专题02 方程与不等式（5大易错点分析+19个易错点+易错题通关）（江苏专用）（解析版）.docx

专题02方程与不等式一元一次方程专题易错点：1 .理解方程的概念：一元一次方程只有一个未知数，且该未知数的次数为1。学生需要清楚地理解这个定义，才能正确地识别和构建一元一次方程。2 .移项问题：在解方程的过程中，学生可能会在移项时出错，例如将正数移到等号的右边时，忘记改变其符号，或者在移项时没有正确理解等式的性质。3 .去括号问题：去括号是解一元一次方程的重要步喉，但学生常常在执行这个步骤时出错，尤其是在处理负号和正号时。4 .合并同类项：合并同类项是解一元次方程的关键步骤之一，但学生可能会在执行这个步骤时出错，尤其是在处理正负号时。5 .系数化为1：在解一元一次方程的最后一步，学生需要将方程的系数化为1,以找出未知数的值。但这个步骤可能会被学生忽略或执行错误。6 .理解并运用等式的性质：等式的性质是解元一次方程的基础，但学生可能没有完全理解这些性质，或者在应用这些性质时出错。易错点1：一元一次方程之古代问题例：九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六.问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出Il文钱;如果每人出6文钱，就相差16文钱.买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是X文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（）X-16x+11Cx-11x+16A.=B.=6969Cx+11x-16x-11x+16C.=D.=6996【答案】A【分析】本题考查了元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键.根据人数不变列方程即可.【详解】解：由题意，得：X-16x+1169故选：A.变式h九章算术中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为-则可列方程.【答案】8x-3=7x÷4【分析】本题主要考查r-元次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，设人数为心根据每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，列出方程即可.【详解】解：设人数为X,根据题意得：8x-3=7x+4,故答案为：8x-3=7x+4.变式2,古代中国的数学专著中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是”今有生丝30斤，干燥后耗损3斤，今有干丝12斤，问原有生丝多少？”40【答案】原有生丝为三斤.【分析】此题主要考查了元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键.可设原有生丝为工斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解.【详解】解：设原有生丝为X斤，根据题意得：X301230-3,40解得：X=三，40答：原有生丝为/斤.易错点2：一元一次方程之行程问题例：A、B两地相距200千米，甲骑摩托车以40千米/时的速度从A地向B地行驶，半小时后乙开车以60千米/时的速度从A地向8地行驶，则当两人相距10千米时，甲骑摩托车行驶的时间是()A.1小时B.1小时或1.5小时C.1小时或2小时D.1.5小时或2小时【答案】C【分析】本题考查元次方程解实际应用题，涉及行程问题，根据题意，分两种情况讨论，列方程求解即可得到答案，熟记路程=速度X时间是解决问题的关键.【详解】解：根据题意，分两种情况：是甲在乙前面时；是甲在乙后面时；当甲在乙前面时，设甲骑摩托车行驶的时间是X小时，则40x-60(x-05)=10,解得X=1；当甲在乙后面时，设甲骑摩托车行驶的时间是y小时，则60(x-0.5)-40x=10,解得x=2；，综上所述，甲骑摩托车行驶的时间是1小时或2小时，故选：C.变式1:甲，乙车同时从A地出发去地3,两车均匀速而行，甲车到达3地后停止，乙车到达B地后停留4小时，再按照原速从8地出发返回A地，乙车返回A地后停止.已知两车距A地的距离(km)与所用的时间（三）的关系如图所示，当两车相距14Okm时，两车出发的时间为小时.【答案】7或12或不【分析】本题已考查了根据函数图象获取信息，元一次方程的应用；分别求得甲、乙两车的速度，结合函数图象，0<X10,10<Xl4,14<Xy,X>y,列出一元一次方程，解方程，即可求解.500【详解】解：依题意，甲车的速度为市=30kmh,乙的速度为桨=50kmh,T10当0<x10时，依题得，50x-30x=140,解得：x=7,当10<x14时，500-30x=140,解得：X=I2,当500-50(x-14)=3OX时，两车相遇，解得：x=15当14<x<三时，30x-500-50(x-14)=140解得：X=半(舍去)当x>三时，5(X)-5(X)-50(x-14)=14()即50(x74)=140,84解得：X=«4综上所述，当两车相距14Okm时，两车出发的时间为7或12或1小时.«4故答案为：7或12或(变式2：受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点.第一次用了60秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了45秒.(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？(2)求所用时间"秒)与速度W米/秒)的函数关系式；若要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于多少米/秒？