【《浅析多远函数的极值判定》11000字（论文）】.docx

浅析多远函数的极值判定摘要函数极值在数学中是有关函数的一个重要研究课题，函数极值有很多的实际应用。在我们所学过的数学分析或者高等数学内容中，实际生活中多元函数（三元、四元函数）极值判定有很大的用处,但是我们所学的教材对它的讨论比较少，所以弄清三元、四元函数的极值判定有很大的数学和实际意义。本文主要运用判别式和黑塞矩阵来讨论三元、四元函数极值的判定。关键词：极值、黑塞矩阵、多元函数目录一、绪论错误!未定义书签。1.1.函数极值的产生错误!未定义书签。1. 2.函数极值的背景和发展趋势11.3. 课题意义3二、基础知识32.1.一元函数极值相关知识（多元函数相同）32. 2.一元求解极值步骤42. 3.费马定理42.3. 稳定点52. 5.第一充分条件（一元函数极值）53. 6.第二充分条件（一元函数极值）54. 7.第三充分条件（一元函数极值）5三、二元函数极值的判定方法64.1. 二元函数的极值65. 2.二元函数极值的推导过程6四、三元、四元函数极值判定方法75.1. 三元函数的极值76. 1.1.三元函数的定义77. 1.2.三元函数取极值的条件84.1.3.三元函数极值的求解例题94.1.4,三元函数另外一种判断极值的方法104.2.四元函数的极值124. 2.1.四元函数极值问题12五、函数的条件极值154.1. 三元函数条件极值问题155. 1.四元函数条件极值问题17参考文献20一、绪论1.1.函数极值的产生极值一般是局部范围内的极值。若函数在用的值小（大）于或等于在通附近的任何其他点的函数值，我们就把X。这一点的值叫做函数的极小（大）值。当然，这里的极大和极小都是在一定的条件下才成立的，只具有局部意义。而且很有可能某点的极大值不一定大于另外一点的极小值。所以说，函数的极值问题一般还要通过函数的一阶导数和函数的二阶导数来确定。1.2.函数极值的背景和发展趋势背景：近代数学，大概从十七世纪产生以来，数学中有许多核心并且比较重要的位置，其中函数极值的概念就属于重要且核心的地位。数学的绝大部分和科学的绝大部分都与函数以及函数极值的问题和内容有关。在数学、物理、金融、科技和其他别的学科中，函数关系与函数极值问题随处可见，也十分重要。举个例子，物体运动的路程包括加速运动减速运动等都是时间的函数，抛物运动同样是时间的函数，流体膨胀的体积是温度的函数等等，并且在一定的条件下，结合现实生活以及实际，我们要求最优解，这就运用到函数极值方面的问题了。从十七世纪开始，许多数学家就开始研究数学函数以及函数极值的取值点等等，像伽利略和笛卡尔最早发现两个变量之间存在某种关联，但是那个时候他们并没有给出明确的函数定义。随后约翰贝努利，欧拉等数学家逐渐定义一些函数符号以及解析表达式，再到后来，傅里叶和狄利克雷等众多数学家拓宽了函数的概念，使得函数的定义更为清晰和准确，更好地方便人们去理解函数。随后的康托尔更是打破了函数的变量是数这一规定，函数的变量可以是点面线，甚至是体、矩阵、向量等等。这种表述有优点也有缺点，其中缺点是引来了新的不明确的概念序偶，而它的优点是巧妙的避开了定义不明确的“对应”和“变量”的概念。库拉托夫斯基用集合概念来定义序偶。发展趋势：对于函数极值的研究，国内外的许多数学家都已经研究得很深入了，包括大学也开设了不少课程。经过多年的发展，经过多位数学专家的刻苦研究，函数极值的方法与理论的运用已经渗入了许多现实生活中的分支，比如说社会农作产业、社会科学领域、自然科学领域、社会金融发展产业等等，同时也奠定了函数极值的研究方向。1. 3.课题意义在我们大学期间所学过的数学分析课程中，我们主要学习了一元函数和二元函数极值的判断方法，但是很少涉及到三元甚至四元函数的极值判定。实际生活中多元函数(三元、四元函数)极值判定有很大的用处，所以弄清三元、四元函数的极值判定有很大的学习意义。