专题01 导数的运算(解析版).docx
专题Ol导数的运算1 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数/)=c<c为常数)/(X)=OJ(x)=xa(a三Q,0)f(x)=axal<X)=SinXf(X)=COSXJ(X)=COSX/(X)=-SinXJ(x)=ax(a>O且4)f(x)=axnay=e*/(x)=e)yr)=iogWq>o且f(x)xna/(x)=lnx=i2 .导数的运算法则若/a)，g'a)存在，则有w'=f();u)±g)'=()±g');u)g()'=)g()+yu)g');隐_/a)g(x)1y(x)g'(x)2);3.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y=)和=g(x),如果通过中间变量小y可以表示成X的函数，那么称这个函数为函数y=(")与=g(x)的复合函数，记作y=1g()(2)匏合函数y=(g(x)的导数和函数y=J(u)f"=g(x)的导数间的关系为y,x=y,uu,f即y对X的导数等于y对的导数与对X的导数的乘积.【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导;具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导;(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数累的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求导.【例IS选讲】例1求下列函数的导数：(l)y=x2sinX；(2)y=COSX(3)y=%sin(2x+E>os(2x+g)；(4)y=ln(2-5).解析(l)y=(2),sinx÷2(sinx),=2xsinx÷x2cosx.(cosx(cosx),er-cosXex)'sinx÷cosx产E=河=-1.(3) Vy=xsin2x÷cos2x+j=p：sin(4x+11)=-&sin4x,y'=-gSin4x-/4COS4x=sin4-Zrcos4x.I22(4)令"=2r-5,y=nu.则)''=(kl)"=三二2=元二即，'=云例2(1)(2020.全国HI)设函数段)=壬.若/吟则a=.答案1解析f(x)=e'(x+a)-e)(x+)2嘴:了，则/=G粉4，整理可得/2a+1=0,解得a=.(2)已知函数Kr)的导函数为了(),(x)=22-3M(I)+lnx,则41)=.答案一看解析,.,v)=22-3,(1)+1n%,(x)=4x-3f(1)+p将x=l代入，得/(1)=4"(1)+1,得/(I)=*.(x)=22竽r+lnx,.(1)=29=-京(3)已知力(X)=SinX+cosX,l+(x)是人(幻的导函数，即及(X)=Ii'(x),力(X)=及'(x),，4H(X)=启(x),WN",则及022。)等于()A.sinxcosxB.sinx-cosxC.sinx÷cosxD.SinX+cosx答案C解析:力(X)=Sinx÷cosx,f(x)=f,(x)=cosxsinxt力(X)=力'(x)=-sinxcosx,力(X)f(x)=-cosx+sinxt力(X)=R(X)=Sin÷cosx,4(x)的解析式以4为周期重复出现，V2022=4×505÷2,，及022(x)=a(x)=COSX-sinx.故选C.(4)(多选)给出定义：若函数KX)在。上可导，即Fa)存在，且导函数/(x)在。上也可导，则称兀r)在。上存在二阶导函数，记/(X)=(T(X)'，若/(X)VO在。上恒成立，则称Ar)在。上为凸函数.以下四个函数在(0,号上是凸函数的是()A./(x)=sinx÷cosxB.fx)=n-2xC./(x)=x3÷2x-1D.x)=xex答案AB解析对于A:/(x)=cosXsinx,f,(x)=-sin-cosxtVx0,),.,(x)<0,7(x)在(0,§上是凸函数，故A正确.对于B:/(x)=:-2,/3=一±V0,故以)在(0,号上是凸函数，故B正确；对于C"(x)=3x2+2,尸(x)=6>0,故危)在(0,号上不是凸函数，故C错误；对于D:八彳)=。+l)ex,r=(x+2)er>0,故/)在(0,宫上不是凸函数，故D错误.故选AB.(5)己知KX)的导函数为/(x),若满足M7(x)-(x)=2+x,且贝1)21,则/)的解析式可能是()A.X2-lnx+xB.x2-xln-C.x2+xlnx+xD.x2÷2xlnx+x答案C解析由选项知/X)的定义域为(O,+oo),由题意得即图'=+，故与=x+lnx+c(c为待定常数)，即於)=x2+(lnx+c)x.又41巨1,则c0,故选C.【对点训练】1 .下列求导运算正确的是()A.(x÷),=l÷B.(log2),=j2C.(5t),=5rlog5XD.(2cosx),=2xsinx1 .答案B解析(log2y=q%,故B正确.2 .函数y=xcos-sinX的导数为()A. xsinXB. xsinXC.XCOSXD.-cosX3 .答案B解析y,=x,cosx÷x(cosx),(sinx),=cos-xsin-cosx=_xsinx.4 .(多选)下列求导运算正确的是()A.