第27讲解三角形应用举例（讲）（教师版）.docx

思维导图第27讲解三角形应用举例(讲)解三角形应用举例g考向1：测量距离问题题型1：解三角形的实际应用ef考向2：测量高度问题I考向3:测量角度问题题型2:正、余弦定理在平面几何中的应用题型3:解三角形与三角函数的综合问题常见误区搞错仰角、俯角的概念致误搞错方位角的概念致误知识梳理I.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).3 .方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东,即由指北方向顺时针旋转，到达目标方向(如图).(2)北偏西,即由指北方向逆时针旋转到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.4 .坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角。为坡角).(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度).坡度又称为坡比.题型归纳题型I解三角形的实际应用【例1-1（2020春鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得8=80,ZAQB=I35。，NBDC=NDcA=I5。,NAC8=120。，则A,B两点的距离为（）A.803B.80C.160D.8O5【分析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出切的值，A8中利用等角对等边求出AD的值,再在ABD中由余弦定理求出AB的值.【解答】解：如图所示:DMCr)LII,8=80,NBDC=I5°，ZecD=ZACB+NDCA=1200+15。=135。，/.ZCBD=30°,由正弦定理，得BD解得BD=80,sin135osin30oACD中，8=80,ZDCA=15°,ZADC=ZADB+ZBZX?=135o+15°=150°,AZCAD=15o,.AD=)=80,ABD,由余弦定理，AB2=AD2+BD2-2AD.BDcosZADB=802+(802)2-2×80×802×cos135o=802×5,.AB=8O5,即A，6两点间的距离为80百，故选：D.【例1-2（2020春威宁县期末）小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据8C=12m,B处的仰角60。，C处的仰角45。，cosZBAC=,N8OC=30o中选8取合适的，计算出旗杆的高度为（）A.103B.12mC.122nD.123n【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出。和OC的长，进一步利用余弦定理的应用求出。4的长【解答】解：选©如图所示：则NABO=60。，NACO=45。，设a=x,则以=OC=X,OB='.3在ABOC中，利用余弦定理：BC2=122=x2+-2xJ=亚,32整理得：X = I2/，即OA = I23故选：D.【例1-3（2019秋黄山期末）新安江某段南北两岸平行，艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为片=8妨力，水流的速度的大小为匕=4如2/力，设匕和匕的夹角为，（0。<6<180。），北岸的点8在A的正北方向，游船正好抵达8处时，cos6>=（）A+BG22cd4【分析】依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得O=丝，从而可得答案.3【解答】解：依题意，作图如下，设由A到B航行的时间为，则IACI=4/,IAZ)I=I8C=8f,Af1在直角三角形ABC中，SinZABC=-=-,8/2所以NABC=X,6所以6=匹+C=生，263所以COSe=-L2【跟踪训练1-1X2020春湖北期末)为了测量河对岸两地A、8之间的距离,先在河这岸选择一条基线8,测得Cf>=米，再测得NAa)=90o,ZBCD=30。，NAZ)C=45。，NQM=IO5。，据此计算A、8两地之间的距离是()A.-JuB.aC.(3+)aD.3a2【分析】先在直角三角Aa)中，求出4),然后在三角形BeD中，利用正弦定理求出5D,最后利用三角形AB短中，利用余弦定理求出/W的值.【解答】解：由已知，在三角形AC。中，CD=a米,ZACD=90o,ZADC=45o,:.AD=-Jia.又在三角形58中，CD=米，NBa)二30。，NCDB=Io5。，/.ZB=45o,r1-114-tirHi4HCDBD0aBDJ由正弦定理得=,即=,ABD=-a.sinSinZBCDsin45osin30o2所以在AD8中，ZADB=105°-45°=60°.AB2=AD2+BD2-2AD.BDcos6O0=2a2+-a2-2×42a×-a×-a2,2222.AB=a.2故选：B.【跟踪训练1-2】（2020春德州期末）如图所示,为了测量山高MN,选择A和另座山的山顶C作为测量基点，从4点测得Af点的仰角N4N=60o,C点的仰角NeAB=45。，ZMAC=75°,从C点测得NMCA=60。.已知山高3C=500m,则山高MN（单位：m）为（）A.750B.7503C.850D.85O3【分析】利用直角三角形求出AC,由正弦定理求出A再利用直角三角形求出MN的值.【解答】解：在RtABC中，NCAB=45。，8C=5006，所以Ae=500万；在AC中，ZMAC=75。，ZC4=60o,从而ZAMC=45。,由正弦定理得，sin45osin60o因此4M=5002X壬=500鬲；2V在RtMNA中，AM=5OO3,NMAN=60。，.MN.由=Sin60,AMJTMN=5003×=750/?