目的：利用我们所学的函数极值方面的知识去解决生活中的实际问题，把复杂的、多元化的多元函数极值问题充分发挥好实践性。意义：函数极值的问题一直是比较重要的内容。函数极值以及极值点的确定,尤其是在多元函数中是比较复杂的。但是在现实生活中，这一块的知识运用的较为广泛。比如在经济核算、经济管理、工业生产、农业生产等等生活常识中就要用到。要求最优解，在一定的条件下，效益最高化。等等一系列的问题就需要运用数学中的多元函数求解最值的方法去解决。所以讨论多元函数极值的判定，具有了深刻的现实意义，可以很好的去解决现实生活中存在的实际问题。二、基础知识1.1. 一元函数极值相关知识(多元函数相同)一元函数极值定义：若函数/(X)在与的一个邻域D有定义，还有条件，就是D领域里不包含比的剩下的点，全部都是/(x)<f(%o),如果是这样的话，我们就可以把fQo)称为/(%)的极值，并且是极大值。按照同一种理论，如果D领域里不包含工。的剩下的点，全部都是f(x)>f(%o),我们就可以把/(%。)称为/(%)的极值，并且是极小值错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。如果工。邻域内其他各点处的函数值都大(小)，那么/Qo)就是一个严格极大(小)。就相应地称为一个极值点或严格极值点。极值定义：若函数/(%)在工。的一个邻域D有定义，且对D中除的所有点，都有f(%)V/(%)，那么我们就可以说/&)为/(%)的一个极大值。极值点无非有两种情况，一种情况是内点，如果不是内定，那一定就是另外的一种情况，是边界点。极值函数：我们通常把泛函数的变元函数到达极值后称之为极值函数。如果这个变元函数到达极值并且是一元函数，我们就可以叫它为极值曲线。2. 2.一元函数求解极值步骤函数的导函数存在的情况下的求解步骤：(1)求r(%)=0,(x)0的X值。(2)用极值的定义，讨论f(x)的间断点。(3)求解出来的所有点的集合就是极值点集合。2.1. 费马定理现在我们假设有一个函数为f,而且还有一个条件是在挖的附近区域内有意义，而且在这个几点可以求导。如果这个点&为/的极值点。一定有/'(Xo)=O.证明：因为假设(%。)存在，由定义可得左导数/'_(%)和右导数+(%)均存在且满足：Jr_(%0)=/'+（八）=(%o)当X<与时，0,所以(%0)=Iim0.X-XqXCX-Xq当%>与时，0,所以r(%o)=Iim0.X-XqXC+X×0所以/'C)=Oo以上是对于f(%)(%o)这种情况下进行的证明，同理也可证明/(X)f(与)这种情况。2.2. 稳定点我们称满足方程r(&)=0的点为稳定点，对于函数/(%)=/,点=0是稳定点，但却不是极值点。2.3. 一元函数极值的第一充分条件设f在n连续，在某领域(/。(劭;5)内可导。(i)若当在Qo-6,%()时尸(%)0,当'6(%o,%o+)时尸(%)0则f在点Ko取得极小值；(ii)若当XeQo-,%o)时f'(x)0,当%(&,%()+8)时f'(x)0则f在点看取得极大值。2.4. 一元函数极值的第二充分条件设/在Xo的某领域UC)(X0；6)内有一阶导数，在=用处可以进行二阶求导，且尸(&)=0,1(即)0.(i)若/(XO)C0,则f在n取得极大值;(ii)若/(XO)>0,则/在&取得极小值。2.5. 一元函数极值的第三充分条件设/在沏的某领域内存在直到九-1阶导数，并且函数在&处n阶可导，且w(%o)=O,(Zc=1,2,3,n-l)(nx0)0,所以说(i)把"的取值设置成偶数，函数在勺这一点取得极值。VO为极大值，(nx0)>。为极小值。(ii)当九为奇数时，f在汽处不取极值。总之，一元函数的判断方法可以归纳如下：在学习数学分析的课程中，我们已经十分了解一元函数中的极值问题,我们通常用一元函数的导数和它的的二阶导数这两者相结合，去判断函数是否存在极值点。