专题04解三角形（第一部分）.docx

专题04解三角形(第一部分)学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.在BC中，A=6O,B=75,a=2t则tlBC中最小的边长为()A.立B.亚33C.y2D.62 .己知二ABC中，a=4,=43,A=30o,则B等于()A.30oB.60°C.60。或120。D.30。或150。二、多选题3 .在liBC中，已知。=2应"=4,A=30。，则角8=()A.30oB.450C.120oD.135°三、填空题4 .在SABC中，若A=Io5cC=30。力=1,则C=.5 .在取ABe中，若=1,C=60,c=J,则A的值为.四、单选题6 .在AABC中，内角A、B、C的对边长分别为八b、c,已知主丝=色，且/“2=助,sCc则6=()A.4B.3C.2D.I7 .在中，内角A,B,C的对边分别是,b,c,已知sin(6-A)+sin(B+A)=3sin2A,且c=",C=p则Q=()A.1B.迈C.1或组D.叵3338 .在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是。，b,c.若a=2b,则空上学叱的值sinA为()A.B.-C.1D.:242五、填空题9 .在锐角/BC中，a2-b2=bc则角8的范围是,一三一一与+6sinA的取值范tanBtanA围为10 .在eABC中，内角A,8,C的对边分别为,A,c,若osinB=JJbcosA,匕=10,c=6,则BC边上的中线长是.六、解答题11 .在AABC中，角A8,C的对边分别为,b,c,若cos8+bcosA=2ccosC.(1)求角C的大小；若二ABC的面积为21.c=23,求“WC的周长.12 .记aA8C的内角A,B,C的对边分别是。，b>c,已知sin5-55cosA=0.求A；(2)若=7,6=2,求tWC的面积.七、多选题13 .根据下列情况，判断三角形情况，其中正确的是A.a=8,b=16,A=30o,有一解B.b=18,c=20,B=60。，有两解C.a=5,c=2fA=90°,无解D.a=30,b=25,A=150°,有一解14 .在ABC中，角A,B,C的对边分别为,b,c,则()A.若A=30。，b=4,=3,则>A8C有两解B.若UmAtan8=1,则AABC为直角三角形C.若sin?A+sin?8+cos?C<1,则AABC为锐角三角形D.若岸一b?=*,则A=2815 .根据下列条件解三角形，有两解的有（）A.已知。=应，b=2,B=45°B.已知a=2,b=娓,A=45°C.己知b=3,c=y3,C=60oD.己知。=26，c=4fA=45。16 .在，"C中，角A,aC所对的边分别为,b,c,且c=8,8=g.若以8C有两解，贝%的6值可以是（）A. 4B.5C.7D.1017. "WC的内角AB,C的对边分别为,"c,则下列命题为真命题的是（）A.若A>B,则SinA>SinBB. sin2A+sin2B<sin2C,则一ABC是钝角三角形C.若ccosA=反osB,则-ABC为等腰三角形D.若=8,c=10,4=45,则符合条件的“BC有两个八、单选题18.在取钻。中，已知/=6+历+¢2,则角A为（）.1111C211C兀-211A.B.C.D.一或一36333九、多选题19 .钝角&ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若=J1.8=2&，且c>b,则。的值可能为（）A.25B.4C.23D.3十、填空题20 .在JlBC中，角4、B、。所对的边分别为a、b、c,且从+=+bc,则角A的大小为.十一、解答题21 .在三角形48C中，A,B,C所对的边分别为,b,a已知力=3,c=23,A=30,解这个三角形.十二、单选题22 .在，ABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、J若=bsinA,则jABC的形状一定为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形23 .ABC中，角A,B,C所对应的边分别为。，b,J已知a2+b2-（acosB+bcosA）2=labcosB,则ABC是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形24 .已知“15。的三个内角45,。所对的边分别为4匕°若280。疝8=豆强，则该三角形的形状是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形十三、多选题25 .在a48C中，角A,B,C的对边分别为,b,c,则下列条件能判断二ABC是钝角三角形的有（）A.acosA=bcosBB.ABBC=2aCa-bsinC._rk.C.=D.PcosC+CCOSo=bc+bSinA+sinB26 .在dBC中，角48,C所对的边分别为,瓦c,已知SinA=2sinB,则下列说法正确的是（）A.若C=与，三c=22pB.若"18C是等腰三角形，则SinB=巫J8C.若C=2B,则-ABC是直角三角形D.若C=g,贝Jc=十四、单选题27 .