专题01 数与式（5大易错点分析+19个易错点+易错题通关）（江苏专用）（解析版）.docx

专题01数与式易错点1：分母有理化易错点2:分式新定义分式与二次根式易错点3:分式中的倒数易错点4:根式有理化易错点5:复合二次根式有理数专题易错点：1 .混淆有理数和无理数：学生可能难以区分有理数和无理数。例如，无法正确识别无限不循环小数(如人和J2)为无理数。2 .运算错误：在进行有理数的加、减、乘、除等运算时，学生可能会犯错误，如忽视运算顺序、运算符号错误或处理复杂表达式时出错。3 .对绝对值理解不足：学生可能对绝对值的定义和性质理解不足，例如将负数的绝对值理解为负数，或在处理涉及绝对值的复杂问题时出错。4 .对分数运算不熟悉：学生可能对分数的加、减、乘、除等运算不太熟悉，导致在处理涉及分数的问题时出错。5 .对数轴理解有误：数轴是有理数的重要表示工具，但学生可能无法正确理解和使用数轴，如无法正确标记有理数、无法理解数轴上的相对位置关系等。6 .对有理数的混合运算顺序不熟悉：在进行有理数的混合运算时，学生可能不清楚运算的优先级，导致运算顺序错误。7 .忽视未知数的取值范围：在进行有理数的函数运算时，学生可能忽视位置上的取值范围的重要性，导致答案不准确。8 .对概念理解不足：学生可能对有理数的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整数、什么是负数等。易错点1：绝对值化简例:若有理数4、氏C在数轴上的位置如图所示，则,+4+上一4二()*A.b+cB.-b-cC.-2a-b+cD.b-c【答案】B【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴判断出式子正负是解题关键.根据数轴可知，c<a<O<bf|c|>|«|>|Z?|,进而得出+8<0,c-v,然后化简绝对值即可.【详解】解：由数轴可知，c<a<O<b,H>11>11,则。+h<0,c-<O,.11+j+c-=-(«+/?)-(c-a)故选：B变式1：如果叫人都是有理数(HW0),那么呼+看=_.【答案】0或2或-2【分析】本题考查了绝对值的定义，及分类讨论的思想，有一定的难度.根据绝对值的定义分情况讨论即可求解.【详解】解：当>0,b>0时，号+介】+1=2；当>0,bv时，if1=1=。；当<0,匕>0时，-+4=-l+l=;ab当<0,bv时，回+4；=-IT=-2,ab综上，回+g=0或±2,ab故答案为：。或2或-2.x,x>0IIII变式2：阅读下列材料：IX=0,=0,即当>o时，四='=1,当XVO时，巴=,八XXXX-,JV<O运用以上结论解决下面问题：(1)已知Wb是有理数，当血0时，则-®=；mn(2)已知?，是有理数，当加VO时，求龙的值；mnt(3)已知Wb，f是有理数，w+H+r=0,Kmnt<0,求恻-口一的值.n+tm+tn+n【答案】(1)0;(2)1或-3；(3)-1或3.【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；(1)先判断北同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；(2)先判断加，全负或加，/两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；(3)先判断加，/两正一负，再结合(2)的结论即可得到答案.【详解】(1)解：”?，是有理数，当痴>0时，小同号,H-H=I-I=O,mn当n<0,<0时，H_H=_1+1=0;mn(2) *.*nmt<O:m,”，F全负或?，/两正一负当加，全负时，H-H-=(-l)-(-l)-(-l)=l当加，/两正一负时I)当w>0,11>0,fv时，-=1-1-(-1)=1mntII)当w>0,n<0ff>0时，-=1-(-1)-1=1tnntIII)当TMV0,h>0,f>0时，-=(-1)-1-1=-3mn1''综上所述，®-也的值为1或-3；(3) Vm+n+t=0n+t=-mtm+t=-ntm+n=-t.I-IIWMn+tm+tm+nH-H-Il=JH-H-HTn-n-t又*/nmt<0>m,，/两正一负由（2）可知州1.d1.1.的值为7或3.n+tm+1m+n易错点2：绝对值最值例：式子|x2+x-4+x-6|+|x8的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据绝对值化简计算，当4x6时，取得最小值，熟练掌握绝对值的性质和化简是解题的关键.