专题04导数及其应用.docx

1.【2021天津高考真题】己知>0,函数f(x)=XeX.(I)求曲线>=/(X)在点(0,7(0)处的切线方程：(II)证明/S)存在唯一的极值点(III)若存在。，使得/(x)a+8对任意XR成立，求实数b的取值范围.【答案】(I)y=(a-V)x,(a>O)；(11)证明见解析；(川)-e,+)【分析】(I)求出/(x)在JV=O处的导数，即切线斜率，求出/(0),即可求出切线方程；(Il)令r(%)=0,可得=(x+l)e",则可化为证明y=与y=g(x)仅有一个交点，利用导数求出g()的变化情况，数形结合即可求解；(川)令。)=(%2一-l),(>-l),题目等价于存在X£(-1,+8),使得/Z(x)b,即b(x)min,利用导数即可求出MX)的最小值.【详解】(I)/'(X)=Q-(X+l)e"则f'(O)=-l,又/(0)=0,则切线方程为y=(-l)x,(>O);(Il)令/'*)=4一(x+l)=0,则4=(x+l)/,令g(x)=*+l)e',则g<x)=(x+2)/,当x(o,-2)时，g'(x)v,g(x)单调递减；当x(-2,+8)时，g,(x)>0,g(x)单调递增，当XfYO时，g()<O,g()=0,当X+)时，g(x)>O,画出g(x)大致图像如下:所以当>0时，y=与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=,则m>一1,且f,(ni)=a-g(ni)=Ot当x(y>,m)时，a>g(x),则/'(x)>0,/(%)单调递增，当X£(，%,+8)时，a<g(x),贝J'(x)<O,/(x)单调递减，X=m为/(%)的极大值点，故fM存在唯一的极值点；(IH)由(Il)知F(X)max=/(，此时=(l+6)d",m>1,所以7(%)-ama=/(m)-a=(n2-m-1)em,(m>-1),令力(工)=(A：2-1),若存在。，使得/(x)+对任意xR成立，等价于存在xe(T,+),使得(x)b,gpZ.(x)nin,hx)=(V+%_2)ex=(x-l)(x+2)ex,x>-,当x(-1,1)时，hf(x)<0,%(五)单调递减，当x(l,+8)时，/(x)>0,MX)单调递增，所以6(x)min=一6，故b-e,所以实数b的取值范围-e,÷).【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y=与y=g()仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在X£(-1,内)，使得MX)力，即b<r)mE2.12021全国高考真题】己知函数/(X)=(X-1)，一G2+6.(1)讨论/S)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(X)有一个零点1 /®<a,b>2a;2 2®0<a<-,b2a.2【答案】答案见解析；(2)证明见解析.【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；由题意结合中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】由函数的解析式可得：fx)=x(ex-2a)t当a0时，若x(-8,0),则尸(x)vj(x)单调递减，若x(0,÷),则/'(x)>0J(%)单调递增；当O<<g时，若x(-,ln(2),则/'(x)>0J(x)单调递增，若x(ln(24),),则尸(X)VOj单调递减,若(0,+),则/(x)>0J(力单调递增;当=g时，/(x)N0"(x)在R上单调递增；当>g时，若x(yo,0),则尸(x)>0J(x)单调递增，若x(0,ln(攵)，则尸(x)<0,(同单调递减，若x(ln(2),+),则/'(x)>0J(x)单调递增；(2)若选择条件:Ie/由于5<q,5,故lv2,则/?>勿1,/(0)=一1>0,而/(-)=-h)e-b-ah2-h<O,而函数在区间(YQ,0)上单调递增，故函数在区间(-8,0)上有一个零点./(in(2«)=2«in(2tz)-1-in(2tz)+/?>24ln(2)-l-4ln(2)+2a=2ln(2)-aln(2)=ln(2)2-ln(2),由于匕，lv2,故Mn(2)2-ln(2)0,结合函数的单调性可知函数在区间(0,+8)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于O<vg,故24<l,则/()=b-l21<0,当Z>0时，e2>4,4fl<2,f(2)=e2-4a+h>0,而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.