在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、J若ABC为锐角三角形，且满Sib2-a2=ac,则H-1的取值范围是tanAtanB28 .冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150。等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了ZkABD,测得AB=5,BD=6,AC=14，AD=3,若点C恰好在边8。上，请帮忙计算SinzAC。的值()十五、多选题29 .在“WC中，若(+b)M+c):9+c)=9:10:ll,下列结论中正确的有()A.sinA:SinB:SinC=4:5:6B.tlC是钝角三角形C.工XBC的最大内角是最小内角的2倍D.若¢=6,则，ABC外接圆的半径为瓯730 .己知二48C中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且a(sin4-SinB)=CSinCSin8,则下列说法正确的是()A.C=-6B.若"的面积为5,则。的最小值为2C.若=l,B=*则“IBC的面积为止叵D.若b=3,c=7,则满足条件的/BC有且仅有一个十六、填空题31 .在AABC中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,若AABC的面积为S,且=l,4S=b2+c2-a2,则外接圆的半径为.十七、解答题32 ./BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知=7,h=2,A=60o.求SinB的值；(2)求C的值.参考答案：1. B【分析】易得C=45,再根据正弦定理计算最小角C的对边即可.【详解】由题意，C=180-60-75=45,故中最小的边长为。.,-r-n.ac.asinCX72店由正弦定理=：，故C=-J=音二F.snAsnCSinA332故选：B2. C【分析】根据已知条件利用正弦定理直接求解即可【详解】在“8C中，«=4,=43,4=30。,由正弦定理得急bsinB4_43sin30osinB解得SinB=虫,2因为00vbvl500,所以5=60。或B=120。，故选：C3. BD【分析】宜接利用正弦定理计算即可.【详解】由=20>=4,4=30。，得A<8,因为_=匕所以.RsinAy2SinASinB,71smB=-=>又OOVB<180。,所以8=45。或135。.故选：BD.4. 222【分析】先求出角然后利用正弦定理直接求解即可【详解】因为A=IO5。,C=30。，所以3=180。-A-C=I80。-105。-30。=45。,由正弦定理得sinBsinCbsinCl×sin30o，-Jl"sinBsin45°22故答案为：立25. 30/6【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】因为=1.C=60,c=J,由正弦定理三=三，即一1.=W-SinAsinesinAsin60所以SinA=g,因为0vAvl20,所以A=30.故答案为：306. A【分析】根据正弦定理及余弦定理可求解.【详解】"O'=巴,即为3ccosA=acosC,cosCca2+b2-c22ab即有又东-/=26贝解得b=4.故选：A.7. C【分析】利用Sin(B-4)+sin(8+A)=3sin2A可得到SinBCQs=3sinAcosA,然后分cosA=0和CosA0两种情况进行讨论即可求解【详解】Vsin(B-A)+sin(B+A)=3sin2A,/.SinBcosA-CosBsinA÷SinBcosA+CosBsinA=6sinAcosA，.*.SinBcosA=3sinAcosA，当COSA=O时，A=taABC为直角三角形.72>2.,/兀.=.c=7,C=t.113；3sin3当COSA0时，则有SinB=3sinA,由正弦定理得6=3,由余弦定理得/=2+b2一2出JCOSC,即7=/+(3)2-23g,解得=1,综上，。=1或零.故选：C.8. A【分析】根据正弦定理求得正确答案.【详解】依题意湾,.-t3i11z2sin2B-Sin2A2b2-a2b111由正弦定理得；=；=2-1=2×-1=一一.sin2a2UJ2)2故选：A9. 23,ll)【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得A,B的关系，结合锐角三角形条件可求A,B的范围，然后结合对勾函数的单调性可求.【详解】解：因为ar-h2=he&(T=tr+c2-2bccosA,所以c-2Z?CoSA=Z?,由正弦定理得SinC-2sinBcosA=sin3,所以5抽(4+8)2$11188$4=5抽8,整理得sinAcosB-sinBCOSA=Sin3,即Sin(A-B)=SinB,所以A-4=A,即A=28,0<<-2又-48C为锐角三角形，所以0<2B<g,解得g<8<f,2640<11-3B<-2故三<4<卫，<sinA<l,322r11,55z.,(cosBCoSA)N.A贝l+6sin=51+6snAtanBtanAISin3sinA)_sin(A-B)/.5sinB,.,.45=5；+6smA=+6snA=6snA+,sinBsinAsinBsinAsinA令=sinA,则/(f)=+6f在上单调递增，在(曰,f)上单调递减，又/(I)=I1,/图=竽，/(噜卜2屈故C)2而,11),即.