直线与椭圆位置关系及焦点三角形等题型大全(教师版).docx

椭圆的有关题型大全(教师版)一、直线与椭圆位置关系：1.点与椭圆的位置关系或者IABI=(x1-2)*23*+(y1-y2)2b2xo点Pa0,泡在椭圆WW=内部的充要条件是毛+耳<；在椭圆外部的充要条件是aba-b-OTT022VFv+,X17送7r<刃由-，得蓊-点+初-3)=0,变形得5三=-提患=-鬻即而=一例题讲解：直线与椭圆的位置关系22例题1、判断直线依y+3=0与椭圆竟+1-=l的位置关系y=kx+3解:由，x2y2tW(4A:2+l)x2+24kx+20=0/.=16(16A:2-5)1=1当A=16(16-5)>(JA>1164V-妇时，直线1.r-y+3=O与椭圆工+E=1相交4164当二16(16公-5)=0即Z=好或Z=-壮5时，直线Ax-y+3=0与椭圆三十3=1相切44164当A=16(16-5)0即一好%好时，直线七v-y+3=0与椭圆二+亡=1相离4416422例题2、假设直线y=Ax+l伏R)与椭圆二+±二1恒有公共点，求实数机的取值范围5m解法一:y=kx+1由，X2y2.可得(542+w)x2+IOArx+5-5m=0,.=小一5攵210即帆5Z?+i1+=1,5m解法二：直线恒过一定点(0,1)当机5时，椭圆焦点在X轴上，短半轴长b=际,要使直线与椭圆恒有交点那么而1即1mV5当机5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长Q二6可保证直线与椭圆恒有交点即机5综述：in1Jlzw5解法三：直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(Oj)在椭圆内部t+1.«i即机5m评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或工得到关于X或y的一元二次方程，那么(1)直线与椭圆相交。>()(2)直线与椭圆相切OA=O(3)直线与椭圆相离=<(),所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最根本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三那么紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(X。,兀)在22椭圆内部或在椭圆上那么%+冬1ab二、弦长问题YV2例3、椭圜+乙=1的左右焦点分别为F1,F2,假设过点P0,-2及FI的直线交椭®!于A,B两点，21求/ABF2的面积解法一：由题可知：直线方程为2x+y+2=0y=-Ix-2.fr:X2,y2可得9y2+4y_4=0,1-y2=y(y+y2)2-yy2=2145解法二：F2到直线AB的距离Zz=里1029y=-Ix-2由可得9+i6+6=0,又IABI=Jl+ZE=1=1'21评述在利用弦长公式AB=JiW%-X2=，1+/回一月(k为直线斜率)或焦(左)半径公式耳=IP周+P段=a+%+a-ex2=2a+2e(xi+/)时，应结合韦达定理解决问题。例题4、长轴为12,短轴长为6,焦点在.r轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为三的直线交椭3圆于A,B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式MBI=Ji+/片一电|=Ja+-2)(芭+)2-心看求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.=y+k2x-x2=(1+2)(xi+x2)2-4xix2.因为=6,8=3,所以c=3百.因为焦点在X轴上,所以椭圆方程为J+W=l,左焦点尸(-36，0),从而直线方程为y=J5x+9.369由直线方程与椭圆方程联立得：132+72Ix+368=0.设匹，9为方程两根，所以723中*2二一三36×8X'X2k=y3IABl=y+k2X-X2=J(l+42)(%+%2)2-4XX2=-(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.22由题意可知椭圆方程为之±=1,设A6=机，忸制=，那么IA周=12m，忸周二12369在根尸但中，IA同2=HM+旧用2“WE眄用CoSt(12机=m2+363-2m6V5g；48+=13所以"="r同理在母谯中用余弦定理得”二芸方所以MBl=例题5、P(4,2)是直线/被椭圜二+2=1所截得的线段的中点，求直线/的方程.369分析：此题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或X),得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出为十%，XIX2(或必+内，凹内)的值代人计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的.解：方法一：设所求直线方程为y-2=©X-4).代入椭圆方程，整理得(4公+l)2-我(4A-2)x+4(4R2)236=O设直线与椭圆的交点为A(M,y),y2),那么范、占是的两根，xi+x2=sk4+1尸(4,2)为A8中点，/=,女=一3.所求直线方程为+2y-8=0.方法二：设直线与椭圆交点A(x1,yl),B(X2»y2)*P(法2)为AB中点，xl+x2=8,yl+y2=4.又A,B在椭圆上，j+4%2=36,2+4丫22=36两式相减得+即(x1+x2Xx1-x2)+4(y1+y2Xy1-yo)=0.、一五二JM+"？.二直线方程为XlT24(y+%)2x+2y-8=0.方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(X,y),另一个交点3(8-x,4-y).TA、B在椭圆上，(8-幻2+4(4-y)2=36从而A,3在方程一的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条，二直线方程为x+2y-8=O.