相似三角形易出题、易错题(附参考答案).docx

相似三角形易出、易错题一.解答题(共30小题)1 .如图，在AABC中，DEIIBC,EFlIAB,求证：ADE-EFC.2 .如图，梯形ABCD中，ABIlCD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证：ACDJBGF；(2)当点F是BC的中点时，过F作EFllCD交AD于点E,假设AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3 .如图，点D,E在BC上，KFDIIAB,FElIAC.求证：ABCSFDE.4 .如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF_1.AE于F,试说明：ABF-EAD.5 .：如图所示，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,且点B,A,D在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证：BE=CD:AAMN是等腰三角形；(2)在图的根底上，将AADE绕点A按顺时针方向旋转180。，其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2)的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P.求证：ZiPBDsAAMN.6 .如图，在4x3的正方形方格中，4ABC和ADEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空：ZABC=。，BC=:(2)判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论.7 .如图，矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以ICmzS的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cms的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间，AAMN的面积等于矩形ABCD面积的工？9(2)是否存在时刻3使以A,M,N为顶点的三角形与AACD相似？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由.8 .如图，在AABC中，AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)；(3) M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论.9 .：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC,M是CD的中点，试说明：ADM-MCP.10 .如图，梯形ABCD中，ADIIBC,AD=2,AB=BC=8,CD=IO.(1)求梯形ABCD的面积S；(2)动点P从点B出发，以ICmzS的速度，沿B=A=D=C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以ICmzS的速度，沿C=D=A方向，向点A运动，过点Q作QE_1.BC于点E.假设P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问：当点P在B=A上运动时，是否存在这样的3使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的3使得以P、A、D为顶点的三角形与ACQE相似？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的3使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由.11 .矩形ABCD,长BOI2cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.假设P自点A出发，以ICmzS的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cms的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与ABDC相似？12 .如图，在乙ABC中，AB=IOcm,Bo20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cms的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cms的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，ZkPBQ与AABC相似.13 .如图，ZACB=ZADC=90o,AC=6,AD=2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似.14 .如图在ABC中，ZC=90,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发，沿BC方向以2cms的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以IemzS的速度移动.假设Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与ACBA相似？15 .如下图，梯形ABCD中，ADIIBC,ZA=90,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置，使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.16 .如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=IoCm,点P沿AB边从点A开始向B以2cms的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以ICmZS的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相似.17 .如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(0点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？18 .阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，顶部不易到达)，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是：；(2)请在下列图中画出测量示意图；(3)设树高AB的长度为X,请用所测数据(用小写字母表示)求出X.19 .问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得根直立于平地，长为80Cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156Cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图3,设太阳光线NH与。O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径.(友情提示：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=26()2)20 .阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区(如下图)，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.21 .如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si,S2,S3表示，那么不难证明S1=S2+S3(1)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用Si,S2,S3表示，那么Si,S2,S3之间有什么关系；(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用ShS2、S3表示，请你确定Si,S2,S3之间的关系并加以证明；(3)假设分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用Si,S2,S3表示，为使Si,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；(4)类比(1),(2),(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.22 .：如图，AABOAADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.23 .：如图RtABCSRtBDC,假设AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长；(2)过B作BEJ_DC于E,求BE的长.24 .(1)工二二，且3x+4z-2y=40,求x,y,Z的值；235(2)：两相似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1 .解证明：DEIIBC,答：DEIIFC,ZAED=ZC.又.EFIIAB,.EFIIAD,/.ZA=ZFEC./.ADESAEFC.2 .解（1）证明：梯形ABCD,ABIICD,答：/.ZCDF=ZFGB,ZDCF=ZGBF,（2分）.ACDFSBGF.（3分）（2）解：由（1）CDF-BGF,又F是BC的中点，BF=FC,.CDFABGF,.DF=GF,CD=BG,（6分）ABIIDCIIEF,F为BC中点，.E为AD中点，.EF是ADAG的中位线，.2EF=AG=AB+BG.BG=2EF-AB=2×4-6=2,/.CD=BG=2cm.（8分）3 .解证明：FDIIAB,FEIIAC,答：.ZB=ZFDE,ZC=ZFED,.ABCSFDE.4 .解证明：矩形ABCD中，ABIICD,ZD=90o,（2分）答：.ZBAF=ZAED.（4分）BF±AE,.ZAFB=90°.ZAFB=ZD.（5分.ABFSEAD.（6分）5 .解证明：NBAC=NDAE,NBAE=NCAD,答：/AB=AC,AD=AE, ABEACD,/.BE=CD.由AB的ACD,得ZABE=ZACD,BE=CD,.M、N分别是BE,CD的中点，/.BM=CN.又AB=AC, ABM合ACN.AM=AN,即AAMN为等腰三角形.（2）解：（1）中的两个结论仍然成立.（3）证明：在图中正确画出线段PD,由（1）同理可证ABM合ACN,.ZCAN=ZBAM/.ZBAC=ZMAN.又ZBAC=ZDAE,/.ZMAN=ZDAE=ZBAC.AMN,ADE和4ABC都是顶角相等的等腰三角形. PBD和AMN都为顶角相等的等腰三角形，.NPBD=ZAMN,ZPDB=ZANM, PBDSAMN.6 .如图，在4x3的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：/ABC=I35°°,BC=22;（2）判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论.解答：解：ZABC=135°,BC=22;（2）相似;22+2iz22,EC=J1+1=.AB2rBC22r,CEW2通F域，.ABBC.cez"de,又NABC=ZCED=I35。，ABCSDEC.解：（1）设经过X秒后，AAMN的面积等于矩形ABCD面积的工，9那么有：-i（6-2x）x=-lx3×6,即x?-3x+2=0,（2分）29解方程，得Xi=I,X2=2,（3分）经检验，可知Xl=l,X2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AAMN的面积等于矩形ABCD面积的工.（4分）9（2）假设经过t秒时，以A,M,N为顶点的三角形与AACD相似,由矩形ABCD,可得NCDA=ZMAN=90o,因此有细口或细口（5分）AN"DAAN"DC即1.-6-2t,或一6-2t（6分）解，得t二旦解，得匚型（7分）25经检验，t二卫或七工2都符合题意，所以动点M,N同时出发后，经过乜秒或整秒时，以A,M,N为顶点的三角形与AACD相似.（88.解答：25解：（1）.ABIIMP,QMIIAC,四边形APMQ是平行四边形，ZB=ZPMC,ZC=ZQMB.AB=AC,/.ZB=ZC,.ZPMC=ZQMB.BQ=QM,PM=PC./.四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.PMIIAB,PCMSACB,QMIIAC,/.ABMQSBCA;13）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形,点M是BC的中点，ABIIMP,QMIIAC,.QM,PM是三角形ABC的中位线.AB=AC,.QM=PM=Iab=Iac.22又由C)知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形.9.解证明：正方形ABCD,M为CD中点，答：.CM=MD=IaD.2.BP=3PC,.Pc=Ibc=Iad=Icm.442.CPJWJ.CMAD2'ZPCM=ZADM=90o,/.MCPSADM.10.解解：(1)过D作DHIlAB交BC于H点，答：.ADIIBH,DHIIAB,四边形ABHD是平行四边形.DH=AB=8;BH=AD=2.CH=8-2=6.CD=IO,.DH2+CH2=CD2.ZDHC=90o.ZB=ZDHC=90o.梯形ABCD是直角梯形.Sabcd=1(AD+BC)AB=1×(2+8)×8=40.22(2).BP=CQ=I,.AP=8-t,DQ=IO-t,AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,.8-t÷2+10-t=t÷8+t./.t=3<8.当1=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分.第一种情况：0Vt8假设PADSQEC那么NADP=ZC.tanZADP=tanZC=-63.4.16.,I-I233假设PADSCEQ那么NAPD=ZCtanZAPD=tanZC=-=638-t3.1.131.2第二种情况：8<t10,P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10<l12AADP为钝角三角形与RtCQE不相似;.t=或t=V时,PAD与ZiCQE相似.32第一种情况：当0t8时.过Q点作QEJ_BC,QH±AB,垂足为E、H.".'AP=8-t,AD=2,PD=VaP2+AD2=7t2-16t+68.CE=a,QE=Jt,55.QH=BE=8-,BH=QE=-I.55/.PH=t-=lt.55'PQ=YQH2+pM=Jjt-vt+4,DQ=Io-1VbbI：DQ=DP,10-t=t2-1t+68，解得t=8秒.11:DQ=PQ,10-t=J22-4,V0D化简得：3t2-52t+180=0解得：t=竺二冬，t=26+2>8（不合题意舍去）33.26-2343第二种情况：8t10时.DP=DQ=IO-t.当8tV10时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立.