/.2【跟踪训练1-3】（2020春萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患,民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶8的仰角为60。，在塔底C处测得A处的俯角为45。.已知山岭高CD为36米,A.(36近一36)米B.(36有一36)米C.(36*-36)米D.(72J-36)米【分析】根据题意结合图形，利用：角形的边角关系，即可求出塔高BC的值.A【解答】解:在RtACD中，NCAo=45。，CD=36,所以AD=36;在RlABD中，ZBAD=60o.所以3£>=ADtanNBAO=36J,所以8C=8O-CD=36J-36,即塔高BC为(36J-36)米.故选：B.【跟踪训练1-4】(2020全国11卷模拟)公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45。，行走80米到点B处，测得仰角为30。，再行走80米到点C处，测得仰角为6.则tan6=.【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用cosNE48=AE?+BE?=AE?+一氏?.EC,2AE.AB2AEC即可求出结论.【解答】解：如图：OE_L面ACE,ZEAD=45。，ZfBD=30o;由题可得：AE=Z)E=60：AB=BC=SO;EB =DEtan 30= 603 ：cosZE4B =A 炉 + 6 -2AE.AB2AE.AC6()2 + 8()2-(60后2 × 60 × 80堂黑尹2折Iane =377 77故答案为：也【名师指导】L测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.2 .高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.3 .测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.题型2正、余弦定理在平面几何中的应用【例2-1(2020春垫江县校级期末)如图,在平面四边形ABc力中，A8的面积为J,AB=2,BC=3-1,ZABC=I20。，ZBCD=135o,ZACD=，AD=【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用求出结果.【解答】解：连接AC,如图所示:在A8C中，由于AB=2,BC=67,NABC=I20。,利用余弦定理：AC2=AB2+BC2-2.AB.BC.cosZABC，解得AC=y6,所以 CoSNBCA =AC2+BC2-AB22.AC.BC所以NeCA=45。.由于NBS=135。，所以NACD=90°.已知A8的面积为LJJrtt-×AC.CD=3,解得CZ）=.2进一步利用勾股定理的应用：D2=AC2+CD2,解得AO=2故答案为：90o.22【例22】（2020春天河区期末）如图，在四边形ABa）中，ZD=2，且4）=2,8=6,COSB=3.3（1）求ACf）的面积；（2）若8C=6,求A8的长.AD【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求A8的面积;（2）利用余弦定理求出AC,通过Be的值利用余弦定理求解AB的长.【解答】解：（1）, cos B =，0 < B < 兀，UJ 求:SmB=星3/. sin D = sin 2B = 2sin Bcos BAB2-46A + 24 = 0,3.,.SMCD=gA0COsinD=4应.(2)AD=2»CD=6,cosD=2cos2B-I=，3.在A8中，由余弦定理知，AC=4AD2+CD2-2AD.CD.cosD=22+62-2×2×6×(-)=43,*+/Kr伯AB2+BC2-AC2AB2+12-433蚁TmeI汨,AABC中，BC=62,UJ得：CoSB=尸=Tr，整理可得2ABBC2×AB×6>J23【跟踪训练2-1】（2019秋珠海期末）如图，在ABC中，ZB=45o,AC=8,。是BC边上一点，DC=5,C. 8D. 46【分析】先根据余弦定理求出NC度数，最后根据正弦【解答】解：在ADC中，4)=7,AC=8,Z)C=5,由余弦定理得cos C =AC2+ DC2 -AD22 AC. DC82 +52 -72 12×8×5 2 '因为是三角形内角,.NC=60°,在AC中，AC=8,ZB=45°,ZC=60o,.7+mACABzAaSinC,/-由止弦定理=得：AB=46.sinBsinCsinB故选：D.【跟踪训练22】（2020漳州模拟）如图，在ABC中，。是边AC上的点，且A=4）,2AB=bBD,BC=IBD>则SinC的值为（）BA.在B.更C.是D.包3636【分析】设即=",则由题意可得：BC=2a,AB=AD=a.利用余弦定理表示出COSA,把：边长代2入求出COSA的值，进而确定出SinA的值，由AB,BC,以及SinA的值，利用正弦定理求出SinC的值即可.【解答】解：设3£）=。，则由题意可得：BC=2a>AB=AD=a,2,2×-a2在ABD中，由余弦定理得：COSA=处-=占=7，2ABtAD2Waq3.sinA=l-COS1A=»3Ba在ABC中，山正弦定理得，,即仁二二sinCsinAsinC22丁解得：SinC="6故选：D.【跟踪训练2-3】(2020春泰州期末)如图，在AABC中，角C的平分线交AB于。，且8=AD.若AC=3,8C=2,则AB=.【分析】不妨令ZA=,易知ZACD=BCD=a,NB=万-%,然后在ABC中，利用正弦定理，求出Sin,COSa的值，最后在A8C中，利用正弦定理，可求出AB的值.【解答】解：在ABC中，角C的平分线交AB于。，且CD=Ar).设NA=,则NAa)=8CE>=,NB=4一,ACBC111132/.