当bv时，构造函数H(X)=eA-X1,贝J(X)=，-1,当x(-,0)时，H'(x)<0,H(x)单调递减，当X£(0,+8)时，”'(x)>0,"(x)单调递增，注意到H(O)=0,故"(x)0恒成立，从而有：x+l,此时:fx)=x-)ex-ax1-fe(x-l)(x+l)-ox2+b=(l-6f)x2+(-l),(1-)x2+(-1)>0,当居时，取Xo=J+1，则/(与)>0，即：/(o)-÷1>0,而函数在区间(O,+8)上单调递增，故函数在区间(O,+8)上有一个零点.f(in(2t)=2ain(2d)ain(2)J'+b2ln(20)-l-ln(2叫+2a=21n(2A)-6rln(26z)=ln(24)2一ln(2),由于O<<g,0<24<l,故ln(2)2-ln(2q)<0,结合函数的单调性可知函数在区间(-oo,0)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.3-9r3.12021北京高考真题】己知函数/(x)=F.(I)若=0,求y=(%)在(I1(l)处切线方程；(2)若函数/(x)在X=T处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】(1)4x+y-5=0;(2)函数/(x)的增区间为(-8,-1)、(4,丘)，单调递减区间为(1,4),最大值为1,最小值为-w【分析】(1)求出/(1)、/'(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由r(-)=o可求得实数。的值，然后利用导数分析函数/(%)的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)当=0时，=则=1,r(l)=T,XX此时，曲线y=()在点(1,7(1)处的切线方程为yT=-4(-1),即4x+y-5=0；,、-2(x2+a-2x(3-2x)2(x2-3x-a因为“同一，则/(同一/，2一/22，X+Cl(x2÷)x2+a)z、2(4tz)由题意可得/(1)=/=。，解得0=4,(。+1)故/()=J，/(X)=)，列表如下：X÷4(x+4)X(FT)-1(T4)4(÷4)广+OO+增极大值减极小值增所以，函数f(x)的增区间为(YO,1)、(4,+00),单调递减区间为(一1,4).33当x<5时，/(x)>0;当A：时，/(x)<0.所以，X1.X=/(T)=1，1.=(4)=4.12021全国高考真题】已知函数/(x)=x(l-Inx).(1)讨论“力的单调性：(2)设。，为两个不相等的正数，且力Ina-Hnb=-b,证明：2<-+-<e.ab【答案】(I)/()的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；(2)设工二苔'=，原不等式等价于2(玉+W<e,前者可构建新函数，利用极值点ab偏移可证，后者可设Z=/，从而把E+W<e转化为（，T）In（T+l）-flnz<O在（l,+）上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为（0,+8）,又F（X）=I-In五一I=-InX,当X£（0,1）时，z（x）>0,当x（l,+8）时，z（x）<0,Ina+1InZ?+1故/（X）的递增区间为（0），递减区间为（1,+8）.(2)因为引n-4ln力=a-Z?,故Z?(Ina+1)="(lnh+l),即设一=%，7=工2，由（1）可知不妨设0<%<1,%2>1.因为x(0,l)时，/(x)=x(l-lnx)>0,X£(e,+oo)时，/(x)=x(l-lnx)<0,故1<Z<e.先证：x+X2>2,若x22,xl+X2>2必成立.若毛<2,要证：xl+X2>2,即证>2-12，而0<2-工2<1,故即证/()>(2-w),即证：/()>(2-2),其中1v2v2.设g(x)=f(x)一/(2一元)，1<%<2,则g'(v)=/'(x)+'(2-X)=-InX一ln(2x)=-lnx(2-x),因为l<x<2,故0<无(2-x)<l,故一InX(2-x)>0,所以g'(x)>O,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(x)>g(l)=O,故/(x)>(2一%)，即/()>f(2-W)成立，所以玉+/>2成立，综上，玉+%>2成立.设=历，贝h>1,马可得：x1(1-In)=2(I-Inx2),人Ina+1nh+结合=ab11r,1.l.Z-I-HnZ即：l-lnx,=r(l-1n-lnx1),故Inxi=,t要证：xl+x2<e,即证(r+l)<e,即证ln(f+l)+ln芭Vl,即证：ln(f+l)11<1,即证：(，l)ln(r+1)Hn/<0,令S(r)=(f-I)In+ZlnZJ>1,则SYr)=ln(r+1)+-l-lnr=In1+-|,/+1It)/+1先证明一个不等式：In(X+l)x.设“(X)=In(X+l)-x,贝J(x)=-!-j1=,当一IVXVo时，(x)>0;当x0时，(x)<0,故“(X)在(To)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，11(x)re=w(0)=0,故In(X+l)x成立由上述不等式可得当f>l时，+故S'()<0恒成立，故S(f)在(1,+8)上为减函数，故S(f)<S(l)=O,故(，-I)InQ+l)-Hnr<O成立，即玉+%Ve成立.综上所述，2<-+-<e.ab【点睛】方法点晴：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.5.12021浙江高考真题】设,b为实数，且a>l,函数/(X)=优一加+/(R)（1）求函数/（）的单调区间;（2）若对任意>2/，函数/（%）有两个不同的零点，求Q的取值范围；（3）当=e时，证明：对任意b>,函数/（可有两个不同的零点中毛，满足X2>bnb2e22b（注：e=2.71828是自然对数的底数）【答案】b0时，/O）在R上单调递增；6>0时，函数的单调减区间为f-OO,lg-Y单调增区间为（IOga3,+81；<ln«JInrz（2）（1,e2；证明见解析.【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；结合的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【解析】(1)/(X)=4、-云+/,/'(X)=优n-Z?,若人0,则/（©二屋lna-bO,所以Fa）在R上单调递增；若人>0,当x一8,IOg“高卜寸，/'（x）<0j（M单调递减，当XIoga告,+°0）时,/'（x）>Oj（X）单调递埴综上可得，b0时，/（X）在R上单调递增；Z?>0时，函数的单调减区间为1-8,lg,3,单调增区间为（log,3，+8IinaJIIna（2）（x）有2个不同零点OaX-加+/=（）有2个不同解OeXEa-以+/=（）有2个不同的解,令f=xln,则d-色-+/=On=e='-J>0,InaIn67t记g")=°+e,g'Q)=.一('+/)/(-2记=/«-1）一/,"（。=，（”1）+，.1=£八0,又(2)=0,所以，(0,2)时，Q)VO,r(2,+oo)时，(r)>O,则g(f)在(0单调递减,(2,内)单调递增，.±>g(2)=,.ln<,Inaeb>2e,.->2,:.na2=>i<ae.e即实数。的取值范围是(l,e.=ej（x）=，一法+/有2个不同零点，则，+/=加，故函数的零点一定为正数.由可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为演，ex2+e1i>e注意到函数y=巴三在区间（0,2）上单调递减，在区间（2,y）上单调递增,Xe5+e2故玉<2<w，又由Ce知/>5,要证X2>bnbe21.E1.e2x+,只而%2>In/?+,8=丝且关于匕的函数g（3=ln8+S在b>上单调递增,X?尤>b所以只需证Z>n工+X2姜仇>5），,x2只需证Ine*?-in竺一笑>0,x22e只需证InX-一ln2>0，2exJ4x/<4,只需证7(x)=InX-r-ln2在>5时为正，2e由于'(x)=J+4XeT4e=1+4eX(X1)>0,故函数MX)单调递增，X又(5)=In5-与一In2=In*-当>0,故(x)=Inx-"一In2在>5时为正，夕2eex从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性：已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.6.12021全国高考真题(理)】己知0>0且。1,函数/*)=*>0).(1)当。=2时，求/(司的单调区间;(2)若曲线y=(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.【答案】(1)°上单调递增;2,+8ln2上单调递减；(2)(1.e)D(C【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性：(2)利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=f()与直线y=l有且仅有两个交点等价转化为方程包土=则有两个不同的实数根，即曲线y=g(九)与直线y=二有两个交xaIna点，利用导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象,进而得到0<呼<：,发现这正好是OVgg)Vg(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到。的取值范围.“、X2、2-2.2'ln2x2v(2-xln2)【解析】当4=2时，/("=卞J(X)=-TT-1.I?vI4799令(X)=O得X=_,当0<xv，时，广(工)>0,当1>_时，r()<0,函数/(x)在(0,专上单调递增；7，+8)上单调递减;ln2)(2)/(x)=1<>=xrtOJdna=InXo=,设函数g(x)=aXaX则g'(x)=I',令g'(x)=。,得x=3在(O，e)内g'(x)>0,g(力单调递增;在(e,+)上g'(x)<O,g(x)单调递减；gd=g(e)=j又g(l)=O,当X趋近于+时，g()趋近于0,所以曲线y=(x)与直线y=l有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=焉有两个交点的充分必要条件是0<呼<：,这即是OVgg)Vg(e),所以。