(sina)=cosa(a为常数)B.(sin2x),=2cos2xc诉'=D.(ex-lnx+2x2y=ev-1+4X3.答案BCD解析Ta为常数，,Sina为常数，.(siny=O,故A错误.由导数公式及运算法则知B,C,D正确，故选BCD.5 .已知函数«工)=黑+2,则/(X)=4.答案1_2COS2XP解析阿=S/3+户喜孑5.已知函数7U)的导函数为/(x),记力(X)=/(x),5(4)=力(办,拆Ia)=/(4)(EN*),若兀¥)=XSinX,则及019。)+力021(x)=()A.-2CoSXB.-2sinxC.2cosxD.2sinx5 .答案D解析由题意，fix)=xsinx,(x)=(x)=sinx+xcosx,(x)=(x)=cosx÷cos-xsinx=2cosx-xsinxtfi(x)=f2(x)=-3Sin-cosx,A(K)=3(x)=-4CoS÷xsinxtAa)=f(x)=5Sinx÷xcosx,，据此可知及oi9(x)=-2019SinX-XeOSX,及o2i(x)=2021Sinx+xcosx,所以及019(x)+及021(x)=2Sinx,故选D.6 ./(x)=x(2021+lnx),若/(xo)=2O22,则沏等于()A.e2B.1C.In2D.e6 .答案B解析f(x)=2021+lnx÷x×=2022+Inx,又/Qo)=2022,得2022+In向=2022,则InW=0,解得沏=1.7 .已知函数兀t)=.丫二'+excosx,若/(O)=-I,则=.(C1.X)，Cl7 .答案2解析/(x)=-+eACOSxexsinx=-÷ecos-esiny,/(O)=-+1=-1,八(ar-IY(ar-1/j则a=2.8 .已知函数y(x)=ln(2-3)+axer,若/(2)=1,则a=.128.答案e2解析f(x)=9(2x-3),÷ae-'÷ar(ev)f=?÷aex-avev,.*(2)=2÷ae-2-2ae2=2ae-2=l,则a=e2.9 .已知函数儿0的导函数为/(x),且满足关系式危)=f+3M2)+lnx,则/(2)的值等于()99A.2B.2C.wD.W9 .答案C解析因为肘=*+3M7(2)+lnx,所以/(x)=Zr+3/(2)+：,所以/(2)=2x2+3/(2)+/解Q得/Q)=一不10 .已知於)=x2+2i(1),则/(O)=.10 .答案一4解析V(x)=2x+2f(l),(l)=2+2f(l),V(l)=-2,(0)=2f(l)=2×(-2)=-4.11 .设函数兀0在(0,+oo)内可导，其导函数为/(x),且y11nx)=x+lnx,则/(1)=.H.答案1+e解析因为"nx)=x+lnx,所以外)=x+e*所以/(x)=I+e所以/(1)=1+-=1+e.12 .已知/(%)是函数儿t)的导数，於)=(l)2'+x2,则/(2)=()12-81n224_-21n2B-2n2C，l_21n2D，2213 .答案C解析因为a)=(l)2n2+2x,所以/(l)=(l)21n2+2,解得，(I)=F，所以/(4)224=El24n2+2,所以八2)=E7<22E2+2X2=E114 .(多选)若函数7U)的导函数/a)的图象关于)，轴对称，则汽X)的解析式可能为()A./(x)=3cosxB.yr)=x3+xC.(x)=x÷D.y(x)=ev÷x13 .答案BC解析对于A,y(x)=3cosx,其导数/(x)=-3Sinx,其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B,Kx)=x3+x,其导数/()=3f+l,其导函数为偶函数，图象关于)，轴对称，符合题意；对于C,Kr)=x+/其导数/(x)=l-%,其导函数为偶函数，图象关于)，轴对称，符合题意；对于D,y(%)=-+x,其导数/()=-+l,其导函数不是偶函数，图象不关于)，轴对称，不符合题意.314 .r)=+x3,其导函数为/(x),则42020)+4一2020)+/(2019)-/(一2019)的值为()A.1B.2C.3D.43e'14 .答案C解析)=c+3f,/("r)=e+)2+3f,所以)为偶函数，7(2019)-/(-2019)3333er=0,因为凡1)+火一力=1+/+不三一丁=r+在6=3,所以区2020)+/(2020)+/(2019)一/(-2019)=3.故选C.15 .已知yU)=t+bcosx+7-2.若/(2020)=6,则/(一2020)=.16 .答案8解析因为/(x)=40?一加inx+7,所以/(一)=4(-X)3-bsin(x)+7=-40+6sinx+7,所以/(x)+(x)=14又/(2020)=6,所以八一2020)=146=8.17 .分别求下列函数的导数：f9.1.IAXXI-；3÷2x-x2ln-1(l)j=etlnXi(2)y=,v(x+pJ;(3)j=-smcos;(4)j=lnl+2x.(5次X)=18 .解析(l)y'=(ex)'lnx+er(lnxy=eAInx+er±=(lnx+：:(2)Vy=+l+2,.*.y=3x2-p.(3)Vy=-sinfy,=1cosx.(4)Vy=lnI÷2r=ln(l+2x),y=7(l+2x),=.oIoo2x+2(5)由已知y=Inx+(T所以1)=1城+务一7.
