrH+H1,2"3<2l2223T)51OI1.lll1)两式相减得=3(+2+2t+2+27t27J因为耍o,所以s”=g(2-甯)<(»>»翩让旄导利用导数证明不等式问题的方法直接构造函数法：证明不等式式x)>g(x)(或共幻Vga)转化为证明人工)一g(x)>O(或fix)-g(x)<O),进而构造辅助函数t(x)=y(X)g(X).适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.»>»44变式已知函数人X)=InX+x.,证明：xfix)<ex.InXexmX【解题指导】(x)Vex-1+X<2f构造函数g(x)=l+X*函数g(X)求导f分析单调行f求g(x)maf构造函数MX)=P-函数MX)求导一分析单调行-Mx)min*比较可得【解析】要证Mu)VF,即证/+WnXVeS即证1+乎【技巧】两边同除X2,隔离为两个相对常见的函数令函数g()=+竽，则/(X)=X令g'(x)>0,得x(0,e);令g'(x)v,得XWa÷).所以g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，【易错】忽视对数的定义域所以g(x)n三=g(e)=l+-,AFjkCexwfex(-2)令函数MX)=?,则A'(X)=-1p-<当XW(0,2)时，h,(x)<(h当W(2,+8)时，ht(x)>0.所以MX)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，e2所以(x)min=(2)=-J.因为1(1+')>°，所以,l(x)min>g(x)max,eInpr即1+詈专，从而研X)Ve得证.>»»4”模拟1 .已知函数4X)=I乎，g(x)=一点+x证明：当QI时，«r)+g(x)W2 InXe1【解题指导】/U)+g()2*移项化简-构造函数MX)=I一二I一赢一；+f函数A(X)求导一分析单调行一利用Mr)2Zl(I)=Of得到结论【解析】*r)+g(x)2j=I-乎一点一：+Q0.令/心)=1一华一看-3+x(Q1),【卡壳点】作差构造函数/3=1-乎一点一:+-1InX,e.1.Inx.e,则/(l)=0,hf(x)P+/+?+1=J+亚+1因为左1,所以川(X)=¥+/+1>0,所以力(幻在1,+8)上单调递增,【提醒】注意定义域范围所以(X)NMl)=0,即1一乎一点一打Q0.故当Ql时，f(x)+g(x).2.已知函数凡r)=eS当x>-2时，求证："r)>ln(x+2).【解题指导】构造函数g(x)=e-x1-函数g(x)求导一分析单调行一求g(x)min-构造函数令MX)=X+1一Ill(X+2)f函数A(X)求导-分析单调行fMx)mgf放缩可得【解析】设g(x)=yU)-(x+l)=e"-X-I(X>2),则/Cr)=F-1,当一2VXVo时，g,(x)<0;当x>0时，8,(x)>0,即双幻在(-2,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，于是当X=O时，g(x)min=g(0)=0,因此X)NX+1(当且仅当X=O时取等号)，【卡亮点】利用工+1作为中间量，进行放缩令i(x)=x÷1ln(x÷2)(x>-2),Ei,1r+1则"Im=羊则当一2<v-l时，h,(x)<0,当>一1时，h,(x)>0,即有加好在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，于是当X=-I时，(x)min=(-D=O,因此x+12III(X+2)(当且仅当X=-I时取等号)，所以当X>2时，x)>ln(x÷2).【易错点】注意取等号的条件>»».4真题(2023新课标全国II卷T22第(1)问)证明：当OVXVl时，x-x2VSinXVX【解题指导】分别构建MX)=ASinX,xe(0,l),Ga)=X2r+sinx,x(0,l)f分别求导f利用导数判断原函数的单调性f最小值大于Of确定结论【解析】(1)构建尸(X)=XSinX,xt(0,l),则厂'(x)=lCoSX>0对WXW(0,1)恒成立,则Pa)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(O)=0,所以x>sinx,xc(0,l)；构建Ga)=SinX-(x-x2)=f-+sinx,x(0,l),见JG'(x)=2x-l+cosx,xw(0,l),构建g(M=G'(x)e(O,l),则g'(x)=2-sinx>0对DXe(O,l)恒成立,则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)=0,即G(x)>0对Dx(0,l)恒成立,则G(X)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(O)=O,所以SinX>x-2,(0)；综上所述：x-x2vsinxvx.