驻点就是函数的导数为O的时候。有些时候，虽然是驻点，但它不一定是极值点，只有当驻点的左导数和驻点的右导数不同号的时候,才可以叫做极值点。我们一般判断这个过程是主要是根据函数的二阶导是否为正数。,/(%o)=O,则还需要看驻点的三阶导数。了(%o)>O,&是极小值点/(XO)=0,&是极大值点三.二元函数极值判定方法2.6. 二元函数的极值(讨论对象：可微的二元函数)二元函数和一元函数有许多不同的地方，比如说二者的自变量的灵活性就有很大区别。一元函数的自变量灵活性远低于二元函数，在定义上，一元函数的自变量只在坐标轴上变化，二元函数是在整个平面%0y上变换的。所以说，二元函数的极值点想要成立的话，需要达到更多条件才能成立。假如P(&,%)是函数Z=f(%,y)的极值点，这就意味着在P点的一个领域里(圆域)无论点M(x,y)以哪种方式(无论从哪个方向趋近P点，P点都是极值点)，满足这个条件的时候才可以称P点是这个二元函数的极值点。但是这个问题看上去难以解决，想要P这个点在任何曲线以及方向上都要是极值点，该怎么做呢？这时候我们可以用到降维度的思想，我们可以把二元的问题变成一元的问题。这也是人们最初创建方向导数的用途。可以让M(%,y)以直线的方式无限逼近P点，把P点的邻域都被这段直线所包涵，也就可以理解成M在每一条这样的直线上变化时P点都为它的极值点。当自变量在这条直线上不断变换的时候，我们可以把二元函数当作一元函数去探索。根据上述的原理，通过降维度的思想我们可以将研窕一元函数的方法运用到二元函数上面去。3. 2.二元函数极值的推导过程我们假设有一条直线，并且我们可以取直线上的一个方向：P(Xo,%)到M(X+1.x,y+Ay),在这个直线的方向上Z=f(%y)的方向导数为:察=T/-/0=瞪+等,其中0=M/+Ay2(而是1.的单位向量)。就像上面方向导数的思路一样，在这个方向上面，二元函数就可以用一元函数的思路去做，在这个方向上的偏导数等于O的点就等于这个方向上的驻点。因为等+等=0,我们能得到人=ofy=0,可能有人会问：只有一个含两个未知量的方程，怎么解出了唯一的解。不要忘了反丝+返=0,这条件对PP所有方向上的Ax,Ay都要成立。所以这不是一个方程，而是无数多个方程，要让他们同时成立，只能人=。,4=0。方向导函数在这个方向上的导数：空=吟M.(方向函数的梯度在1.方向上的投影等于方向导函数的方向导数，就是把号视为新函数g(%,y)=M再求g(%y)的方向导数)，可以得到票=誓&c+2簧人)+等与广将其变形：察=繁(AX+2qy+翳源)令源=A,fy=B,fyy=C,T=普=tan.要判断富正负，等价于U(T)=C产+28T+A的正负。同样需要注意的是U的正负要在所有方向上一致。也就是。在0到2几上变化，即丁在U(+8,-8)上时，U对所有的7都是正值，或都是负值。(。是所取直线与X正向夹角)若对于任意T,U(T)恒为负值需要:C<0,=4/一4AC<0,此时P点为极大值点。即加一AC<0且A<0为极大值条件。，若对于任意T,U(T)恒为正值需要：C>0,=4F2-4AC<0此时A>0,P点为极小值点。即B?-AC<0且A>0为极小值条件。若4=4加-4AC>0则U(T)有正有负，说明P点在有的方向上是极大值，在有的方向上是极小值，因此P点不是Z=f(x,y)的极值点。若A=4B2-4AC=0则存在唯一To使U(TO)=0,说明在TO对应的方向上二阶导数为零。四.三元、四元函数极值判定方法3.1. 三元函数的极值下面我们来探讨三元函数、四元函数以至多元函数的极值的判定。4. 1.1.三元函数的定义函数Z=f(x,y,z),若满足不等式f(x,y,z)<f(x0,y0/z0),则有最大值，反之有最小值。4. 