知识讲解-《解三角形》全章复习与巩固-基础.docx

解三角形全章知识复习与稳固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：0_=，一sinAsinBsinC要点诠释：hc(1)正弦定理适合于任何三角形，且一=二一=2R(R为A3C的外接圆半径)；sinAsinBsinC(2)应用正弦定理解决的题型：两角和一边，求其它两边和一边的对角，求其它.(3)在两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理在aABC中，a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+h2-2abcosC变形为：.b2+c2-a2Dfl2+<72-2厂a1+b2-C2cosA=，cosB=,cosC=2bclac2ab要点诠释：(1)应用余弦定理解决的题型：三边，求各角两边和一边的对角，求其它两边和夹角，求其它；(2)正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；(3)正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式(1) S=3叽=b%=C%,其中,4,仅为4,b,c边上的高(2) S=-absinC=Z?csinA=1.aCSinB222(3) S=yp(p-a)(p-h)(p-c),其中P=(要点四：三角形形状的判定方法设AABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C,解斜三角形的主要依据是：(1)角与角关系：由于A+8+C=11,所以Sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC；tan(A÷B)=tanC；.A+8CA+B.Csin=Cos-,cos=Sln-；2222(2)边与边关系：a+h>Cfh+c>a?c+a>hfa-b<cfb-c<a,c-a>b(3)边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：(1)由正余弦定理将边转化为角；(2)由正余弦定理将角转化为边.要点诠释：化简中将三角形内角和、三角同角根本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.在4ABC中,熟记并会证明：NA,ZB,ZC成等差数列的充分必要条件是NB=60°；ABC是正三角形的充分必要条件是NA,NB,NC成等差数列且a,b,C成等比数列.要点五：解三角形应用的分类(1)距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；(2)高度问题(最后都转化为解直角三角形)；(3)角度问题;(4)面积问题.【典型例题】类型一：正、余弦定理的根本应用53例1.ZXABC中，D为边BC上的一点，BD=33,sinB=,COSNAoC=一，求AD.135【思路点拨】确定在在AABD中运用正弦定理，将问题转化为求/BA。的正弦值.3Ti【解析】由COSNAoC=0知8<一.52124由得cos8=,sinZADC=,135sin/.BAD-Sin(NAOC-B)=sinZADCcosB-cosZADCSinB=-X×=.由正弦定理得sinBsin/BADsinZBAD【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；13）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，防止增解、漏解的现象.举一反三：【变式1】设aABC的内角A,8,C所对的边分别为明匕，c.假设（+2-c）（+Hc）=",那么角C=.【答案】由（+/?c）（+8-c）="?=/+/一=一而根据余弦定理可得cosC="+"=-=>C=2ab23【变式2】在AABC中，ZBAC=60o,NABC=45°,BC=日那么AC=.,RrsinZABCSinZBAC【答案】由正弦定理得二,sin45osin60°得AC=sin45o类型二：正、余弦定理的综合应用例2.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,COS2C=-（1）求SinC的值；（2）当a=2,2sinA=sinC时，求b及C的长.【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得SinC的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c,要求边b,考虑用余弦定理，即先求出CoSC的值.【解析】（1）因为cos2C=l-ZsiYC=-1.,及OVC<乃，所以SinC=®4(2)当a=2,2sinA=sinC时，由正弦定理=，得c=4.sinAsinC由CoS2C=2cos?C-1=一4，及0<C<乃得4COSC=±.4由余弦定理得=a2+h2-2abcosC,得及±ab-12=0.解得b=«或2E1.b=娓，Jb=2娓所以1或1c=4c=4.【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设/一尸=*J5bc,sinC=2-73sin,那么A的度数为【答案】sinC=23sinB>c=23Z?,b2+c2-a2=CI一6be,cosA=b2+c2-a22bcC2-y3bc_C22bc2bcy3_c22b233=222/.在AABC中A=30o【变式2】设aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,那么SinA：sinB：SinC为（）A.4:3:2B.5：6：7C.5:4:3D.6:5:4【答案】由于a,b,c三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,可设三边长分别为a、a-1、a-2.