的取值范围是(l,e)u(e,H>).【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.7.12021全国高考真题(理)】设函数/(x)=Ing-x),已知X=O是函数y=4(x)的极值点.(1)求。；X+f(y(2)设函数函X)=；、.证明:g(x)<l.fM【答案】1；证明见详解【分析】(1)由题意求出P,由极值点处导数为O即可求解出参数(2)由(1)得g*)=x+ln(l-x)xln(l-x)x<l且XW0,分类讨论冗(0,l)和戈(-oo,0),可等价转化为要证g(%)<1,即证+1。(1一力>无历(1一式)在无40,1)和工«30,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解1Y【解析】(1)由/(x)=ln(-X)=1(X)=，y=V(x)=>y'=ln(-x)+,x-axa又X=O是函数y=*)的极值点，所以y'(0)=ln=0,解得=1；/、/、x+f(x)x+ln(l-x)(2)由(1)得/(x)=In(I-x),g(x)=-T-,XeI且xw,'/''xf(x)In(I-X)/、x+ln(l-x)z,、当X(O,1)时，要证g。)=7r<l,x>0,ln(l-x)<0,.xln(l-x)<0,即',xln(l-x)证1+ln(lx)>xln(l-x),化简得x+(l-X)In(Ix)>0；/、JV+ln(l-x),、同理，当X(yo,0)时，要证g(x)=(J0)'vl'x<0,ln(l-x)>0,.xln(l-x)<0,即证x+ln(l-%)>xln(l-x),化简得x+(I-X)In(I-x)>0；令MX)=X+。一力In(I-力，再令f=l-,则Z(0,l)(l,÷3),=-tt令g(r)=l+flnf,(r)=-l+lnr+l=Inr,当(0,l)时,g'()<O,g(力单减,假设g(l)能取到,则g(l)=0,故g(0>g(l)=O;当，(l,+)时，g'(x)>O,g(x)单增，假设g(l)能取到，则g(l)=0,故g(O>g=0；综上所述,g。)=x+ln(l-x)Jdn(17)Vl在x(-,0)U(0,l)恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为。可求参数。，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.8.【2020年高考全国I卷理数】已知函数(x)=ex+0-(1)当G=I时，讨论f(X)的单调性；(2)当x0时，/(x)-x3+l,求Q的取值范围.2【解析】(1)当。=1时，f(x)=ex+x2-x,WJfx)=ex+2x-l.故当x(-8,0)时，fx)<0；当x(0,+8)时，f,(x)>0.所以/(X)在(一8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(2)/(x)gx3+l等价于(gx3-Or2+i)eTi.设函数g(x)=(gd-Or2+X+l)e-'(xO),则13g,(x)=-(-xi-0r2+x+l-x2+20r-l)e",r=-gM2-(2。+3)X+41+2ex=x(x-2a-l)(x-2)ex.(i)若2+l0,BPa-,则当x(0,2)时，g'(%)>0.所以g(x)在(0,2)单调递增，而g(O)=1,故当x(0,2)时，g(x)>1,不合题意.(ii)若0<2+l<2,即一g<<g,则当x(0,2a+l)U(2,+河时，g'(x)<O;当x(2+l,2)时，gx)>O.所以g(x)在(O,20+l),(2,+8)单调递减,在(20+l,2)单调递增.由于g(O)=l,7-e2所以g(x)l当且仅当g(2)=(7-40)e-2,gJ>.47-e21所以当一-a<-F,g(x)l(iii)若2+l2,p0,则g(x)(gx3+工+1把一".由于g),故由(ii)可得gx3+x+l)e-'l.故当白之；时，g()i综上，的取值范围是上U+8).4【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.9 .【2020年高考全国口卷理数】已知函数/(R)=SiM为sinZx.(1)讨论在区间(O,TI)的单调性；(2)证明：(X)也；O(3)设"N",证明：sin2xsin22sin24xsin22,x.4,【解析】(1)f'W=cosx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x),=2sinXcosxsin2x+2sin2xcos2x=2SinxSin3x.当Xe(0,5)IJ(T,11)时，f,(x)>0；当XW专,)时,f,(x)<0.所以/(幻在区间(Oq)痔,11)单调递增，在区间(py)单调递减.(2)因为/(0)=/(兀)=0,由(1)知，/")在区间的最大值为/(1)=¥最小值为/(0)=-空.