专题34 单变量不等式能成立之最值分析法(解析版).docx

专题34单变量不等式能成立之最值分析法【方法总结】单变量不等式能成立之最值分析法遇到/WN(X)型的不等式能成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数MK)=r)-g(x)或“右减左”的函数(X)=g(x)-(K),进而只需满足G)maxO或(x)miW0,将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论.注意“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即危)沟3)对于XZ)恒成立，应求TW的最小值；若存在xO,使得KX)2（八）成立,应求兀到的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.注意与恒成立问题的区别.特别需要关注等考是否成立问题，以免细节出错.【例题选讲】I例1设函数/(x)=210v-/加2+1.(1)讨论函数/(%)的单调性；(2)当/(x)有极值时，若存在沏，使得/(即)>?一1成立，求实数m的取值范围.解析(1)函数/(x)的定义域为(O,÷),f,(x)=2nx=一4T当m0时，/'(x)>0,(x)在(0,+8)上单调递增；当亦>0时，令/'(x)>0,得OV坐,令广(x)v,得Q坐，,f(X)在(O,曲上单调递增，在怦，+J上单调递减.(2)由(1)知，当/(x)有极值时，?>0,且/(x)在(0,呼)上单调递增，在+oo)上单调递减.V(x)ma=/(*)=21需-m+I=-In机，若存在即，使得1成立，贝!(x)max>n-1.即一lnn>m-1,Inm+m-1<0成立.令g(x)=x+Inx-I(QO),g'(x)=l+%O,g(x)在(0,+上单调递增，且g(l)=0,0<w<l.实数?的取值范围是(0,1).a-1例2设/(K)=X一丁一Hlu(R).(1)当。=1时，求曲线y=yU)在点g,人多)处的切线方程；(2)当。Vl时，在已，e内是否存在一实数即，使yU>)>e-l成立？解析当=l时，J(x)=-nxt()=+ln2,/(x)=lp所以曲线y=y(x)在点G，+ln2)处的切线的斜率为了(，=】一；=-1.2故所求切线方程为丁一©+也2)=一(工一,，即x+y-ln2-l=0.(2)假设当时，在已，e内存在一实数xo,使风ro)>e1成立，则只需证明当Xme时，)ma>e-1即可.a-a2-x+(-l)(-l)1.(-l)1./(X)=1+-2-=p=p(QO),令/(x)=0得，x=l,X2=-l,当时，.当1)时，/(x)<0;当x(l,e)时，/(力乂).，函数/(x)在%1上单调递减，在1,e上单调递增，C)max=max伏J,/(e).于是，只需证明_/(e)>e1或13>e1即可.a1(e÷1)(1a)上、*(e)-(el)=e-ea(e1)=>0,.*.(e)>e-1成立.所以假设正确，即当时，在彳£VJ内至少存在一实数配，使Uo)>e-l成立.例3已知危)=*"，一$2x+1,a0.(1)当。=|时，求yu)的单调区间；(2)若法仑1,使人必)/成立，求参数。的取值范围.解析当a=l时，(x)=xer-yx+1,所以a)=er+xe'-x-l=(exl)(x+D由/(x)>0,得XV-I或Z>0;由/(x)V0,得一l<V0.所以人工)的单调递减区间为(一1,O),Ar)的单调递增区间为(一8,-1),(O,+).(2)由题意，得段)minV3:仑1),因为/(x)=(Or+1)(洲一I),由/(x)=0,解得Xl=及=0.当。>0时，因为应1,所以/(x)>0,所以人幻单调递增，即KX)min=7(1)./(l)=efl-即e"a<0.