第三种情况：10Vt12时.DP=DQ=1.10.二.当10<t12时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立.综上所述，匚26-2或8t<10或10<t12时，以DQ为腰的等腰DPQ成311.解解：设经X秒后，ZkPBQsABCD,答由于NPBQ=NBCD=90o,(1)当NI=N2时，有：比1，DC-BC即匕弃，x48127(2)当N1=N3时，有：,即8-xx,=2,经过2fe或2秒，APBQsaBCD.12 .解解：设经过秒后t秒后，APBQ与AABC相似，那么有AP=2l,BQ=4t,BP=IO-2t,答：当APBQsABC时，有BP：AB=BQ:BC,即(10-2t):10=4(：20,解得l=2.5(三)(6分)当AQBP-ABC时，有BQ：AB=BP:BC,即4t：10=(10-2t):20,解得t=1.所以，经过2.5s或IS时，APBQ与AABC相似(10分).解法二：设ts后，APBQ与AABC相似，那么有，AP=2t,BQ=4t,BP=IO-2t分两种情况：(1)当BP与AB对应时，有些=理，即竺二1.=生，解得t=2.5sABBC1020(2)当BP与Be对应时，有典起，即也a2t,解得t=sABBC1020所以经过IS或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与ABC相似.13 .解解：.AC=,AD=2,答Jcd=aC2-AD2=2要使这两个直角三角形相似'有两种情况：(1)当RlABCSR(ACD时，有空=些，/.AB=-=3;ADACAD2_(2)当RIZiACB-RqCDA时，有空=些，.AB=-=3._CDACCD故当AB的长为3或3«时，这两个直角三角形相似.14 .解解：设经过X秒后，两三角形相似，那么CQ=(8-2x)cm,CP=xcm,(1分)答：.ZC=ZC=90°,.当空卫或空，时，两三角形相似.(3分)CBCACACB（1）当S2g时，82x,.x=_12.（4分）CB-CA8-65（2）当空P时，8-2I*.X=笆.（5分）CA-CB6-811所以，经过12秒或里秒后，两三角形相似.（6分）51115 .解解：（1）假设点A,P,D分别与点B,C,P对应，即AAPDBCP,答：.ADAP'BPBC,.21.AP,7-AP3,/.AP2-7AP+6=0,/.AP=I或AP=6,检测：当AP=I时，BC=3,AD=2,BP=6,.AP=AD,BCBP,又ZA=ZB=90°,7.APDSBCP.当AP=6时，由BC=3,AD=2,BP=I,X/ZA=ZB=90,.APDSBCP.（2）假设点A,P,D分别与点B,P,C对应，即CAPDABPC.AP=AD,.AP=Z.AP=M,'BPBC,'7-AP3,'T检验：当AP=M时，由BP=21,AD=2,BC=3,55.AP=ADj.BPBC,又ZA=ZB=90°,.AAPDSBPC.因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、M、6处.516 .解解：以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似，答：所以ABCSAPAQ或ABCSQAP,当ABCSPAQ时，ABJC,APzzAQ,所以西=10,2t10-t解得：t=6；当ABCSQAP时,CBzzBAAPAQ,所以IP=15,2t10-t解得：t=§2当AAQPsBAC时，AQ=AP,即曰二生BABC1510所以t=22当AAQPsBCA时，AQ=AP,即"二=驾BCBA1015所以t=3O（舍去）.故当t=6或t=至时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似.217 .解解：TNMAC=NMOP=90°,答：ZAMC=ZOMP,/.AMACSMOP.MAACM0zz0P,1111MA一16'20+MA二8'解得，MA=5米；同理，由4NBDaNOP,可求得NB=I.5米，,小明的身影变短了5-1.5=3.5米.18 .解解：（1）皮尺，标杆；答：（2）测量示意图如下图；如图，测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=C,DEF-BAC>.DEFE"欣F_g_£答：.ABdDEF.理要，即理=60,（2分）DEDFDE-900,.DE=1200(cm).所以，学校旗杆的高度是12m.(3分)（2）解法一：与类似得：期要，即现=§&，GNGHGN156/.GN=208.（4分）在RIANGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602,/.NH=260.（5分）设OO的半径为rcm,连接OM,.NH切。O于M,OM_1.NH.（6分）那么NOMN=ZHGN=90o,又ZONM=ZHNG,OMNSHGN,.Qig（7分），HGHN又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8,.r_+&.156二260,解得：r=12.,景灯灯罩的半径是12cm.（8分）解法二：与类似得：理GNGH即跑二60,GN-156.GN=208.（4分）设。O的半径为rcm,连接OM,NH切。O于M,.OM±NH.（5分）那么NOMN=ZHGN=90o,又NONM=ZHNG,AOMNSHGN.更A,HG-GN即r=MN,（6分）156208/.MN=Jr,3又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8.（7分）在RsoMN中，根据勾股定理得：r2+（）2=（r÷8）2BPr2-9r-36=0,3解得：n=12,2=-3（不合题意，舍去），景灯灯罩的半径是12cm.（8分）20 .（解解：AEIIBD,答：.AECASADCB,.BC_CD-ACEC'".,EC=8.7m,ED=2.7m,CD=6m.'.'AB=1.8m,AC=BC+1.8m,.BC二6：.BC+1.8=8.7：.BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.21 .解解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,那么c2=a?+b2答：(1)S1=S2+S3;(2) S1=S2+S3.证明如下:显然,S=2c2,S2=a2,S3=2(3)当所作的三个三角形相似时，S=S2+S3.证明如下：所作三个三角形相似.S2a2S3b2,.,S-c2Sc2.s2+s3a2÷b2-1S1=S2+S3;(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用Si、S2、S3表示，那么S1=S2+S3.22.解解：ABCSADE,答：/.AE：AC=AD:AB./AE：AC=(AB+BD)：AB,.AE：9=(15+5)：15./.AE=12.23解解：(1)RSABC中，根据勾股定理得：答.BO=JABA，2=5'/RtABCSRtBDC,.AB.BC-AC3_5_4"BD-DCBC,BD-DC5,.BD=K,CD=药44(2)在RIBDC中，SABDC=BECD=DBC,22以5be=bbc=J_=3CD2524,解解：（1）设工P=Z=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,答：235由于3x+4z-2y=40,.6k+20k-6k=40,/.k=2,/.X=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为CCm,那么另一个三角形周长为(C+560)cm,那么C=3,C+560-10/.C=240,C÷560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm.