专题7.5 正态分布【解析版】.docx

考点01正态密度曲线由数<一/J知灰概要/I1识点V随机变量X的概率分布密度函数(1.)21hAX)=褊寸，xe”其中"eR,Ao为参数Il知识点二正态曲线及其性质1.正态曲线：(-)21 22函数%,Kx)=司京e,x(-8,÷),其中实数4,(o>0)为参数，我们称外,Kx)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2 .正态曲线的性质：曲线是单峰的，它关于直线立区对称；曲线在X=处到达峰值勿落；当国无限增大时，曲线无限接近X轴.3 曲线与X轴之间的面积为1；当)一定时，曲线的位置由确定，曲线随着"的变化而沿X轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定,。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散;。越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中，如图乙所示：知识点三正态分布1¾h1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为TW=京e,xR,其中"R,。>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X¾u,)，"=0,=l时，称之为标准正态分布.2.3。原则P(一。<X<4+o)s5=s0.6827；Pa2oWXW"+2o)-0.9545；PQl3oWXWju+3。户0.9973.3.正态分布的均值与方差若XN(,M),则E(X)=，D(X)=2.<；考点精折，考点01正态密度曲线函数【典例01(22-23高二下江苏课后作业)已知正态分布密度函数/(力二()D.02A. 0和4B.0和2C.0和8【答案】B【分析】化为正态密度函数的定义形式,1(X-O)2【详解】f(x)=-=e8=e2<2：>')屈27×2.4=0,=2,故选：B.【典例02(22-23高二下湖北武汉期末)设随机变量XN(0,l),则X的密度函数为().11-I）?azw=27e-b1,£1C"力"2dx211e2【答案】A【分析】根据正态分布的定义"J求得=0,。=1,从而可求X的密度函数.【详解】因为XN（O,1）,所以=OQ2=,即=,所以X的密度函数为A.故选：A考点02正态曲线1（X-W【典例03（22-23高二下江苏课后作业）函数/（"=占_一百供中211A.j、BJXX【答案】A【分析】函数/（%）图象的对称轴为直线X=",由Vo判断各选项.【详解】函数/（x）图象的对称轴为直线X=",因为4（），所以排除B,D；又正态曲线位于X轴上方，因此排除C,所以AIE确.故选：A.【典例04（171.8高三北京强基计划）设XN（,H）,YN他）,（）的图象可能为（）这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）C.对任意正数，P(X<t)>P(Yt)【典例05(22-23高二下陕西宝鸡期末)已知三个正态分布密度函数f,(x)=(x-)21er而6(xR,i=l,2,3)B.P(X2)P(X.)D.对任意正数，P(Xt)P(Yt)【答案】C【分析】由正态密度曲线的性心吉台图像可得必<外，0<5<%可判断AB,由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD.【详解】A选项：yN(%a)的密度曲线分别关于X=必、x=2对称，因此结合所给图像可得自<外，所以p(y22)p(y2“)，故A错误;B选项：又XNaH)的密度曲线较YNW后)的密度曲线"瘦高”,所以0<5<，所以P(XW)>P(XW5),故B错误；CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知:对任意正数f,P(Xt)P(Yt).P(X)<P(Y)故C正确，D错误.故选：C.【规律方法】求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值/，纵坐标为志.(2)待定系数法：求出，。便可.考点03正态曲线的性质及应用的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.M=2>以3，B. A1<A2=A3,1=2<3C.4<42=3，=2>yD.H=M>%,1=2<3【答案】B【分析】结合正态分布密度函数中参数表小其均值大小，。表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.【详解】根据正态分布密度函数中参数，。的意义，结合图象可知人(工)，A(X)对称轴位置相同，所以可得外=必；且都在工U)的右侧，即从<2=3，比较工(X)和力(力图像可得，其形状相同，即9二/,又f3(X)的离散程度比工(力和人(力大，所以可得5=%V/；故选：B【典例06(23-24高二下河北保定期中)下列说法正确的是()A.若随机变量XN(12，/),y=3X+l,则E*)=36B.若随机变量XN(0,l)j(x)=P(Xx),其中>0,则P(IXlx)=J2(x)C.若随机变量XN(5,)，则越小，P(45<X<5.5)越大D.