特色题型专练03 最值问题-相似、三角函数、二次函数（解析版）（江苏专用）.docx

中考特色题型专练之最值问题相似、三角函数、二次函数相似题型一、手拉手最值1.如图，在R1.ABC中，ZACB=90°,AC=9,8C=12,点E是A8中点，P是直线C石上一动点，连接心,以为斜边在其左侧作Rt力抽，使NAPM=N8,连接C则的最小值为（）【答案】DAMAP【分析】连接加.由题意易证"WC'即得出NMAP=N。乩G=益'从而得出NMAj4A8即又易证MCSd皿得出器=*.再根据勾股定理可求出血15,从而得出霁=3即说明当斯最小时，CM最小.又根据当APJ_CE时，BP最小，结合三角形相似的判定和性质求出此时Bp的值,即如图BP的值，进而即可求出CM的最小值.【详解】如图，连接8P.*APM=ABC,ZAMP=ZACB=90。，APMABC,MAP=ZCAB,AMAPAC.Zmap-Zcap=Zcab-Zcap,即NKAC=Np4从MACSPAB,CMAC,BPAB'：ZACB=90o,AC=9,BC=12,.AB=JAC2+BC?=15,.CM9=9BP15,当BP鼓小时，CM最小.点尸是直线CE上一动点，,当3P_1.C石时，外最小，如图8产即为最小时，此时所作的三角形为RlAPM'.点E是AB中点，NAC8=90。,：CE=BE,NPCB=NCBA.又VZBPfC=ZACB=90°,一PCBSdCBA,.B,PBCu,B,P12.=,1'-=1ACAB915解得：B,P=y,即外的最小值为?，CMCM9,而一近一百，51AQ解得：C例=罢.故选D.【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，较难.证明出当5P_1.CE时，8尸最小，此时CM最小是解题关键.2 .如图，矩形ABCO中，AB=S,AD=4,E为边BC上一个动点,连接AE,取AE的中点G,点G绕点E顺时针旋转90。得到点尸，连接。ROE,EFD面积的最小值是()A.15B.16C.14D.12【答案】A【分析】过点尸作5C的垂线，交5C的延长线于点H,由旋转的性质得/砥4=90。，EF=EG,再证HFHFFF111插EHSgAB,得喘=等=笠=：,设BE=X,则折=9，EHqAB=4,CH=X,然后由梯形面积公d1.AdAtfZ22式和三角形面积公式求出SAEFD=S"Se-SEFH=1(-2)2+15,由此即可求解.【详解】解：如图，过点尸作BC的垂线，交8C的延长线于点”，则/”=90。，.四边形ABC。是矩形，."B=NDCB=好,AD=BC=4,AB=CD=Sf：.FHI/CD,/H=/B,二四边形QDM是梯形，由旋转的性质得：NFEA=90。，EF=EG,.ZFEH=90o-ZBEA=NEAB,:ZEHSEAb，.HFHEEF"BEABAE,G为AE的中点,.EF=EG=-AEt2-AP1，2,HFHE2BEABAE设BE=x,则WF=,EH=AB=4=BC,：.CH=BE=X,SWFDS梯形WV+SGCDES=-(HF+CD)CH+-CDCE-EHHF2、22=-×-x+8×x+-×8(4-x)-×4×-.2(2)2v722当=2时，面积取得最小值，最小值为15,故选：A.【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质，证明询S皿是解题的关键.3 .如图，在矩形ABeO中，AB=5,BC=S,点M为边BC的中点，P是直线AO上的一个动点，以MP为边在MP右侧作MMPQ,且尸M=P。，连结AM,AQ,则AMQ周长的最小值为_.【答案】22T+4T【分析】因为AMQ的周长为AM+AQ+MQ,其中AM的长可以由直角AABM中利用勾股定理求得，为定值，所以只需要求得A。+MQ的最小值即可，由题意可得，点4,M为定点，。为动点，即“一动两定''问题,只需要找到动点。的运动轨迹即可，过A作AM_1.AM使AN=AM,先证ZiMANsAkMPQ,再证aM4PSAMNQ,得到/MAP=NMNQ,延长NQ交直线4。于H,可以得到NNHO=45。，则。点在经过N点，且与直线4。夹角为45。的直线N”上运动，此题就变成了“在直线M/上找点Q,使AQ+QM最小”的将军饮马问题，所以过A作关于M/的对称点K,连接KM交NH于Q,AQ+例。的最小值为MK利用勾股定理可求出KM的值，即可解决.【详解】解：如图1,过A做ANJ_AM,使AN=AM,连接MMNQ,则NAMN=NANM=45°,是直角三角形，且PM=PQ,：./PMQ=NAMN=45。