1.2.三元函数取极值的条件我们假设一个三元函数U=f(x,y,z)在PO(与,%,Zo)这个点处有偏导和极值,那么在这个点的偏导为零，r(%o,M),Zo)=0,4(Xo,Vo,Zo)=O(%o,yo,Zo)=0.如果能使偏导fxGo,%，)z(/%，)A(%,Zo)一起等于零的点POCx0fy0,z0),统一叫做为三元函数的驻点网。设函数u=f(x,y,z)在点Po(x0,y0,Z0)偏导存在，而且该点是极值点，则AOo,ytj,Zo)=O,4,(xo>yo>)=0(%o,yo,Zo)=0.为了讨论三元函数的极值，我们令x(o>)=/，zy(o>)=Btfzzyz=c,Ay(o>)=D,&Z(XO，%，Zo)=E,yz(xo>)=F.则f(x,y,z)在点(XO,尢,Zo)处只有满足下一条件就可以取得极值点：A1>0(1)当B-E2-1>0时，三元函数u=f(x,y,z)在Po(x0,y0,z0)处C-F2-1>0取得极小值。A+D2+KO(2)当+E2+1<0时，三元函数u=f(x,y,z)在PO(x0,y0,z0)处C+F2+1<0取得极大值。(3)证明：我们可以根据三元函数的泰勒公式，对任意的：(x0+1.%+九,Zo+)U(Po),有Af=f(x0+ty0+九，Zo+c)-f(1x0ty0tZO)=IP2Zxx(+a,yo+h,Q+k)÷2lhfxy(x0+lty0+h,z0+k)+2hkfyz(xQ+l,yQ+htz0+k)+2klfxz(xQ+91,y。÷Oh,zQ+k)+h2fyy(x0+lfy0+h,z0+k)+k2fzz(x0+lfy0+hfz0+k)t其中0V<1,为书写简便，把篇:(%,y,z)、fyyxtytz).fzz(x，y，z)、fxyx,y,z).fxzx,y,z)、fyz×ty,z)在点(X0+/J。+M,Zo+弘)的值记为fxx.fyy，fzz>fxy>fxz为z则式可写为f=l2fxx+2lhfxy+2hkfyz+2klfxz+h2fyy+k2fzz为讨论PoQOjO,Zo)是否为极值点，只需讨论在PO附近式的符号。Af=I口禽+九)2+Wyz+k)2+(kfz+/)2+-fxy2-1)Z2+-M2-i)2+(Az-z2-i)c2.所以当九,Z不全为零，(Xo+I,出+,Zo+c)U(Po)时,fxxfxy21,fyyfyz2心z八z?1与4O?-1,BE2IfC一片1同号，故AO?1>O当，B-f2-l>0时，/>0,从而®)Jo,Zo)为极小值点，/(%o,yo,Zo)为k-F2-1>O极小值。同理，/=i-(½y-h)2-(hfyz-k)2-(kfxz-O2+Ay2+1)/2+狐2+i)2+Gz+Az2+1)1。所以，½÷D2+1<O当，B+E2÷1<O时，V0,从而Oo,M),Zo)为极大值点，/(%o,yo,Zo)为C+F2÷1<O极大值。证明完毕。为清楚起见，将三元函数极值判断步骤归纳如下：(1)首先求偏导数Aoo,%)，Zo)=0,心(Xo,M),Zo)=Offz(x0fy0,z0)=0,Ax(>yo)=a,Ay(>7)=BffyyO>yo)=c,Ax(>7o>zo)=，fyy(x>yo>z)=，1.z(%O'丫0,Z0)=C,y(o>)=Dz(o>)=E，fyz(,x>yo>z)=F.A-D2-I(3)确定F-E2-I与CF?1f(%o,yo*o)=O(2)确定f的各个驻点，即求解6(%o,yo,ZO)=O(o.)=A+O?+1F+E2+1这个判别式的判定结果来确定三元C+F2+1函数如何取得极值。4.1. 3.三元函数极值的求解例题例1.求三元函数f(x,y,z)=X2+2y2+3z2+2x+4y-6z的极值。解：(1)先求偏导数&=2x+2=0,fy=4y+4=0,fz=6z-6=Ozfxx=2,fyy>fzz=>fxy=OJxz=0,fyz=£=2%+2=0(2)三元函数f的驻点为1%=4y+4=0,解得：驻点PO(-1,.1,1).fz=6z-6=0(A-D2-I=IX)(3)根据三元函数极值判断条件k-E2-l=3>0.C-F2-l=5>0所以，Po（-1,-1,1）为三元函数的极小值点，-6为极小值。4.2. 4.三元函数另外一种判断极值的方法设f（%l,%2,%3）是集合SUR3上的函数，如果对Po=（H,娉,对），存在PO在R3中的领域u,使得VP=（Xl,%2，与）WSnU,恒有/（%nx2,x3）f（吟吟*）"（%1，4%3）/（竹，吟婢）所以我们可以说/（吟吟郎）是/（%1，孙、3）在S上的局部极大（小）值，我们可以把Po叫做/（/,2*3）的局部极大（小）值点。定理1若Po=（*,墟,注）是/（%1，%2，%3）的普通极值点，且/（%1，%2，%3）在PO存在偏导数，那么支空喳=04=1,2,3.OXi证明:Po是内点，因而必是三元函数延）的极值点，因此加磐=Oi=123×定义：设/01，小，3）在区域。上处处存在偏导数，如果在点PO=（注,对，对）成立°阴复只）=0zi=1,2,3,则称Po为f（%1,X2,%3）的判别点。axi如果Po是函数f（%l，%2，%3）的极值点，那么PO就是/（%1，%2，%3）的判别点。与一元函数相同，我们需要利用/(%,不，3)在判别点这一点的二阶Tayk)I'展开的式子来讨论，所以我们就要用到下面的引理。引理：设3阶矩阵A是一个对称矩阵，就是A=A,而且我们说矩阵A是正定的，或者说矩阵A是负定的。那么就存在>0,对V(XI/2/3)，有以下的不等式：(x1,x2,x3)A(x1,x2tx)r(xl+X2+温),(XI,&*3)AQ1.，%3)丁£(一+-+X)(%17243)txl+xj+xj证明:距中单位球面S3=(X1,X2,X3)xl+X2+x3=1是有界闭集，因而是紧集，S3上的函数(%1，%2，%3)4(%1/2，%3),连续且处处不为零，因而在53上达到最小值，设为,则对任意(XI,%2，%3)0恒有(-1，%2%3)7、J£，(J×1×1J×l×2J×l×3fx2×lf×2x2f2x3)f×3×lf×3×2f×3×3定理2设Ptj=(焜培靖)是/(%i,%2,%3)在区域D内的判别点，如果/(%i，%2，%3)在PO=(冲,谴,咫)的HeSSe矩阵H(Po)是正定的，则Po=(xxxf)是f(%1,X23)的严格极小点，如果矩阵%(%)是负定的，则Po=O?,以,对)是/Qi，&/3)的严格极大点，如果矩阵H(Po)是不定的，则Po=(婢,右,婢)不是(f××A2X1f×3×l×1×2f×2×2%×2Xl×3X2X3×3×3P=P0证明:Hf(PO)=婢,点,对)xiXj正定，取>0,把/"在Po点作二阶Tayk)r展开，我们把这个点(吟吟Xq)是判别点得：/(x1,x2,x3)-=医/(对,对,以)+o(£®-非A)i=l=.(%1.xlX2-x2>×3-熄)Hf(Po)(Xl-对,X2-吟%3-W+o(f=1(xi-x)2)f+o(f=1(xi-X?)2)由于O在(X1，X2I%3)趋于(H，x2>谴)时是无穷小，因此存在(%?/%理)的领域U，使得(Xl,%2，工3)u时：+。>0,得/(X1,X2,X3)>/(吟吟以)，PO=(X?,X/以)是f(%1，%2,%3)的严格极小点。如果Hf(Po)不定，则存在几维向量H0和=0,使得Hf(Po)'>O,而Hf(P0),<0,令Pl=P0+ta,P2=P0+4,则C充分小时匕和P2都在D内且/(Pi)-f(Po)=t2aHf(P0)a,+0t2(2)=t2(Wf(P0)az+o(2)t充分小时%(Po)'+o(2)>。，因此Po不是极大值点，同理/(P2)-/(Po)=t2%(P°)/+Od(02)=巴0%0附+0(网2)在£充分小时小于零，因此PO不是极小值点，得PO不是极值点。