【详解】当x<2时，x-2+x-4÷x-6+x-8=2-x+4-+6-x+8-x=20-4x>12,当2x4时，x-2+1x-4+x-6+1x-8=x-2+4-x+6-x+8-x=16-2x>8当4xW6时，x-2+x-4+x-6+x-8=x-2+x-4+6-x+8-x=8,当6-'8时，I.v21+1X41+1.V6+X81=x2+x4+x6+8x2x4>8,当x>8时，Ix-2+1x-4+x-6+-8=x-2+-4+x-6+x-8=4x-20>12,故|x-2|+|x-4|+|x-6+x-8有最小值8,故选D.变式1：当X=l,|xl+x+2+x-3+4+.+卜+100|+卜-10“的值最小,最小值为.【答案】15050【分析】本题考查绝对值的意义，化简绝对值，x-l+x+2+x-3+x+4+1+100|+1一101|表示X到1,-2,3,T-100,101各个点的距离之和，最中间的点为X=1,进而得到当X=I,-1+x+2+x-3+x+4+.+-+100|+卜TOIl的值最小,进行求解即可.掌握绝对值的意义，是解题的关键.【详解】|xl+x+2+x-3÷÷4+卜+1(刈+以一101|表大X到1,-2,3,-4-100,101的距离之和，最中间的点为x=l,当=时，|xl+x+2+x-3÷x+4÷+.+100|+卜101的值最小为:-+2+-3+4+oo÷-o=0+3+2+5+101+100(1+101)-2-=5150；故答案为：1,5050.变式2：学习“一次函数”时，我们从"数''和"形''两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法.小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=|九-1|-3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整.列表：X-2-10y0-1-2I234CI-2h0则Q=，b=.(2)描点并画出该函数的图象;（3）判断：函数丁二卜-1|-3的图象（填“是”或“不是”）轴对称图形；观察函数图象，当-3<yT时，1的取值范围是.观察函数图象，试判断函数），=,-1|-3是否存在最小值？若存在,直接写出最小值.【答案】（1）-3：-1（2）图见解析（3）是；-lx3;存在最小值，最小值是-3【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.（1）把X的值代入计算，即可求出。、的值；（2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象；（3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断；分情况讨论：x>l时和x<l时，分别求解不等式，即可得到答案；利用绝对值的性质，得到rT-3-3,当且仅当x=l时取等号，即可判断最小值.【详解】（1）解：y=x-l-3,当=时，y=l-l-3=-3,即a=3；当x=3时，y=3-l-3=-l,BPZ?=-1,故答案为：-3；-1；（2）解：函数图象如下:（3）解：由（2）图象可知，函数y=-l-3的图像是轴对称图形,故答案为：是：y=x-l-3,当x>l时，y=x-4,p-3x-4-l,解得：lx3;当时，y=-x-2,即一3-x-2T,解得：-lxl,综上所述：X的取值范围是-lx3;故答案为：lx3;存在，最小值为-3,证明如下：-o,.x-l-3-3,当且仅当x=l时取等号，.函数y=T-3的最小值为一3；即存在最小值，最小值为-3.易错点3：绝对值方程例：若卜H=2w+6,则>+4m的值为（）A.12B.-4C.5D.-3【答案】B【分析】本题考查了绝对值方程，求代数式的值，先求出m的值，再代入计算即可.【详解】解：当7O时，M=2"7+6,解得机=-6（不合题意，舍去）.当7<0时，一"z=2m+6,.*.nr+4rn=(-2)+4×(-2)=-4.故选B.变式1:己知：同=3,)=2,且+B<+B,则+b=【答案】1或T【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，求解代数式的值，本题先求解=±3,b=±2,再根据0+l<Q+>分两种情况分别代入计算即可,准确得出=3,b=-2或=-3,8=2是解本题的关键.【详解】解：=3,网=2,；=±3,b=±2,Va+b<a+bfa=3,6=-2或a=-3,b=2,当a=3,b=-2时，.a+b=3+(-2)=1；当。=-3,。=2时，a+/7=-3+2=1.故答案为：1或T变式2：“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题.探究：方程x-l=2,可以用两种方法求解，将探究过程补充完整.