（理）第11讲等比数列教案-经典教学教辅文档.docx

第十一讲等比数列适用学科数学适用年级高三（理）适用区域通用课不时长（分钟）120知识点1 .等比数列2 .等比数列的前n项和教学目标1 .理解等比数列的概念和性质2 .掌握等比数列的通项公式和前n项和公式3 .了解等比数列与指数函数的关系4 .能在具体的成绩情境中辨认数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的成绩教学重点等比数列与等差数列一样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点.客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活运用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具教学难点等比数列与等差数列一样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点.客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活运用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具教学过程一、知识讲解考点1等比数列定义讲解内容普通地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母4表示（9工。），即:0n+1:4=q（"0）数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2,5,-;（留意：”从第二项起"、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零）考点2等比数列通项公式讲解内容等比数列通项公式为：氏=qW"3（工。）.阐明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比干1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若&为等比数列，则口=考点3等比中项讲解内容如果在。与。两头插入一个数G,使,G/成等比数列，那么G叫做。与力的等比中项（两个符号相反的非零实数，都有两个等比中项）.考点4.等比数列前n项和公式讲解内容普通地，设等比数列即。2吗，M，的前n项和是s”=4+%+/+勺，当#1时，Sn=叫"。）或S'='4；当q=l-q-q时，S=q（错位相减法）.阐明：（1）/必,S.和6,4MS,各已知三个可求第四个；（2）留意求和公式中是9”，通项公式中是夕”T不要混淆；（3）运用求和公式时4工1,必要时应讨论4=1的情况.二、例题精析【例题1】【题干】“公差为O的等差数列是等比数列”；“公比为L的等比2数列必然是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是bc"；"a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c"，以上四个命题中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】四个命题中只需最初一个是真命题.命题1中未考虑各项都为O的等差数列不是等比数列；命题2中可知出+尸a”XLatvKan未必成立，当首项a<0时，an<0,2则LaQg即ae>ar,此时该数列为递增数列；2命题3中，若a=b=O,cR,此时有=c,但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=4Z,则成为不必要也不充分条件.【例题2】【题干】命题L若数歹Uan)的前n项和Sn=an-+b(al),则数列a0是等比数列；命题2：若数歹心的前n项和SLan2+bn+c(aW0),贝|数歹Ja是等差数列；命题3：若数歹Uar的前n项和Sr=na-n,则数列aj既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】由命题1得,a=a+b,当n2时，an=Sn-Sn-=(a-1)anT.若瓜是等比数列，则”二a,即丝=12二a,所以只需当b=-1ala+b且a#O时，此数列才是等比数列.由命题2得，a1=a+b+c,当n22时，an=SnSn-=2na+ba,若an是等差数列，则aza尸2a,即2a-c=2a,所以只需当C=O时，数列ar才是等差数列.由命题3得，a=a-1,当n22时，an=Sn-Sn-=a-1,明显&是一个常数列，即公差为0的等差数列，因而只需当a-l0;即al时数列EJ才又是等比数列.