例1.求三元函数f(x,y,z)=X2+2y2+3z2+2x+4y-6z的极值。解：设/O,y,z)上处处存在偏导数，如果在点PO=(%o,y0,zo)成立"(驾困=0,6=x,y,zt则称Po为f(%y,z)的判别点。Ooo=246+-Xyz246=-=AZnl令我们可以解出判别点Po(-1,-1,1)。设Po=(T,-1,1)是/'(居2)的判别点，如果f(%y,z)在Po=(-1,-1,1)的HeSSe矩阵Hf(PO)是正定的，则PO=(-1,-1,1)是/(%,y,z)的严格极小点，如果矩阵Hf(PO)是负定的，则Po=(-1.-1,1)是f(%/z)的严格极大点，如果矩阵%（Po）是不定的，则Po=（-1,-1,1）不是/（居2）的极值点。先求解HeSSe矩阵Hf（P0）,fxx=2ffxy=0ffxz=Qtfyx=Qtfyy=4ffyz=，fzx=/fzy=，/200%z=6,所以%（PO）=O4O,判断均（PO）是否为正定的，若矩阵的特征值都0O6/为正数则为正定矩阵，若特征值都为负数则是负定矩阵。所以，可以明显判断出题中矩阵是正定的所以有极小值，所以在Po=（-1,-1,1）取极小值为-6。4. 2四元函数的极值通过上面的定义，证明以及例题，我们了解了一元函数到三元函数的极值问题，我们进行推广，在面对四元函数问题的时候我们又该如何分析解决。4 .2.1四元函数极值问题设f（/2/3,%4）是集合SUR4上的函数，如果对Po=（吟吟燔必），存在Po在R4中的领域U,使得p=（x1,x2,x3lx4）ESnU,恒有/（%1，%2，%3，%4）/（吟吟嫂,竹）（/3l，%2，%3，%4）/*（%?，吟婢，/）所以我们把f（对,总以,*）叫做/（如工2/3，%4）在S上的局部极大（小）值，Po称为f（Xl2,X3,X4）的局部极大值（极小值）点。定理1若一个点PO=（吟塔对,行）是/（%1，%2，%3，%4）的普通极值点，且/"（%1.2，%3，%4）在Po存在偏导数，那么×i=0=1,234.证明:Po是内点，因而若是四元函数f（H,x/x或）的极值点，因此×i=0=1,234.定义：设在区域D上处处存在偏导数，如果在点Po=Cr¥.竹）成×i立少FM)=0=1,234,则称Po为/O1,%2,%3,%4)的判别点。假如我们说PO这个点就是函数/Q123,X4）上的极值点，那么它就是函数f（Xi，X2»八%4）的判别点。与一元函数相同，我们需要利用0,%2,%3,%4）在判别点这一点的二阶TayIOr展开的式子来讨论，所以我们就要用到下面的引理。引理：我们假设有一个4阶矩阵4这个四阶矩阵是对称矩阵，就是说是4=而且这个矩阵A它是正定的，或者说这个矩阵A它是负定的，那么如果有>0,V（%1，%2，%3，4），可以得到:（孙孙3,%4）A（X1，%2,%3,%4）,+据+混+*）.（%1，%2，%3，%4）/（%1，孙/3/4）K*+埼+超+*）.证明:内中单位球面S4=（x1,X2,X34）xl+X2+x3÷x4=D是有界闭集,因而是紧集，S4上的函数（%1，%2，%3，%4）4（Xl，%2，%3，工4）,连续且处处不为零，因而在S4上达到最小值，设为£，则对任意（%1*2，%3，%4）。0恒有（孙42%3/4）4（2%3-4）7>2222Xxxx1234AAAXxxx1234AAA3333Xxxx1234AAAAJ好+*+据+*J×+×2+X3+x4ff××引理得证。（这里的矩阵4的表达式为J×3×lJX4Xl定理2设尸0=（竹,右,对,中）是/Qi,%2,%3,%4）在区域O内的判别点，如果/（%1，%2，%3，%4）在PO=（X.x）的HeSSe矩阵Hf（PQ）是正定的，则PO=（*,婢,球,*）是/（%1/2，、3，%4）的严格极小点，如果矩阵Hf（Po）是负定的，则Po=,嫂,好,必）是/'Ol,%2,%3,%4）的严格极大点，如果矩阵"/（Po）是不定的，则Po=（H,吟超,*）不是f（%,X21%3,%）的极值点。