若随机变量XNQ,吟,且P(X>6)=0.4,则P(2vX<2)=0.2【答案】C【分析】对于A,由均值的性质即可判断；对于BD,由正态分布曲线的对称性即可判断；对于C,。越小,X的概率曲线在对称轴X=5处的集中程度越大，由此即可判断.【详解】因为y=3X+l,则E(y)=3E(X)+l=37,故A错误：P(Xx)=P(-xXx)=l-2l-(x)=2(x)-l,故B错误;因为XN(5q2),所以。越小，X的概率曲线越集中于对称轴X=5处，P(4,5<X<5.5)=P(5-0.5<X<5+0.5),所以P(4.5<X<5.5)越大，故C正确；根据正态分布的对称性可知-2<X<2)=l-P(X>6)=0.1,故D错误.2故选：C.【总结提升】利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.考点04标准正态分布的应用【典例071【多选题】(2024江苏宿迁一模)设随机变量XN(O,1),"x)=P(Xx),其中x>O,下列说法正确的是()A.变量X的方差为1,均值为OB.P(Xx)=l-2(x)C.函数f(x)在(0,+8)上是单调增函数D./(-x)=l-(x)【答案】ACD【分析】由正态分布的表示可判断A；山正态曲线及/(x)=P(Xx)可判断B,根据正态曲线的性质可判断C,根据正态曲线的对称性可判断D.【详解】随机变量XN(0,l)=b2=l,"=0,则AiE确；P(Xx)=P(-xXx)=l-2l-(x)=2(x)-l,则B错误；随机变量XN(O,1),结合正态曲线易得函数/(x)在(0,+8)上是单调增函数，则C正确；正态分布的曲线关于X=O对称，/(-x)=P(X-x)=P(Xx)=l-(x),则D正确,故选：ACD.【典例08】【多选题】(23-24高三上山东日照期末)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bgp),那么当比较大时，X近似服从正态分布Njd),其密度函数为3=71.-eF,xR.任意正态分布XN("bi),可通过变换Z=与幺转化为标准正态分布ZN(U).当ZN(U)时，对任意实数”，记(X)=P(ZVX),则()A.(x)+(-x)=B.当x>0时，P(-xZ<x)=2(x)-lC.随机变量XN5,/),当减小，。增大时，概率P(IX保持不变D.随机变量XNM吟,当。都增大时，概率P(IX增大【答案】BC【分析】根据6(X)=P(Z<幻结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的3b准则可判断QD.【详解】对于A,根据正态曲线的对称性可得：(-x)=P(Z<-x)=P(Zx)=l-P(Z<x)=l-(x),即(x)+(-x)=1,故A不正确：对于B,当x>O时，P(-xZ<x)=l-P(Z-x)-P(Zx)=l-2P(Zx)=l-2l-P(Z<x)=2(x)-l,故B正确；对于C,D,根据正态分布的3b准则，在正态分布中。代表标准差，代表均值，X="即为图象的对称轴，根据3b原则可知X数值分布在(-G4+b)的概率是常数，故由尸(X-"<b)=P(一b<X<b+M可知，C正确,D错误,故选：BC考点05区间上的概率计算【典例09(2223高二全国课堂例题)某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布7V(184,2.52),求：(参考数据：ZN(O,1),P(Z0.2)0.579P(Z2)0.9772)随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率；随机抽取1罐，其净重在179g与189g之间的概率.【答案】0.4207：(2)0.9544.【分析】(1)(2)将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可.【详解】(1)P(x>184.5)=P；X-1842.5184.5-18415J=P(Z>O.2)=1-P(Z0.2)=1-0.5793=0.4207.故随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率是0.4207,P(79<X189)<3qf=pe2<Z2)1252.52.5j=P(Z2)-P(Z-2)=P(Z2)-P(Z2)=P(Z2)-1-P(Z2)=2P(Z2)-1=2×0.9772-1=0.9544.故随机抽取1罐，其净重在119g与189g之间的概率为0.9544.【典例10(22-23高二全国课堂例题)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为00(单位:cm,下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：不高于170的概率；在区间160,180内的概率；不高于180的概率.【答案】(1)50%68.3%84.15%【分析】利用正态分布将指定区间上的概率转化为特殊区间上的概率求解.【详解】(1)设该学生的身高为X,由题意可知XN(17O,K)2)易知尸(X170)=50%.(2)因为均值为170,标准差为10,而160=17010,180=170+10,所以P(160X180)=P(X-170110)68.3%.