【例题3】【题干】(I)已知数列其中c=211+3,且数冽q+l为等比数列，求常数)；(II)设a、br)是公比不相等的两个等比数列，c,m+b,证明数列q不是等比数列.【答案】(I)或尸3(II)见解析【解析】(I)解：由于*LPC,是等比数列，故有：(Gt+1-pg)=(G+2-，C+i)(CLPGLD，将G=2"+3"代入上式，得：2w+1+3z,+1-/?(2"+3")2=2w+2+3a+2-p(2+,+3+i)2"+rp(2111+31),即(2-p)2n+(3-p)3勺2=(2一夕)2小+(3一夕)3f(2-p)2p1+(3-p)3i,整理得，(2一夕)(3-p)2"3'=0,解得尸2或尸3.6(II)证明：设4、bfl)的公比分别为2、0pq,Cka共bn.为证q不是等比数列只需证c22c1C3.现实上,C22=(ap÷bq)2=ap+bqz+2abpqfCiC3=(句+A)(<3?2+b(j)=ap÷bq÷abCp+q)9由于pSp+q2>2pq9又4、打不为零，因而c1c3,故q不是等比数列.【例题4】【题干】如图，在边长为/的等边阿中，圆为44?C的内切圆，圆与圆外切，且与力反勿相切，圆时与圆功外切,且与力反区相切，如此无量继续下去.记圆。,的面积为为(7f),证明4是等比数列；【答案】见解析【解析】证明：记”为圆。，的半径，则r=-tan30o=/.=sin30o=,所以rn=-r-2623因而国二万亓二之与=(二)2=L故a成等比数列.12*9【例题5】【题干】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求本来的等比数列.【答案】2,6,18或2,.999【解析】设所求的等比数列为a,aq,aq2；贝J2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2,q=3或a=£,q=-5；故所求的等比数列为【例题6】【题干】已知正项数列,其前项和S”满足10S=+5%+6,且冯，仆成等比数列，求数列也的通项明【答案】an=511-3.【解析】丁IOS=力方4610a1=a12+5a+6,解之得a1=2或a=3.X10Sn-=an-2+5an-+6(n2),由一得IOan=(an2-an-12)+6(an-an-),即(ada-)(a11-a15)=0Va11+an->O,an-an-=5(n2).当a=3时,a3=13,a5=73,aba%由5不成等比数列.a3;当32日寸,a：j三12,a15=72,有'a?=a【ai5,a尸2,a11-53.【例题7】【题干】设4为等差数列，ZU为等比数列，a="=l,&+a=A,bzb=孤.分别求出an及bli的前10项的和SO及710；【答案】SO=IOal+id=-当q=也时，2825 WQ+®1一夕当k-4时，k与心=某2-扬.2-q32【解析】（1）为为等差数列，ZU为等比数列,Qi+42&9bzb,&已知&+<¾=A,Zb&,Z>3=2&,<=&得%=2bV30.bi=,a=1.24由a=1,&='知a的公差为d=-,48C-I10×9,55.So=IOai+d=.28由4=1,A=L知J的公比为Q=孚或Q=-g222当。=孝时，3半心=部+扬，2-q32当7时，y华心=部-扬.21-q32【例题8】【题干】在1与2之间插入个正数<31,a2,4,afl,使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b,bjbg,bn,使这Z?+2个数成等差数列.记An=aaiaz&,氏=仇+)+2+.(I)求数列4和%的通项；(II)当27时，比较4与房的大小，并证明你的结论.【答案】(I)4=qdd=q立普=2；(/7=1,2,3)Bn=l+d-l+nd=-n2(II)All>Bfl【解析】设公比为S公差为匕等比数列L句，及，当，2,等差数列1,b,b29，bn,2.则4=a=lqJ2-Iq1/4=11<71又4+2=l/H=2得/+=2,Arj=qd/=/")=2§(77=1,2,3)2又""+2=l+(+1)d=2J(+1)d=lB=b=l+dB2=b2+b=l+d+l+2dB1=1+HFl+nd=3一2(II)An>Bn9当时证明：当=7时，235=841=Ar,Bn=-×1,.Af,>Br2设当=4时，An>B,则当=4+1时，Ak+l=2ri33=2+2a+,22乂.4h=2*Bk+=k且氏：.Ak+>yfik*力+1-Bk+1>V2,-kk=(V2-1),一k22222又：k=8,9,10-A+1-+1>0,综上所述，4见成立.【例题9】【题干】已知公比为夕(O<q<l)的无量等比数列%各项的和为9,无量等比数列/各项的和为日.(I)求数列%的首项可和公比小(II)对给定的Z(Z=I,2,3,)，设T是首项为4,公差为2%-1的等差数列.求数列T的的前10项之和.7三7=9M=3【答案】jLH(IDM【解析】（I）依题意可知:（II）由（I）知，*=3x（1，'，所以数列T的的首项为八=W=2,公差d=2%-l=3,SIO=IOX2+g10x9x3=155,即数列T的前10项之和为155.点评：对于出现等差、等比数列的综合成绩，必然要区分开各自的公式，不要混淆.【题干】已知是由非负整数组成的无量数列，该数列前n项的最大值记为A”，第n项以后各项am,A*，的最小值记为dtl=An-Bri.(1)若a0为2,1,4,3,2,1,4.,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,an+4=an),写出d”d2,列&的值；(2)设d是非负整数，证明：&=-d(n=l,2,3,)的充分必要条件为4是公差为d的等差数列；(3)证明：若&=2,d11=l(n=l,2,)，则ar的项只能是1或者2,且有无量多项为L【答案】d=d=l,d="=3.(2)见解析(3)见解析【解析】(l)d=d=L"=d=3.(充分性)由于4是公差为d的等差数列，且40,所以aa2a,因而4=a，Bn=ar+,dn=3a+1=dn=1,2,3>).(必要性)由于办=一G0(7=l,2,3,所以4=用+dW%又由于a+12凡，所以d&+i.因而，An=3nfBn=arj+,因而为+1-3n=Bn-An=-dn=d,即4是公差为d的等差数列.(3)由于n=2,d=L所以4=4=2,Bl=Ald=1.故对任意2L=假设面(22)中存在大于2的项.设勿为满足为>2的最小正整数，则加22,并且对任意1<4V勿，&<2.又由于a=2,所以4=2,且4=%>2.因而，BnI=Akd>2=3,-=min2.故dm-1=Am-BIn一<22=0,与d11-=1矛盾.所以对于任意21,有aW2,即非负整数列a的各项只能为1或2.由于对任意21,aW2=&,所以X=2.故Bn=A-dn=2-1=1.因而对于任意正整数，存在勿满足勿>，且&=1,即数列4有无量多项为1.三、课堂运用【基础】1 .在等比数列中，4=2,前项和为工，若数列q+1也是等比数列，则S”等于()A.2n+l-2B.3C.2nD.3,-l【答案】C【解析】因数列%为等比，则4=2/1,因数列包+1也是等比数列，则+1)2=3“+1)(4+2÷1)=>CItJ+2ali+l=anan+2+q+atl+2=>all+z,+2=2%M=“(+/_2q)=Ong=即为=2,所以SL2，故选择答案C.2 .¾(n)=2+24+27+2,0+23n*,0(nV),则/()等于()A.-(8,-l)B.-(8,+1-l),C.-(8,+3-l)777D.-(811+4-1)【答案】D【解析】留意项数3.设等比数列4的前项和为S”若S+W=2W,求数列的公比Q;【答案】L号.【解析】右片1，则有£二3句，&二6句，W二9团.因HiWO,得S+&W2W，明显与题设矛盾，故qWl由S+g2W,得4(1一：)+。«一/)=2(1-。),整理得,3(2d-q-q-qQ1)-0,由q0,得2成一q1=0,从而(2q'+1)(1)=0,因"/1,故/二一；，所以干一个.【巩固】1 .己知数列4的前项和为S,且为+S=.(1)设G=4-1,求证：匕是等比数列；求数列&的通项公式.ITI【答案】见解析&=c+l=l丁.【解析】由题4+S”=M+S,=+1两式相减得2%=“+1整理得2(%-l)=ql即沿=；易知所以%是以_；为首项，；为公比的等比数列由可知。掌犷Tfl.all=cn+l=l.2 .已知4是由非负整数组成的数列，满足&=0,&=3,3n+3tl=(a-1+2)(dn-22)9n=3,4,5,.(I)求当；(II)证明a=a+2,=3,4,5,；(III)求a的通项公式及其前项和S.1%+i),当九为偶数，【答案】(I)=2(II)见解析(III)S=；(+1)-1,当为奇数.12【解析】(I)由题设得&=10,且纥、&为非负整数，故&的可能的值为L2,5,10.若己3=1,则国=10,%=,与题设矛盾.2若=5,则a=2,a=?，与题设矛盾.2若&=10,则aI=L5=60,S6=,与题设矛盾.所以<¾=2.(II)用数学归纳法证明：当=3,a3=s+2,等式成立；假设当n=k(A3)时等式成立，即ak=ak-2-2i由题设ak+xak=(<¾-l+2)(级-2+2),由于a=&-2+2r,所以&+1=绿一1+2,也就是说，当=4+1时，等式a+i=a-1+2成立；根据和，对于一切23,有外尸为一1+2.(In)解：由及“1=&1)-1+2,2=0,及<=%«-1)+2,a?=3得凝-1=2（4一1）,=2A+1,k=l,2,3,，即劣=+（1)",=1,2,3,+当为偶数，所以Sn=4-n（+1）-1,当为奇数.123已知数列4是公差不为零的等差数列，昂=2,且显,a,必成等比数列.求数列a,的通项公式；（2）求数列3，的前项和.