，/MAN=ZP=90o,：,4AMNsAPMQ,.AM_MN'aPMMQ,V/AMN=NPMQ,ZAMP=/NMQ,：.!MAPsXMNQ,：./MAP=NMNQ,延长MQ交A。于H,设A。与MN交于点。，则NAOM+ZAMN=NOH+NNHO,VZAOM=ZHOH,：.NNHo=NAMN=45°,直线N”与直线AD夹角为45°,Q在经过N点且与直线AD夹角为45。的直线NH上运动,如图2,过M作MEJ。于E,过N作NK1.4。于尸，BMC图2则NAEM=NNFA=90。,：.NNAF+ZMAE=ZMAE-VNAME=90°,NNAF=NAME,AFM4F中，ZEM=4NFA ZAME=/NAF,AM=NA：.AfE¼F(AAS),：.AE=NF1EM=AFf M是BC的中点，BC=8,/.BM=4t 四边形ABCO是矩形，：,ZABM=ZBAD=ZAEM=9O0, 四边形ABME是矩形，.NF=AE=BM=4tEM=AB=A产=5,在直角ANHF中,NNHF=45。,：,/FNH=NNHF=45°,；FH=NF=4,.A"=A尸+777=5+4=9,在直角人中，M=A2+B2=>/4?»如图3,过A作关于直线M/的对称点K,连接KM交直线M/于点Q,此时M/垂直平分4K,则AQ=QK,A。+QM+4M=QK+QM+4?=MK+4?为AABC的周长的最小值，连接K并延长交BC于7，则NK/7N=NAN=45。，KH=AH=9,：.NA”K=90。，9JADBC,：NMFK=NA"K=90°,./MTK=ZTHA=NMEH=90。，四边形EM777为矩形，MT=EH=AH-AE=8-4=5,HT=EM=AB=5,在直角AMTK中，KT=KH+HT=14,MT=5,：.MK=T2+T2=221，：.AMQ的周长最小值为夜T+历，故答案为：22T÷4T【点睛】本题考查了最短路径问题，如何将4Q+QM的最小值问题转化为将军饮马问题是解决本题的关键,找到动点。的运动轨迹是解决本题的突破口.4.如图，在矩形ABC。中，BC=I,A82,点E是边CD上的一个动点，连接EA并延长至点尸，且M=2AF,以BE,E尸为边作平行四边形80G,连接GZ,则GE的最小值为.【答案】I【分析】此题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，作F1.j_C。交Co的延长线于点1.,FH_1.DA交OA的延长线于点“，证明四边形Z是矩形，再1I3证明得到A"=AQ=5,求出尸1.=5,作GP_1.C8交C8的延长线于点尸，EQ_1.GP于35点。，证明&8G尸S一血，得到BP=尸1.=,求出EQ=,由垂线段最短得到GEEQ,即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.【详解】解：作F1._1.C。交8的延长线于点1.,PHJ,DA交DA的延长线于点”， 四边形43CD是矩形，BC=I,AD=BC=I,ZADC=90。，：,NH=ZHD1.=Z1.=ZADC=90。, 四边形0”也是矩形， HF/DE，：aAHFSAADE, ：AE2AF,.AHAF*ADAE2,：.AH=-AD=-,2213F1.=DH=AD+AH=+-=-f22作GPj_C8交CB的延长线于点尸，EQ工GP于点Q,则Np=ZABC=N1.=90。，GP/AB/CD,ABGP=ZABG,ZFE1.=ZBAE,四边形BEbG是平行四边形,：.GBEF,GB=EF,：.ZABG=BAE,：./BGP=NFE1.,：.工BGSFE1.,BPGB,京=而=1'3BP=F1.=-,235EQ=CP=BC+BP=+=t,：GENEQ,：.GE-f2GE的最小值为,故答案为：题型二、面积最值1.如图.已知，BC中，8C=8,直线/BC分别交边ARAC于点。、Et尸是BC上任意一点,若,ABC的面积为24,则1）所面积的最大值为（）A.12B.63D.6【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，三角形面枳，过点A作AHJ.BC于H,交DE于G,先根据三角形面积公式求出A”=6,设AG=X,lGH=AH-AG=6-x,证明AADEABCf推出OE=gx,则S,尸二1OEG"=(x-3)?+6,由1<0,可得当=3时，SdDEF最大，最大值为6.【详解】解：如图所示，过点A作A"_1.3C于”，交DE于G,：IBC,即。