=,即=,sinZ.BsinZAsin(-30)Sina整理得2sin3<z=3sin,所以：2(SinaCOS20+CoSaSin2a)=3sina,结合SinaHo得2(28S?a-1+2cos2)=3,即COS2。=*,显然8是锐角，后|、Jio.6Hr以COSa=,sn=，44.sin2a=2sinacosa一姮42再由A4C得：AB2AB，-=T=-=，Sinasin2a61544故答案为：io.【跟踪训练2«】(2020青岛模拟)如图，在平面四边形ABa)中，ABLAD,AB=I,AD=币,BC=历.(1)若8=1+6，求四边形A3C。的面积;45(2)若SinNBCO=*,ZAOC(0,X),求SinzADC.52AB【分析】（1）由已知结合勾股定理可求30,然后结介余弦定理M求C,再由三角形的面枳公式可求：（2）由已知结合正弦定理可求SinNE）C,然后结合同角平方关系可求COSNMC,结合特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式可求.【解答】解：（1）连接班）,在RABD中，由勾股定理可得，BD1=AB2+AD2=4,故BD=2,CDll',由余弦定理可得,cos C =BC2+CD2-BD12BC.CD2 + (l + 3)2-2222x(l +我 - 2因为。为三角形的内角，故C=工，4所以SMM='a8AO=L1x5=立，SVG=!8CCDsinC=k(l+5)立二匕正.uv,o222L“22xz22故求四边形ABe£的面积S=+6，BDSinZfiCD2（2）在B8中，由正弦定理可得一些一SinZfiDC所以SinN加C=sin-83BD514因为乙M)C(0,-乃)，所以28。CW(O,一乃)，COSNBDC=-,22540GRtABD中，tanZDB=,故4ADB=JAD36sf-n.7a,产工33414+33所以sinZ.ADC=sm(-+Z.BDC)=-×F-×-=.6525210【名师指导】与平面图彩有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路如下：（1）杷所提供的平面图形拆分成若干个三龟形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解：（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.题型3解三角形与三角函数的综合问题【例31】(2020春温州期中)设函数/(x)=SinX+cosx,xeR.(I)己知er,f函数/a+。)是偶函数，求e的值；(11)设A3C的三边。，b,C所对的角分别为A,B,C,若=2,f(-+-)=-t求A3C的面积422的最大值.【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化简.(I)由函数f(x+6)是偶函数，得f(-+6)=(x+6),进一步得至iJe+2x+。+工+工=万+2%乃，k三Z44恒成立，得到6=7+版收Z3再由。的范围求得。值；(II)由/(2+2)=当求解角A,由己知结合余弦定理及基本不等式求得加,的最大值，则ABC的面积的最大值可求.【解答】解：/(x)=sinx+cosx=>2sin(x+-).4(I)由函数/(x+J)是偶函数，得/(-x+6)=(x+6),即>2sin(+-x)=>2sin(+-÷x)»44A6>+-x=6>+-+2-.keZ(舍)44.+-x+-+x=+2k»ZZ恒成立.44即+2乃(kZ),4-.%,；44(II)由/(乙+4)=,W,sin(-+)=cos-=?42242422HrlA+即cos=，220<A<.0<-<,得A=乙，即A=C.22263由余弦定理可得：a2=4=b2+c2-2bcos-=b2+c2-be,3:.4=b2+c2-bc.2bc-bcbc(当且仅当b=c时取等号),即占G4.MBC的面积S=-Z?c.sin-3.23即ABC的面积的最大值为3.【跟踪训练3.1】(2020遂宁模拟)已知向量=(sins,JJ+Jsin<x),向量。=(2cos0x,&sins,-1),O<<<l,函数FCV)=。6,直线X=且是函数/(x)图象的一条对称轴.6(1)求函数/(x)的解析式及单调递增区间；(2)设AABC的内角4,3,C的对边分别为",c,且c=>,sin8=2sinA,锐角C满足y+C)=,4求的值.【分析】(1)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合函数的对称性周期性，求解函数的解析式.利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可.(2)利用函数的解析式结合正弦定理余弦定理转化求解即可.【解答】解：(I)f(x)=ab=sin2x-j3cos2x=2sin(2<x-».直线X=葛是函数/")图象的条对称轴，.2期。-2=乃+，ZZ,3ZI1.t=-+,keZ,(0,1),.k=0i=522/(x)=2sin(x-y).由2乃一石殁Ik一工2k+»得2%T乙领k2k+»%Z23266.单调递增区间为U-X,2M+2,keZ.66(2)由/(+C)=,2sin(C-y)=2,即Sin(C-念=乎，因为。为锐角，所以一3<C-C<生，所以。一£=£,即。=工，1212121243又sin8=2sinA,所以由正弦定理得=2.a由余弦定理，ic2=a2+b2-Iabcos->11Pa2+h2-ab=3.3由解得从一/=3.【名师指导】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤转化正确分析题意,提标相美等太,ffl角关系合理地将问题转化为三角曲数的问题0用定理、公式、性质利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化0得结论利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论、三角函数的基木性质等