【答案】2S,=空H1-9【解析】设等差数列4的公差为d,由于a,生成等比数列所以(2+3dp=(2+d)(2+7d)解得d=2所以4=21-9（2）由前知3“”=32=9"故其前n项和为S,二【拔高】1 .在正项等比数列ar中，a5=J,a6+a?=3.则满足a+a211Fan>aa的最大正整数n的值为.【答案】12【解析】设正项等比数列品的公比为小则由u,a+&=a('+/)=3可得q=2,因而a=2"一，,则a+及H卜a=(1-2h)1=2-5-.1-232:%=;,，=2,.'¢=1,QQw=<3o=1.；刍及&I=L当取12时，ax+a2-F2=21>32a<32*5ii5i2=5i2=26成反；当n取13时，a+改+句3=2V3231*,1512513=312513=2*2=2".当>13时，随着增大功+及H14将恒小于ala2an.因而所求n的最大值为12.2 .设Sn为数列ar的前n项和，S.=(J)Z-5，nN*,则/；(2)S+S2+Soo=【答案】>1【解析】由题S,=4-占=2+§3，S3=-3-L解得%=.2816=(-ai+a2)+(-a3+a4)+.+(-a99+ai00)-(7+-+-Tv；22221nz1J11、41621002222100二不瓯1)故答率为3i-i)课程小结1 .等比数列的知识要点(可类比等差数列学习)(1)掌握等比数列定义4=,(常数)(4N),一样是证明一个an数列是等比数列的根据，也可由3来判断；(2)等比数列的通项公式为4=国/7；(3)对于G是a、5的等比中项，则tf5=zb,G=+4ab；(4)特别要留意等比数列前项和公式应分为q=l与qWl两类,当q=l时，Sn=皿当,Wl时，S=0(T),S=牝S.l-q-q2 .等比数列的判定方法定义法：对于数列仙，若架=冢4工。)，则数列%是验证首项非零等比数列；”等比中项：对于数列%,若/3,则数列中是等比数列.3 .等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果凡是等比数列的第项，%是等差数列的第M项，且m",公比为q,则有册=%V"对于笠比数列。，若"+"z="+u,则q,也就是：6册=2%=%*=，如图所示：%用2,。3,*-2MI，%.。24_1若数列%是等比数列，S“是其前n项的和，kwN那么Sk,S2k-Sk,S3A-S2A成等比数列.如下图所示：课后作业【基础】1 .在各项都为正数的等比数列a中，首项刍=3,前三项和为21,则为+a+己5=()A.33B.72C.84D.189【答案】C【解析】设等比数列等J的公比为q(q>O),由题意得：出+&+a3=21,即3+3q+3ql,q2+q-6=0,求得q=2(q=-3舍去)，所以a3+a.+a5=q(a1+a2+a3)=421=84,故选C.2 .在等差数列a,中，若a。=。，则有等式且+%+劣=国+4+劭9一(V19,7N)成立.类比上述性质，相应地：在等比数列4中，若友=1,则有等式成立.【答案】bb2bl1=bkbvj-n(n<17,zzN*);【解析】在等差数列a中，由ao=O,得4+句9=<32+句8=a+/0=a+i+319一=2己10=0,所以4+&+&+劭9=0，即句+<¾+4=加一国84+1，又Ydl=-49，氏=一句8，句9-=4+1a+a21-&=一句9一=<3+a2H-a-n,若a9=0,同理可得ai+a2-an=a+a2-a-ny相应地等比数列bn中，则可得：bib2-bn=bib2-bi7-n(/?<17,7N*)3 .设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80,前2n项和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比q【答案】首项为2,公比为3【解析】设等比数列aj的前n项和为Sn,依题意设:a1>0,Sn=80,S2n=6560.VS2n2Sn,ql;从而"(J*。,且皿上2=6560.-q-q两式相除得l+q=82,即qn=81.a1=q-l>0即q>l,从而等比数列aj为递增数列,故前n项中数值最大的项为第n项.aqtl1=54,¼ffi(q1)qn1=qn-qnl=54.qnl=8154=27*Q-=,y-3.a=q-1=2故此数列的首项为2,公比为3.【巩固】1 .在和+1之间插入n个正数，使这+2个数依次成等比数列，n求这11个数之积.【答案】.Z=(生与n【解析】解法L设插入的n个数为再,叫，且公比为q，则+1=Lg"",.4"+=(+1),4=-qk,k=l,2,n,解法2：设插入的n个数为X,x,，x0=-,xh+1=n+n2 .设等比数列&的各项均为正数，项数是偶数，它的一切项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lga,的前多少项和最大？