七BC,：,AG上DE,Y48C的面积为24,./BCA/7=24,2：BC=S,J.AH=6,设AG=X,WiGH=AH-AG=6-xVDEC,：DEAC,.DEAG11.1DEX.=,即=,BCAH864DE=-x,3:Sdef=DEGH=?3(6一力=-(x2-6x÷9)÷6=-(x-3)2+6,V-<0,3，当X=3时，SADEF最大,最大值为6,故选：D.2.如图，在平面直角坐标系直%中，A(2,0),8(0,2),。的圆心为点C(-1.0),半径为1.若。是。上的一个动点，线段。A与y轴交于点E,则二ABE面积的最大值是()【答案】C°-2+fd2-t【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：由题意可得当CIJA。相切时，右画面枳最大，然后连接8,由切线的性质，根据勾股定理，可求得AZ)的长，易证得AOEADC,根据相似三角形的对应边成比例，易求得OE的长，继而求得AABE面积的最大值.【详解】解：由图可知：当。C与A。相切时，二ABE面积最大，连接。,则Nsl=90。，.A(2,0),8(0,2),C的圆心为点C(T,0),半径为1,ACD=EAC=2+1=3,.AD=yAC2-CD2=22，ZAOE=ZADC=90o,AEAO=ZCAD,.lAoESAZ)C,.OAOE=,ADCD即T=半，221.OE=叵,2.BE=OB+OE=2+-,25三=BEOA=×(2+-)×2=2+.故选：C.3 .如图，在RtZSABC中，ZABC=90o,A=4,BC=3,点。是48上一点，连接。C,DElDCfE点、在直线AB下方且tanNDEC=2,连接AE,则V4小面积的最大值是.【答案】1【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值，作EF_1.4?于点尸,证明A£)所S£1£)，结合a11)EC=2,推出-=2,设Az)=X,AB=4，则Z)B=4-x,EF=2-x,DEEF2利用三角形面积公式得到SME=+最后根据二次函数的最值，即可解题.【详解】解：作石尸_1.AB干点尸，由题知Z=ZET>=90o,/CDB+ZDCB=900,DElDC,.ZCDB+ZEDFt=90°tNDCE=NEDF,飞DEFS1.CDB,.DCDB''DEEFytanZDEC=2,DCDBC.=2,DEEF设AD=x,AB=4,则08=4-X,.EF=-DB=2-x,22,SADE=5"(2-%)=-%+%=Wa-2)2+,当x=2时，SAOE有最大值为1.故答案为：1.4 .如图，在A8C中，A3=AC=2,5C=2I为边45上一动点(8点除外)，以CD为一边在BC边上方作正方形8即，连接跖，则班西的面积的最大值为.9【答案】JO【分析】过点A作AM_1.8C于点M,过点七作4/_1.8A的延长线于点，过点C作CG_1.8A的延长线于点G,先根据等腰三角形:线合一求出的长，再证得AA仍SACG3,求出BG的长，再证和ADCG全等，得出EH=DG,最后根据三角形面积公式计,配方成：次函数顶点式，从而得出瓦犯面积的最大值.【详解】解：过点A作AMj_8C于点例，过点上作石Hj_RA的延长线广点，过点。作CGJ_BA的延长线于点G,由题可得NAA仍=NAMC=90。，NCG8=90。，NEwD=90°,*：AB=AC=2,BC=26,BM=CM=退，：ZAMB=NCGB=9Cf,ZABM=NCBG,：.AMBS,CGB,.BMABBGCB：.BG=3,13. BD=x,DG=BG-BD=3-x, 四边形8E尸为止方形，：.NCDE=90。,CD=DE,：.NEDH+ZCDG=90°, ：NCGB=90。，：NCDG+NDCG=(X)。, ZEDH=ZDCg,在dEDH和AQCG中，NEDH=NDCGZEHD=ZDGc,DE=CD.&EDH与DCGw),EH=DG=3-x,，5曲=会（3_力=一1_"|）+j,S有最大值，39当X=/时，ZXBDE的面积有最大值，是Q,9故答案为：卷.O【点睛】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，配方法等知识点，熟练掌握这些性质是解题的关键.题型三、阿氏圆1 .如图，在JlBC中，NA=90。，AB=AC=4t点E、/分别是边AB、AC的中点，点P是在以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则gP8+PC的最小值等于（）A.4B.32C.i7D.后【答案】C【分析】在A8上截取AQ=I,连接"，PQ,CQf证明二4PQ-S3P,可得PQ=B研，则BP+PC=PC+PQ,当C、Q、尸三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求.【详解】解：如图，在AB上截取AQ=I,连接AP,PQ,CQtY点E、尸分别是边A8、AC的中点，点?是在以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，NA=90。,AB=AC=4,：.AE=-AB=2i21 ap_AE_2_1AQAQ,ABB42,APA£-2,.AQ=AP=）_2 *APAB2,：ZPAQZBAP,.APQ.ABP,PQ=3BP,：,3BP+PC=PQ+PCCQ,在RfAACQ中，AC=4,AQ=I,：CQ=yAC2+AQ2=42+l2=7.1.PB+pc的最小值等于17.故选：C.【点睛】本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识.添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.2.如图，在R3H5C中，NAC8=90。，CB=IfAC=9f以C为圆心、3为半径作。C,P为。上一动点，连接AP、BP,则;Aj+8P的最小值为()【答案】D【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P在何时会使得g1P+8P有最小值，进而得到答案.【详解】解：如图，连接CR作PE交AC于点E,使NaE=ZMC.ZPCe=ZACP：PCESAPC,PCEP''ACAP：Ae=9,FC=3.ED=；AP,AP+BP=EP+BPf当B、P、E三点共线，即P运动P时有最小值E8.ECPCPCAC：.EC=1.eb=4ec+ce=5忘1”+期的最小值为5a故选：D.【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键.3.如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线,AC=I,80=2,P为AS上一动点，求包PCtPD2的最小值.【答案】一2【分析】取Co中点M,利用相似三角形的判定和性质推出立尸。+尸£>=?川+尸£。“，利用勾股定理2即可计算求解.【详解】TOA=AC=I,AC是切线,/.NCAO=90。，*Co=y0A2÷AC2=>/2»连接C。、0P,取C。中点M,连接。M,PM,：./POM-SCOP,OPOC2.PMPO-Jl9=9PCCO2：PM=-PC,2：.-PC+PD=PM+PDDM，2过M作于，MN工AB于N,MN=-AC=-,2213BN=I+=一22.8D是切线,BD=2,：.ZABD=90o,四边形MNB”为矩形,3：,MH=BN=，BH=MN=，223DH=-f2：.DM=2:卫PC+PDN班,即最小值为次，222故答案为：地.2【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是取CO中点M,利用相似三角形的性质求解.4.如图，已知菱形AHCO的边长为4,/8=60。，OB的半径为2,P为OB上一动点，则Po+gpc的最小【答案】37叵3【分析】在BC上取一点G,使得BG=X,作。凡1.BC于F.利用相似三角形的判定和性质推出PG=PCt得到PO+TPC=DP+PG,由OP+PGNE)G,推出当。、P、G共线时，Po+；PC的值最小，最小值为DG,再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；连接BD,在8。上取一点M,使得BM=同,同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出PM=立PD,36当M、P、。共线时，PC+3PZ)的值最小，最小值为CM,再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾6股定理求解即可.【详解】如图，在BC上取一点G,使得8G=1,连接P8、PG、GD,作DE1.BC交BC延长线于F.D,PB2BC4=2,=-=2,BG1PB2,PBBC''BGPBiVNPBG=NPBC,："BGACBP,.PGBG''PCPB2t：.PG=-PC,2：.PD+-PC=DP+PG,2：DPtPGDG,当£>、P、G共线时，尸£>+；PC的值最小，最小值为。