证明：设HfR)=娉,对,中)xiXj正定，取>0满足上面引理，将/在Po点作二阶TaylOr展开，由（M,域,对,中）是判别点得/(%1，%2，%3，%4)-/(吟吟吟2)=I?”吟吟+O(W(Xi-砰)2)1=1=XXl一邸,，%4M)Hr(PO)(%1-呼,%4X?)T+o(f=(左一X?)2)j+o(=1(xi-X?)2)由于O在(X1,X2,X3>X4)趋于(%,%2x3>x4)时是无穷小，因此存在(煤域,中,M)的领域U,使得(Xl,%2，%3，%4)U时I+。>0,得/(%1，%2，工3/4)>f(*,吟蟠M),Po=(好,以,理,*)是/(%1，%2，%3，%4)的严格极小点。如果Hf(Po)不定，则存在几维向量awo和BHo,使得aHf(P0)'>0,而Hf(P0),<0,令Pl=P0+ta,P2=P0+4,则匕充分小时PI和P?都在D内且f(P)-f(Po)=t2Wr(P0)az+0t2(2)=t2(Wz(P0)z+o(2)t充分小时%(P0)'+o(2)>0,因此PO不是极大值点，同理f(P2)-f(P0)=t2%(P°)/+。£2(网2)=t2(7%(Po)+o(网2)在t充分小时小于零，因此Po不是极小值点，得PO不是极值点。五.函数的条件极值问题5 .1.三元函数条件极值问题条件极值问题的一般形式：在条件组0上(%1，%2，%3)=0,k=1,2.的限制下，求目标函数y=f(%,%2,%3)的极值。我们想要从条件组中解出两个变元不一定可行，我们可以利用拉格朗日乘数法进行消元来求解条件极值。我们可以假设f,9都是二元函数，z=(%y)的极值，其中(y)受条件C(x,y')=O的限制。我们可以把C当成(%,y)所符合条件的曲线方程，而且把C上的点PoQo,%)为/在条件下的极值点，在点PoQo,%)的某领域内方程能唯一确定可微的隐函数y=g(%)，则=%必定也是Z=/(%,g(%)=九Cr)的极值点，故由/在Po(XO，%)可微，g在%o可微,得到h'(%o)=(o)+Az(XoQoWOo)=。而当3满足隐函数定理条件时“(%)=-半小y×o>yo)把代入后又得到f(P)y(P)-fy(P0)<P(P)=O从而存在某一常数o，使得在Po(Xe)Jo)处满足fx(Po)+阿(PX(PO)=O6Po)+。外(PO)=O(P(PG)=0如果引入辅助变量和辅助函数1.(x,y,)=/(x,y)+<p(x,y)则中三式就是1.%(%o,¾),4o)=人(Po)+No<Px(Po)=01.y(%o,yo,"o)=%(P()+NU(PX(PO)=。1.(xo,y0)=9(PO)=O通过这样以上的过程就把条件极值问题和变成了讨论函数的无条件极值问题，其中我们把中的函数1.叫做拉格朗日函数，辅助变量叫做拉格朗日乘数。我们可以把一般条件极值问题的拉格朗日函数表示出来:1.(x1,x2,x3ln2)=(x1,x2,x3)+>Rk<Pk(X1,X2,X3)其中1，%为拉格朗日乘数，并有下面定理：设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中/与外在区域D内有连续的一阶偏导数。若D的内点PO=（对,域,超）是上述问题的极值点，且雅克比矩阵£££的秩为2,则存在2个常数不），碎），使得（斓）户）0）,潭）,碎）为拉格朗日函数的稳定点。求条件极值的步骤如下：（1）作拉格朗日函数1.=f+411+2（p2；（2）分别令1.=1.,x=1.'x=1.,=1.,u2=0,我们就可以便可以对应的方程组；（3）对所有的条件极值点进行判断。