【答案】(1)3米/秒(2)v=午；6米/秒【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用；(1)依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；(2)依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题.【详解】(1)解：由题意，设小勇第一次训练的速度是X米/秒，则第二次训练的速度是(x+l)米/秒，.60x=45(x+l).解得：x=3,答：小勇第一次训练的速度是3米/秒.(2)从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：60x3=180(米)，小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为U米/秒，所用时间为f秒，180/.V=.当要使所用时间不超过30秒时，SPr<30,.,.v>6.要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于6米/秒.易错点3：一元一次方程之利润问题例：某商品提价25%经营了两个月后，销量大幅降低，若要恢第原价，则应降价().A.25B.25%C.20D.20%【答案】D【分析】本题考查元次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程.设应降价率为X,把原价看做单位“1”,可得关于X的方程式，求解可得答案.【详解】解:设应降价率为X，把原价看做单位T，则提价25%后为1+25%,再降价X后价格为(1+25%)(Ir),.(l+25%)(l-x)=l,解得x=20%.故答案为：D.变式h某商场将某种商品按成本提高60%标价，又以8折优惠卖出，结果每件商品仍可获利14元，则这种商品的成本价是元【答案】50【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找出等量关系是解题的关键.设这种商品的成本价是1元，根据题意列出方程(1+60%)XXO.8T=I4,然后求解即可.【详解】解：设这种商品的成本价是X元，根据题意得，(l+60%)x×0.8-x=14,解得X=50,答：这种商品的成本价是50元.故答案为：50变式2：一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：销售量单价不超过100件部分2.6元/件超过100件不超过300件部分2.2元/件超过300件部分2元/件若买100件花元，买260件花元；买350件花元；(2)某社团为举行活动花了568元买这种商品作为纪念品，求购买这种商品多少件？若张强花了元(>260),恰好购买0.45件这种商品，求的值.【答案】(1)260,612,800购买这种商品240件(3)的值为1000【分析】本题考查了一元一次方程的应用.(1)根据不同的档，求出购买不同件数的花费；(2)说先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费；（3）根据：=购买0.45件商品的花费，列出关于的方程，求解即可.【详解】（1）解：买100件花：2.6×l=26O（元），买300件花：2.6x100+2.2x200=700（元），买350件花：2.6×l+2.2×200+2×50=800（元），故答案为：260,700,800；（2）解：设购买这种商品X件，因为花费568<700,所以购买的件数少于300件，260+2.2（/100）=568解得：x=240,答：购买这种商品240件；（3）解：当260<j700时，260+2.2（0.45-100）=«,解得：=4000（不符合题意，舍去），当>700时，2.6xl（X）+2.2x200+2（0.45-300）=解得：n=1000,综上所述：的值为100O易错点4：一元一次方程之新定义例：在有理数范围内定义运算“"：ab=a+-t如：】（-3）=l+=1=-1.如果2热=X（+1）成立，则X的值是（）A.-1B.5C.0D.3【答案】D【分析】此题主要考查了元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律.根据新定义1bna+F，将2x=X（+1）变形为方程，解之即可.【详解】解：+一,Y_11_1：2fX=X（+1）可化为2H-=X4,.cx-l2H=X2去分母得，4+x-l=2x移项，合并同类项得，-x=-3解得：x=3.故选D.变式h对任意四个有理数4力,Gd,定义新运算：“r=ad-bc,若一2：一：+1=18,则X=.cd-54【答案】-1【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解.【详解】解：依题意，-8x+5（x+l）=18.去括号、合并同类项得T3x=13解得：x=-l,故答案为：-1.变式2,【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若X是关于X的一元一次方程0r+A=ogO）的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且心y满足x+y=10,则称关于y的方程是关于”的一元一次方程的“友好方程例如：一元一次方程3x-2x-9=0的解是x=9,方程N=I的所有解是y=l或y=-l.当y=l时，+y=10,所以IyI=I是一元一次方程3x-2x-9=0的“友好方程”.【问题解决】（1）已知关于y的方程：2>-2=4；N=3.请通过计算说明哪个方程是一元一次方程3x-2xT3=0的“友好方程”？若关于），的方程Iy-Il=I是关于X的一元一次方程1-智卫=4+1的“友好方程”，求。