23 解直角三角形模型之新定义模型（学生版）.docx

专题23解直角三角形模型之新定义模型解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。【知识储备】模型1、新定义模型此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为aABC的3个角NA、NB、NC,分别对应边、b、c：D正弦定理：如图1,9=-=2R（其中R是三角形外接圆的半径）。sinAsinBsinC2)余弦定理：如图2,a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-IaccosBc2=a2+b2-IabcosC.3)正弦面积公式：如图2,5*=absinC=/?csinA=ac,sinB.2224)同角三角函数的基本关系式：S加26>+cs2e=,心夕=COSU5)和(差)、二倍角角公式：sin(a±)=sinacos±cosasin；sifi2cx=2sinacosa.CoS(a*B)=cosacos元sinasin;cos2a=cos2asin2a=2cos1a1=12sia.C2tanatanla=-1-tanaz1tana±tantan(a±)=1孑tanatan例1.（2022湖南中考真题）阅读下列材料:在ABC中，NA、DA、NC所对的边分别为。、b、c,求证：-=sinAsinB证明：如图1.过点C作Co_1.AB于点0,则：在RtBCD中，CD=asinB;在RtACD中，CD=bsinAdla.ab.snB=Z>smA-=sinAsinB根据上面的材料解决下列问题：bc（1）如图2,在ABC中，ZA.DB、NC所对的边分别为4、b、c,求证：=；（2）为了办好湖南sinBsinC省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化，已知NA=67。,/8=53。，AC=80米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参考数据：sin53o0.8,sin67o0.9）例2.（2022湖南湘西统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在MBC中，加、团8、团。所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：a2=b2-rc2-2bccosA；b2=a2-c2-2accosB;c2=d2-b2-IabcosC现已知在0A8C中，A6=3,AC=4,IM=60。，则BC=.例3.（2022山东青岛校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.探究一：如图1,在-ABC中，NABC=90o,AC=b,BC=a,NC=Na,求JwC的面积.在RlZ4BC中，ZABC=90o,.,.sina=.AB=lsna.'SxbcBCAB=absna.探究二：如图2,"18C中，AB=AC=bfBC=a,AB=Aa,求i8C的面积（用含。、b、。代数式表示），写出探究过程.探究三：如图3,.ABC中，AB=b,BC=a,4B=4a,求ABC的面积（用。、b、。表示）写出探究过程.问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：（用文字叙述）.问题应用：如图4,已知平行四边形ABC。中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四边形ABCD的面积（用。、b、。表示）写出解题过程.问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、b、c、d、a、夕表示），其中AB=力，BC=CfCD=dfAD=a,ZA=a,Z.C=.例4.（2023春四川泸州八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决.古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具体如下：设一个三角形的三边长分别为。、b、c,P=g（+b+c）,则有下列面积公式：S=yP(P-a)(P-b)(P-c)(海伦公式)；S=J->2-)2(秦九韶公式).V42一个三角形边长依次是5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在BC中，AB=15,BC=14,AC=I3,求ABC的面积和BC边上得高AD的长.例5.(2023北京市九年级校考期末)关于三角函数有如下公式:sin(+)=sinacos+cosasin,sin(a-)=sinacos-cosasin;cos(a+)=cosacos-sinasin,cos(a-)=cosacos+sinasin;tan(a+)=tan£+kin£(ITanatanw),合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数1-tanatan来求值，如sin90°=sin(30o+60o)=sin300cos600+cos300sin600=×-+×-=1,利用上述公式计算下2222列三角函数Sinlo5。=亚拽，(2)tanl050=-2-3,Sinl5。=二"(4)cos900=0,其中正确的44个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个例6.(2023年四川省广元市中考真题数学试题)“一缕清风银叶转，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为120。，当其中一片风叶。3与塔干0。叠合时，在与塔底。水平距离为60米的七处，测得塔顶部。的仰角NoEo=45。，风叶。4的视角NoEA=30。.(1)已知,少两角和的余弦公式为：cos(+/)=CoSaCOs-sinsin,请利用公式计算cos75。；求风叶。4的长度.例7.（2023四川宜宾校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（Sad）.如果.ABC中，AB=AC,那么顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边WS-容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯3确定的.根据上述角的正对定义，填空：如果NA的正弦函数值为那么SadA的值为例8.（2022春浙江九年级专题练习）阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1,在RlABC中，NAC5=90。,48=1.NA=,求Sin勿（用含Sina,cos的式子表示）.聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2,取48的中点。，连接OC,过点C作CD1.AB于点D,则COB=2a,然后利用锐角三角函数在Rl-ABC中表示出AClC,在&A8中表示出C。，则可以求出.CCDSinaACSinacOSa、.sin2a=；=；=2SInacosaOC1122阅读以上内容，回答下列问题：在Rt.AHC中，ZC=90o,AB=l.