例题：例1.求三元函数f（%y,z）-x-2y-2z满足条件的产+y2+z2=1的极值。解：令=X-2y-2z+（x2+y2+z2-1）.（1）先求偏导数：ux=1+2=OlUy=-2+2y=0,uz=2÷2z=0,也=2zuyy=2,uzz=2,uxy=uxz=UyZ=（2）三元函数U的驻点为P2%，%=一-D2-l=2>0199B-E2-l=2>0,所以函数在P1(-/,1,-勺处C-F2-l=2>0可以得到最小值，且最小值为-3。一M+D2+1=-2<09当P(H，|)时，B+E2+l=-2VO,所以函数在P2(1-g；U+F2+1=-2<O处可以得到最大值，且最大值为3o例2.x+y+z=12,求a=/pz为最大值。解：令f(%y,z)=x3y2z+(x+y+z-12).(1)首先求偏导数：fx=3x2y2z+,fy=2x3yz+tfz=x3y3+zfxx=6盯2/fyy=2x3ztfzz=0,fxy=6x2yztfxz=3x2y2ffyz=2x3y.fx=3x2y2z+=Ofz=x3y3+=OX÷y+z=12函数f的驻点为七(U，通过左边的四个式子,我们可以得出驻点为(6,4,2)。(3)根据上面我们证明的这一种分配法所得的判别式以及判别条件可以知道函数f在驻点处取得了最大值。所以，umax=X3y2Z-6912«5. 2.四元函数条件极值问题四元函数条件极值问题的一般形式是在条件组：0晨%1，%2，%3，%4)=O比=123.的限制下，求目标函数V=/(%1，%2，%3，4)的极值。我们想要从条件组中解出三个变元并不一定可行，同样地，我们用拉格朗口乘数法去做。我们设四元函数的拉格朗口函数为：1.ol,%2，%3，4，1，2，3）3Nk(PAxSX2，X3，X4)=(%1,%2,%3,%4)+Wk=l其中1，2，3为拉格朗日乘数，并有下面定理:设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中/与以在区域。内有连续的一阶偏导数。若0的内点PO=（对,域,对,必）是上述问题的极值点，且雅克比矩（1×x4：.：的秩为3,则存在3个常数潭），潭），使得383/x1x/PQ（淄Gd制叱琛）,潭）,碎），谱0）为拉格朗日函数的稳定点。求条件极值的步骤如下：（1）作拉格朗日函数1.=/+11+22+M（P3；（2）分别令Z/%=1.,x2=1.fx=以=1.Z=1.'2=1.,=0,根据这个进行求解，我们便可以得到对应的方程组了；（3）对所有的条件极值点进行判断。参考文献1程其襄，吴良森，庞学诚.数学分析:上册M.北京:高等教育出版社,20O1.2程其襄，吴良森，庞学诚.数学分析:下册M.北京:高等教育出版社,2001.3鲁翠仙，函数条件极值的若干求法.齐齐哈尔大学学报（自然科学版），20134田仁勇，函数的发展以及函数概念教学.读写算:教育导刊，20145张维，映射与函数概念的学习心理分析.陕西教育理论，20066南秀全，极值与最值.上卷哈尔滨工业大学出版社7南秀全，极值与最值.下卷哈尔滨工业大学出版社8孟义平，三元函数极值的一个充分条件.江苏科技大学数理学院，20039陶哲轩，陶哲轩实分析.第三版。人民邮电出版社10姚端正，周国全，贾俊基，数学物理方法.第四版.科学出版社11王传荣，朱玉灿，徐荣聪，大学数学（二）科学出版社12王竹石.郭敦仁，特殊函数概论.北京大学出版社13张元林，东南大学数学学院，数学工程.第六版.高等教育出版社14Stig1.arsson,VidarThomee.PartialDifferentialEquationswithNumericalMethods.200615JameWardBeown,RuelV.ChurchillComplexVariablesandApplications.2006