的值.【答案】IM=3是3x-2x-13=0的“友好方程”（2）74 4【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用，首先解得X的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”；（2）首先求得），的值，再分别求得与其“友好方程”的X的值，进一步求得即可.【详解】（1）解：由3x-2x-13=0,解得x=13,由2y-2=4,解得y=3,，不是3x-2x-13=0的“友好方程”.方程IyI=3的解是y=3或产-3.当尸-3时，-3+13=10,则是标-2文-13=0的“友好方程”.(2)方程卜-1|=1的解是)，=2或y=0.当y=2时，由题意，得K=K)-2=8,将x=8代入=+得8=+l,解得=j,当V=O时，由题意得X=I0,将X=Io代入无一=+l,10-1f=+l,解得。=二.3345 7则的值为一或一.6 4二元一次方程组专题易错点：1 .对概念理解不清：学生可能没有完全理解二元一次方程组的定义和性质，导致在判断一个方程是否为二元一次方程时出错。2 .消元法与代入法的使用不当：在解二元一次方程组时，学生可能会错误地选择消元法或代入法，或者在实施这些方法时出错。3 .误解方程的解的含义：学生可能误解了方程的解的含义，认为解必须是一个具体的数值，而实际上，在一些情况下，方程的解可能是一个范围或者无解。4 .忽视实际意义：在解决与实际问题相关的二元一次方程组时，学生可能只关注数学上的解，而忽视了实际背景的限制条件，导致答案不符合实际情况。5 .计算错误：在解二元一次方程组的过程中，学生可能会出现计算错误，导致最终答案不正确。易错点1：二元一次方程组的整体思想已知方程组ax+by=mcx+dy=nx=3的解为、Iy=2则方程组a(x+)+b(y-Y)=mc(x÷l)÷J(y-1)=7?的解为(D.X=-3y=-2【答案】Ax+l=3y-=2【详解】解：由题意，方程组ax+by=incx-vdy=nfx=3的解为y=2【分析】本题考查二元一次方程组解的定义；运用整体的思想是解题的关键.运用整体的思想，得解得的解满足:右行尔卜(x+D+H)'T)"方程组1.tz(x+l)+J(y-l)=wx+l=3y-1=2，解得x=2y=3故选：A21VV二，则+b的值为a2+b+ab=7【答案】3【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程.由+得：(+A)2+(+3-12=0,从而得至J(+b-3)(+b+4)=0,即可求解.【详解】解:a+/+"=5a2+b+ab=l®由+得：a2+b2+2ab+a+b=2,，(+Z?)2+(+Z>)-12=0,/.(+b-3)(+6+4)=0,.*.+b-3=0或+8+4=0,'.+b=3或Y,Ta,b为正实数,.*.a+b=3.故答案为：33(w+5)-2(w+3)=-l变式2：阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组<,><)时，采用了一种“整体换元''的3(m+5)+2(+3)=7解法.把m+5,+3看成一个整体，设加+5=x,"+3=y,则原方程组可化为3x-2y=-1A,3x+21.，解得x=l)=2,m+5=1+3=2,解得学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元'的方法，解方程组+y-y.-+-=435X+)'X-J9=35(2)拓展提升，已知关于MV的方程组J的解为a2x-b2y=C2x=3请直接写出关于的方程组a.(m+2)-b.n=c.，+;的解是(3)请你用上述方法解方程组x+y_xy22(x+y)-3x+3y=25【答案】(1)x=9y=-6771=1=425X=(3)25尸耳【分析】本题考查二元次方程组的特殊解法一“整体换元法(1)根据题意所给材料可令m=W2,=?，则原方程组可化为解出，代入35m-n=-2他=x+y,n=x-y,再解出关于,y的方程组即可；(2)根据题意所给材料可得出再解出这个方程组即可；/1=4mn(3)令m=+y"=-y则原方程组为5=5,再解出这个方程组即可求解.2m-3=25【详解】(1)解：对于35山_q=_2人+y,令An=-广，n则原方程组可化为m+n=4n-n=-2t解得：m=n=3,0=13,即X-yo-=35x+y=3x-y=5,解得:x=9y=-6'(2)解：,方程组fn+2=3=4解得:(3)解：依题意，令、=+y=7则原方程组为m_n232m-3=25353?-2=O2M一3=25x2-x3得，-411+9n=-75解得:x3-X2得，9w-4w=-50,解得：zn=-10.x+y=-10(3)一x-y=-5®+得，2x=-25,25解得：=-得，2y=5,解得：y=,25X=原方程组的解为52.尸5易错点2：二元一次方程组之古代问题例：孙子算经是我国古代一部较为普及的书，其中的许多问题浅显有趣.如：“雉兔同管''题为"今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？“设鸡有X只，兔有只，依题意可列方程组为（）卜+y=35x+y=35x+y=35卜+y=35A，4x+2y=942x+4y=9414x+4y=942x+2y=94【答案】B【分析】本题考查了列二元次方程组，设鸡有X只，兔有只，根据题意列出二元一次方程组，即可求解.【详解】解：设鸡有X只，兔有只，依题意得x+y=352+4y=94故选：B.变式h我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：”几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱,则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？”