15 全等与相似模型-手拉手模型（学生版）.docx

专题15全等与相似模型手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。1）双等边三角形型条件：如图1,AABC和AQCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,4。交于点尸。结论：4ACDgZ8CE；®BE=AD；®ZFM=ZBCM=60,；Cr平分N5"Q°2）双等腰直角三角形型条件：如图2,AABC和OCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AO交于点M结论：®BE=ADiNANM=NBCM=90。；CN平分/BFD。3）双等腰三角形型条件：AABC和OCE均为等腰三角形，。为公共点：连接BE,AD交于点F。结论：®BE=ADiNACM=NBFM；CF平分/BFD。图3图44）双正方形形型条件：AABCH）和ACEFG都是正方形，C为公共点；连接BG,ED交于点N。结论：4Z8CGg2XZ）CE;BG=DE;NBCM=NQNM=90。；CN平分NBNE。例1.（2022北京东城九年级期末）如图，在等边三角形48C中，点P为AABC内一点，连接AP,BP,CP,将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到AP，连接尸尸，BP.（1）用等式表示4尸与Cp的数量关系，并证明；（2）当团8PC=120。时，直接写出ZPzAP的度数为；若M为BC的中点，连接PM,请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明.例2.（2022黑龙江中考真题）-ABC和K都是等边三角形.将AADE绕点、A旋转到图的位置时,连接BD,CE并延长相交于点尸（点尸与点A重合）,有PA+PB=PC（或PA+PC=P3）成立；请证明.（2）将AAQE绕点A旋转到图的位置时，连接80,C石相交于点尸,连接布，猜想线段布、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将-4汨绕点A旋转到图的位置时，连接B。，CE相交于点P,连接雨，猜想线段布、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.例3.(2022砌北襄阳市九年级阶段练习)如图，已知;408和MON都是等腰直角三角形(也OA<OM=CW),2(3Ao8=0MON=90。.如图，连接AM,BN,求证：AoM0.8ON；(2)若将一MON绕点O顺时针旋转，如图，当点N恰好在AB边上时，求证：BN?+AN?=20储;当点A,M,N在同一条直线上时，若08=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.例4.(2022重庆忠县九年级期末)已知等腰直角,.ABC与/叱有公共顶点AZBAC=ZDAE=90o,AB=AC=4,AD=AE=6.(1)如图，当点氏AE在同一直线上时，点尸为DE的中点,求防的长；(2)如图，将AADE绕点A旋转a(OQ<a«36O。)，点G、”分别是A3、AQ的中点，CE交GH于M,交AD于N.猜想G”与CE的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；参考图，若K为AC的中点，连接KW,在一4)E旋转过程中，线段KN的最小值是多少(直接写出结果).DD例5.（2022山西大同九年级期中）综合与实践：已知一ABC是等腰三角形，AB=AC.（1）特殊情形：如图1,当。E06C时，DBEC.（填“>""V"或"="）；（2）发现结论：若将图1中的Ag绕点A顺时针旋转。（0o<a<180o）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3,点。是等腰直角三角形ABC内一点，NBAe=90。，且BP=I,AP=2,CP=3,求囱4的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将ABA尸绕点A顺时针旋转90。得到Ve4£,连接PE,构造新图形解决问题.请你根据小明的发现直接写出NHEA的度数.例6.（2022青海中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.问题发现：如图1,若一ABC和AAoK是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证：BD=CE;解决问题：如图2,若ZAC8和aDCE均为等腰直角三角形，ZACB=NDCE=90°,点、A,D,E在同一条直线上，CM为AOCE中。E边上的高，连接8E,请判断0AE8的度数及线段CM,AE,3E之间的数量关系并说明理由.例7.（2022广东广州市八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H.（1）证明：AADGgaCDE:（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结AE和CG,请问AADE的面积和ACDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由.例8.（2023福建福州市九年级月考）如图，/.AB。和乙AEC均为等边三角形，连接BE、CD.（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是：（2）观察图，当a4B。和二AKC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变？