21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（学生版）.docx

专题21相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Menebus,公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型：如图1,如果一条直线与AWC的三边48、BC.CA或其延长线交于尸、。、E点，那么丝.殷.乌=1.这条直线叫的梅氏线，ZABC叫梅氏三角形.FBDCEA梅涅劳斯定理的逆定理：如图1,若尸、D、E分别是AABC的三边A8、BC.CA或其延长线的三点，如果FBDCEmc,nIr一占廿在=1,则RD、E二点共线.FBDCEA塞瓦（GGeal647-1734）是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在AABC内任取一点G,延长AG、BG、CG分别交对边于。、E、F,11C11AEBDCE如图2,则=IoFBDCEA注意：梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在ZXABC中，Ao为中线，过点。任作一直线交AB于点E交Ao于点E,求证：AE:ED=2AF:FB.例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在AABC中，ZACB=90。，AC=AC.AM为BC边上的中线，CDA.AM于点O,CD的延长线交AB于点E.求.EB器咚BD与例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点。、E分别在AABC的边AC、AB上，AE=EB,CE交于点F,5abc=40.求SAEm例4.（2023.江苏九年级月考）已知A。是A4BC的高，点及在线段BC上，且8£>=3,CD=I,作OEAB于点EOb_1.AC于点凡连接所并延长，交BC的延长线于点G,求CG.例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在AABC中，/4的外角平分线与边BC的延长线交于点P,NB的平分线与边CA交于点Q,NC的平分线与边AB交于点R,求证：P、Q、R三点共线.例6.（2023上广东深圳九年级校联考期中）梅涅劳斯（Mwelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1,如果一条直线与ABC的三边AB,BCCA或它们的延长线交于RD、E一七W/EAFBDCE1二点，那么一定有百友商=1下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程:AP1CFC11证明：如图2,过点A作AGBC,交枕的延长线于点G,则有百二访,Ir行，K1.Cn1.1.-C1.A/BDCEAGBDCD1团AGFIBDFgAGEs二CDE，=1FBDCEABDDCAG请用上述定理的证明方法解决以下问题:（1）如图3,ABC三边QM氏AC的延长线分别交直线/于XI,Z三点，证明：徐关.匿=1.XCZAYB请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4,等边aABC的边长为3,点。为SC的中点,点尸在AB上，且3F=2AEC尸与AO交于点E,试求AE的长.（3）如图5,工ABC的面积为4,尸为AB中点，延长BC至£）,使8=3C,连接FO交AC于E,求四边形BeEF的面积.例7.（2023.山东九年级月考）如图：P,Q,R分别是AABC的8C,CA,AB边上的点.若4P,BQ,CR相交于一点M,求证:黑脸嗡=1.例8.（2023.浙江九年级期中）如图，在锐角A48C中，4。是BC边上的高线，是线段4。内任一点,8”和C”的延长线分别交AC、ABfE.F,求证：NEDH=NFDH,例9.（2023.北京九年级月考如图，四边形ABCz）的对边AB和CO,AD.BC分别相交于1.、K,对角线AC与BO交于点直线K1.与8D,AC分别交于尸、G,求证：.1.F1.GF1.例10.（2022山西晋中统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的直线论，是意大利数学家塞瓦的重大发现.塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家.定理内容：如图1，塞瓦定理是指在"WC内任取一点。，延长A。BO,CO分别交对边于O,Ef凡则BDCEAF1DCEABF'数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用.任务解决：如图2,当点。，E分别为边8C,AC的中点时，求证：点尸为A5的中点；若ABC为等边三角形（图3）,=12,AE=4,点。是BC边的中点，求的长，并直接写出.80厂的面积.课后专项训练1.（2023.广东九年级期中）如图，在aABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE=工A8,连接EM并延长，交Be的延长线于。，则因=（）CD2322.（2023.浙江九年级期中）如图，。、E、尸内分正的三边A8、BC、AC均为1：2两部分，AD.BE、。尸相交成的PQR的面积是乙ABC的面积的（）A.工B.AC.