故答案为：<B<J;25,ll).10. 7【分析】利用正弦定理边化角可求得A,根据向量线性运算和数量积运算律可求得A/,由此可得结果.【详解】由正弦定理得：sinAsinB=>3sinBcosA,B(0,11),.sinBO,.sinA=-73cosA,即tanA二6，A(,11),.=y；。是边BC的中点，A0=g(A8+AC),.l.AD+2ABAC+ACj=-(b2+2ZjccosA+c2)=-×(100+60+36)=49,.k4=7,即8C边上的中线长是7.故答案为：7.I1.(I)C=I(2)6+24【分析】（I）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得CoSC,由此可得C；（2）由三角形面积公式可求得必，利用余弦定理可构造方程求得+人，由此可得三角形周长.【详解】（I）由正弦定理得：SinACOSB+sinBcosA=2sinCcosC,.sin（A+B）=sin（11-C）=sinC=2sinCcosC,C(,11),.sinCO,.cosC=i,则C=.(2)SABC=gabsinC=4ab=26,"二8,由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a+b-3ah=(a+b)2-24=12,解得：a+b=6,.iA8C的周长1.=+A+c=6+2G12. A=I也2【分析】(I)利用正弦定理将边化角，即可求出tanA,从而得解；(2)利用余弦定理求出c,再由面积公式计算可得.【详解】(1)在二48C中，由正弦定理=及asin5-石COSA=0,SinASinnsmC得SinASinB-币SmBCOSA=0，又在.,4BC'中，sinB0,/.SinA=>3cosA,*tanA=>/3,V0<A<11,.,.A=-.3(2)在ABC中，由余弦定理可知/=。2+/-380»,X*A=,c2-2c-3=O,解得c=3或C=T(舍去)，故一48C的面积为Srm=csinA=×2×3×=.ABC222213. ABD【解析】利用正弦定理，二二二二一汨依次求解A,B,C,D即可求得结果.snAsinBSinC【详解】A中，=所以SinB=更浮迎=1,B=90%即只有一解；sinASinB»B中，SinC=祖祥=等，且。>力，C>3,故有两解；C中，A=90°,=5,c=2,»=g77=07=IT,有解；D中，因三=一所以TnA_变昼_工，又b<a,所以角B也只有一解.sinAsinBs,n-30-F故选:ABD.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,主要考查解三角形个数,难度一般.14. ABD【分析】对A,由正弦定理可判断；对B,化简可得COS(A+8)=0可判断；对C,由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断；对D,由正弦定理结合余弦定理可判断.【详解】对A,因为加inA<vb,所以AABC有两解，故A正确；对B,因为tanAtanB=I,所以COSACOS8SinASin8=0,COS(A+8)=0,A+=y,故C=,故B正确；对C,由sin?A+si112B+cos?C<l可得sh?A+si1128<si?C,则/+/c?,所以cosC=+z,2r<0,故C为钝角，故C错误；2ab对D,a1-b2=bc»所以/-2Z?CCOSA=人c,所以SinC-2sinBcosA=sinB,所以Sin(A-B)=SinB,A-6(0,乃)，Be(O仁)，所以A-B=B,即A=28,故D正确.故选：ABD.15. BD【分析】直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果.【详解】解：对于选项A：由于=,h=2t3=45。，利用正弦定理三=一"，解得SinASinBSinA=f由于Vb,所以A=J,所以三角形有唯一解.26对于选项8：已知=2,=6,A=45o,利用正弦定理三=名，解得SinB=立,又,SinASinB2则8=(或与，故三角形有两解.rK对于选项C已知b=3,c=3,C=60o,所以利用正弦定理=J=-J,所以S加3=1.5snCSinB>1,故三角形无解.对于选项Q：已知=2J,c=4,A=45o,由于。>cs加A,即以顶点8为圆心,。为半径的圆与AC射线有两个不同交点，故三角形有两解.故选：BD.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.16. BC【分析】由题意画出图形，可知CSinBVaVc,求出。的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解:如图:要使.,ABC有两个解，则CSinBV。vc,即8sin2<<8,解得：4v4v8,6故选：BC17. ABD【分析】利用4>8则>b,进而利用正弦定理即可判断选项A；利用正弦定理角化边得a2+b2<c2,利用余弦定理得COSC<0,即可判断B：利用正弦定理边化角整理得sin2A=sin2B,可得A=B或2A+28=兀，即可得出结论判断C；正弦定理求得SinC,可判断D.