大题典例3导数与函数的零点(2023北京密云三模改编)已知函数/(x)=e'-奴+e?若f()有两个不同的零点，求，的取值范围.【解题指导】/O)求导一分。0和。0讨论由几何意义得"-ln+e2<o-构造函数7()=-mna+e2一对MG求导一利用导数得到()的单调性得"的取值范围.【解析】因为/()=S-%当0时，有广。)>0,/V)在R上单调递增，此时/(x)无两个零点；当0>0时，当戈ChW时，,(x)<0,/(*)单调递减；当x>ln时，,(x)>0,/V)单调递增，因为当X-8时，f(X)+.当Xf+8时，f(X)+,所以要使函数fS)有两个不同的零点，此时需/(x)min=/(In。)<0,即a-alna+e?<0,不妨设M4="-ln+e2,函数定义域为(0,+,可得"()=_InaT=Tn%当O<vl时，/（八）>0,Ma)单调递增；当时，"()<0,(。)单调递减，且当OVaVl时，h（八）=a(-na)+e2>0,又仔)=0,所以当>e?时，Ma)<0,综上，。的取值范围为卜2,口).>»»解接族身1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与X轴(或直线y=A)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；第三步：结合图象求解.2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.>»»变式1.已知函数4X)=Xlnx(a>O).求函数g(x)=$2-ax大外的零点个数.【解题指导】g(x)求导f求g(l),g(2o+3)及符号f对。分类讨论f利用导数研究函数单调性，确定零点个数【解析】由g(x)=x2-ax-x+anx=x2-(a+l)x÷alnx,可得/(X)=X-(÷1)÷x2-(a+l)x+a(-IX1.a)=X=X，令g'(X)=O可得X=I或X=O,因为g(l)=2-a-1=-a-2<0>g(2a+3)=*2a+3)2(a+l)(2a+3)+aln(2a+3)=a+aln(2a+3)+:>0,当a>l时,跃工)在(1,公上单调递减，所以g(l)>g（八）,所以g（八）v,所以g(x)有一个零点，当”=1时，g(x)在(0,+8)上单调递增，所以g(x)有一个零点，当OVaVl时,g(x)在(0,)上单调递增，在5,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，此时g（八）=2«2*(a+l)a+alna=-al-a+ana<0,g(x)只有一个零点，综上所述，g(x)在(0,+8)上只有一个零点.2.已知MX)=hu+ar+2.求g(x)在(2eT,10)上的零点个数.【解题指导】零点个数一。与.v=+2x在(2e-l,10)上的交点个数一令*X)=F2x一利用导数判断原函数的单调性和值域f确定零点个数.InY【解析】今g(x)=O,由X>O,所以山+ax+2f=0,可得一。二一+2x,X原题意等价于产-。与>=华+2x在(2e-l,10)上的交点个数，令%)=*2x,则尸，(X)=组詈工(x)=2x2+lnr-l,>lHt,MX)在xl上单调递增，所以(x)>Ml)=2xl2+ln"l=l>0,即尸'(x)>0,所以尸(4)在(1,+8)上单调递增，由(2e-l,10)q(l,÷x),所以尸(力在(2e-l,10)上单调递增，所以F(2e-1)<尸(x)<R10),即号三7+2(2e-l)<Rx)<*+20,ln(2e-l),、InlOb11InlOln(2e-l),当-+2(2e-l)<-a<+20,即20<a<-2(2e-l)Bj,2e-lv710102e-lv7则F(X)=3+2X与y=r在(2e-l,10)只有一个交点，此时g(x)在(2e-l,10)上只有一个零点:当一aF(10)=喘+20或一aF(2e-l)=+2(2e-l),即a一曙20或ln(2e-l)(2e-l)-2(2e-l)时,则Fa)=?+2x与y-在(2eT10)无交点，此时g(x)在(2eT,10)上没有零点；综上所述：当一嚅一20<”-华W-2(2e-l)时，g(x)在(2eT,10)上只有一个零点;102c1当o-20或-黑三?-2(2e1)时，g(x)在(2efl)上没有零点.1U(乙C一工)>»»Vq真题(2023全国甲(理)卷T17)11.已知数列&中，出=1，设S”为qj前项和，25“二(1)求qj的通项公式；求数列空；的前项和工,【解析】(1)因为2S,=凡，当=1时，2ai=a,即q=0当=3时，2(+a3)=3a3,即6=2,当2时，2S“t=(T%，所以2(S1.S1.I)=S-(T4t=，化简得：(n-2)an=(n-)an_9当3时，-=-l÷=R=I,即可=-1,一1一2Z当=1,2,3时都满足上式，所以为=-l(eN*).(2)因为铝,所以q=lx(g)+2x(；)+3x(；)+"x(g),S=嗯)+24)+(小出+喂),两式相减得,即7>2-(2+呢heN