（1）如图3,若BC=,则Sina=，sin2a=；3-（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出Ian"的表达式（用含Sina,cosa的式子表示）.例9.（2022重庆校考一模）材料一：证明：sin2a÷cos2a=1.证明：如图，作团BAC=加，在射线AC上任意取一点。（异于点A）,过点。作。瓦1AB,垂足为£DEAEDF2AF2同。E3A8于点E:.SinZBAC=,cosZBAC=.sin2ZBAC=7*cos2NBAC=7ADADAD2AD2团在RtADE中，DE2+AE2=AD2sin2NBAC+cos2NBAC=+=DE+？E=1AD2D2AD2AD2团团BAC=I3a0sin2a+cos2=1.材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道宜角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.应用以上材料，完成下列问题：如图，在0A8C中，AC=4,BC=6,团C=60。，求AB的长.在（1）题图中，如果Aob,BC=c,C=,你能用mb和CoSa表示48的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由.例10.(2023春湖北九年级专题练习)在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC,2A是锐角，那么SinA=ZA的对边+斜边，CoSA=NA的邻边+斜边，UmA=NA的对边+NA的邻边.为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为X轴的正半轴”，建立直角坐标系(图2),在角a的终边上任取一点P,它的横坐标是X,纵坐标是y,点P和原点(0,0)的距离为r二7手。总是正的)，然后把角的三角函数规定为：Sina=上，sa=-,tana=.我们知道，图1的四个比值的大小与角ArrX的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角Q的大小有关，而与点尸在角。的终边位置无关.比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：(1)若90。180°,则角的三角函数值Sina、cos。、tana,其中取正值的是:若角a的终边与直线y=2x重合，则Sina+coSa的值；若角a是钝角，其终边上一点P(x,2),且Ce)Sa求tana的值；若0oa90o,则sina+cosa的取值范围是.课后专项训练1.(2023秋广东东莞,九年级校考阶段练习)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在-ABC中，NA、NB、NC所对的边分别为纵力、a则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：a2=b2+c2-2/?ccosA：b1=a2+c2-2accosB;c?/而COSC;现已知在<ABC中，AB=2»8C=4,NA=60。，则AC的长为()A.26B.而+1C.B-1D.3亚2. (2020四川广元市中考真题)规定：sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+j)=cosXCOSy-sinXSiny给出以下四个结论：sin(-30o)=-；(2)cos2x=cos2x-sin2%：(3)cos(x-j?)=cosxcosy÷sinxsiny；(4)COSI5。=逅二史其中正确的结论的个数为()4A.1个B.2个C.3个D.4个3. (2023年湖南省娄底市中考数学真题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数学九章一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为。、力、C的.ABC的面积为S：=；J2_(，+；-dJ.“we的边。、力、C所对的角分别是0A、团8、13C,则与人叱=JabsinC=JacsinB=g?CSinA.下列结论中正确的是()a2+2-c2,Ca2+b2-c2_Ca2+b2-c2_Ca2+b2-c2A.cosC=B.cosC=C.cosC=D.cosC=2ab2ab2ac2bc4. (2023安徽滁州校考二模)已知三角形的三边长分别为a、b、c,求其面积问题.中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=JP(P-)(p-6)(p-c),其中P=竺岁；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式尸，若一个三角形的三边长分别为5,6,7,则其面积是()A.66B.61.5C.D.225. (2023山东潍坊统考二模)一般地，当a、为任意角时，tan(+)与tan(-)的值可以用下面的公式求得:tan(±)tana±ian?1itanatan/?例如:ta15o=tan(45o-30o)tan45-tan30_133-31+tan45tan30l3+y33=Gjjfj=2-G请根据以上材料,求得tan75。的值为6. (2023河北石家庄九年级统考期中)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题.sin230o+cos230o=；sin245+cos2450=；sin260°÷cos2600=:观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有siMA+cos2A=.7. (2023秋山东济南九年级统考期末)定义种运算：sin(+0=sin8s乃+cossin)，sin(-=SinaCoS夕一CoSaSin夕.例如：当a=60°,6=450时，Sm(60。-45。)=去X与-;X冬=则Sin75。的值为一.8. (2023湖南娄底统考一模)同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：sin-)=sinacos-cosasin,sin(2÷y?)=sinacos+cosasin,cos(-/?)=COSaCOS力+sinasin力，co(a+/?)=cosacos7-sinasin.例：sin15o=sin(45o-30o)=sin45ocos30o-cos45osin30o=,若已知锐角满足条件Sina=；,则sin2a=.9. (2022嘿龙江绥化统考中考真题)定义一种运算；sin(+4)=sinacos尸+cosasin尸，sin(a-)=sinacos-cosasn.例如：当a=45。,夕二30。时，sin(45°+30°)=立3+立j.=®也，则Sinl5。的值为.2222410. (2023四川成都成都外国语学校校考一模)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题11在锐角AABC中，回A、加、团C的对边分别是a、b、c,过A作ADs)BC于D(如图(1),则SinB=?