说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.假设焦点是(3力，0)、(-36，0)的椭圆截直线大+2¥-8=0所得弦中点的横坐标是4,那么如何求椭圆方程？例题6、椭圆4/+/=1及直线y=x+m.CD当用为何值时，直线与椭®!有公共点？2假设直线被椭BI截得的弦长为mF，求直线的方程解：(1)把直线方程y=x+m代入椭圆方程4+y2=得4x2+(x+w)2=1,即5/+2优+，一=o.=(2m)2-4×5×(zn2-1)=-16w2+200,解得一等m等D21(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为$,x2,由(1)得占+&=一罟，x1x2=-根据弦长公式得：I+F-y-4x29=*°解得6=0.方程为y=.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，i般考虑判别式:解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，假设能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程.例7：(2011高考陕西卷)设椭圆C，+营=1(曲£>0)过点(0,4),离心率为1.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为W的直线被。所截线段的中点坐标.解：(1)将(0,4)代入C的方程得黄=1.b=4./.R2-z.2Q1Z1.Qr2.,2又由e=G=W得*=5?即-U=E"=5'C的方程为行+讳=1.44(2)过点(3,0)且斜率番的直线方程为y=0-3),设直线与C的交点为A(XI,y)f8(X2,”)，将直线方程产资一3)代入C的方程，得去十25=1，即x2-3l8=0,6-5二、椭圆焦点三角形的周长、面积公式的应用:定理在椭圆二+=13>。>0)中，焦点分别为A、F2,点P是椭圆上任ab意一点，ZFxPF2=O9那么SA印”=tang.证明：记IPKl=KlPF?|二弓，由椭圆的第一定义得在aHPF2中，由余弦定理得：2+<>2-2r1r,cos=(2c)2.配方得：(+r2)2-2rlr2-2rlr2cos4c2.即4tz2-2(l+cos<9)=4c2.由任意三角形的面积公式得：.八Zsin-COS-SMPF=rrsin=Z?2=Zj22_-_2_=F."代212l+cos<9oZCOS2v2尤2同理可证，在椭圆2v+f=1(a>b>Q)中，公式仍然成立.ab例题讲解:例1假设P是椭圆盖+*=l上的一点，Fn工是其焦点，且/6产工=60。，求解法一：在椭圆工+”=1中,10064=1(),=8,c=6,而。=60°.记PF=rpPF2=r2.点P在椭圆上,二由椭圆的第一定义得：r1+=2=20.在PF2中，由余弦定理得：r12+r22-2r1r,cos=(2c)2.配方，得：(r1+r2)2-3rlr2=144.400一342二144.从而r2=解法二：在椭圆£+£=1中，Z>2=64,而。=60。.解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现!例2、FpF2是椭圆2-+今=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且/AGB=45°,求4从耳鸟的面解：F,F2=2>2,AFAF2=6,AF2=6-AFi例3：如图，椭圆后+吊=1的左、右焦点分别为尸I,F2,一条直线/经过凡与椭圆交于A,B两点,假设直线/的倾斜角为45。，求4A8F2的面积.解：由椭圆的方程旅+=1知，«=4,b=3,.*.c=ya2-h2=yl.由C=市知尸(一巾，O),F2(7,0),又直线/的斜率Z=tan450=l,二直线/的方程为-y+市=0.%y+7=0,设Aay),仇必，”)，那么由止+_消去X，整理得25产一18巾y-81=0.18581y+)j2=25，>,Oj2=-25工伙1.y2=6。|+?)24y)D=SBF2=FiF2-2=×27×2=7.例4、ZXABC的顶点8,C在椭圆,+j2=l上，顶点4是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么aABC的周长是()A.23B.6C.43D.12解析:选C由于AABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,8A+8f=2a=25,CA+Cfl=2a=23,便可求得的周长为4a=4l在椭圆上的充要条件是+=iCrb-2.直线与椭圆的位置关系.X2V2设直线/：Ar+约，+C=O,椭圆C-+=l,联立/与C,消去某一变量(X或)，)得到关于另一个变量a方的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为,那么/与C相离的OA5/与C相切OA且：/与C相交于不同两点=AQ.3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(X1,P),P2(X2,j2)=>P1P2l=(1-X2)2+(y1-2)2=1+2X1-X2=Jl÷p->7-3,2Ik为直线斜率)形式(利用根与系数关系(推导过程：假设点A(Apy),8(%2，>2)在直线>=履+仇女0°)上，那么y=b+0,y?=kx?+b,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一,二l玉一：)2+(%)2=J(1+*)(乂一%)2=J(I+，)Kx+%)2-4)，以。)4.椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出v22中点坐标和斜率的关系，具体如下：A(Xy),(x2f”)是椭圆/+方=l(">0>0)上的两个不同的点，(xo>M)是线段AB的中点，【那么AAb=