而/(%)是周期为冗的周期函数，故Ifa)IX1.388(3)由于(sin2sin22xsin22rtx)三=Isin3xsin32xsin32nx=IsinxIlsin2xsin32xsin32nlxsin2nxsin22nxHsinf(x)f(2x)/(2n-*K)Ilsin22nx/(x)(2x)(2rt-,x),所以sinGsi/Zxsin22"x()3=*10 .(2020年高考全国In卷理数】设函数*)=3+bx+c,曲线y=(x)在点(；，/(；)处的切线与y轴垂直.(1)求B.(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(x)所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1),(x)=3x2+b.依题意得/'g)=0,即:+6=0.故人=一.4R303(2)由(1)知/(x)=x3x+ctf,(x)=3x2.44令尸3=0,解得x=或Ar=1.22r。)与/。)的情况为:f,()+O-O+f/c+；c-/44因为八D=/()=c+!，所以当c<-4时，/")只有大于1的零点.244因为/(-1)=/(!)=。一!，所以当c>!时，/(x)只有小于-1的零点.244由题设可知c1.44当c=-(时，/*)只有两个零点-;和1.当C=；时，/(%)只有两个零点-1和;.当一7<c<:时，/")有三个等点x,X2,X3,且Ne(-1,一=)，-e(->££(二)442222综上，若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，则/")所有零点的绝对值都不大于1.I1.【2020年高考天津】已知函数*)=d+Qnx(kR),尸(X)为了(X)的导函数.(I)当攵=6时,(i)求曲线y=/(%)在点(IJ(I)处的切线方程;9(ii)求函数g(x)=f(x)-尸+一的单调区间和极值;X(11)当左-3时，求证：对任意的x，/eU,十°0)，且玉%，有r(x)+r(w)j(j-电)2x1-x2【解析】(I)(i)当攵=6时，/(x)=x3+61nx,故/3)=3/+2可得AI)=1,X(l)=9,所以曲线y=(x)在点(1,/(1)处的切线方程为y-l=9*1),即y=9x-8.3(ii)依题意，g(x)=x3-3x2+61nx+-,x(0,+oo).从而可得X(x)=3x2-6x+-4,整理可得g'(x)=3(xT)：*+l)令g<%)=0,解得XXXX=I.当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表：X(0,1)1(1收)g'()-0+ga)极小值/所以，函数g(x)的单调递减区间为(U),单调递增区间为(1,+8)；g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值.(11)证明：由/(x)=V+nx,得r(x)=3f+&.X对任意的西,工2g1.+0°),且不>工2，令±二1(Z>1),则XI(xi-2)(,(i)+(2)-2(x1)-(x2)(kk(x=(1-2)34；+3%2+-2-X+knIX2)I×)/=M-E-3a+3x%;+&-2A:In&x)X2=x；(户一3产+3r1)+A(r2Inf.112(1Y令人(X)=X21nx,xl,+oo).当x>l时，,(x)=1+=1>0,XxXXJ由此可得(X)在1,+00)单调递增，所以当f>l时，h(t)>h()fgz-2lnr>0.t因为X21,f3-3r2+3r-l=(r-l)3>0-3,所以，(r3-3r+3r-l)+A:r-21nr>(r一3*+3I)-21nr3=r3-3r2÷61nr+1.t3由(I)(ii)可知，当，>1时，g(f)>g，即户一3"+61nf+>1,t3故一3r+6m，+一l>0.t由®®可得(再一$)(/'(%)+/'()-2(F(1)-()>0.所以，当一之一3时对仟意的XTen+)日x>有/(西)+/'伍)、/(%)一/()I口，仕扇*,X?£1.1."t*co),.qX>,3>2x1-X212.【2020年高考北京】己知函数/(冗)=12-Y.(I)求曲线y=F(X)的斜率等于-2的切线方程；(11)设曲线y=()在点Q,Q)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(f),求SQ)的最小值.【解析】(I)因为/(x)=12-d,所以r()=-2x,设切点为(%),12一%)，则一2x0=-2,即为=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=0.(11)显然w,因为y=f(%)在点(力12-产)处的切线方程为:-(2-r2)=-2r(x-r),24-IO令X=0,得y=r+i2,令y=0,得X=1.JIt所以SS=9(r+12).常，乙Nlrl不妨设>0(f<0时，结果一样)，mlcz/+24*+1441,3M144、则5。)=-(r3+24r+),v74r4t所以S()=%入24一岁)=3(入8348)4t4r_3(/-4)(*+12)_3«-2)"+2)(4+12)4/4户由S'(z)>O,得f>2,由S'(r)<O,得0<f<2,所以S(T)在(0,2)上递减，在(2,田>)上递增，所以f=2时，S。)