方法一、当x1>0时，x-l=x-l=2;当-l0时，卜-1|=2.方法二、x-l=2的意义是数轴上表示X的点与表示的点之间的距离是2.-3-2-16123上述两种方法，都可以求得方程-=2的解是.应用：根据探究中的方法，求得方程k-l+x+3=9的解是.拓展：方程卜-1|-T-3=T的解是.【答案】探究：1X、1、x=3或X=1；应用：X=5.5或1=3.5；拓展：x=-44【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离.熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键.探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可；应用：由kT+k+3=9的意义是数轴上表示X的点与表示1和-3两点之间的距离和为9,表示1和-3两点之间的距离为4,可知表示X的点在-3左侧，或在1右侧；分当XV-3时，当时，解绝对值方程即可：拓展：由题意知，卜一1卜卜"一3|=3,整理得x-k+3=g,分当x+3VO时，当x10时，当0x+3,X-IO时，三种情况解绝对值方程即可.【详解】探究：解：由题意知，当x1>0时，上一1|二工一1二2,解得，x=3；当x-l0时，kT=I=2,解得，x=-l；x-l=2的意义是数轴上表示X的点与表示1的点之间的距离是2,上述两种方法，都可以求得方程x-l=2的解是=3或广-1；故答案为：1一工、1、x=3或户-1.应用：解：kT+%+3=9的意义是数轴上表示X的点与表示1和-3两点之间的距离和为9,；表示I和-3两点之间的距离为4,表示工的点在-3左侧,或在1右侧；当XV-3时，|x1÷x÷3=1XX3=9f解得，X=-5.5：当x>l时，|xl+x÷3=x-l+x+3=9,解得，x=3.5:综上所述，x=-5.5或x=3.5:拓展：解：x-1-3=,x-l-x+3=-i,当x+3VO时，-1-x+3=1-x+x+3=4-,无解；当x-1>0时，x-1-x÷3=x-1X3=4f无解；当Ox+3,x-l0时，x-l-x+3=l-x-x-3=,解得，x=-;4故答案为：X=.4易错点4：数轴动点例：如图1,圆的周长为4个单位.在该圆的4等分点处分别标上字母旭、p、q.如图2,先将圆周上表示P的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示-2024的点与圆周上重合的点对应的字母是（）A.inB.nC.pD.q【答案】C【分析】本题考查数轴上点的规律探究.根据题意，每经过4次，点回到数轴上，利用2024÷4=506,即可得出结果.【详解】解：由题意，可知：每经过4次，点P回到数轴上，V2024÷4=506,表示-2024的点与圆周上重合的点对应的字母是乙故选：C.变式1:如图，边长为3的正方形ABCQ的边48在数轴上，数轴上的点A表示的数为-4.将正方形43CQ在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A3'CZ>',点A、B、C、。的对应点分别为火、8'、C'、D¢,点E是线段AA'的中点，当瓦/面积为15时，点A'表示的数为.DCAB01【答案】-18或22/22或-18【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，设点A'表示的数为”,则：点E表示的数为二二，根据两点间的距离公式，结合ABEO面积为15,列出方程求解即可.掌握两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键.【详解】解：边长为3的正方形ABCZ)的边AB在数轴上，数轴上的点A表示的数为T,点B表示的数为T+3=-l,设平移后点4表示的数为X,则:点E表示的数为二三，由题意，得：ED的面积=3-1一±三口=15,解得：X=-18或x=22,即：点4'表示的数为-18或22；故答案为：-18或22.变式2：【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点8表示的数分别为人，则A,8两点之间的距离A8=k-h,线段A8的中点表示的数为岁.【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-3,点8表示的数为7,点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点。从点8出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为，秒(r>0).