【详解】对于A,当4>5时，a>b,根据正弦定理得2RsinA>2RsinB,整理得SinA>sin,故A正确；对于B,因为sin?A+sii)2Bvsi/C,由正弦定理得片+/<c?,2«22所以CoSC=-C-V0,因为0<Cvc,所以巴<C<兀，即C为钝角，2ab2所以>1BC是钝角三角形，故B正确；对于C,由acosA=bcosB,由正弦定理可得SinAcosA=SinBcosB,即sin2A=sin2B,所以A=B或2A+28=11,所以4=8或4+8=5,所以48C是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对于D,由正弦定理得.csi11A1x-25应，即二<sinC<l,SinC=-=2«88因为所以C>A,A为锐角，所以存在满足条件的45C有两个，D正确.故选：ABD【分析】根据题意，利用余弦定理求得CoSA=-万，即可求解.由余弦定理可得CoSAb2+c2-a2-be2bc22hc211【详解】BJa2=b2+bc+c2,h2+c2-a2=-hc,又因为A(U),所以A=竽.故选：C.19.BC【分析】分析可知C为钝角，利用余弦定理结合三角形三边关系可得出C的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】因为=应，b=2>2»KoZ?,则c>b>4,因为11BC为钝角三角形，故。为钝角，且cos。="+户-=2+8<0,解得c>M,2ab2ab由三角形三边关系可得8-<cv+8,则vc<3,故JU<cv3,故选：BC.【分析】余弦定理结合已知条件宜接求解即可.【详解】解：因为82+/=?+岳，所以。2+/一=be、又因为A(0,11),所以A=.故答案为:21. =3,C=90,8=60.【分析】首先根据余弦定理求明再根据三边的关系，判断三角形的形状，即可求解角.【详解】根据余弦定理可知，a2=+c2-2ccosA=9+12-2×3×23×y-=3,所以=1.且满足/+6=c2,所以角C=90,则角8=180-A-C=60.所以=1.C=90,8=60.22. B【解析】先由正弦定理化简得到SinB=1.再求出B=5,最后判断三角形形状.【详解】解：因为=)sinA,所以由正弦定理有SinA=SinASinB(SinA>0),整理得SinB=1.又因为0<8<万，所以8=,故二ABC为直角三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.23. B【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得/+6一,2=2血os8,再利用余弦定理可得cos3=cosC,可得结果.【详解】由题，已知cr+b2-(acos+bcosA)'=2abcosB,由正弦定理可得：sin2A+sin2B-(sinAcosB+CosAsinB)2=2SinASinBcosB即sin2A+sin2B-sin2(A+B)=2sinAsincos又因为Sin(A+B)=SinC所以sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosB即O1-Vtr-C1=2cbcosB由余弦定理：a2+b2-C2=2abcosC即cosB=cosC所以B=C所以三角形一定是等腰三角形故选B【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.24. B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.【详解】因为2cosCsinB=sinA,由正弦定理可得力COSC=，因为COSC=''+'-I,所以互二=，整理可得力=c.laba故选：B.25. BC【分析】对于A,由cosA=bcosB,利用正弦定理和二倍角正弦公式判断；对于B,由A88C=-ccos8=2判断；对于C,利用正弦定理和余弦定理判断；对于D,由bcosC+ccosB=b,利用正弦定理和两角和的正弦公式判断.【详解】对于A,由cosA=Z?CoSB及正弦定理，可得SinACOSA=SinNCoS5,即sin2A=sin2B,所以2A=28或2A+23=万，所以A=B或4+8=,所以.4BC是等腰三角形或直角三角形，故A不能判断；对于B,由ABBC=-讹COS6=2，得COSB<0,则B为钝角，故B能判断；对于C,由正弦定理=-=,得从+。2一/=一庆，则COSA=-，4=”，故C能判c+ba+b23断；对于D,由bcosC+ccos3=b及正弦定理化边为角.可知sin8cosC+sinCcosB=sin8,即SinA=SinB,因为A,B为AABC的内角，所以A=B,所以ABC是等腰三角形，故D不能判断.故选：BC.26. BCD【分析】根据余弦定理和正弦定理即可得出答案.