取得极小值，也是最小值为S(2)=W3=32.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.13.(2020年高考浙江】己知lva2,函数/(x)=e'-x-,其中e=2.71828.是自然对数的底数.(I)证明：函数y=()在(O,”)上有唯一零点；(11)记均为函数y=()在Qy)上的零点，证明：(i)Ja-而*(a-1)；(ii)x0f(ex0)(e-IXa-l).【解析】(I)因为/(0)=>v0,/X2)=e2-2-e2-4>0,所以y=f(力在(0,+)上存在零点.因为f'(x)=e'-1,所以当x>0时，,>0,故函数/*)在0,*o)上单调递增，所以函数以y=()在Oyo)上有唯一零点.（三）(i)令g(x)=eA-gx2-I(X0),g,(x)=er-%-1=fx+a-f由(I)知函数g'(x)在0,*o)上单调递增，故当x>0时，g'(x)>g'(O)=O,所以函数g(x)在。田)单调递增，故g(x)g(0)=O.由g(12(-I)O得/(J2(41)=72(“一1)一.O=/(%),因为/")在0，也)单调递增，故同F%.(x)=ev-x2-x-l(Oxl),(x)=ev-2x-l,1(x)=ev-2x-l(Oxl),(x)=e*-2,所以X0(0,ln2)ln2(In2,1)1-1一0+e-2匕(X)0、e-3故当Ovx<l时,(x)<O,即Zf(X)V0,所以M*)在0,1单调递减,因此当O<x<l时，(x)(0)=O.由h(4a-)O得/(tT)=尸-4a-a<O=/(x0),因为/a)在10,T8)单调递增，故7x0.综上，T<2(a-l).(ii)u(x)=ex-(e-l)x-l,w,(x)=ex-(e-l),所以当x>l时,wr(x)>0,故函数(X)在区间l,+)上单调递增，因此(幻W(I)=O.由eAb=Xo+可得xef(ex°)=(+a)=(efl-l)x+(e"-2)x0(e-l)0r,由A0-1得x0(e*)(e-l)(t?-)a.14.【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥A8与MN平行，OO'为铅垂线(O'在A8上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离片(米)与D到OO'的距离。(米)之间满足关系式%=V,右侧曲线B0上任一点F到MN的距离为(米)与F到00'的距离b(米)之间满足关系式H=-上尸+6b.已知点8到。的距离为40米.800(1)求桥A8的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米，其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价|攵(万元)(k>0),问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？O,EB【解析】（1）设A4t,84,CA,环都与MN垂直，A,8Q,K是相应垂足.由条件知，当。8=40时，BBI=一一×403+6×40=160,则AA=I60.18000由1.。T=I60,得OA=80.40所以他(2)以O为原点，Oo为)，轴建立平面直角坐标系Xoy(如图所示).设F(x,>j2),x(0,40),则y2=x3+6x,800EF=160-y,=160+-6x.-800因为CE=80,所以OC=80x.设O(X-80,y),则V=-1.(SO-X)2,40所以8=160-y=160七(80K)2=一卷炉+4工记桥墩8和EF的总造价为f(x)t131f(x)=k(60+x3-6x)+-(X2+4x)pj800240I3=kx2+l60)(0<<40).80080Q3%kf,(x)=k(-x2-x÷160)=-x(-20),80040800令F(x)=O,得x=20.X(0.20)20(20,40)f,(x)-0+/(X)极小值所以当x=20时，/(x)取得最小值.答：(1)桥AB的长度为120米；(2)当CrE为20米时，桥墩CO和历的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.15.【2020年高考江苏】已知关于X的函数丫=/(%),丁=83与数%)="+/匕。11)在区间D上恒有f(X)(x)g(x).(1)若/(x)=W+2x,g(x)三-X2+2fD=(o,+),求MX)的表达式；(2)若f(x)=2-x+1.g(x)=klnx,(x)=kx-k,D=(0,+),求k的取值范围；(3)若f(x)=X4-2x2,g(x)=42-8,(x)=4(/T)X-3r4+22(0<tj2)tO=q-0,0,求证：n-m-Jl.【解析】(1)由条件/(x)Zz(X)Ng(X),得X2+2x6+0-V+2x,取X=0,得0b0,所以人=0.由/+2x米，X2+(2-)xO,此式对一切xe(f,*o)恒成立，所以(2-%)2o,则4=2,此时2x-f+2恒成立，所以力(x)=2x.(2)力(x)-g(x)=k(x-lnx),x(0,+oo).令(X)