设该问题中的人数为X人，物品的价格为了钱，则可列二元一次方程组为.【答案】8x-y=3y-7x=4【分析】本题主要考查二元次方程组与实际问题的应用，根据“每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱,则还差4钱”列式即可.【详解】解：由题知Sx-y=3y-lx=4f故答案为:8,->,=3y-7=4变式2：我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头,大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？”（1）请你列方程组求出大、小和尚各多少人；（2）重新修建寺庙需要和尚们向工地运送IO万块豉，若每篮子装20块豉，一个大和尚每次可担两篮子破，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？【答案】（1）有22个大和尚，78个小和尚（2）61【分析】本题主要考查二元次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握消元法解二元次方程组的方法是解题的关键.（1）设有X大和尚，有y个小和尚，根据100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，列方程组求解；（2）先求得大小和尚们一起运送一趟，可以运砖1660块，然后用10万除以1660即可求解.【详解】（I）解：设有X大和尚，有y个小和尚，根据题意得，x+y=100,3+y=92,（x=22解得:t=78答：有22个大和尚，78个小和尚.（2）解：依题意，大小和尚们一起运送一趟，可以运砖22×20×2+78×-×20=1660（块），2l（XXXX）÷1660=60400,，大小和尚们起至少需要运送61趟才能满足工地需要.易错点3：二元一次方程组之方案问题例：小华准备购买单价分别为4元和5元的两种瓶装饮料，且每种瓶装饮料的购买数量不为0.若小华将50元恰好用完，则购买方案共有（）A.2种B.3种C.4种D.5种【答案】A【解析】略变式h陕西全民阅读工作深入推进，书香社会建设进展明显，读书学习蔚然成风.某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用720元购买图书展示架，可供选择的有A种展示架120元/个，8种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示架的情况下，一共有种购买方案.【答案】3【分析】设购买A种展示架X个，B种展示架)，个，然后根据题意可分情况进行求解.【详解】解：设购买A种展示架X个，8种展示架)，个，由题意可分：当只购买A种展示架时，则有120x=720,解得：x=6；当只购买B种展示架时，则有180y=720,解得：y=4；X=3当购买A和B一起时，则120x+180y=720,解得：Iy=2综上所述：一共有3种购买方案；故答案为3.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键.变式2,为了救援地震灾区，某市A、B两厂共同承接了生产500吨救灾物资任务，A厂生产量是B厂生产量的2倍少100吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资240吨，乙地需要物资260吨，运(2)设这批物资从8厂运往甲地X吨，全部运往甲、乙两地的总运费为W元，求狡与X之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；(3)当每吨运费降低。元，(0v15,且为整数)，若按照(2)中设计的调运方案运输，且总运费不超过5400元，求的最小值.【答案】300,200W=Yx+11100(0x200),A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，8厂200吨全部运往甲地时费用最少.(3)0的最小值为10【分析】（I）设这批防疫物资A厂生产了。吨，8厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出W与工之间的函数关系式以及X的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可：（3）根据题意以及（2）的结论可得W=TX+11000-500。，再根据次函数的性质以及列不等式解答即可.【详解】（1）解：设这批防疫物资A厂生产了。吨，3厂生产了b吨；+b=500a=2b-100解得:«=3006=200答：这批防疫物资A厂生产了300吨，3厂生产了200吨;（2）如图，AB两厂调往甲、乙两地的数量如下：目的地生产厂家甲乙A240Tx+60BX200-xw=20(240-x)+25(x+60)+15x÷24(200-x)=-4x+11000x0；,240-%0200-x0.0x200当x=200时运费最小所以总运费的方案是：A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，8厂200吨全部运往甲地时费用最少.（3）由（2）知：W=11000-500«当x=200时，W及小=-4200+11000-500。=10300-500。,.10300-5006Z5400.9.8所以。的最小值为10.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解.一元二次方程专题易错点：1 .判别式的理解：一元二次方程的判别式八二b?-4ac是一个重要的概念，但在理解上容易出错。学生需要明确判别式的意义，知道它决定了方程的根的类型（实根或虚根）和数量（一个或两个）。