由余弦定理可得COSA/+c-/(4-12+(-2)2一2_-52bc2(。一1)(-2)2(。-2)又3b=20acosA,可得cosA=220a3(-1)_a-520a2(a-2)解得4=6,故三边是6,5,4.由正弦定理可得SinA：sinB：sinC=6:5:4类型三：利用正、余弦定理解决实际问题例3.在2012年的“利剑”军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为叵的军事基地2C和D,测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且NADB=30°,ZBDC=30o,NDCA=60°,ZACB=45o,如下列图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.【思路点拨】首先根据问题的背景，把相关数据标注在图形中，转化到解三角形中求边长的问题，然后根据选用相应的定理进行求解，最后把求解的结果复原为实际问题的答案.【解法】解法一：VZADC=ZADB+ZCDB=60o,ZACD=60°,/.ZDAC=60o,JTAD=CD=-a2在ABCD中，ZDBC=180°-30°-105°=45°,由正弦定理得DBsinZBCDCDSinNDBCBD=CDsinZBCD3-4-3+3sin/DBC224V在AADB中，由余弦定理得,：.AB=ci或AB=,（舍去），44蓝方这两支精锐部队的距离为手/T解法二：（同解法一）AD=DC=AC=-a2在aBCD中,ZDBC=45°，由正弦定理得BCsin30°CD一sin450.BC=殍,在AABC中，由余弦定理得=-aJjSa282428：.AB=殍或AB=号(舍去),蓝方这两支精锐部队的距离为毛4【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.举一反三：【变式11如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，测量者在河岸边选定两点C、D,测得C£>=406，并且在C、D两点分别测得NACB=60°,ZAOB=60°,NBCO=30°,ZAQC=45°,求河的对岸的两点a、B间的距离。【答窠】在AAOC中，NBCD=3d,NACB=60°,ZADC=45°ZACD=ZACB÷ZBCD=600+30°=90°,在RrM)C中，ad=4J(m)MCcosZADCsin45°在BZ)C中，ZAOB=60°,NBs=30°,ZAoC=45°,NBDC=AADB+ZADC=60°÷450=l05°,ZDBC=45°RnCDsinZBCD40sin30oGCA(、由正弦定理得：BD=-=202(w)SinZDBCsin45°在A8I)中，由余弦定理得：AB=AD2+BD2-2ADxDcos600=206(m)故A、B间的距离为2Cm.【变式2】甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60。方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【答案】设经过X小时后，甲船和乙船分别到达CQ两点/.CD2=AC2+AD2-2ACADcos6O0=(8x)2+(20-1Ox)2-28x(20-10x).2rratxcC7024800=2442-560X+400=244(X)2+6161当CZ)2取得最小值时,8取得最小值.当X=*时,8取得最小值61此时,甲、乙两船相距最近类型四：解三角形与其他知识的交汇例4.设锐角三角形43C的内角AB,C的对边分别为b,c,=2Z?Sin4.（1）求3的大小；（2）求8s4+sinC的取值范围.【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B的正弦值，进而求B；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由=3sinA,根据正弦定理得SinA=2sinBsinA,所以sin3=',2由Zvlbc为锐角三角形得B=-.6（2）cosA+sinC=cosA+sin11-A1 6J.(11.=cosA+sin+A(6=cosA+cosA+SinA=QsinA+2213由4A5C为锐角三角形知，-A>-Bt-B=-222211_1163211,兀11<A÷-<所以sin(A+工)<走2I3j2所以COSA+sinC的取值范围为由此有立<6sin(A+/<35,2I3)2【总结升华】此题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.举一反三：【变式l】mb,C为AABC的三个内角A,B,。的对边，向量机=(3-1),n=(cosA,sinA).假设m_1.，旦cos8+bcosA=c'sinC,那么角B=【答案】=6【变式2】函数/(x)=JJSin±cos；+COSZXABC中三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c2222(1)求/。)的单调增区间；(2)假设/(8+C)=l,a=瓜b=T，求角C的大小.【答案】(I)因为/(x)=J5sin-cosFcos22 222又y=sinx的单调递增区间为(2E一色,2内1+¥)，(ZeZ)22所以令2k11-<X+<2k11+2 622冗11解得2E-<x<211+-3 3所以函数f(x)的单调增区间为(2E一三,2也+3)，伏WZ)(2)因为/(8+。=1,所以Sin(B+C+5)=1,6又3+C(0m),B+C+三(三,-)666所以3+C+2=4,3+C=2,623所以A=考3由正弦定理萼=皿ba把o=6,b=l代入，得到SinB=J,B=-C=-又b<a,<Af所以6,所以6