(3)由概率的加法公式可知P(X180)=P(X<170)+P(170X180).又由(2)以及正态曲线的对称性可知P(170X180)=-P(l60X180)-×68.3%=34.15%，22因此P(X180)=尸(X<170)+P(170X180)H50%+34.15%=84.15%【规律方法】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与X轴之间面积为1.熟记尸(一。辰+。)，尸(一2。<收+2。)，夕(一3。收+3。)的值.(3)注意概率值的求解转化：PaKa)=I一2(后力；P(*-a)=尸(冷+a)；尸、廿,/11,1-P(b<X<+b)若灰，则P(X<勿=55l-特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称.考点06正态分布的期望、方差问题【典例111【多选题】(2023山东泰安二模)随机变量XnJ,")且P(X<2)=05,随机变量y8(3,p),若E(Y)=E(X),则()A.=2B.D(X)=22C.p=jD.D(3Y)=2【答案】AC【分析】对于AB,根据正态分布的期望方差性质可判断；对于C,根据E(Y)=E(X)及二项分布期望公式可求出P；对于D,根据二项分布方差的计算公式可求出。(丫)，进而求得O(3Y).【详解】对AB,因为XN("q2)且P(X<2)=O.5,所以=2,故E(X)=2,D(x)=2,选项A正确，选项B错误；对C,因为丫B(3,p),所以E(y)=3p=E(X),所以3=2,解得p=三，选项C正确：对D,D(3r)=9D(r)=9×3×I-=6,选项D错误，故选：AC.【典例12X2023下江苏苏州高三统考开学考试)如图，若一个随机变量X服从某正态分布XN.,/),且已知函数/(X)=的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望211E(X)=，方差O(X)=.【答案】5【分析】利用正态分布密度曲线求得4=5,b=l即可求期望和方差.【详解】由图可知,当x=5时,=有最大值为211211所以"=5,b=l,所以XN(5,1),所以七(X)="=5,D(X)=2=l,故答案为51.考点07正态分布中求参数问题【典例13(2324高三下江西鹰潭阶段练习)已知XN(,/)，若RX0)=P(2),则"=.【答案】1【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.【详解】因为XN(q2),且尸(X0)=P(X2),所以”等=1.故答案为：1【典例14(2024上海青浦二模)设随机变量g服从正态分布M2,1),若PeVa-3)=P(J>l-2a),则实数=.【答案】-6【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得.【详解】由正态分布的对称性，得3-3)+(1-2。)=4,所以=-6.故答窠为：-6考点083。原则【典例15(2024广东佛山二模)统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取-3b+3b中的值，简称为3。原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400q2)(单位：g),某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g,他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，。的最大值是.【答案】5【分析】利用3b原则列出不等式，求解即得.【详解】依题意，4=400,由3b原则，得400+3b415,解得05,所以。的最大值是5.故答案为：5【典例16(2324高二下福建福州期中)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(尸表示相应事件的频率)；P(-X+)0.6827;(2)P(-2crX+2)0.9545;(3)P(7-3X+3)0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.将直径小于或等于A-2或直径大于p+2的零件认为是次品.从设备M的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列.(答案用分数表示，要画表格)【答案】(1)性能等级为丙(2)0.12；分布列见解析【分析】(1)根据3b原则，分别求得其对应的概率，进而判断出M的性能级别.通过题意可知，样本中共有6件次品，可知M生产的次品率为0.06.通过二项分布的概率分布即可求得次品的数学期望.详解(1)-=62.8,+=67.2,-2=60.6,+2=69.4,-3=58.4,+3<=71.6,所以由图表知：P-X+)=P(62.8X67.2)=0.8>0.6827,P(-2X+2)=P(60.6X69.4)=0.94<0.9545P(-3X+3)=P(58.4X71.6)=0.98<0.9973因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.(2)样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06,直径小于或等于-2。