2 .公式法的应用：一元二次方程的求根公式是X=A。在使用时，学生需要确保判别式大于或等于0,否则不能使用公式法求解。同时，学生也需要注意公式的符号运算，避免出现计算错误。3 .因式分解法的应用：因式分解法是一元二次方程的一种解法，但学生在应用时常常无法正确地提取公因式或分组，导致分解错误。4 .移项和合并同类项：在解一元二次方程时，移项和合并同类项是非常常见的步骤，但学生容易在移项时忘记改变符号，或者在合并同类项时出现计算错误。5 .根与系数的关系：对于一元二次方程的根，学生需要理解它们与系数之间的关系，如根的和等于系数的比，根的乘积等于常数项除以系数。这些关系在求解某些特殊方程时非常有用，但学生常常会忘记或者混治这些关系。易错点1：一元二次方程解的估算例：根据表格对应值:X1.11.21.31.4ax2+bx+c-3.59-2.16-0.710.76判断关于X的方程+6+c=o的一个解X的范围是（）D.无法判定A.1.1<X<1.2B.I.2<x<1.3C.1.3<x<1.4【答案】C【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化.【详解】解：当X=I.3时，or2+Zzr+c=-0.71,当X=I.4时，ax2+bx+c=0.16f所以方程0+r+c=o的解的范围为.3<<1.4,故选C.变式h根据下列表格的对应值，由此可判断方程M+12X-15=0必有一个解X满足1X-1I1.11.2x2+12x-15=0-26-2-0.590.84【答案】l.l<x<1.21.2>x>l.l【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.利用表中数据得到X=1.l时,x2+12x-15=-0.59<0,K=1.2时,x2+12x-15=0.84>0,则可判断/+12x-15=0时，有一个解满足l.l<xvl.2.【详解】解：.x=l.l时，x2+12x-I5=-0.59<0,x=1.2时，x2+12x-15=0.84>0,.1.1<xv1.2时，存在/+12x-15=0,即方程f+12x-15=0必有一个解X满足1.ICXCI.2,故答案为：l.l<x<1.2.变式2：阅读与思考：下面是小华求一元二次方程的近似解的过程.如图，这是一张长8cm、宽6cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是12cn的无盖长方体纸盒.小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为XCm,列出关于X的方程(8-2x)(6-2x)=12,整理得炉7+9=0.他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程.探索方程的解:第二步:X1.51.61.71.8x2-7x+90.750.36-0.01-0.36因此：<x<.（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出X的范围；（2）通过以上探索，请直接估计出X的值.（结果保留一位小数）【答案】（1）3,-1,1,2,161.7,1.6%x<T7?（2）?7?【分析】（1）第一步：代入x=l及x=2,可求出*-7+9的的值，进而可得出IVXV2;第二步：根据X=1.6及X=I.7时，2-7+9的值，进而可得出1.6<x<1.7;（2）由的结论，可得出X的值约为1.7.【详解】解：（1）第一步：当x=l时，2-7x÷913-×+=,当x=2时，77x2992?T×+=",l<x<2;第二步：当X=1.6时,2-7+9=036,当x=1.7时,2-7x+9=-0.01,.*.1.6<x<1.7.故答案为：3,1,1*Zl.6,1.7,1.6VXV1.7；（2）通过以上探索）的值约为1.7.【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键.易错点2：一元二次方程配方法求最值例：请同学们借助所学知识确定代数式Y+2%+3有最大值还是最小值，是多少（）A.有最小值是2B.有最大值是2C.有最小值是6D.有最大值是6【答案】A【分析】本题考查了配方法的应用；根据配方法得出（x+iy+2,即可求解.【详解】解：x2+2x+3=(x+1)2+22,，代数式/+2+3有最小值是2,故选：A.变式h我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用.例如：求代数式Y+4x+5的最小值？解答过程如下：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.y(x+2)20,当X=2时，(x+2)2的值最小，最小值是0,.(x+2)2+11,当(x+2)2=0时，(x+2p+l的值最小，最小值是1,.f+4x+5的最小值为1.根据上述方法，可求代数式/-6x+12当X=时有最(填“大”或“小”)值，为.【答案】3小3【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可.【详解】解：X2-6x+12=(x2-6x+9)+3=(x-3)2+3,.(x-3)20,(x-3)2÷33,*当x=3时，代数式f-6x+12的最小值是3.故答案为：3,小，3.变式2,【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.例：求代数式V+4y+8的最小值.解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4,V(y+2)20,(y+2)2+44.当y=-2时，/+4y+8的最小值是4.