【详解】因为SinA=2sinB,由正弦定理得=M,对于A选项，由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-2×2b×b×(-)=lb2,C=币b,故A错误.2对于B选项，若.,ABC是等腰三角形，显然出b,又当b=c时，有=2=2c=6+c成立，显然此时不能构成三角形，则只能是=c,再根据=2Z?,由余弦定理得，CoS8=a2+c2-b24从+46-b2在ABC中，sinB=JI-COS?B=,故B正确.8对于C选项,若C=2B,WJsinC=sin2B=2sinBcosB,又sinA=2sinB,则SinC=sinAcosB,又SinC=sinAcosB+cosAsinB,则sAsinB=O,在中，sinO,所以COSA=0,即4=；,故C正确.对于D选项，由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-2×2b×b×-=3b2fC=Gb,故D正确.2故选:BCD.27. A【解析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A、8关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.【详解】因为Zj2=c,所以,-2ccosB=ac:.c-2acosB=asinC-2sinAcosB=sinA,sin(A÷B)-2sinAcosB=sinA,.Sin(B-A)=SinA/.3-A=A,8=2Aml.11111l-tan24l+tan2A11、因此=-(tanA+),tanAtanBtanAtan2AtanA2tanA2tanA2IanA因为ABC为锐角三角形，所以0<A<Z,0<8=2A<工,0<C=兀一8-A=11-34<N,囚<A<4,9<tanA<l222643因为y=:(+1.在(在J)上单调递减，所以-g(1,选A.2x3tanAtanB3【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角正切公式以及函数单调性，考查综合分析求解能力，属较难题.28. C【分析】先根据三条边求出8SNAO8,利用平方关系得到SinZAC后，结合正弦定理可得sinZACD.【详解】由题意，在AABO中，由余弦定理可得,CoSNAoB=AD2+BD2-AB22ADBD9+36-2552×3×69,因为ZAD3(0,7t),所以SinNADB=JI-COS?NADB=在，A8中，由正弦定理ACADsinZADB-sinZACD,143即2IZ-SinZAC£>，解得SinzACO=三一J9故选：C.29. ACD【分析】由(+")M+c):e+c)=9:10:U,解得=4f,b=5tfc=6r,结合正弦定理和余弦定理，逐一求解四个选项可得答案.【详解】由(a+/?):(a+c):(/?+c)=9:10:ll,不妨设4+8=5,a+c=0t,b+c=t,解得=4z,b=5f,c=6t.对于A选项，由正弦定理可得SinA:sin3:SinC=。：从。=4:5:6,故A正确.对于B选项，由=4"b=5f,c=6t,知C最大,又COSC=13=幽H电3JIab2×4r×5rsC>0,所以C为锐角，最大角为锐角，故B错误.对于C选项，由a=4z,b=5t,c=6%,知A最小，C最大,)、)2(旬、2,COSC=1.2×5r×6r31cos2A=2cos2A-I=2×(一)2-1=cosC,488sA>0,cosC>0,可得C=2A,故C正确.对于D选项，当c=6时，a=4,b=5,CoSA=2bc52+62-4232×5×6在ABC中，sinA=Jl-CoS2A=R_a_4_8不/BC外接圆的半径为京X一"一，故D正确.xV故选:ACD.30. BC【分析】由正、余弦定理及已知得C=,再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】,.,SinA-Sin8)=CsinC-OsinB,，由正弦定理可得(-b)=c2-从，即/+从一/=疝,24序21对于A选项，由余弦定理可得COSC=，Iab20<Cv兀，,C=:，故A错误；对于B选项，由题可知,aSinC=且裙=6，；而=4,24由余弦定理可得/=a2+b2-2abcosC=a2+b1-ab2ab-ab=ab=4,c2,当且仅当a=b=2时等号成立，故C的最小值为2,故B正确；.立厂对于C选项，由题可知A=；,由正弦定理得号=三，,C=竺呼=%=当4SinASinCsinA22V048C的面积为1.aeSin8=)lsin2=sin(t+3-×#+点=3+退,故C22212446448正确；对于D选项，由余弦定理可得=2+-2cosC,P7=2÷9-3,3+2=0,解得。=1或。=2,故D错误.故选：BC.31T【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，求解角A,再根据正弦定理求半径.【详解】因为4S=从,所以3csinA=3ccosA,即SinA=CosA,所以tanA=I,由A为三角形内角得A=45。，因为=l,由正弦定理得2R=正=应，所以R=正2故答案为：立232.(l)sinB=y-【分析】(1)根据已知宜接使用正弦定理可得;(2)直接使用余弦定理可得.【详解】(1)因为“=7,b=2,A=60o.由正弦定理YT=工，可得X=二一，所以SinB=应；SinAsnBsin60osinB7(2)由余弦定理a?=/+/一2CCOSA,得(e)=22+c2-2×2ccos60o,BPc2-2c-3=0,解得c=3,C=-I(舍)，所以c=3.