的零件有2件，大于+2的零件有4件，共计6件从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为备=总，依题意得，丫8(2,0.06),E(y)=2x0.06=0.12;由题意可知Z服从超几何分布，Z的可能值为：0J2,*z=°)=¾=照=晟P(Z=I)=,=I=建,p(z=2)=所以Z的分布列为:Z012P14571650948251330考点09正态分布的实际应用【典例17(2024江西南昌二模)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位:)服从正态分布N(100O,52).生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(9951OO0和(1005010内各一只的概率；(精确到0.001)根据统计学的知识，从服从正态分布N(XA2)的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N("S某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000,1007,1012,1013,1013(单位：Q).你认为这时生产线生产正常吗？说明理由.(参考数据：若则P(-<X+)0.6826,P(-2-<X÷2)0.9544,P(-&<X"+3b卜0.9974.)【答案】0.093不正常，理由见解析.【分析】(1)根据正态分布性质分别求电阻阻值在(995,1000和在(1005,1010的概率，再结合概率公式求结论，(2)根据3b原则判断即可.【详解】(1)电阻阻值X服从正态分布N(100o,5?).所以4=1000,=5.所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在(995,l0和在(l5,1010的概率分别为=>(995<X1000)=P(-<X<)=P(-<X<+)0.3413,=P(l005<X1010)=P(z+<X+2)=(P(-2<Xz+2)-P(-<Xz+)0.1359因此这两只电阻的阻值在区间(995,1000和(1005010内各一只的概率P=2fP22×0.3413×0.1359=0.092765340.093；(2)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N(100O,*),即N(100o,(石)，记=正，计算可得I=1009，而1009>1000+3/，即无>+3b,因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常.【典例18(23-24高三下山东开学考试)某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民.联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且XN(45,225).请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五入取整数)；奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概率为60%,每个人摸奖相互独立，设恰好有(0“20)个人摸到一等奖的概率为P()，求当尸()取得最大值时的值.附：若XN(4,"),则P|X-川<。=0.6827,P|X-v2b=0.9545.【答案】159P()取得最大值时的值为8【分析】(1)利用正态分布的对称性可求P(X60),故可估算年龄不低于60岁的人数.(2)利用不等式组可求P()取得最大值时的值.【详解】（I）因为XN（45,225）,所以（=15,|一八AQO*7则?(X60)=P(X+。)=0.15865,所以现场年龄不低于60岁的人数大约为100OXO.15865«159（人）.(2)依题意可得,P(/i)=qoO.4wxO.620-%,JP5)P5+1)lzP()P(n-1),厂C%O.4"×0.62011C,0.411m×0.6,9'11明以QoO.4"xO.62°-"“；0.4x6j'20-OA<所以，+121-710.4IIIIII>In0.6'3742所以"半，因为整数，所以=8,所以当尸()取得最大值时的值为8.【规律方法】解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴x=U;（2）标准差。；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由口，。，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.考点10概率分布的综合问题【典例19（23-24高二下河北邯郸期中）某工厂引进新的生产设备M,为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.为评判设备"生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）；P（ju-<X+）0.6826；P（-2<X+2）0.9544；（3）P（-3<X+3）0.