【综合运用】ABAH-3O-3OSMH(1)填空：A、8两点间的距离AB=,线段AB的中点表示的数为；用含/的代数式表示：，秒后，点P表示的数为;点。表示的数为.(2)求当，为何值时，P、。两点相遇，并写出相遇点所表示的数；(3)求当f为何值时，PQ=-AB-(4)若点例为RA的中点，点N为所的中点，点尸在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段MN的长.【答案】10,2;(2)-3+2/,7-3/(2)相遇点表示的数为1当/=1.5或2.5,PQ=-AB(4)5【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用方程和数形结合的思想解答.(I)根据点A表示的数为-3,点3表示的数为7,即可得到A、8两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；依据点尸，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；(2)根据当P、Q两点相遇时，尸、。表示的数相等，可以得到关于，的方程，然后求出，的值，本题得以解决：(3)根据PQ=1.A8,可以求得相应的f的值；(4)根据题意可以表示出点用和点N,从而可以解答本题.【详解】(1)A、8两点间的距离AB=卜3-7=10,线段AB的中点表示的数为:手=2；用含，的代数式表示：/秒后，点尸表示的数为：-3+2/,点Q表示的数为：7-3/,故答案为：10,2；3+2/，7-3公(2) .当尸、Q两点相遇时，P、。表示的数相等，-3+2/=7-3/,解得：z=2,，当f=2时，P、Q相遇，此时，-3+2=-3+2×2=l, 相遇点表示的数为1;(3)，秒后，点尸表示的数-3+2r,点Q表示的数为7-3z,=l(-3+2r)-(7-3)H5-10,又PQ=1.AB=1x7-(-3)=1.XlO=I4442.J5r-10=-,2解得：1=1.5或2.5, 当1=1.5或2.5时，PQ=-AB;4(4)点尸在运动过程中，线段MN的长度不发生变化，理由如下：.点M表示的数为：-+(3+2/)=r-3,点N表示的数为：7+(；+%+2,.M;V=Uf-3)-(r+2)b5, 点户在运动过程中，线段MN的长度不发生变化，长为5.易错点5：数轴新定义例：已知数轴上两点44对应的数分别为-2,4,点P为数轴上一动点，其对应的数为Xp.AOBI1IJlII11JI_> 5-4-3-2-1012345(1)若点尸为线段AB的中点，则点P对应的数%=;(2)点尸在移动的过程中，其到点A、点8的距离之和为10,求此时点P对应的数J的值；(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点如图，原点。是点A,B的友好点.现在，点A、点8分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动.设出发/秒后，点P恰好是点A,8的“友好点”，求此时的，值.【答案】Y或6；【分析】(I)根据点P到点4、点B的距离相等，结合数轴可得答案；(2)此题要分两种情况：当P在AB左侧时，当尸在AB右侧时，再列出方程求解即可：(3)由点P恰好是点4,4的“友好点”，列出方程可求解.本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程.【详解】(1)解：P为AB的中点,BP=PA.依题意得4-XP=七一(-2),解得：Xp=1.故答案为：1；(2)由AB=6,若存在点尸到点A、点B的距离之和为8,P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或8点右侧.P在点A左侧，PA=-2-vPB=A-Xpf依题意得(-2TP)+(47J=I0,解得：=-4;P在点B右侧，PA=xp-(-2)=xp+2fPB=XP-4,依题意得(+2)+(七-4)=10,解得：牛=6.故P点对应的数是Y或6；(3)由题意可得：，秒后，点A对应的数为-2+3,点8对应的数为4+f,点尸对应的数为5-2,点P恰好是点A,B的“友好点”，.(5-Z)-(-2+3f)=2(5-2)-(4+f)或2(5-2z)-(-2+3r)=(5-2)-(4+f),91315解得：r=-5(舍去)或或或，哈，913IS的值.或或变式1：【定义新知】在数轴上点M和点N表示的数为?、，则可以用绝对值表示点M和点N之间的距离d(M,N),即"(KN)=M-I.【初步应用】(1)在数轴上，点A、B、。分别表示的数为-2、1、,解答下列问题：d(A8)=；若d(AO=2,则X的值为；若d(A,0+d(aC)=d(A,8),且X为负整数，则X的值为.