（3）观察如图和4,若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是r在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图,BBi与EEl的关系是；它们分别在哪两个全等三角形中J请在如图中标出较小的正六边形Ab1CiDiEiFi的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？模型2.“手拉手”模型（旋转模型）【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，NBAC=NDAE=a,必=丝=攵；结论：bADESRABC,ABDACE；=kABACBD2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，ZAoB=NCoD=骄，=（即COOs2ao8）;OAOB结论：ZiAOCS处=2,A6BD,SAfirn=-ABxCD-ACbcd23）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：ABDAACE.手拉手相似证明题一般思路方法:由线段乘积相等转化成线段比例式相等;分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第步。例1.（2022山西长治九年级期末）问题情境：如图1,在财BC中，AB=6,AC=5,点D,E分别在边45,AC上，且。七BC.数学思考：在图1中，丝的值为；（2）图1中IMBC保持不动，将（MoE绕CE点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BQ,CE,则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；（3）拓展探究：在图2中，延长8£>,分别交AC,CE于点F,P,连接AP,得到图3,探究MPE与0ABC之间有何数量关系，并说明理由；若将SADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接8D,CE,延长8。交CE的延长线于点P,BP交AC于点八则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出IMPE与0A8C之间的数量关系.例2.（2022山东济南八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：问题发现：如图1,二ABC中，NWC=90。，AB=AC.点P是底边BC上一点，连接AP,以AP为腰作等腰RtZXAPQ,且NPAQ=90。，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是；变式探究：如图2,-ABC中，ZBAC=90o,AB=AC.点尸是腰AB上一点，连接CP,以Cp为底边作等腰RIZkCQQ,连接AQ,判断8P和AQ的数量关系，并说明理由；问题解决：如图3,在正方形ABC。中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF,点。是正方形。PE产两条对角线的交点，连接CQ.若正方形。PEb的边长为M，CQ=屈,求正方形48Co的边长.例3.(2022四川达州中考真题)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CQE,按如图1的方式摆放，ZACB=ZECD=9(r,随后保持不动，将CDE绕点C按逆时针方向旋转。(0o<a<90o),连接AE,BD,延长60交AE于点F,连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】如图2,当时，则。=；【初步探究】如图3,当点E,F重合时，请直接写出AF,BF,C/之间的数量关系：;(3)【深入探究】如图4,当点£,F不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】如图5,在.ABC与(?£>£：中，NACB=NDCE=90。，若BC=mAC,C£>=CE(m为常数).保持一ABe不动，将ACDE绕点C按逆时针方向旋转。(0o<6z<90o),连接AE,BD,延长8。交AE于点F,连接Cf,如图6.试探究AF,BF,C尸之间的数量关系，并说明理由.图1图2图3例4.（2021四川乐山中考真题）在等腰一ABC中，AB=AC,点。是8C边上一点（不与点6、C重合）,连结40.（1）如图1,若NC=60°,点。关于直线AA的对称点为点E,结AE,DE,则NBOE=;（2）若NC=60°,将线段AO绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连结3E.在图2中补全图形；探究CO与跖的数量关系，并证明；ADA）（3）如图3,-=-=kt且NAoE=NC,试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明.BCDE例5.（2022山东烟台中考真题）（1）【问题呈现】如图1,0ABC和0AOE都是等边三角形，连接BQ,CE.求证：BD=CE.【类比探究】如图2,SABC和0AOE都是等腰直角三角形，0ABC=ADE=9Oo.连接8。，CE请直接写出丝的值.【拓展提升】如图3,0A8C和财。E都是直角三角形，0C=0DE=9Oo,且罢=组CEBCDE=1.连接8，CE.求券的值；延长CE交8。于点凡交AB于点G.求Sin团8户C的值.4CE例6.