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙：若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.将直径小于等于-2。或直径大于+2。的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望E(Y).【答案】(1)丙级：,2,【分析】(I)根据给定条件，依次求出"±S"±2,4±3b和值，再利用样本数据估算相应区间的概率，与评判法则比对即得.(2)从生产流水线上随意抽取2件零件的次品数X服从二项分布，利用一项分布求出E(K),利用古典概率求出从样本中随意抽取2件零件的次品数八对应的概率，并求出E(U),再利用期望的性质求解即得.【详解】(1)依题意，一。=628,"+b=67.2,-2b=60.6,"+2b=69.4,z-3=58A+3=71.6,观察数表得：直径小于-b的共有IO件，直径大于4+b的零件共仃10件，直径小于等于-2。的共有2件，直径大于4+2。的零件共有4件，直径小于等于3。的共有1件，直径大于+3b的零件共有1件，8094P(62.8X67.2)=0.8>0.6826,P(60.6<X69.4)=0.94<0.9544,10010098P(58.4<X71.6)=0.98<0.9974,100所以设备M的性能等级为丙级.(2)样本中直径小于等于2。的共有2件，直径大于+的零件共有4件，则样本中次品共6件，估计设备M生产零件的次品率为0.06,依题意，从设备”的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为K,则X-5(2,2),于是eq)=2x3=3；,100I"10025从样本中随意抽取2件零件其次品数设为丫?，则为的可能取值为01，2,P(K,=O)=-,P(y,=i)=-=-,P(=2)=-,-C16502Cj008252Cf00330工且k/O14574941_3E(X)=OXFlXF2X=,v27165082533025则次品总数Y的数学期望E(y)=E(+)=E()+E化)=春【典例20(23-24高三上江苏扬州期末)某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为100oO名，每人被赔付的概率均为0.25%,记100oO名客户中获得赔偿的人数为X.求E(X),并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若XB(小p),则。(X)=叩(l-p),当较大且较小时，我们为了简化计算，常用E(X)的值估算O(X)的值.请根据上述信息，求：该公司今年这一款保险产品利润为50100万元的概率；该公司今年这一款保险产品亏损的概率.参考数据：若X则P(4-bX"+b)0.683,P(4-3X"+3b)0.997【答案】(I)E(X)=25,75万元(2).683:00,0015【分析】(D确定XB,0.25%)以及y=200-5X,根据二项分布的均值公式，即可求得答案；(2)由题意确定4=E(X)=25,/=O(X)=25,求出产品利润为50100万元时X的范围以及产品亏损时的X的范围，结合正态分布的特殊区间的概率，即可求得答案.【详解】(1)由题可知X8(10000,0.25%),则E(X)=10000×0.0025=25,记该公司今年这一款保险产品利润为变量y,则y=200-5x,所以七")=七(200-5*)=200-5石。)=75万元.(2)因为XB(n9p),当较大且X较小时,E(X)=25,则Z)(X)=25.由于较大，XNM吟,其中=E(X)=25,/=D(X)=25,若该公司今年这款保险产品利润y=200-5Xe(50,100),则X«20,30),p(=200-5X(50,100)=P(20<X<30)=P(-<<X</+)=0.683；若该公司今年这一款保险产品利润Y=200-5X<0,则X>40,1-0997P(Y=200-5XvO)=P(X>40)=P(X>4+3<t)=以=0.0015.答：（1）E（X）=25,该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；（2）该公司今年这款保险产品利润为50100万元的概率为0.683：亏损的概率为0.0015.【总结提升】假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N（p,U）.确定一次试验中的取值a是否落入区间（-3。，+3o内.作出判断：如果a（j-3,÷3,则接受统计假设.如果a卸一3o,p+3u,则拒绝统计假设.真理探秘;1. （2021全国统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布N（1002）,下列结论中不正确的是（）A.。越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在（9910.2）与落在（I（UO.3）的概率相等【答案】D【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A,/为数据的方差，所以。