(1)【类比探究】求代数式/-6x+12的最小值；(2)【举一反三】若y=-x2-2x当X=时，N有最值(填“大”或“小”)，这个值是(3)【灵活运用】已知/-4x+y2+2y+5=0,则无+>=；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m.当BF为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？AEDBFC【答案】3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF=4m,矩形养殖场的总面积最大，最大值为48mt【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为"-3)2+3,再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-(x+lp+l,再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为(x-2y+(y+l)2=O,再利用非负数的性质求解即可；24-3x(4)设KF=Arn,则B=28z=2Xm,则8C=3xm,进而求出A3=-m,则S矩形ABB=3x=-3(x-4)-÷48,据此可得答案.【详解】(1)解：x2-6x+12=(-6x+9)+3二(X-3)2+3,/(x-3)20,(x-3)2+33,，当x=3时，/-6x+12的最小值为3；(2)解：y=-X2-2x=-x2-2-1+1=-(x+l)+1»V(x+l)2O,.-(x+l)2O,-(-V÷1)÷11>.当X=T时，y=-d-2有最大值，最大值为1,故答案为：-1；大；1；(3)解：V-4x+2y+5=0,.(x2-4x÷4)+(y2+2y+l)=0,/.(t-2)2+(>-+1)2=O,V(x-2)2O,(y+l)2O,(-2)2=(y+l)2=0,.X-2=0,y+1=0,X=2,y=1,：.x+y=2-l=1；(4)解：设BF=Am,则CF=2BF=2xm,/.BC=3t11,24-3xeJ矩形46CD-"=-3+24x=-3(x-4)2+48,V(x-4)20,-3(x-4)2O,-3(x-4)2+48<48,/AD=BC=3x5f.*.O<X5,当x=4时，S矩影ABCD最大,最大值为48,，当BF=4m,矩形养殖场的总面积最大，最大值为4811?.AEDBFC易错点3：一元二次方程之增长率问题例：随着科研的投入，某种药品的价格连续两次降价，价格由原来每盒元下降到b元.设平均下降率为X,则，b,“满足的关系式为()A.a=b(+x)2B.b=a(-x)2C.c=h(+2x)D.b=a(-2x)【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均下降率为X,根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键.【详解】设平均下降率为X,依题意得：力=(l-x)2,故选：B.变式1:某网购平台2014年“双11”交易额为571亿元,该平台2016年“双11”交易额为1207亿元，为求2014年到2016年的年平均增长率(设为X),可列方程为.【答案】571(1+x)2=1207【分析】本题考查了元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出元二次方程是解题的关键.设这两年的年平均增长率为X,利用该平台2016年“双11”交易额=2014年“双11”交易额X（1+这两年的年平均增长率为1）2,可列出关于X的一元二次方程，即可得出结论.【详解】解：设这两年的年平均增长率为X,根据题意得：571（1+x）2=1207.故答案为：571（1+x）2=1207.变式2：在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人.（1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率.（2）如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？【答案】（1）20%（2）能达到50万人【分析】本题考查了元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.（1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为X,可列出关于K的元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）求出第三季度接待游客的总人数，则可得出答案.【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为X,依题意，得：10（1+）2=14.4,解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2（舍去）；答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为20%.（2）解：8月份接待游客人数：14.4（l+20%）=17.28（万人）9月份接待游客人数：14.4（l+20%y=20.736（万人）二第三季度接待游客总人数为：14.4+17.28+20.736=52.416（万人）52.416>50答：第三季度（7月9月）该馆接待游客总量能达到50万人.易错点4：一元二次方程之营销问题例：某电商销售款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加IO台.设售价为X元/台.若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为()A.(x-80)(50+IOx)=2500B.(x-120)(50÷IOx)=