G,在RiACDF中,NDCF=60°,CD=4,：.DF=CDsin60o=23,CF=2,在MAGDF中,DG=«2厨+(5>=屈，故答案为：yj；如图，连接5。，在8。上取一点M,使得BM=左，连接P8、PM、MC,3过M作MM1.8C于N.:四边形ABC。是菱形，且NABC=60p,AC1BD,AO8=90°,ZABO=ZCBO=-ZABC=30o,2*O=AB=2,BO=JAB?-AO?=42-2?=2>3>.*.BD=2BO=4>3，：.BMT3,a=j=乌.BMPBJi =,PBBD6且NMBP=NPBD,:.AMBPfPBD,.PMPB3 =，PDBD6/.PM=BPD,6/.PC+PD=PC+PMMC,6，当M、P、C共线时，尸c+且P。的值最小，最小值为CM,6在RSBMN中,NC30=30。，BM=B,3：,MN=1.BM=叵,BN=JbM2-MN2=-,26217CV=4-=-,22：MC=JCN2+MN2=yCN2+MN2=,：.PC+且尸。的最小值为包I.63【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.题型四、其它最值1.如图，矩形ABC£）中，点E在边AB上，A8=6,8C=5,BE=2,点P是矩形内一动点，满足ZAPB=90。,连接PE绕点P逆时针旋转90。至*"连接CF,则CF的最小值为（）AEBA.3-22B.5-3应C.9-62D.1【答案】B【分析】本题考查相似三角形，旋转的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形确定点尸点的运动路线是解题的关键.取A8的中点0,再把OE绕点。逆时针旋转90。至0G,连接GEGE,EF1则有PEaFEG,即可求出尸G=3",然后过点G作GH_1.BC于点G,连接GC,利用勾股定理可以得到GC=QCH2+GH?=5,再根据1CCG-b求出结果.【详解】解：如图，取A8的中点0,再把OE绕点。逆时针旋转90。至。G,连接GEGE,EF,.ZAP=90o,/.PO=OB=-AB=3t2根据旋转可得：OG=OE=1.PE=PF,ZFPE=ZGOE=90°,EG=,EF=也PE,NGEO=NPEF=45。，/.ZPEO=ZGEFf：.PEoSFEG、POOE：FG=30,，点尸在以G为圆心，3五为半径的圆上移动，过点G作GH_1.BC于点G,连接GC,则03G是矩形，BH=OG=,GH=OB=3,；CH=BC-BH=5-1=4,：GC=>JCH2+GH2=5,：FCCG-CF=5-32,故选B.2.如图，在矩形ABa>中，AB=5,AD=IO,若点E是边AO上的一个动点.过点E作上尸_ZAC且分别交对角线AC,直线BC于点0、F,则在点E移动的过程中，A厂+FE+EC的最小值为（）A.-K.-C.1/D.1»22【答案】B【分析】过。作CC&7,WCCf=EF,连接CT,根据勾股定理得到AC,易得心EFHSCCAB,即可得到EF,根据两点间线段最短得到当A、F、C'三点共线时最短即可得到答案；【详解】解：如图过。作Ce及"1.CC=EF,过点E作EH工BC于点H,Y四边形ABC。是矩形，；ZB=ZBAD=ZBHE=90of四边形MHE是矩形，VA=5,AD=IOfEH=AB=5,C=AD=lO,AC=52+102=55/5»VEFlACt：.NCoF=90。，EFH+ZACB=90otZBAC+ZACB=90。,/.NBAC=NEFH,，一EFHSKAB,.EHFHEF*CBABAC,5_FHEFu=-=适，FH=(,EF=渔,22/CCEF,CC=EF,，四边形EfCC是平行四边形，：.CE=FC,AC=J(56)2+(¥)2=1，.当A、F、C'三点共线时AF+EC最短，25：.AF+ECAC,=-t2：F+EF+EC-+,22故选B；【点睛】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题.3.如图，在.ABC中，A3=AC=4,AF/BC于点F,BHA.AC于点H.交AF于点G,点0在直线AF上运动，BD=DE,NBDE=I350,ZA由7=45。，当AE取最小值时，BE的长为【答案】26【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.如图，连接CG,CE.