越小，数据在"=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,103）的概率不同，故D错误.故选：D.2. （2015山东高考真题）己知某批零件的长度误差（单位：亳米）服从正态分布N（0,3?）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为(附：若随机变量服从正态分布N(,/)，则P(F<"4+b)=68.26%,P(-2<<+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【答案】B【详解】试题分析：由题意A-3<<3)=68.26%,-6<<6)=95.44%,/.3<<6)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.i½B.3. (2022全国统考高考真题)已知随机变量X服从正态分布N(2,"),且P(2<X2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.【答案】0.14/.【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.【详解】因为XN(2,)，所以P(Xv2)=P(X>2)=O5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X2.5)=0.5-0.36=0.14.故答案为：0.14.提升,一、单选题1. (23-24高二下湖南期中)已知随机变量X服从正态分布N(3q2),若P(X"z)=尸(X4-2"?),则帆()A.-1B.-2C.2D.1【答案】B【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解.【详解】因为XN(3,),?(M=?(4-2m),由正态分布的对称性可知m+(4-2rn)=6,所以/W=-2.故选：B.2. (2024河北二模)已知随机变量X服从正态分布N(202)(b>0),则"7=1"是“P(Xm)+P(X>m+2)=l的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为XN(2,4),则P(X<1)=P(X>3),尸(X>4)=P(XV0),若ZW=I则尸(X1)+P(X>3)=P(X1)+P(X<1)=1,即P(x)+P(>m+2)=1,故充分性成立，若P(x)+p(>zw+2)=l,则加+m+2=22,解得机=1或m=-2,故必要性不成立，所以“?=1"是"?('斗叫+?(乂>m+2)=1的充分不必要条件.故选：A3. (2024福建三明三模)随机变量4-NW，/),函数/(x)=-4x+J没有零点的概率是：，则"的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根据函数/(X)=/4x+g没有零点，求得空4,结合题意可得出PC>4)=g,继而由正态分布的对称性，可得答案.【详解】由函数/(x)=N-4x+4没有零点，=16-4<0,.>4,函数/(x)=-4x+g没有零点的概率是T,即PC>4)=g,结合gN(4,/),可知=4,故选：D4. (22-23高二下上海崇明期末)某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布N(100,/)(试卷满分为150分)，统计结果显示，数学考试成绩在80分到1203分之间的人数约为总人数的;，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为()4A.200B.150C.250D.100【答案】A【分析】根据题意，由正态分布的性质可得P(X120),即可得到结果.【详解】因为数学考试成绩服从正态分布XN(100Q2),又p(80X120)=q,/xl-P(80X120)1所以P(X120)=1.=I,则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为Jxl600=200O故选：A二、多选题5. (2024全国模拟预测)设随机变量则()A.正态曲线关于x=4对称B.正态曲线随着的变化而上下波动C.设随机变量XN(3,9),则。6X)=3D.正态曲线与X轴之间的面积为1【答案】AD【分析】由正态曲线的性质对选项判断即可得出答案.【详解】由正态曲线的性质知，AD正确；对于B,正态曲线随着的变化而沿着X轴平移，故B错误；对于C,设随机变量XN(3,9),则D(X)=9,所以(gx)=gx9=l,故D错误；故选：AD.6.(22-23高二下江苏单元测试)“世界杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：Cm)服从正态分布，其正态密度函数为/(X)=1(V-100)2ic-20010rX(o,r),则下列说法正确的是附:若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(-<X<+)0.683,P(-2<X<+2)0.954,P(3<X</÷3)0.997A.该地水稻的平均株高为100emB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120Cm及以上的概率比株高在70Cm