【综合应用】(2)在数轴上，点。、E、尸分别表示数-3、5、12,动点尸沿数轴以每秒3个单位长度从点。开始向点尸运动，到达尸点后立刻原速返回到。点；同时，动点。沿数轴以每秒1个单位长度从点E开始向点尸运动，到达尸点后停止.设点P的运动时间为/秒，在整个运动过程中，若d(RQ)=：d(2E),求，的值.O7Q71【答案】(1)3；0或-4；一2或-1；，或或亍或Y【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，由数轴上两点的距离公式列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论.(I)由两点距离公式可求解；由两点距离公式可求解；由两点距离公式可求解；(2)先求出d(P,Q)=!4(,E)=l,再分”当0f5时”，"当5v7时”,"当7v108时''三种情况，列出方程即可求解.【详解】解：由题意得：卜2-1|二3；由题意得：|一2一目=2,即2+x=2,.x=0或-4：由题意得：卜2-R+l-xj=卜2,p2+1-xj=3,为负整数，/.1-x0>当X=T时，2+x+1-=2-1+1-(-1)=3,当W<2时，2+x>0,.2+x+l-x=3,此方程无解；当国>2时，2+t>0,-2x÷1X=3>解得，X=-2,故答案为：3,0或-4,-1或一2；(2)点。、E、尸分别表示数-3、5、12,J(D,E)=-3-5=8,."(RQ)=Jd(RE)=I,OP从点。运动到E的时间为(12+3)÷3=5(秒)，当0r5时，P表示的数为-3+3/,Q表示的数为5+f,则d(P,)=-3+3r-5-r=2r-8=l,9，当2r-8=l时，Z=-；27当82r=l时，/=-；当5vr7时，这时P表示的数为12-3(f-5),。表示的数学5+人.j(p,2)=12-3(r-5)-5-r,.22-4r=l,，当22-4r=l时，=；当22-4r=-l时，/=,44当7vf10时，这时。表示的数为12,P表示的数为12-3(55)=27-3f,tZ()=(27-3)-12>l,不存在.792123综上，/的值为或;或蓝或亍.变式2：在平面直角坐标系XOy中，对于点P,点M给出如下定义：如果点尸与原点O的距离为。，点M与点尸的距离是4的左倍(2为整数)，那么称点M为点尸的“A倍关当斤(一1.5,0)时,如果点4的3倍关联点M在X轴上，那么点M的坐标为.如果点M(X,y)是点4的攵倍关联点，且满足X=T5-2y4,那么整数攵的最大值为.(2)已知在RtZ48C中，ZABC=90o,ZACB=30o,A(Z>,),B(Z?+1,0).若巴(一1,0),且在ABC的边上存在点打的2倍关联点。，求力的取值范围.【答案】(-6,0),(3,0)；2(2)力的取值范围是-40-3或TWb1【分析】本题考查了两坐标点的距离、一次函数的实际应用，圆的基本概念，由题意正确理解关联点的定义，分析出点的2倍关联点的轨迹是以点2(TQ)为圆心，半径为2的圆是解答本题的关键.(1)根据题意对关联点的定义，点A与点M的距离是点M与原点O距离的三倍,由于题目没有给出点M的和点4的位置关系，因此有两种情况：点M在点，的左侧，坐标为(-6,0),点用在点，的右侧，坐标为(3,0)；根据题意对关联点的定义，点M(Ky)是X=-1.5,且-2yK4这条线段上的一个动点，由于&为整数，经过分析，女最大只能为2.(2)结合题意及对关联点的定义分析，得到点心(-1,0)的2倍关联点的轨迹是以点2(T,0)为圆心，半径为2的圆，ABC边A8在X轴上，且AB=I,由此得到。的取值范围.【详解】(1)解：依据题意，对关联点的定义知：点M与原点。的距离为1.5,点C的3倍关联点M在X轴上，点4与点M的距离是3x1.5=4.5,点”的坐标为(-6,0),(3,0).依据题意，得：点May)是X=-1.5,且-2y4这条线段上的一个动点，依据题意对关联点的定义，当坐标为M(T53)时，整数2最大，最大值为2.故答案为：(-6,0),(3,0)；2(2)如图，8(b+l,0),A(b,0),AB=I.点。为点八的2倍关联点，（-1,0）,QP2=IOP2=2,点E（TQ）的2倍关联点的轨迹是半径为2的，：P2;当直角三角形ABC沿X轴运动与12的交点为点。,b的取值范围是Yb-3或一161.故答案为：Tb-3或-lbl实数专题易错点：1 .混淆有理数和无理数的概念：有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则无法表示为有限小数或无限循环小数。2 .混淆实数的运算性质：（1）实数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，例如结合律、交换律等。（2）容易忽视实数的运算性质，导致在运算中出现错误。3 .对绝对值的理解不足：（1）绝对值表示一个数距离0的距离，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。（2）容易忽略绝对值的定义，导致在处理绝对值时出现错误。4 .对平方根的理解不足：（1）平方根是一个数的非负值，即正平方根和零的平方根。（2）容易忽略平方根的定义，导致在处理平方根时出现错误。5 .对无理数近似表示的误解：（1）无理数可以用有理数进行近似表示，例如“可以使用分数进行近似表示。（2）容易将无理数的近似表示误认为是无理数的准确值，导致在计算中出现错误。6 .对实数的大小关系理解不足：（1）实数的大小关系可以通过数轴来表示，正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数。（2）容易忽略实数的大小关系，导致在比较实数大小时出现错误。三9易错点1：算术平方根与立方根的规律例：已知：26=4.858,236=1.536,则J.OO236=()A.0.1536B.15.36C,0.04858D.48.58【答案】C【分析】本题考查积的算术平方根的性质，理解”被开方数向一个方向移动2位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动1位''是解题的关键.【详解】解：0.00236=23.6×0.0001=4.858×0.01=0.04858,故选C.变式h小明用计算器求r一些正数的平方，记录如下表.X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916X1225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256下面有四个推断:22801=1.51一定有3个整数的算术平方根在15.515.6之间对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1,则它们的平方的差小于3.01®16.22比16.产大3.23所有合理推断的序号是.【答案】D【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知/和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可.【详解】解：根据表格中的信息知：228.01=15.1,.2.2801=1.51,故正确；根据表格中的信息知：15.52?=240.25<<15.622=243.36,：.正整数=241或242或243,一定有3个整数的算术平方根在15.515.6之间，故正确；*.*由题意设二人+0l,且OVbVaV15,./一斤=(+b)(叫=(»+0.1)x0.1=0.»+0.01,由0vb<avl5,/.0.2Z?<3,.0.26+0.01<3.01,对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1,则它们的平方的差小于3.01,故正确；V16.22=262.44,16.12=259.21,262.44-259.21=3.23,故正确；合理推断的序号是.故答案为：©.变式2：爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据:0.03240.324J32A34>243240324000.180.5691.85.691856.9180(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大已知51.732(精确到0.001),并用上述规律直接写出各式的值：三300-;(3)已知Jl(MO4=102,x=10.2,y=1020,则“J=_.(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据正1.442,直接说出300和3000的近似值吗？【答案】(I)IO倍(2)0.1732；17.32(3)104.04；1040400能直接说出300014.42,不能直接说出300的值【分析】(1)根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致；(2)根据规律进行计算即可求解；(3)根据规律进行计算即可求解；(4)根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致.【详解】(1)解：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，故答案为：10倍.(2)6=1.732(精确到0.001),并用上述规律直接写出各式的值：血而0.1732；5面«17.32,故答案为：0.1732；17.32.(3) V10404=102,r=10.2,6=1020,X=104.04；y=1040400(4)解：V1.442,314.42,不能直接说出胸5的值【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键.易错点2：整数部分与小数部分例：己知<庄<+1,且是整数，贝心?=()A.4B.5C.6D.7【答案】B【分析】根据无理数的估算求解即可.【详解】解：25>35>36,>5<35<36，S5<35<6,又<庄<+1,且为整数，=5,故选：B.【点晴】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键.变式1：定义国为不大于X的最大整数，如2=2,3=1,4.1=4,则满足W=5,则的最大整数为.【答案】35【分析】根据题意可知5<6,然后利用平方运算进行计算即可解答.【详解】解：=5,*5-Jn<6，：25<z<36,的最大整数为35.故答案为：35.【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出5y<6是解此题的关键.变式2：阅读下面的对话，解答问题.小红："是无理数，是无限不循环小数，因此它的小数部分我们不可能表示出来，对吗？小高：你说的不对，我们知道，它住2和3之间，它的整数部分是2,用它本身减去整数部分2就可以表示它的小数部分.(1)T的整数部分是,小数部分是;(2)若5+正的小数部分为4-正的整数部分为。，求病的值；(3)若4a+l的算术平方根是7,3-2的立方根是-5,c是加的整数部分，求4+"3c的平方根.【答案】(1)4,2T-4-2±4【分析】(1)先用夹逼法估算0T，再求出其整数部分和小数部分即可；(2)先用夹逼法估算相，进而估算5+6和4-石，得出。和从即可求解；(3)根据算术平方根的定义得出4/+1=49,即可求出。的值，根据立方根的定义得出助-2=-125,即可求出b的值，用夹逼法估算加，即可得出C的值，再将a、b、c的值代入4a+b+3c,即可求出其平方根.【详解】解:V16<21<25,4<11<5,，后的整数部分是4,小数部分是-4;故答案为：4,y2-4;(2)解：V4<5<9,.2<5<3,贝J-3<-有<-2,7<5+5<8,l<4-5<2,5+逐的整数部分为7,小数部分为5+6-7=5-2,4-6的整数部分为1,小数部分为4-百-1=3-百，.*.a=y/5-2,h=,-5F=5-2-5T=-2;（3）解：4o+l的算术平方根是7,4+l=49,解得：=12;%-2的立方根是-5,.3b-2=T25,解得：b=-4；V9<10<16,3<i<4,*c=3,.4«+Z?+3c=4x12-41+3×3=16,：.44+6+3。的平方根为±71=±4.【点睛】本题主要考查了无理数的估算，算术平方根，平方根，立方根的定义，解题的关键是熟练掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤，以及算术平方根，平方根，立方根的定义.易错点3：无理数的估算例：估计6（6+"）的值应在（）A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间【答案】C【分析】本题考查的是无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟记运算法则以及估算方法是解本题的关键.先计算二次根式的乘法再估算即可.【详解】解：6x（6+小）=3+>flJ,6<3+15<7,3×(3+5)的值应在6和7之间，故选C变式h已知IP=1331,123=1728,133=2197,=2744.若为整数,且<侬五<+1则=.【答案】12【分析】本题考查了立方根的定义及估值，准确理解相关概念掌握估值的方法是解题的关键.由已知可得，1728<2023<2197,由立方根定义及不等式性质可得，1728<2023<2197,结合题中条件可知，12v22023<13,即=12.【详解】解：V1728<2023<2197,i728<2023<2197,V123=1728,B3=2197,12=728,13=2197,V1728<2023<2197,12V#2023V13,;为整数且<#2023<+1,w=12.故答案为：12.变式2：任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数7：小丁<，(其中川、为萼绫的整数)，则称无理数的