证明AOBGSZE6C,推出NBGD=NBCE=II2.5。，推出ZAa=45。，推出点E的运动轨迹是直线EC,推出当AE_1.EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出庭:即可.【详解】解：如图，连接CG,CE.BHlAC,:.ZBHA=fX)0t,ZABH=45°,aZAC=45°,AB=AC,AFIBC,:.ZBAF=ZCAF=22.5°fBF=CF,.GB=GCf./BGF=/CGF=67.5°,.NGBF=Z.GCF=22.5°,DB=DE,NBDE=I35。，.ZDBE=ZDEB=22.5°,.ZDBE=NGBC=NDEB=Z.GCF，DBESGBC,BDBE.=一,BGBCBDBG，=,BEBCQ/DBG=/EBC,DBGcEBC,ZBGD=NBCE=112.5°,QNACB=67.5。，ZACE=45°,点E的运动轨迹是直线EC,当AE_1.EC时，4石的值最小，最小值=YZAC=2,2此时N4E=90°,BE=yAB2+AE2=y42+(22)2=26，故答案为：2面.4.如图，在四边形ABCQ中，BC1.DC,=AD=.AB=2f则对角线AC的最小值为【答案】1【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形三边的关系等知识，准确构造出相似三角形对线段进行转化是解题的关键.DF5【详解】解：如图，过点A作1.AD,且W=IAD4.AE=-4BC_3CD-4设BC=3%,CO=4%则W)=5A.DE_BD5"ADCD4.ZADC=AEDb:%EDBADCEBBD5二=一ACCD44.AC=-EB5当即最小时，AC最小EBAB-AE3 5.旗最小为2-£4 44 5"C最小为95=15 4故答案为：1.三角函数题型一、胡不归1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2),点。的坐标是(0,-2),点8(x,0)是X轴上的动点，点8在X轴上移动时，始终保持-ABQ是等边三角形（点P不在第二象限），连接尸C,求得AP+；PC的最小值为（）【答案】CC.23D.2【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边AAOd连接PO,过点。作。E_1.OA于E,先求出点。的坐标，然后证明ABAOg/¾Z）得到NPDA=N80A=90。，则点P在经过点。且与4。垂直的直线上运动，当点?运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0,-2）从而求出直线尸力的解析式；如图3所示，作点A关于直线PO的对称点G,连接PG,过点P作夕凡1.y轴于凡设直线P。与X轴的交点为从先求出点H的坐标，然后证明N”CO=30。，从而得到AP+PC=GP+尸尸，则当G、P、尸三点共线时，GP+P/有最小值，即AP+<PC有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在X轴上，则OG即为所求.【详解】解：如图1所示，以。4为边，向右作等边aAOQ,连接PO,过点。作OE_1.oA于E,Y点A的坐标为（0,2）,：.OA=OD=I1：0E=AE=,：de=Jod2-OE2=3， 点。的坐标为(61)； ,A8P是等边三角形，AAOO是等边三角形，：.AB=APyNBAP=60。,AO=AD,NOAo=60。，ZBAP+ZRO=ZDAO+ZEO,即NBAo=/%。,BAO4D(SAS),/.NPOA=NBoA=90°,点尸在经过点。且与A。垂直的直线上运动,Sl当点?运动到），轴时，如图2所示，此时点P与点。重合, 月8P是等边三角形，BO1.APf：.AO=PO=It 此时点尸的坐标为（0,-2）,设直线PD的解析式为丁=丘+，.辰+力=1 19b=-2上Qb=-2 直线PD的解析式为y=3x-2;如图3所示，作点A关于直线Po的对称点G,连接PG,过点P作PF1.r轴于凡连接CG,设直线PD与X轴的交点为H,/.tanZOCH=-=,OC3.*.NoCH=30°, PF=1.PC,2由轴对称的性质可知AP=GP,：,AP+-PC=GP+PF,2 当G、P、尸三点共线时，G尸十尸产有最小值，即AP+tPC有最小值,TA、G两点关于直线PO对称，且NA0090。，AD=GD,即点。为AG的中点，Y点A的坐标为(0,2),点。