(lg2=03,lg3=0.4)【答案】数列lga,的前5项和最大【解析】解法一设公比为q,项数为2以,勿N*,闯(产-1)依题意有：,夕-1q2,(。国)闻3)=%axq2+axqy)2f 3a1 = 108,1化简得衣axq2=9(1+q),设数列lga,前项和为S,贝IS=ga+gw+g2Q'L=g4j/+23i二1)Igc=7(21g2+lg3)yZ?(/71)lg3二(一警)72+(21g2+lg3)n72Ig2+Ig3可见，当炉上上时，S最大，Ig3而21g2+'g3=40js><04=5,故lga的前5项和最大，Ig32×0.46t=108_I解法二接前，1,因而Iga尸Ig108&)1=IglO8+(一仁3Dlgp，数列Iga是以lgl08为首项，以Igg为公差的等差数列，令lgafl0,得21g2-(/74)lg30,7721g2÷41g3=2x0.3+4x0.45,Ig30.4由于7N*,可见数列lga的前5项和最大.【拔高】1.定义在(一8,O)U(0,+8)上的函数f),如果对于任意给定的等比数列4,"(a,)仍是等比数列，则称f()为“保等比数列函数”.现有定义在(一8,0)u(0,+8)上的如下函数:f(x)=V;F(X)=2"；F(x)=qiT;f(x)=lnx|.则其中是“保等比数列函数"的F(X)的序号为()A.B.C.D.【答案】C【解析】令等比数列叫的公比为4,f(x)=x2,/()q)=q=(1=/是等比数歹九“)=23/("；)=QI=2%f（八）an)fM不必然是常数，不必然是等比数列；/(x)=R，%F=%=旧+血是等比数列；/()=巾I，举个特例，,令q=2/(a“)=lnW=In2”=山2是等差数列不是等比数列，从而选C.2.设数列4的前项和S满足S+1=a2S+d1,其中a0.(1)求证：4是首项为1的等比数列；若>-b求证：S，W(a+a),并给出等号成立的充要乙条件.【答案】(1)见解析见解析【解析1(1)证法由S=<¾S+3,得<34-a?=<¾a+团，即a=企必，因“2WO,故Si=1,得=a29又由题设条件知S+2=a2S+1+<319Sn+-d2Sn句，两式相减得S+2Sn+142(S+1S)，即为+2=1，由及£0,知a+0,因而&2=w,综上，也=生对一切N*成立.从而&是首项为1,公比为an色的等比数列.证法二：用数学归纳法证明“=%""，/三M.当=1时，由S=<S+<3,得Hi+4=<32<31+4，即4=<¾2，再由&#0，得<31,所以结论成立.假设=A时，结论成乂，即，那么a+i=SHSk=（&£+4）（&£一】+4）=&（S-5-）=<¾<3%=a2*.这就是说，当=4+1时，结论一样成立.综上可得，对任意N,%=出小.因而4是首项为1，公比为色的等比数列.（2）证法一：当=1或2时，明显S=N（句+劣），等号成立.2设23,包>一1且包£0.由（1）知句=1,an-a2f所以要证的不等式化为1+/+疗+W"W（1+2mi）（3）,即证：l+az+TH2n-y-（1+出"）（22）.当4=1时，上面不等式的等号成立.当一1Va2<1时，出'一1与7""T（r=l,2,-1）同为负；当&>1时，NT与生""一I（T=I，2,，-1）同为正.因而当a2>-l且a2l时，总有（4'-1）（出”"-1）>0,即4'+a2n-r<l+a2n（r=l,2,，/11）.上面不等式对r从1到n1求和得2（4+42+生"一）V（1）（l÷）,由此得1+改+a；+a2n<-（l+02）.综上，当色>一1且0时，有SWy（国+劣），当且仅当2=1,2或a2=1时等号成立.证法二：当=1或2时，明显S7=2（国+a），等号成立.当24=1时，Sn=n=-（51+aJ,等号一样成立.2当时，由（1）知Sn=匕%=m"T.下证：1一2<-(l+a2,l)(3,a2>-i且a2l).14°2当一IV&V1时,上面不等式化为(77-2)2n+na2,n2n'<772(23).令/()=(2)W+及na2,11.当一1<心<0时，l-2>故/(32)(-2)a2n+na-i(1a2n2)<(-2)<"V一2,即所要证的不等式成立.当OVa2Vl时，对为求.导得f(=(-2)生”"(1)-2+l=/?g(&).其中g(<32)=(/72)a2n-i-(/7-1)a2n-2+1,则g,(4)=(一2)(/71)(a2-1)<-3<0,即g(<¾)是(0,1)上的减函数，故g(及)>g(l)=O,从而f,(a2)=nga)>0,进而f(是(0,1)上的增函数，因而AaJVF(I)=-2,所要证的不等式成立.当a2>1时，令匕=M则OWL由已证的结论知l-(-1卜<91+尸)，12%。2两边同乘以“产得所要证的不等式.综上，当色>一1且及#0时，有S.W23+a),当且仅当2=1,2或a2=l时等号成立.