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    《函数基本初等函数》复习导引(一).docx

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    《函数基本初等函数》复习导引(一).docx

    函数、基本初等函数复习导引(一)函数是高中数学中极为重要的内容,函数的观点和方法贯穿了整个高中数学,是高中数学的一条主线.历年高考中都对函数进行重点考查,在选择题、填空题和解答题三大题型中都有函数试题.高考重点考查的内容有:函数的概念、函数的解析式、函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等性质,函数的图象和图象变换及以基本初等函数为载体的综合题和应用题.所以在复习函数时应以复习基础知识、强化函数应用、培养能力为重点.1.函数及其表示(1)函数由定义域、值域、对应关系构成.其中对应关系是核心,定义域是根本.只有当两个函数的定义域和对应关系完全一致(即对于相同的自变量其所对应的函数值相等)时,这两个函数才是同一函数.要特别注意:研究函数时,必须遵循“定义域优先”的原则.(2)求函数定义域时,一般应遵循以下原则:/(X)是整式时,定义域是全体实数;/(X)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;/(x)为偶次根式时,定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合;对数函数的真数大于零;且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1;零指数'暴的底数不能为零;若/(X)是有限个基本函数运算合成的函数,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集;对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知/(X)的定义域为6,其复合函数/g(x)的定义域应由不等式/(x)W人解出;对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论;由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(3)函数的值域取决于定义域和对应法则.求函数值域常用的方法有:配方法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式法、利用函数的有界性、数形结合法等,但不论采用什么方法求值域,均应考虑其定义域.另外,还要特别注意,在利用配方法、基本不等式、判别式法求值域时,一定要注意等号是否成立,必要时需注明等号成立的条件.(4)函数的最值与函数的值域有着密切的联系.事实上,如果在函数值域中存在一个最大(小)数,这个数就是函数的最大(小)值.函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而有时借助函数图象的直观性可直接得出函数的最值,另外要注意函数的单调性对函数最值的影响,尤其是对于闭区间上函数的最值.比如定义在闭区间机,上的函数/(x),若f(x)单调递增,则它的最小、最大值分别为/(加),/5).对于单调性不确定的函数要进行分类讨论.(5)解析法、列表法和图象法是函数的三种常用表示方法.求函数的解析式一般有四种情况:根据某实际问题需建立一种函数关系式,这种情况需引入合适的变量,根据数学的有关知识找出函数关系式;根据题中给出函数特征,求函数的解析式,可用待定系数法.比如函数是二次函数,可设为/(X)=O?+法+c(0),其中,b,C是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出小b,C即可;换元法求解析式,由/W(x)=g(x)求/(x)的问题,往往可设力(X)=1,从中解出X,代入g(x)进行换元求解;解方程组法:已知/(X)满足某个等式,这个等式除了/(X)是未知量外,还出现其他未知量,如/(-幻,/(T)等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出/(x).2.函数的基本性质(1)函数的单调性理解函数单调性定义,应注意下列几点:函数的单调性只能在其定义域内讨论;单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性;定义中的即W具有任意性,若要证明了(X)在区间小刈上是递增或者递减的,就必须证明对区间上任意的两点“2,当a/9时都有不等式F(X)Vf(三)或F(X)>/。2)若要证明F(X)在区间小h上不是单调函数,只要举出反例即可;判断函数的单调性,首先必须明确函数的定义域.在定义域上如果有多个单调区间,区间之间用“、”分开或用“和”相连,不能用“u”.判断函数单调性的常用方法:定义法;两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数;奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性;互为反函数的两个函数具有相同的单调性.(2)函数的奇偶性奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)«f(-x)±f(x)=oo=±i(f()=).f(x)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之亦真.因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.若奇函数的定义域含有数0,则必有/(0)=0.若AX)是偶函数,则/()=(-)=(N)在处理有关问题时,常用到以下几个结论:两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.判断函数的奇偶性,包括判断一个函数是奇函数,或者是偶函数,或者既不是奇函数也不是偶函数,或者既是奇函数又是偶函数.在解题过程中要注意挖掘函数的奇偶性特征,为解决问题提供方便.3.函数的图象与性质(1)若函数y=(x)满足/(+x)=f(-幻,则函数图象关于直线二对称.此性质也可用F(X)=/(2-x)表示;当方。时,该函数为偶函数.(2)若函数y=f(x)满足/(67+x)=-x),则函数图象关于直线X=等对称.(3)若函数y=f(x)满足/(+x)+(-x)=26,则该函数图象关于点(小b)成中心对称;当“%=0时,说明该函数是奇函数.

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