的坐标为(61),.AG=2AD=2OA=4,VAC=4,NeAG=60。，ZXACG是等边三角形，VOC=OA,OGlAC,即点G在X轴上，由勾股定理得OG=42-22=2，当点尸运动到“点时，GP+P尸有最小值，即AP+PC有最小值，最小值即为OG的长,2：AP+gpC的最小值为2有，故选：C.【点睹】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=等/-21.的顶点为A点，且与X轴的正半轴交于点3,P点、是该抛物线对称轴上的一点，则OP+；AP的最小值为（）【答案】B【分析】连接AO、AB,依，作AO,先证明.,403为等边三角形，接着利用NOAP=30°,得到PH=Jap,利用抛物线的对称性得到PO=P3,所以OP+gAP=P3+P”,根据两点之间线段最短得到当、P、4共线时，M+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可.【详解】解：连接AO、AB,PB,作尸_1.oA于"，8。_1.40于。，如图，当N=O时，x2-23x=0,解得芭=O,x2=4,则B(4,0),则a(2,25,OA=J2?+（2后=4,.AB=AO=OB=4,.4AQB为等边三角形，:.ZOAP=3Cff.PH=-AP.2AP垂直平分08,.PO=PBt.OP+-AP=PB+PH.2当、尸、3共线时，P3+PH的值最小，最小值为BC的长，Rr在MZkABC中，sin60°=一，AB即BC=AB=×4=23,22.0唱A尸的最小值为2#.故选：B.【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键.3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为修石,0）,点3为（0,1）,若C为线段OA上一动点，则8C+gAC的最小值是.【答案】也37【分析】过点A作直线AO交)轴于点。，使SinNO4。=§,过点C作CE_1.AD,交A。于点E,利用三角函数以及垂线段最短将8C+；AC转化为垂线段班:的长，再利用三角函数、勾股定理求解即可.【详解】解：过点A作直线AP交y轴于点。，使SinZOAO=,过点C作CE_1.AD,交A。于点E,2在R1.Ao。中，sinZ04D=-,.OD2."一=9AD3设8=2x,则AO=3x,(25,),:.OD2+OA1=AD2即(2x)2+(24=(3x)2,解得x=2,.OD2x=4,.BD=5,在RtAACE中,2sinOAE=,CE2=-,AC3.CE=-ACf3/.BC+-AC=BC+CE3当B,C,E在同一直线上，即班:J_AP时，BC+；4C的值最小，最小值等于垂线段BE的长，此时，友宏是直角三角形，.ZOAD=ZDBe,2.sinZDBE-,.DE2=一,BD3DE2：.=-,53C1.10.*.DE=,3在Rt中，BE2=BDi-DE2=25-=,99,BE=座,3衣+沁的值最小值是迅33故答案为：生叵.3【点睛】本题考查三角函数、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角函数正弦值巧妙用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.4.如图，在平面直角坐标系Xoy中，点A坐标为(0,6石)，点C坐标为(4,0),点8为线段。4上一个动点，则A8+2BC的最小值为.【答案】103【分析】构造含30。的直角三角形，利用轴对称进行线段之间的转化，将所求问题转化为垂线段最短问题,再利用三角函数求解即可.【详解】解:如图,作射线A。使NoAD=30。,与X轴交于点。,作C点关于y轴的对称点M,过8点作BE1.AD于O,过M点作MN工AD于。，：.zl=60o,BC=BMtBE=AB,2点A坐标为(0,6石)，点C坐标为(4,0),：.OA=6&，OM=OC=4,.*.OD=C¼tan30o=6,DM=IO,.,.MN=MDsinbOWB：A+2BC=2B+Bcj=2(BE+B)2yV=103,.A8+28C的最小值为10#.【点睛】本题考查了解直角三角形、轴对称、含30。角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是理解题意，会构造直角三角形，正确作出辅助线.题型二、其它最值1 .如图，-ABC是等边三角形，AB=SE是AC的中点，。是直线BC上一动点，线段绕点七逆时针旋转90