工D.A109873. （广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在RtZA8C中，NACB=90。，AC=3,BC=4,CD.1.AB,垂足为O,七为BC的中点，AE与8交于点尸，则。E的长为.4. （2022年山西中考一模数学试题）如图，在RtZSABC中，NBAC=90。，AB=3,AC=4.A。是BC边上的中线.将二ABC沿AO方向平移得到,A5C.AC与BC相交于点E,连接&V并延长，与边AC相交于点尸.当点E为NC的中点时，AN的长为.5. （2022年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，AB为。的直径，C为上一点，。的切线BO交AC的延长线于点O,E为BD的中点，CE交AB的延长线于点凡若AC=4,OB=BF,则比）的长为.6. （2023年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在口AB8中，对角线AG8。相交于点。，AB上BD,B=3,OB=2,NAnC的平分线分别交4C,BC于点E,尸.则线段OE的长为.7. （2023下浙江温州八年级校考阶段练习）如图，等边回ABC的边长为5,D在BC延长线上，CD=3,点E在线段AD上，且AE=AB,连接BE交AC于F,则CF的长为.8. （2023重庆八年级期中）如图，ABC的面积为10,。、E分别是AC,48上的点，且4）=Cf）,AE:BE=2:1.连接BDCE交于点尸,连接AF并延长交BC于点”.则四边形BEfH的面积为.DE9. （2023.湖北.九年级月考）如图所示，AABC被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则AABC的面积为.10. （2023上河南洛阳九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答.已知C,延长BC到O,使Co=BC.取AB的中点尸，连结尸。交Ae于点£.AE（1）求下的值；若A8=mFB=AEf求Ae的长.ACAI1.（2023江西景德镇九年级校考期末）如图，二ABC三边CB,AB,AC的延长线分别交直线，于X,YfOVC/AYZ三点，证明：法土芸=1（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）12. （2023上山西临汾九年级统考期末）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（MeneIaUS）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1）,如果一D）CF条直线与ABC的三边AB,BC,CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有警怒=1.FBDCEA下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程:p1证明：如图（2）,过点A作AG/8C,交DF的延长线于点G,则有警=最卜BBD任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整;（2）如图（3）,在ABC中，AB=AC=13,8C=10,点D为BC的中点，点F在AB上，且萩=2AF,CF与AD交于点E,则A£=图图图13. （2021山西校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.塞瓦（.GiovamiiCeva,16481734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的直线论一书，塞瓦定理是指如图1,在MBC内任取一点O,延长AO,BO,C。分别交对边于。，F,E,则S4=下面是该定理的部分证明过程:DCEAFB如图2,过点A作BC的平行线分别交BE,b的延长线于点M,N.则血V=团尸C8,团VA尸二团FBCAPAN彳、WAmCBF.0=一.BFBC7ANAO/同理可得团NoA团团CoD.0=（2）.任务一：（1）请分别写出与IWo4,团MEA相似的三角形；写出由（1）得到的比例线段;任务二：结合和（2）,完成该定理的证明；任务三：如图3,（MBC中，0AC8=9（,AC=4,BC=3fCMAB,垂足为。，点E为。的中点，连接并延长，交BC于点F,连接BE并延长，交AC于点G.小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了8尸与尸C的比是25：16,请你直接写出MCG与团E4G面积的比.图1图2图314. （重庆2022-2023学年八年级月考）如图，在等腰RtMBC中，0CB=9Oo,AC=BCt。是线段BC上一动点（不与点反。重合），连接延长BC至点M使得CE=C£>,过点E作ERM。于点尸，再延长EF交AB于点M.（1）若。为BC的中点，AB=4,求4。的长；（2）求证：BM=2CD.15. （2023年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图，AB为一O的直径，C为Jo上一点，。的切线8。交AC的延长线于点。，E为4。的中点，连接C七并延长，交48的延长线于点凡求证：C尸是。的切线；（2）若AC=3J,OB=BF,求图中阴影部分的面积.A