设g（八）=e"-a(a>O),（八）=ea-1>0.所以g3)min>g(0)=e°-0=l>0,即e">a恒成立，即g（八）>O,所以不等式e"-a<O无解；当aVO时，当(-oo,0)时，/(x)>0;当x(,一£)时，/(*0;当X仁(一%+时，。()X)函数兀0在(-8,0)上单调递增，在(0,一O上单调递减，在(一、+，)上单调递增.且10)=1>0,由知/(i)>多亘成立，若也后1,使人V1则-5，-l<a<0r-l<a<0f所以1,1.la所以/2,/2一7+五+l<rVl2<a<l÷V"?解得l-2孑Va<0.综上所述，参数的取值范围为(1-0).例4已知函数y(x)=-HnX菅+r,R.(I)当。<0时，讨论人r)的单调性；(2)设g(x)=y)+4(x),若关于X的不等式g(x)we'+，+(aI)X在口，2上有解,围.AryI1.八maxex-ex,-e')(-1)解析(I)依题设，/(x)=-2+a=p(xX),当a<0时，v-ey)恒成立，所以当Ql时，/(x)<0,当(KxVl时，/(x)>0,故函数y()在(o，D上单调递增，在(i，+8)上单调递减.(2)因为g(x)=HM÷(x),所以g(x)=HnXex+laxa,由题意知，存在Xol,2,使得8(即)£e%+，+31)的成立.则存在XoW1,2,使得一Hn&+(+l)xo一1一00成立,令人(x)=lnx+(+1)4一与一,Xe1,2,r1l,a,1(-«)(x1)则"(x)=丁+a+lx=17，xg",2.当l时，,(x)O,所以函数力(X)在1,2上单调递减，所以j(x)min=力(2)=-Hn2+a0成立，解得0,所以0.当l<11v2时，令砥戏>0,解得l<x<0;令"(x)v,解得<rv2.所以函数Aa)在1,上单调递增，在。，2上单调递减，又因为力(I)=所以(2)=Hn2+t0,解得00,与l<<2矛盾，故舍去.当N2时，,(x)O,所以函数。)在1,2上单调递增，所以MX)min=A(l)=5,综上所述，实数。的取值范围为(-00,01.例5己知函数yCr)=；F(+3)x+3Hnx,g(x)=+(+4)-“；+4lnx.求实数。的取值范不符合题意.(1)当=2时，求函数Ar)的极值；(2)当>0时，若在1,e(e为自然对数的底数)上存在一点m，使得火回)Vg(xo)成立，求实数的取值范围.解析(1)：函数及0=*(。+3)x+3”111居/。)定义域为(0,+),13a(x-3)(-67)W=X-(67+3)+y=-_:当=2时，令/(x)=(l3)l2)=o,解得彳=2或=3,当X£(0,2)U(3,+oo)时，f(x)>O;当x(2,3)时，/(x)V0,加)在(0,2),(3,+8)上单调递增,HX)在(2,3)上单调递减,21函数兀0的极小值为汽3)=6In3一2，函数凡r)的极大值为/(2)=61n2-8.(2)令尸(x)="v)-g(x)=x+-1-HnX,在1,e上存在一点xo,使得儿WVgaO)成立，即在1,e上存在一点xo,使得F(M)V0,即函数F(x)=x+i-alnX在1,e上的最小值小于零.,1o+1.h+la(x÷l)x-(«+1)由尸(X)=x+X-0lnX传尸(X)=1FV«>0,a+l>l,又x£(0,+),x+l>0,当K£(0,+l)时,Fra)V0;当XW(+1,+s)时，Fa)>0,当l<+lVe,即OVaVe-I时，尸(4)在1,+l)上单调递减，在+l,e上单调递增,.*.F(x)mi11=Fa+1)=+2ln(+1),V0<ln(+l)<l,O<In(fl+l)<,.,+2-Hn(+1)>2,此时尸(+1)VO不成立.当+le,即e-1时，Fa)在1,e上单调递减，尸(x)min=F(e).由F(e)=e4«+1_.ZHe2+1e2÷1e2÷l°V0可得：，V>e-l,/.«>.综上所述：实数。的取值范围为(高，+J.【对点精练】1.已知函数兀0=加+山.(1)讨论/)的单调性；(2)若mx(O,+功使Ax)>0成立，求。的取值范围.1 .解析(1)函数Rr)的定义域为(0,+8),/()=2Or+；=汽土1,40时，/(戏>0,函数y()在区间(0，+m)上单调递增；VO时，由2at2+l>0得0<x<一函数x)在区间(0,寸W)上单调递增，函数Kr)在区间GFJ,+8)上单调递臧.(2)00时，/(e)=e2+l>0,3x(0,+«>)使人6>0成立；<0时，需JMmaX=hW)=abC+队昌=一杆町昌>0,得>，(-*0),；由®®得(-*，+8).2 .己知函数/(x)=-Hnx,g(x)=幺F(R).若在1,e上存在一点Xo，使得Kro)<g(xo)成立，求的取值范围.3 .解析依题意，只需Xro)-g(xo)min<0,M)W1,e即可.a,l4+14wh(x)=f(x)-g(x)=xalnXxl,e,mia。+1far-(+l)x(÷l)(x÷I).za则厅(X)=I-Q-7-=厂l=-_2'v1.令f(x)=O,得X=+l.若a+ll,即比0时,(x)O,力(X)单调递增，min=(l)=a+2<0,得。<一2；若lvz+l<e,即OaKe1时，力(x)在1,+l)上单调递减，在(a+l,e上单调递增，故MX)min=力(+D=(+1)Hn(+1)+1=lln(+1)+2>2,x(0,e1)与h(x)<O不符,故舍去.若+le,即aNe1时，力(x)在1,e上单调递减，则z(x)min=Me)=e0+咛，e2÷l令(e)<0,得>e->e-1成立.综上所述，0的取值范围为(一8,2)U(M÷1 ex3.已知函数y(x)=Mln-1),g(x)=.17求证：当0<r<rW,J(x)<x2-JXi(2)若存在xo(O,M,使AXO)g(M)W0,求加的取值范围.743 .解析(1)由题得於)的定义域为(0,+),x(lnX-l)<x2-p:,即Inxx+于0,4 1-X设函数尸口)=ln-+g,则尸")=,故函数尸(X)在(0,1)上单调递增.当0<2时，F(x)<7f)=T-<o,即J(X)<一%,eCyDeD(2)f(x)=nx,故函数«r)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，当0<nl时，y(x)min=y(w)=w(inm-)=mnmn,依题意可知")g(，)W0=2nn7z÷(ew-2/771)O.构造函数：(m)=en,-2tn-l(0<m<1),则有,(m)=Qn,2.由此可得：当m(0,ln2)时，f(m)<0;当w(k2,1)时，,(m)>09即0(M)在?e(0,In2)时单调递减，"7(ln2,1)单调递增，注意到：9(0)=0,¢(1)=0,因此9(tm)0.同时注意到2mlnn0,故有2mlnn÷(em-2m1)0.当m>时，危)Jnin=/(D=-I，依据题意可知大加)一g(Mo=-Q-y)0=>ew,3=>l<m<ln3,综上、所述，所求实数初取值范围为(O,In3.4.已知函数Ar)=InX。+1),R,在点(1,41)处的切线与X轴平行.(1)求Ar)的单调区间；1(2)若存在xo>l,当XW(1,Xo州寸，恒有e+2x+e>A(x-1)成立，求k的取值范围.4.解析(1)由已知可得(x)的定义域为(O,+oo).I11X*7W=->,/(I)=I-=0,.=l,*W=-1=>令/(x)>0,得OVXV1,令/()V0,得x>l,«!)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+oo).II不等式7(x)卞+2r+>A(-1)可化为Inxy+-1>A(-1).ax2111x2+(l攵)x+l令g(x)=ln-2+-2A:(xl)(x>1)»则g,(x)=x+1k=1令7(x)=-f+(l。