“数列”大题规范增分练.docx
“数列”大题规范增分练1.(2023山东省实验中学校考二模汜知两个正项数列斯,瓦满足(。“一b)儿=1,；=bllw2+(1)求数列斯,»的通项公式；(2)若数列c*满足c=a+a+1+力”，其中国表示不超过X的最大整数，求c的前n项和Sn.解：(1)由7=2j，得油"=M+11由(a一b,l)bll=1,得aMi=I4,.*.Z>11=n2.*.*hi序+1是正项数列，/.bn=n,：an=nbft=w÷111114,w=,(2)%+如=+”+1+干H2-I+Q+1,介2,_(5,77=1,Cn=an-a,+bn=一3+1,栏2.：.当>2时S“=5+7+10+(3+1)=5+(7+3叱)(I)T3序+5”+2),当=1时Si=5满足Sw=(3n2+5+2),5h=(3w2÷52÷2).2.(2023潍坊模拟)已知公差不为零的等差数列3的前项和为S”，S3=15,且内，6，颔成等比数列.(1)求数列”的通项公式；(2)设为=布/,试问数列儿是否存在最大项？若存在，求出最大项序号的值；若不存在，请说明理由.解：(1)设该等差数列的公差为d,J0,由S3=15=3+gx3X2d=15.因为的，a”成等比数列，所以c=(+2)2=(+0d)，由可得“1=2,d=3=斯=2+(-1)3=3-1.(2)由(1)可知,an=3n-f假设存在最大项bn,$一62(3-4)(31)云(3+2艰产后于>16心予16_ _19=了后于因为N',所以=6.所以假设成立，数列瓦存在最大项，序号=6.3.已知数列斯的前项和为S”，且陪=三(1)证明：数列斯是等差数列；(2)若痣+1，8+1，心成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列儿的前项人n/-V1z-x.2+3和T,l.®bn='22；bn=_I；®bn=a，。”+1yan-yan+解：证明：因为用，=今即(m+l)=2Sl,当=1时+l=2S,解得a=l;当22时(一l)(an+l)=2S"-,所以n(an÷1)(/?-1)(an-1÷1)=25«2Sn-1,即n(an-1)-(/-1)(an-1+1)=2a,所以(一2)小一(一1)斯-1+1=0,当/7=2时上述式子恒成立，当n>2时两边同时除以(一2)(一1),得？一:二；=一-J3=-h一即"!7一_了="忖一3，所以告H为常数列，即生=(一1)(-2)n1n2n1n-1一2n-2(n1J11-1S1,所以a“l=(1)(。211),即“=(1)(421)+1,当n1时上述zl=(-1)(。21)+1也成立，所以a”+i-0="(2-1)+-(-1)(。2-1)-1=2L所以,J是以1为首项，。21为公差的等差数列.(2)设S“的公差为d,因为他+1,6+1,S成等比数列，所以3+1)2=45(42+1),即(2+2J)2=(+4)(2+J),解得4=2.所以如=2-1.若选：儿=就？则仇=(2DW2+1广泉(2,一(2；1所以3卧一抖上-抖+F？711l？Pj若选："=函；G则fe=2z,-l2,+l，2+1山-1N2-I+，2+1)(*2"+1-y2n-1)=BN2+1 -y2n-),什吐否.2+3右选：毛=如0+口独h=2+3=1!JL(2-i)(2w+1)2ZrL(2LI)X2(2n+1)×2,+h所以=1><2-3X22+3X22-5X23+(2-1)X2"(2r+l)X2"+_11三2-(2n+l)×2z,+b4. (2023南通模拟)设数列的前项和为S”已知5=2小一+1.(1)证明：数歹U%+l是等比数列；小，为奇数，(2)若数列伊“满足力1=他，儿+1=d.%/申将求数列仍的前14项的和.an-bn,为偶数,解：证明：S,=2%f+l,则Sn+=2+-(«+1)+1,一，得a"+i=2a+|2al,即a”+i=2a+l,：.an+1÷I=23.+1),即E1=2.令5=2m一+1中=1,得S=2-1+1,解得m=O,则+1=1. 斯+1是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)知。+1=2"一|,则an=2n'l-t* b,t+12,-1, 为奇数，2nl-bnt 为偶数,且 =2=22-,-1 = 1. 当"为偶数时，儿+=2LlT-即瓦+冬+1=2”一1, *.-+岳+b4=81+S2+b3)+S4+b5)+Sz+"3)+b4=I÷2,1÷23-12(146)52,220+2,-l+2,2-l=I+-；-6+212-1=05. （2023长沙模拟）已知数列叫为等差数列,s=3,04=3。5，数列的前项和为Sn,且满足2£=3九一1.（1）求数列斯和儿的通项公式；Q）若Cn=anbn,数列金的前项和为7；,且。一。3（一1）"M对"N恒成立，求实数利的取值范围.解：（1）设等差数列的的公差为42=3,(+d=3,则=.ai4=34s+13d=3+12d+d=3,=l,='、j=LC=4"=2"-l("N')2cdd=2数列九的前项和为Snf且2Sn=3bn-I,当n=时，j=1:当22时，2Sli=35i1,一得瓦=3d-1(22).故数列瓦是以1为首项，3为公比的等比数列，所以乩=3Li("N*).(2)在数列金中，cn=anbn=(2n-l3n'f则7；=1×30+3×3,+(2w-3)3m-2+(2w-l)3n,所以37；=1X31+3X3?+(2-3)3"r+(2-1>3”.故一27:,=1+2(31+32+3"7)(2-1>3=-1+2(3°+31+3"一|)一(2-1>3"=l-3n-1+2jy(2一l)3"=(2-2")3”2,所以=(w-1)3m+1.因为(-1)"m>*l"3"=1一3对N"恒成立.当n为奇数时，(-)nm=-m>l-3n=>m<3n-1=>m<(3-l)min=3,-1=2;当n为偶数时，(一1)"M=W>13"=加>(1-3")max=1一32=-8.综上，实数机的取值范围为(一8,2).6.已知S是数列的前项和，且m=l,数列今是公差为的等差数列.(1)求数列小的通项公式；(2)记数列2%的前项和为力”是否存在实数M吏得数列？界成等差数列，若存在，求出实数，的值；若不存在，请说明理由.解：(D因为3=L数列榭是公差为的等差数列，则慧=i+(-I)Xa=V，因此s+1=-51tin,一，n,1.(+1)n当22时，SnT=Qan-I,则有a”=SLSzj-I=-2一斯2""f，因此(-1)小=斯一1,即Ml=告*所以数列愕是常数列，有詈=牛=1,所以数列斯的通项公式为atl=n.(2)由(1)知,2nan=n2nfJ=1×2l+2×22÷3×23+n×2n,所以25=lX22+2X23+3X24+3+“X2"l17rt两式相减得一%=2+22+23+2"-"X2'n=2Xf5一X2"+I=(I-)2"+-2,因此=(w-l)2+,+2,“T+r2+r7+r10+r7+r34+/所以亍=亍，丁=丁，1-=8-若数列空;成等差数列，则2X空=半+专工解得，=一2.rJP27*2一2当，=一2时，-=2-2,则谓V写一=2(+1)2(2-2)=2,所以数列成等差数列.所以存在实数1=一2,使得数列;与斗成等差数列.