，即AD=CSinB,AD=bsinC,于是CSinB=bsinC,即-=-A，同理有：-rr：=-=»所以SinBsinesineSinASinASinBabcsinAsinBsinC即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若己知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.图（I）图（2）图（3）（1）如图（2）,ZkABC中，团B=45°,0C=75o,BC=60,则0A=_；AC=；（2）某次巡逻中，如图（3）,我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30。的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30。的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75。的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.1.1.（2023春山东济宁九年级校考阶段练习）定义：在0A8C中，若A8=c,AC=h,BC=a,则存在余弦定理：a2=b2+c2-2hccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+tr-2cbcosC,即三角形一边的平方等于另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍.例如：在图1中，C2=2+c2-2ABC-cosB=42+（32）2-2×4×32cos450=10,0C=10请你利用余弦定理解答下列问题：（1）应用新知：在图2中，若=2,b=3,0C=60。，则C=；若=20,b=22，C=布+6，求财；迁移发散：如图3,某客轮在A处看港口。在客轮的北偏东50。方向上，在A处看灯塔8在客轮的北偏西30。方向距离2石海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口O在客轮的南偏东80。距离6海里处，求此时C处到灯塔8的距离.12（2。23广东云浮统考一模）如图,在RtAABC中,以下是小亮探究与焉之间关系的方法:c.CbCabab0snA=-,sB=-,0c=-,C=,0=-,ccsinAsinBsinAsinB根据你掌握的三角函数知识.在图的锐角AABC中，探究一工、一二、一J之间的关系，并写出探究sinAsinBsmC过程.13. （2023山东一模）小明学完了“锐角三角函数的相关知识后，通过研究发现：如图1,在用蜘4C中,如果团090°,0A=3Oo,BC=a=l,AC=b=BAB=c=2,那么UrJr2.通过上网查阅资料，他又知“s加90。=1，因此他得到“在含30。角的直角三角形中,存在着就焉=袅的关系这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究:如图2,在H“8C中，心9。，BC=a,AC=b,AB=C请判断此时“"的关系是否成bsinB团=sinAsinB同理，过点A作AH38C于“，可证=0sinBsinCSinAsinBsinC立？答:（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角AABC,上述关系还成立吗？“因此他又继续进行了如下的探究:如图3,在锐角AABC中，BC=a,AC=htAB=cf过点C作CmAB于。，设CD=M团在Rt1.ADC和RsBDC中，ADC=0BZ)C=9Oo,，SinB=团/一=sinAEab请将上面的过程补充完整.（3）运用上面结论解答下列问题:如图4,在AABC中,如果0A=75°,B=60o,AB=6,求AC的长.在"BC中，如果回B=30°,AB=2W,AC=2,那么“灰?内切圆的半径为.14. （2023江苏扬州九年级阶段练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式:in(a±7)=sinacos±COSaSinc.tan(a±?)tana±tan/71±tanatan利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值例：例，=3（45。-3。/黑磊端=2-上根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题计算SinI5。；栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图），小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度,小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75。，小华的眼睛离地面的距离OC为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度.（精确到0.1米，参考数据：31.732,21.414）15. (2023秋江苏常州九年级统考期末)关于三角函数有如下的公式：sin(+/)=sincos7+cousin夕；cos(+4)=co"cos7-SinaSin尸；tana+tan夕=北，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值如:sin75o=sin(30o+45o)=Sin30。COS45。+CoS30osin450=x也X立工也=也+必=根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：JtA东求COS75。的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度.如图，在一条限速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P,该测速仪与车道中心的垂直距离Pe=4米，在某一时刻测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°,第二次的B点在点P的北偏东45。，请问该汽车是否超速？为什么？(J1.732)16. (2022山东济宁统考二模)在RtAiABC中，ZC=90o,(3A,0B,ElC所对的边分别是小b,c,利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如siMA+cos2A=l,SinA=CoS8等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛.设。，夕是锐角，定义：当户时，两角和的余弦公式：cos(+/?)=cosacos7-sinasin.例：计算COS75。的值.cos750=cos(450÷300)=cos450cos300-sin450sin300=×-xl=2-=2,2222444两角差的余弦公式：cos(-=CoSacoS力+sinsin4.利用类比的方法运用公式求解.计算COSl5。=.(2)计算COS80。cos35。+sin80osin35。的值;(3)副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、力四点的矩形ABE尸的面积.