r+i>l),则力。)的对称轴为X=-.Ik当亍1,即Q-I时，易知力(X)在(1,M)上单调递减，力(X)V力(1)=1一七若Ql,则7(x)V0,.g<x)V0,.g(x)在(1,必)上单调递减，g()Vg(I)=0,不合题意；若一1AV1,则(1)>0,必存在沏使得x(l,M)时g'(x)>O,.g()在(1,o)上单调递增，,g(x)>g(l)=O恒成立，符合题意.Ik当丁>1,即女V-I时，易知必存在X,使得刀(X)在(1,向)上单调递增./Ia)>7()=1Q>0,g<x)>O,g(x)在(1,Xo)上单调递增.g)>g(l)=O恒成立，符合题意.综上，的取值范围为(一8,1).5.已知函数Kr)=2x1+Alnx.(1)当k二一3时，求Ax)的极值；若存在xl,e,使得标一负*一§成立，求实数攵的取值范围.132x2-3x+1(2-l)(-1)5.解析(1)当上=一3时，/。)=2+乒一(=p=p.Vx>O,J当X£(O,JU(1,+8)时，/(x)>O;当x&1)时，/(*0.AO的单调递增区间为(0,1),(1,+8),AX)的单调递减区间为Q,1),x)的极大值为g)=31n2-1,於)的极小值为负1)=1.k11.+4(2)若lrU,e,使得3x/(x)<一成立，即3x一左lnx<f=x+-J-&lnx<0有解,设ZZ(X)=XT1+%Alnx,只需力(X)在1,e上的最小值小于0,h,(x)=1+kk(x+l)-(+l)当仁O,xl,e时，"(x)0,力(X)在1,e上单调递增，A(X)min=%(l)=1+1<O=AV2.V2<0,k<2.当l<Z+l<e,即04<e-l,xl,H-I)时，h,(x)<O9x+l,e时，,(x)>O,¼r)在区间1,4+1上单调递减，在区间伙+1,e上单调递增，.,.(x)min=(÷l)=k+1+1攵ln(k+I)=A+2kln(A+1).Vl<+I<e,O<ln(+l)<l=>O<illn(jt÷1)<,.2+2-Mn/+1)>2,不满足题意.当&+le,即Qe-1,xl,e,hx)<Ot(x)l,e上单调递减,k+(x)min=A(e)=e+工一T<0=>Q,又Y斗ef.坦斗.e-1e-1实数k的取值范围是(-8,-2)U6.已知y(x)=x2+r-Inx+e,g(x)=2+e.(1)若a=-1,判断是否存在那>0,使得ArO)V0,并说明理由;(2)设(x)=x)-g(x),是否存在实数a,当x(0,e(e=2.71828为自然常数)时，函数力(用的最小值为3,并说明理由.6.解析(1)不存在xo>0,使得儿VO)V0.理由如下：当a=-I时，i(x)=2-Inx÷e,(0,+),f(x)=2-=ZF-X-X(-l)(2x÷l)Xx(0,I),/(x)<0,函数兀O单调递减；x(l,+),>0,函数人X)单调递增,当X=I时，函数段)有极小值式处校,Mi=y(l)=e,此极小值也是最小值，故不存在的>0,使得Am)V0.(2)因为/(x)=x2+arlnx+e,g(x)=x2+e,所以力(X)=久¥)g(x)=ar-Inx.则厅(x)=a假设存在实数。，使z(x)=ar-lnM%G(O,e)有最小值3,4(1)当空0时，,(x)<O,所以力(X)在(O,e上单调递减，z(x)min=力(e)=e-1=3,a=,不符合题意.(ii)当a>0时，当OVW时,拉,Qa)Vo在(O,e上恒成立，所以力(X)在(O,e上单调递减，4(x)mi11=(e)=ae-1=3,a=,不符合题意.当>J时，0VVe,当OVXVl时，eClClz,(x)<O,力(%)在(0,上单调递减；当IVXVe时，z,(x)>O,力(x)在(：，e)上单调递增，所以7(x)min=力G)=I+lna=3,解得fl=e2>.综上所述，存在=e2,使x(0,e时，z(x)有最小值3.