（2023四川成都九年级期中）如图1,己知点G在正方形ABCQ的对角线AC上，G瓦8C,垂足为点E,GFCD,垂足为点尸.（1）证明：四边形CEG尸是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转角（0。VaV45。），如图2所示，试探究线段AG与8E之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转角（0。<01<45。），如图3所示，当B,EfF三点在一条直线上时，延长CG交AD于点“，若AG=9,GH=3y2,求BC的长.图1图2图3课后专项训练1. （2022浙江温州模）如图，在AABC中以AC,BC为边向外作正方形ACrG与正方形BCQE,连结。尸,并过C点作CHa48于”并交尸。于M.若0ACB=12（,AC=3,BC=2,则Mo的长为（）A.也B.y2C.-D.3222. （2022湖南中考真题）如图，点。是等边三角形ABC内一点，QA=2,OB=I,OC=+,则AO8与3. （2022广东茂名二模）如图，在1.ABC中，ZACB=45o,AB=4,ZBAC=60°,。是边BC上的一个动点，连接40,并将线段40绕点A逆时针旋转60。后得线段47,连接在点0运动过程中，线段长度的最小值是.4. （2023湖南常德统考中考真题）如图1,在Rt2ABC中，NABC=90。，AB=8,BC=6,。是AB上一点，且4）=2,过点。作。石8C交AC于E,将VAOE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中经的CE值为.5、（2022重庆九年级期末）已知正方形DEFG的顶点尸在正方形ABCO的一边A。的延长线上，连结AG,CE交于点、H,若AB=3,DF=2,则C"的长为.6. （2022秋江西抚州九年级临川一中校考期中）将一ABC绕点A按逆时针方向旋转6度，并使各边长变为原来的倍，得ZA3'C',如图所示，N8A8'=a空=察=空=，我们将这种变换记为.ABBCAC如图，对AABC作变换60。,右得到ZA"C',则SA"C1SABC=；直线BC与直线AC所夹的锐角为度；（2）如图，SABC中，NBAC=30。,NAC5=90。，对AABC作变换得到AB,C,使点8、C、C'在同一直线上，连接59,C8'且Er_1.C&,求。和的值;如图，JABe中，A8=AC,NSAC=36。,BC=I,对JWC作变换忸,得到ZSUC,便点A、C、*在同一直线上，且89AC,求。和的值.7. （2023辽宁丹东统考二模）（1）问题发现：如图1,已知正方形ABa）,点E为对角线AC上一动点,将庞:绕点8顺时针旋转90。到防处，得到连接C”.填空：喘=；4b的t1.度数为；（2）类比探究：如图2,在矩形ABC。和RtZ8所中，/EBF=90。,ZACB=NEFB=3,连接C尸，请分别求出工的值及NAb的度数；（3）拓展延伸：如图3,在（2）的条件下，将点E改为AE直线AC上一动点，其余条件不变，取线段E尸的中点M,连接3M,CM,若AB=26,则当aC8W是直角三角形时，请直接写出线段C产的长.8. （2023春山西太原九年级山西实验中学校考期中）【问题情境】如图1,在RtAABC中，ZABC=90o,BC=8,B=4,点。，E分别是边8C,AC的中点，连接OE.如图2,将绕点C按AF顺时针方向旋转，记旋转角为.【观察发现】如图2,当（T<180。时，-.【方法迁移】如图3,矩形A8C。中，AB=6,AZ）=8.点E,尸分别是ABAD的中点.四边形AEG/为矩形，连接CG如图4,将矩形AEG/绕点4逆时针旋转.旋转角为（00<vl8（）o）,连接。尸.请探究矩形AEGF旋转过程中，。尸与OG的数量关系;【拓展延伸】如图5,若将上题中的矩形ABC。改为“平行四边形ABCZT且/0=60。，矩形AEGF改为“平行四边形AEGF”,其他条件不变，如图6,在平行四边形AEGF旋转过程中，直接写出名=.图19. (2022重庆忠县九年级期末)己知等腰直角AC与AM应有公共顶点A,ZBAC=ZDAE=90AB=AC=SfAD=AE=4,现将ADE绕点A旋转.如图，当点B,A,。在同一直线上时，点尸为DE的中点，求族的长；如图，连接8E,DC.点G为。C的中点，连接AG交跖于点尸，求证：AGlBEi(3)如图，点尸为DE的中点，以M为直角边构造等腰RtF8N,连接CN,在AADE绕点A旋转过程中,当5N最小时，直接写出Z?CN的面积.10. (2023春广东揭阳九年级校考期中)已知R/0A8C中，ACB=90o,CA=CB=4,另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在。处，CP=CQ=I,将三角板CP。绕点C旋转(保持点P在0ABC内部)，连接AP.BP.BQ.(I)如图1求证：AP=BQi(2)如图2当三角板CP。绕点C旋转到点A、P、。在同一直线时，求AP长.图1图211.(2022山东九年级专题练习)如图，正方形ABa>,将边CO绕点。顺逆时针旋转1(VV9(T),得到线段。E,连接AE,CE,过点A作4R3CE交线段CE的延长线于点八连接8尸.(1)当AE=AB时，求Ct的度数：(2)求证：0AEF=45o;(3)求证：EFB.12. (2022河南方城县一模)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.(I)ZlA5C是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=I,小亮以为边作等边三角形BEA如图(1)所示.则C尸的长为.(直接写出结果，不说明理由)(2WABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以8E为边作等边三角形BEH如图(2)所示.在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长.思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结C凡回0ABC、ME尸都是等边三角形BBA=BC,BE=BF,NABC=NEBF=60。团N½BE+=NCBF+；aABE=NCBF0(3AB02CBF回/8AE=NBCF'=60°又ZABC=GOom/BCF=ABC团式；当点E在点A处时，点尸与点C重合.当点E在点。处时，CF=C4.团点尸所经过的路径长为.0ABC是边长为3的等边三角形,M是高Co上的一个动点,小亮以8M为边作等边三角形8MN,如图(3)所示.在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长.正方形ABCO的边长为3,E是边8上的一个动点，在点E从点C到点8的运动过程中，小亮以8为顶点作正方形BFGH,其中点尸，G都在直线AE上，如图(4).当点E到达点3时，点尸，G,H与点B重合.则点H所经过的路径长为.(直接写出结果，不说明理由)13. （2022福建福州九年级校考期中）正方形ABCO和正方形AEFG的边长分别为3和1,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转.（1）当旋转至图1位置时，连接BE,DG,则线段BE和。G的关系为（2）在图1中，连接8。，BFtDF,求在旋转过程中，8D户的面积最大值;（3）在旋转过程中，当点G,E,。在同一直线上时，求线段BE的长.14. （2022辽宁沈阳九年级校考期中）（1）如图，若在等边AABC的边48上任取一点E（点E不与8重合），以EC为边在AABC同侧作等边连接AM求证：ANBC且AN=BE;（2）如图，若把（1）中的“等边AABC改成正方形A5CQ,同样在边A8上任取一点E（点七不与8重合），以EC为边在正方形ABCO同则作正方形CEMM连接。M请你判断图中是否有与（1）中类似的结论.若有，直接写出结论；若没有，请说明理由;B图15. （2023浙江九年级课时练习）在0A3C中，AB=AC,0C=,点P为线段CA延长线上一动点，连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为a,得到线段PQ,连接08,DC.（1）如图1,当a=60。时，求证：PA=DCx（2）如图2,当a=120。时，猜想布和Z）C的数量关系并说明理由.（3）当a=120。时，若A8=6,BP=而,请直接写出点。到Cp的距离.16. （2022山东九年级课时练习）如图，ABC和AADE是有公共顶点直角三角形，NBAC=NZME=90。,点P为射线BD,CE的交点.（1）如图1,若一ABC和AADE是等腰直角三角形，求证：CP工BD；（2）如图2,若NAOE=NABC=30。，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）在（1）的条件下,AB=4,AD=3f若把AADE绕点A旋转，当C=90。时，请直接写出M的长度AAI）117. （2023广东深圳市九年级期中）（1）如图1,RABCRtADEtADE=ABC=90°,=",BCDE2连接8Q,CE.求证：=.（2）如图2,四边形488,阻4。=团BCO=90。，且空=，连接BC,CE5D2BC、AC、Co之间有何数量关系？图1图2图3小明在完成本题中，如图3,使用了“旋转放缩”的技巧，即将0ABC绕点A逆时针旋转90。，并放大2倍，点B对应点。.点。落点为点E,连接。E,请你根据以上思路直接写出BC,AC,CO之间的关系.ARCFI(3)拓展：如图4,矩形48CZE为线段Ao上一点，以CE为边,在其右侧作矩形CEFG,=BCEr2AB=S,连接BE,BF.求BE+害8尸的最小值.图418. （2023绵阳市九年级专题练习）在财BC中，AB=AC,SIBAC=,点P是0A5C外一点，连接8P,将线段BP绕点P逆时针旋转口得到线段PQ,连接8。，CD,AP.观察猜想：CD（1）如图1,当=60。时，W的值为一，直线CD与AP所成的较小角的度数为一。；ArCD类比探究：（2）如图2,当=90。时，求出胃的值及直线CO与AP所成的较小角的度数；AP拓展应用：（3）如图3,当=90。时，点、E,尸分别为A8,AC的中点，点P在线段产E的延长线上，点A,D,P三点在一条宜线上，BD交PF于点、G,。交AB于点”.若CO=2+应，求8。的长.19. （2023湖北九年级专题练习）在&A8C和八ADE中，BA=BC,DA=DE,且NA8C=NA力E=a,点E在的内部，连接EC,EBtEA和8。，并且NAcE+NABE=90。.【观察猜想】（1）如图，当=60。时，线段8。与CE的数量关系为,线段E4,EBtEC的数量关系为.【探究证明】（2）如图，当=90。时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立,请说明理由;【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CO上时，若BC=25,请直接写出小比坦的面积.20. (2023广西一模)如图，AACB和M)C石均为等腰直角三角形,NACB=ZDCE=90o,AC=BCDC=EC.现将二。麾绕点C旋转.(1)如图1,若A,Q,E三点共线，AD=5,求点8到直线CE的距离；(2)如图2,连接AE8。，点尸为线段3。的中点，连接CF,求证：AElCF：(3)如图3,若点G在线段A8上，且AC=8,AG=7,在-ACG内部有一点O,请直接写出与OC+2OA+粤OG的最小值.